- AI प्रोडक्ट बनाते समय LLM और Transformer के काम करने का तरीका समझने की कोशिश में यह महसूस हुआ कि statistics/probability, linear algebra और calculus की बुनियाद कमजोर है, इसलिए हर दिन फिर से गणित पढ़ना शुरू किया
- सीखने के रास्ते के तौर पर चुना गया Math Academy middle school से लेकर graduate स्तर तक कवर करता है, और वयस्कों के लिए Foundation Series के जरिए university-level गणित तक अपेक्षाकृत जल्दी पहुंचने के लिए बनाया गया है
- diagnostic assessment के बाद आने वाले interactive lessons में से ज्यादातर लगभग 10 मिनट के हैं, इसलिए नौकरी, बच्चों की देखभाल और exercise के बीच छोटे-छोटे समय में भी जारी रखना आसान है
- गणित सीखना किसी casual app की तरह scroll करके आगे बढ़ने वाली activity नहीं है; ज्यादातर समय pencil और paper चाहिए होते हैं, और Mathematics for Machine Learning course तक पहुंचने में कई साल लगेंगे ऐसा माना गया है
- जनवरी 2024 तक लगातार 106 दिन सीखने का रिकॉर्ड बनाया, और मई 2025 में 500-day update भी प्रकाशित किया, साथ ही habit tracking app Main Character भी बनाया
गणित फिर से सीखने की वजह
- AI प्रोडक्ट बनाते हुए प्रोडक्ट के technical side को और गहराई से समझना चाहते थे
- LLM और Transformer सीखने के लिए निम्न क्षेत्रों की बुनियाद जरूरी है, ऐसा माना
- statistics/probability
- linear algebra
- calculus
- graduate school के बाद company forecasts या finance से जुड़ी calculations को छोड़कर गणित का बहुत इस्तेमाल नहीं किया था, और core concepts व concepts के बीच connections को लेकर intuition की कमी महसूस हुई
- लक्ष्य mathematician बनना नहीं, बल्कि LLM और Transformer समझने लायक core mathematical intuition हासिल करना है
वयस्क learning path के तौर पर चुना गया Math Academy
- नौकरी, बच्चे, home loan और अन्य hobbies वाले वयस्क के लिए समय-कुशल तरीके से गणित सीखने के उपाय के रूप में Math Academy चुना
- Math Academy, Jason Roberts और Sandy द्वारा बनाया गया startup है; लेख लिखते समय यह beta में था, लेकिन paid license खरीदकर इस्तेमाल किया गया
- अभी focus बच्चों की math learning पर है, लेकिन इसे adult learners के लिए भी प्रभावी माना गया
- courses middle school से graduate level तक का गणित कवर करते हैं और इन्हें accredited courses के रूप में पेश किया जाता है
- वयस्कों के लिए शुरुआती बिंदु Foundation Series है
- वे हिस्से छोड़ दिए जाते हैं जो बच्चों के लिए जरूरी होते हैं लेकिन वयस्कों के लिए कम जरूरी हैं
- university-level गणित तक अपेक्षाकृत जल्दी वापस पहुंचने के लिए design किया गया है
Math Academy का सीखने का तरीका
- signup के बाद diagnostic assessment से मौजूदा math proficiency जांची जाती है और उपयुक्त स्तर से शुरुआत होती है
- इसके बाद self-paced interactive lessons चलते हैं; ज्यादातर lessons लगभग 10 मिनट के हैं, इसलिए व्यस्त वयस्कों के लिए छोटे खाली समय में सीखना आसान है
- learning flow में concepts सिखाना, assess करना, review करना और उसके ऊपर नए concepts बनाना शामिल है
- यह सिर्फ video देखकर सीखने जैसा अहसास देने वाला तरीका नहीं है; problems के बीच explanations आते हैं और यह हाथ से खुद हल करने वाली concrete learning process के ज्यादा करीब है
- quiz के समय यह महसूस होता है कि सीखी हुई चीजें सच में apply की जा सकती हैं
गणित अब भी कठिन है
- Math Academy सीखने को जितना संभव हो आसान बनाता है, लेकिन गणित अपने आप में अब भी मेहनत वाला काम है
- अधिकांश learning में pencil और paper की जरूरत होती है
- शुरुआती review level के आसान lessons, जिन्हें दिमाग में हल किया जा सकता है, अपवाद हैं
- गणित को गंभीरता से सीखना हो तो सिर्फ app को casually browse करना काफी नहीं है
- वयस्कों के लिए सच में गणित सीखने का अधिक सुविधाजनक तरीका होने के कारण Math Academy को बहुत सराहा गया
आदत बनाने के लिए environment setup
- sustainable habit बनाने के लिए शुरुआत की बाधा कम करने और गणित सीखने को नए default behavior जैसा बनाने की कोशिश की
- सुविधा के लिए ये tools इस्तेमाल किए
- iPad: Math Academy web-based है, इसलिए computer के सामने न होने पर lessons के लिए इस्तेमाल किया
- Remarkable 2: e-ink based handwriting के लिए इस्तेमाल किया
- दोनों devices साथ रखने के लिए एक case इस्तेमाल किया, और 24 फरवरी 2025 को चश्मा, AirPods आदि रखने के लिए zipper pocket वाले दूसरे case पर switch किया
- jury duty के waiting time, gym में 15 मिनट जल्दी पहुंचने पर, और standing desk के नीचे treadmill पर हल्की walk करते समय भी lessons किए
- आम तौर पर बच्चों के सो जाने और workout खत्म करने के बाद शाम को lessons करते हैं
- लंबे दिन के बाद workout और गणित दोनों करना मुश्किल है, लेकिन habit formation बोझ कम करती है
long-term goal और progress
- target course Mathematics for Machine Learning है, जिसे LLM और Transformer को बेहतर समझने के लिए स्पष्ट goal बनाया गया
- सीमित समय के कारण goal तक पहुंचने में कई साल लगेंगे, ऐसा माना गया
- लंबा समय लगने की दो वजहें हैं
- गणित कठिन है
- गणित बहुत व्यापक है
- सिर्फ पहले Mathematical Foundations course के knowledge graph से ही concepts की संख्या, connections और gaps की व्यापकता स्पष्ट हुई
- लगभग 10 courses लेने का इरादा है, और अगर इन्हें रोज एक lesson के हिसाब से किया जाए तो यह कई सालों की learning बन जाती है
- जनवरी 2024 तक शुरुआत के बाद हर दिन कम से कम 1 lesson पूरा करते हुए लगातार 106 दिन सीखने का रिकॉर्ड बनाया
online STEM learning को लेकर सोच में बदलाव
- पहले लगता था कि गणित जैसे कठिन subjects को ठीक से सीखने के लिए university जैसा dedicated environment ही चाहिए
- online courses को ज्यादा soft और कम technical topics के लिए उपयुक्त माना था, लेकिन Math Academy इस्तेमाल करने के बाद सोच बदल गई
- कठिन चीजों को प्रभावी और accessible तरीके से सीखा जा सकता है, इस बात से काफी संतोष महसूस हुआ
- उम्मीद है कि Math Academy computer science, physics जैसे अन्य complex STEM topics तक भी expand होगा
follow-up updates
- 20 जनवरी 2024 के update के बाद समान journey पर चल रहे लोगों से reactions आए, और Hacker News discussion भी सक्रिय रही
- Math Academy में हर हफ्ते lessons पूरे करके मिलने वाले XP पर आधारित gamification है, और user हर हफ्ते highest rank Platinum पर था
- 24 जनवरी 2025 के update में बताया कि वे एक साल से ज्यादा समय से Math Academy के जरिए हर दिन गणित जारी रखे हुए हैं
- progress को publicly share करना जारी रखने में मददगार रहा, और इसे आसान बनाने के लिए मुफ्त habit app Main Character बनाया
- जब user अपनी progress tweet करता है, तो यह habit track करता है
- 5 मई 2025 को 500 दिन की गणित learning update पोस्ट की, और इससे जुड़ी Hacker News discussion भी हुई
1 टिप्पणियां
Hacker News की राय
मैं भी लगभग 1 साल से इसी तरह पढ़ रहा हूँ, और मेरा लक्ष्य 3D गेम बनाने के लिए ज़रूरी गणित सीखना है। दायरा लगभग algebra, geometry, calculus और linear algebra तक जाता है।
शुरुआत में मैंने brilliant.org से शुरू किया था, लेकिन इंटरैक्टिव लेक्चर की quality अच्छी होने के बावजूद लगा कि कोर्स का क्रम थोड़ा बिखरा हुआ है और अक्सर ऐसी चीज़ों को मानकर चलता है जो अभी सीखी ही नहीं थीं। लेख में बताए गए Math Academy जितना instructional design पर उसने ध्यान दिया हो, ऐसा नहीं लगा।
इसलिए मैंने उसे छोड़ दिया और The Art Of Problem Solving की textbook series मंगवाकर पढ़ रहा हूँ, जिन्हें समुद्र पार से कई किलो के हिसाब से शिप कराया। कोर्स की बनावट और first principles से जटिल ideas को धीरे-धीरे खड़ा करने का तरीका शानदार है, लेकिन practice problems काफ़ी कठिन हैं और विनम्र बना देती हैं। महँगी ज़रूर हैं, लेकिन मेरे लिए इसकी क़ीमत वसूल है।
Math Academy भी दिलचस्प लगती है, लेकिन मैं अभी इस series के काफ़ी बीच तक आ चुका हूँ, इसलिए फिलहाल हाथ में reference books होना ज़्यादा बेहतर लग रहा है। भूले हुए topics को फिर से देखने के लिए मैं कई बार शुरुआती हिस्सों तक लौट चुका हूँ।
सवाल हल करने के लिए मैं जितना हो सके कागज़ और पेन वाला low-tech तरीका अपनाता हूँ, और इसमें नई approaches को खुलकर आज़माया जा सकता है, यह बात अच्छी लगती है। दिमाग़ से कागज़ पर स्याही उतरने तक की कम देरी का कोई मुकाबला नहीं।
इसके अलावा मैं ChatGPT-4 को tutor की तरह भी इस्तेमाल कर रहा हूँ। दूसरों के अनुभवों से अलग, इस स्तर के गणित में मुझे यह आम तौर पर ठीक-ठाक reasoning करता हुआ लगा है, और अटकने पर इसने कई बार मदद की है। कभी-कभी यह ग़लत जवाब को भी भरोसेमंद ढंग से पेश कर देता है, लेकिन जब समझ नहीं आता तो मैं हमेशा पलटकर पूछता हूँ, और आख़िर में यह जाँच ही लेता हूँ कि वह hallucination थी, क्या सवाल को दोबारा कहने पर बात सुधरती है, या शुरू से ही मेरी input ग़लत थी।
https://foundationsofgameenginedev.com/ — पहला खंड Mathematics अधिक व्यापक दायरा कवर करता है, बहुत ज़्यादा औपचारिक हुए बिना first principles से derivation करता है।
https://www.mathfor3dgameprogramming.com/ — ज़्यादातर game/graphics math किताबों की तुलना में कहीं अधिक औपचारिक है, और खासकर linear algebra में काफ़ी गहराई तक जाता है।
एक गणितज्ञ के रूप में, जिसने कुछ समय theoretical physics में काम किया है, मुझे यह देखकर खुशी होती है कि लोगों की इस क्षेत्र में दिलचस्पी है।
गणित की छवि अक्सर ख़राब रहती है, लेकिन मेरे हिसाब से अपनी प्रकृति में यह संगीत की बराबरी करने वाला सबसे रोचक अध्ययन-विषयों में से एक है।
अगर आपको गणित में रुचि है, तो स्तर कोई भी हो, मैं Roger Penrose की The Road to Reality की सिफ़ारिश करूँगा। तकनीकी रूप से यह physics की किताब है, और Penrose मूल रूप से गणितज्ञ भी थे, लेकिन समझाने का उनका तरीका अनुभवी लोगों की दृष्टि भी खोल देता है। यह basic calculus से शुरू होकर groups, topology, complex analysis, differential geometry आदि तक जाता है।
इसके साथ John Baez की mathematics·physics learning guide भी देख सकते हैं: https://math.ucr.edu/home/baez/books.html
मुझे Baez का यह पेज और उनका काम सामान्य रूप से भी पसंद है; वे बहुत रोचक गणित करते हैं: https://math.ucr.edu/home/baez/
Tai-Danae Bradley का काम भी मुझे बहुत पसंद है: https://www.math3ma.com/
यह लेख सचमुच सही समय पर आया है। 16 साल पहले मैंने मर रही माँ की देखभाल करने के लिए पढ़ाई छोड़ दी थी, और फिर कभी वापस नहीं जा सका, बस काम शुरू कर दिया।
अब मैं फिर से पढ़ाई में लौटकर आख़िरकार अपनी computer science degree पूरी करने जा रहा हूँ, लेकिन मेरे सामने अभी भी पूरे 4 साल पड़े हैं। गणित मुश्किल लग रहा है।
फिर भी जब जवाब सही निकलता है, ख़ासकर तब जब यह समझ में आ जाए कि वहाँ तक पहुँचे कैसे, तो जो रोमांच मिलता है वही बड़ी ताक़त देता है। यह लगभग सेक्स से भी बेहतर है।
जानना चाहूँगा कि आपकी उम्र कितनी है, क्या आपने full-time course में दाख़िला लिया है, क्या आप काफ़ी छोटे छात्रों के साथ पढ़ रहे हैं, और यह पूरा अनुभव कैसा रहा है।
अगर मूल लेखक अब भी transformers की mathematical foundations सीखना चाहते हैं, तो मैंने एक मुफ़्त वैकल्पिक learning tool बनाया है: https://afaik.io/nebula?mode=nebula&category=blueprint&id=ed...
यह भी गणित, machine learning, physics जैसे कई विषयों की अवधारणाओं को जोड़ने वाले एक बुनियादी knowledge graph पर आधारित है। transformers के लिए graph यहाँ देखा जा सकता है: https://afaik.io/nebula?category=brickset&id=VLlOnZLl&mode=d... यह सिर्फ desktop पर चलता है।
मुख्य बात यह है कि आपको गणित शुरू से दोबारा सीखने की ज़रूरत नहीं पड़ती, बल्कि किसी खास concept को समझने के लिए जितनी prerequisite concepts चाहिए, उतनी ही सीखनी पड़ती हैं। इसके साथ मुफ़्त resources भी जुड़े हुए हैं।
गणित फिर से सीखने की इच्छा मैं अच्छी तरह समझ सकता हूँ। यह tool बनाने की एक वजह यह भी है कि मैं अपने गणित और computer science background के आधार पर physics फिर से सीख सकूँ और समझ सकूँ कि वहाँ तक पहुँचना कैसे है। हालाँकि इस स्थिति में मुझे लगता है कि गहराई से सीखते हुए भी मज़ा बनाए रखने का कोई अधिक efficient तरीका हो सकता है।
शायद इसका मतलब यह है कि topics को prerequisites के रूप में जोड़ा जाता है। जैसे A को समझने के लिए पहले B और C जानना ज़रूरी है, और B को समझने के लिए D जानना होगा।
लेकिन तब ऐसा graph सिर्फ़ directed graph नहीं, बल्कि असल में tree जैसा नहीं होना चाहिए? क्योंकि इसमें cycle तो नहीं होनी चाहिए। अगर A को समझने के लिए B चाहिए, और B को समझने के लिए A चाहिए, तो फिर दोनों में से किसी को भी कभी समझा ही नहीं जा सकता, है ना?
कुछ math channels की सिफारिश करता हूँ
https://www.youtube.com/@SawFinMath — यह एक बेहतरीन professor हैं, और problems व solutions को step-by-step follow कर सकें, ऐसे समझाते हैं। इनमें discrete mathematics, calculus, abstract algebra या linear algebra, statistics जैसी undergraduate course playlists बहुत हैं। speed control अच्छा है और ये real time में बहुत सारे problems हल करके दिखाते हैं, इसलिए ज़ोरदार सिफारिश है
https://mathispower4u.com/ — यह एक और professor हैं जो free public math textbooks के आधार पर lectures बनाते हैं। इनका pure mathematics material ज़्यादा dense है, इसलिए थोड़ा कठिन है, लेकिन उतना ही फ़ायदा यह है कि आमतौर पर university में पढ़ाई जाने वाली लगभग सारी चीज़ें कवर हो जाती हैं। इसमें discrete mathematics, calculus, graph theory, trigonometry, statistics, algebra, geometry जैसे subjects हैं, और ये भी real time में बहुत सारे problems हल करके दिखाते हैं
मैंने खुद इसे ज़्यादा इस्तेमाल नहीं किया है, लेकिन https://www.myopenmath.com/index.php भी है। यह textbook के साथ चलते हुए problems हल करने के अंदाज़ का लगता है, इसलिए exercism जैसा दिखता है। अगर किसी ने इस्तेमाल किया हो, तो जानना चाहूँगा कैसा है
जब मैं computer science पढ़ने के लिए वापस school गया था, तब मैंने इसी किताब से math दोबारा सीखी: https://a.co/d/7hlRdnK
मैं इसकी सच में ज़ोरदार सिफारिश करता हूँ। यह algebra से शुरू होकर calculus तक जाती है, और हर unit की शुरुआत में pre-test है, जिससे पता चल जाता है कि कहाँ फ़ोकस करना है और क्या छोड़ा जा सकता है
Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students 2nd Edition by Jenny Olive
ISBN-10: 0521017076
ISBN-13: 978-0521017077
यहाँ self-study resources के रूप में Khan Academy और AOPS series का ज़िक्र आता है, और adult होने के बाद math दोबारा सीखते समय मैंने दोनों का इस्तेमाल किया था। इनके अलावा एक सच में शानदार resource Henry Sinclair Hall की किताबें हैं
ऊपर बताए गए resources से कहीं बेहतर हैं, और 19वीं सदी में प्रकाशित होने के कारण अब public domain में हैं, इसलिए Internet Archive से मुफ़्त डाउनलोड की जा सकती हैं: https://archive.org/search?query=creator%3A%22Hall%2C+H.+S.+...
और Velleman की How to Prove It भी ज़रूर पढ़नी चाहिए
तो क्या यह आखिरकार बस Math Academy का विज्ञापन नहीं है? Khan Academy जैसी free resources का क्या?
मैं जानना चाहता हूँ कि किसी ने इस course का इस्तेमाल किया है या नहीं, और यह कैसा है
इस program के बारे में मेरे कुछ सवाल हैं। मान रहा हूँ कि founders अगर HN traffic blast नोटिस करेंगे, तो यह thread देखेंगे
हमारे पास एक knowledge graph है जिसमें हज़ारों math topics के बीच structural relationships encode किए गए हैं, और इसमें सिर्फ prerequisites ही नहीं, दूसरे relations भी शामिल हैं। algorithmic inference system student के answers को देखकर उन्हें इस knowledge graph पर map करता है, फिर यह तय करता है कि student क्या और कितना जानता है, और उसके personal knowledge profile के हिसाब से वह task चुनता है जिससे learning effect सबसे ज़्यादा हो। यह decision-making mastery learning, spaced repetition, interleaving, associative interference minimization जैसी cognitive learning strategies से प्रेरित है
spaced repetition system का core है। हर student के पास topic-wise performance के अनुसार adapt होने वाला personalized spaced repetition schedule होता है, और अगला review या learning topic चुनते समय system हमेशा कोशिश करता है कि जितने हो सकें उतने scheduled reviews को implicitly process करके learning efficiency बढ़ाई जाए। उदाहरण के लिए, अगर किसी student के लिए linear equation ax=b का review due है, तो उसकी जगह उसे two-step equation ax+b=c सिखाकर वह review implicitly कराया जा सकता है
quantitative नज़रिए से देखें तो spaced repetition model बनाना सबसे कठिन और सबसे दिलचस्प हिस्सों में से एक था। आमतौर पर spaced repetition को independent flashcards के context में सोचा जाता है, लेकिन math जैसी hierarchical knowledge system में advanced topic का repetition, implicitly practiced आसान topics के repetition schedule में नीचे की ओर propagate होना चाहिए, इसलिए यह जटिल हो जाता है। लेकिन बहुत जल्दी कराया गया repetition अगले repetition के रूप में पूरी तरह count न हो, इसके लिए उसे उचित रूप से discount भी करना पड़ता है
यह model सिर्फ implicit downward repetition को reflect नहीं करता, बल्कि ऐसे reviews भी चुनता है जो domino की तरह दूसरे scheduled reviews को भी निपटा दें, ताकि reviews की संख्या कम से कम रहे, और student-wise तथा topic-wise spaced repetition rate को calibrate करता है। student ability और topic difficulty इसमें एक-दूसरे के मुकाबले काम करने वाले factors हैं
अमेरिका में proofs सिखाना university-level जैसा लगता है। सोचता हूँ दूसरे देशों में बच्चों को 7वीं कक्षा से proofs क्यों सिखाए जाते हैं
Euclidean geometry के rigorous proofs से शुरू करके solid geometry, elementary functions के proofs, sets, number theory होते हुए polynomial, simple discrete mathematics, analytic geometry तक जाते हैं। high school ख़त्म होते-होते mathematical induction या proof by contradiction जैसी चीज़ें दूसरी प्रकृति जैसी बन जाती हैं। मैं elite students की बात नहीं कर रहा, बल्कि सभी STEM students के लिए curriculum requirements की बात कर रहा हूँ
school में math पर ज़्यादा ध्यान देने वाले कुछ students इसे पहले देख सकते हैं, लेकिन यह बिल्कुल भी सामान्य अनुभव नहीं है