रीमान परिकल्पना पर उल्लेखनीय प्रगति

 (mathstodon.xyz)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-06-05 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • Guth और Maynard ने रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन के zeros पर Ingham की 1940 की सीमा में पहली बार वास्तविक सुधार किया है, लेकिन यह अभी भी रीमान परिकल्पना के समाधान से दूर है
  • मुख्य वस्तु N(σ,T) है: ऐसे zeros की संख्या जिनका real part σ या उससे बड़ा है और imaginary part का परिमाण T या उससे कम है; σ=3/4 पर मौजूदा सीमा 80 साल से अधिक समय तक बिना बड़े सुधार के बनी रही थी
  • नए परिणाम ने σ=3/4 पर सीमा को 3/5=0.6 से घटाकर 13/25=0.52 कर दिया है, और N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} के रूप में zero density estimate देता है
  • इस सुधार से लगभग सभी छोटे intervals (x, x+x^θ) में prime number theorem साबित कर सकने की range θ > 1/6 से बढ़कर θ > 2/15 हो गई है
  • यह परिणाम “कई मध्यम स्तर के रीमान परिकल्पना violations” की संभावना को और सख्ती से सीमित करता है, लेकिन किसी एक बड़े violation को खारिज करने वाली zero-free region में प्रगति नहीं है

Guth–Maynard द्वारा सुधारी गई zero density boundary

  • Guth और Maynard का पेपर New large value estimates for Dirichlet polynomials Dirichlet polynomials के बड़े मान लेने की frequency पर नई boundaries साबित करता है
  • खास तौर पर यह length N वाले Dirichlet polynomial के N^{3/4} के करीब magnitude लेने वाली critical स्थिति से निपटता है, जो primes और रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन से जुड़े कई analytic number theory estimates में bottleneck थी
  • N(σ,T) का अर्थ है रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन के उन zeros की संख्या जिनका real part σ या उससे अधिक है और imaginary part का absolute value T या उससे कम है
    • रीमान परिकल्पना को इस रूप में देखा जा सकता है कि हर σ > 1/2 के लिए N(σ,T) 0 हो जाता है
    • फिलहाल इसे unconditional रूप से साबित नहीं किया जा सकता, इसलिए इसके बजाय N(σ,T) की non-trivial upper bound, यानी zero density estimate, साबित की जाती है

80 साल से अधिक समय तक अटकी रही Ingham boundary

  • σ=3/4 इस समस्या में मुख्य value की तरह काम करता है
  • Ingham ने 1940 में N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)} boundary हासिल की थी
  • इसके बाद 80 वर्षों तक यह boundary वास्तविक रूप से बेहतर नहीं हुई, और अधिकतर सिर्फ o(1) error term की छोटी refinements ही होती रहीं
  • इस सीमा ने analytic number theory की कई समस्याओं को restrict किया है
    • लगभग सभी छोटे intervals (x, x+x^θ) में अच्छा prime number theorem पाने के लिए लंबे समय तक θ > 1/6 range में ही रहना पड़ा
    • मुख्य बाधा Ingham boundary में सुधार की कमी थी

नए numbers primes के short interval result तक ले जाते हैं

  • Guth–Maynard ने Ingham boundary को 3/5=0.6 से 13/25=0.52 तक improve किया है
  • पेपर में N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} के रूप में zero density estimate शामिल है
  • primes के short intervals के लिए, length x^{17/30+o(1)} वाले intervals में asymptotic formula निकाला गया है
  • लगभग सभी छोटे intervals (x, x+x^θ) के लिए prime number theorem की range भी साथ में बेहतर हुई है
    • पहले: θ > 1/6 = 0.166...
    • सुधार के बाद: θ > 2/15 = 0.133...
  • अगर रीमान परिकल्पना सच है, तो यह range पूरे θ > 0 तक संभव है

proof में इस्तेमाल हुए अप्रत्याशित manipulations

  • argument का चरित्र मोटे तौर पर Fourier analysis जैसा है
  • शुरुआती चरणों के कुछ हिस्से standard हैं, इसलिए Ingham boundary को तोड़ने की कोशिश कर चुके analytic number theorists के लिए वे परिचित रूप में हैं
  • इसके बाद कई non-intuitive choices अहम भूमिका निभाती हैं
    • phase matrix n^{it}=e^{it log n} को 6th power में raise करके control किया जाता है
    • एक खास जटिल Fourier integral को stationary phase से simplify नहीं किया जाता; exponent में loss स्वीकार करते हुए भी बाद में उपयोगी होने वाला factorized form बनाए रखा जाता है
    • Dirichlet series के बड़े values लेने वाली positions की additive energy छोटी, medium या बड़ी है—इसके आधार पर cases बांटे जाते हैं और अलग-अलग arguments लगाए जाते हैं
  • Dirichlet series में निहित phase function t log n का precise form बहुत महत्वपूर्ण हो जाता है
  • यह harmonic analysis का सामान्य exponential sum नहीं, बल्कि analytic number theory से आने वाले exponential sums की विशेषता का उपयोग करने वाला तरीका है

zero density और zero-free region अलग हैं

  • यह परिणाम रीमान परिकल्पना के “कई कुछ हद तक खराब violations” की संभावना घटाने में मदद करता है
    • ऐसे सुधार छोटे intervals में primes को समझने में खास तौर पर उपयोगी हैं
  • लेकिन यह रीमान परिकल्पना के “किसी एक बहुत खराब violation” को नए तरीके से exclude नहीं करता
    • ऐसे exclusion का काम zero-free region करता है
    • लंबे intervals में primes को समझते समय zero-free region केंद्रीय भूमिका निभाता है
  • ज्ञात best asymptotic zero-free region अभी भी Vinogradov–Korobov zero-free region है
    • इस notation में, अगर σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T है, तो N(σ,T) पूरी तरह गायब हो जाता है
    • यह result भी 1958 के बाद से लगभग बदला नहीं है
  • q-aspect में, L-functions के Siegel zero को हटाना भी zero-free region के लिहाज से बड़ी breakthrough होगा
  • diagrammatic दृष्टि से, ज्ञात exponent θ(σ) जितना कम हो, boundary उतनी बेहतर है
    • Guth–Maynard की नई curve σ=3/4 के आसपास Ingham और Huxley boundaries में से बेहतर वाली से भी बेहतर है
    • लेकिन इस range में अभी density conjecture तक नहीं पहुंची है
    • रीमान परिकल्पना पूरे diagram को x-axis पर नीचे ले जाने के बराबर है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-06-05
Hacker News की टिप्पणियाँ

  • JavaScript से बना एक zeta function visualization है, जिसमें अनंत तक zoom किया जा सकता है और parameters भी बदले जा सकते हैं: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    यह सहज रूप से समझने में मदद कर सकता है कि यह परिकल्पना सच होने की संभावना क्यों अधिक लगती है। यह partial sums render करता है और zeta के path को trace करता है
    rendering में अपने-आप गणना किए गए N-critical तक के सभी partial sums शामिल हैं, यानी वह बिंदु जहाँ दो terms का phase difference π से छोटा हो जाता है, अर्थात Nyquist limit। इसके बाद partial sums का behavior monotonic हो जाता है
    clusters ऐसे aliasing modes जैसे दिखते हैं जो terms की instantaneous frequency kπ और (k+1)π के बीच होने पर आगे-पीछे चलते हैं, और random walk section वह क्षेत्र है जहाँ हर aliasing mode पर सिर्फ एक point होता है। हरी रेखा partial sums की symmetry को उभारती है, और clusters random walk section के साथ symmetry बनाए रखते हैं। यह symmetry इस paper में अच्छी तरह समझाई गई है: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • मैंने कुछ साल पहले रिमान परिकल्पना की एक सहज signal processing interpretation सोची थी, और संक्षेप में कहें तो zeta function को एक log-time sampler की तरह देखा जा सकता है
      zeta(s), पूर्णांक n>0 के लिए t=(ln n) समय पर sample की जाने वाली sum(delta(t-ln n)) का Laplace transform है, और sampling rate तेजी से बढ़ती है
      इसे black box से निकले impulse response की तरह कल्पना किया जा सकता है, और real-part parameter के अनुसार impulse response finite energy वाला भी हो सकता है या power signal भी। यदि मान लें कि energy sum(|1/s|^2) finite है, यानी real(s) > 1/2, तो रिमान परिकल्पना का मतलब यह होगा कि वह sum 0 नहीं है। यह कुछ ऐसा कहने जैसा है कि log sampler बिना power supply जोड़े जानकारी नष्ट नहीं कर सकता
    • मैंने भी एक बनाया था। मेरा Unity में बना है, और यह Y-axis दिशा में ऊपर जाती 3D spiral दिखाता है
      मुझे लगता है 3D में देखना मददगार है: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • वाह, आपका वाला मेरे वाले से कहीं ज़्यादा शानदार है: https://matt-diamond.com/zeta.html
      फिर भी यह दिलचस्प है कि इतने लोगों ने इसे आज़माया है। नतीजे भी देखने में अच्छे हैं और यह एक मज़ेदार programming exercise भी है
    • graph बनाते समय वास्तव में कौन-सा formula इस्तेमाल किया जाता है, यह जानने की जिज्ञासा है
    • क्या इस विषय को आसानी से समझने लायक कोई अच्छा resource है?

  • James Maynard अक्सर Numberphile पर आते हैं, इसलिए अगर आप इस paper के लेखकों में से एक से अपेक्षाकृत आसान गणितीय व्याख्या सुनना चाहते हैं, तो इसे देखना ठीक रहेगा: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

    • आज पता चला: Fields Medal केवल 40 वर्ष से कम उम्र के गणितज्ञों को दिया जाता है
      स्रोत: https://www.youtube.com/watch?v=eupAXdWPvX8&list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM&index=3&t=10m
    • Maynard के Numberphile वीडियो बेहतरीन हैं। Tao की तरह वे भी non-specialists को साफ़ तौर पर समझा सकते हैं, और मैं इसे महानता का एक और संकेत मानता हूँ

  • अगर आप ऐसे रिमान परिकल्पना परिचयात्मक संसाधन की तलाश में हैं जो ज़्यादातर वीडियो से अधिक गहराई में जाए, लेकिन STEM majors के लिए फिर भी सुलभ हो, तो zetamath की यह video series मुझे वाकई बहुत अच्छी लगी
    Tao प्रोफेसर के मूल लेख में “phase के मुख्य matrix को control करता है” वाले हिस्से तक तो मैं सब समझ गया था, इसलिए यह साफ़ है कि इन वीडियो ने मुझे कुछ सिखाया
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • यह कल्पना करने पर मजबूर करता है कि कैसा लगेगा जब Terence Tao यह कहते हुए आपकी दलील का सार बताएँ कि उन्होंने भी कुछ ऐसा ही आज़माया था, लेकिन असफल रहे
    “दलील व्यापक रूप से Fourier-analytic प्रकृति की है। शुरुआती कुछ चरण मानक हैं, और उन्हें मेरे सहित कई analytic number theorists पहचानेंगे जिन्होंने Ingham bound को तोड़ने की कोशिश की थी। लेकिन उन्होंने कई चतुर और अप्रत्याशित चालें चली हैं”

    • यह बिल्कुल आम बात है कि किसी एक शीर्ष स्तर के गणितज्ञ द्वारा आज़माई गई और असफल रही तकनीक को दूसरा गणितज्ञ सफलतापूर्वक इस्तेमाल कर ले
    • मैं उनसे व्यक्तिगत रूप से कभी नहीं मिला, लेकिन Tao की writing बहुत विनम्र और सौम्य लगती है। वे सार्वजनिक रूप से उन चीज़ों के बारे में भी बात करते हैं जिन्हें उन्होंने आज़माया लेकिन जो ठीक नहीं चलीं
      वे tools और उनकी सीमाओं के बारे में भी सामान्य रूप से बहुत लिखते हैं। मैं उनका blog पढ़ने की ज़रूर सलाह दूँगा
    • paper के दो लेखक पहले से ही इस क्षेत्र में काफ़ी मज़बूत स्थान रखते हैं
      [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • यह सचमुच meritocracy जैसा महसूस हो सकता है। खासकर वहाँ जहाँ सख्त ranking standard नहीं होती, Terence Tao भी खुद को किसी चीज़ के “top” पर नहीं मानेंगे
      इसके अलावा, यह किसी के लिए एक ऐसे मज़बूत आधार और समझ का संकेत भी हो सकता है जहाँ यह उम्मीद नहीं की जाती कि किसी का व्यवहार ज़रूरी तौर पर उसकी प्रतिष्ठा से मेल खाएगा। खासकर तब, जब परिणाम देना popularity contest नहीं बल्कि किसी व्यक्ति या अनुशासित टीम का प्रयास हो
      जो लोग सामान्य business, बड़े corporations, VC, या अकादमिक माहौल में काम करते हैं—जहाँ politics हावी रहती है, meritocracy सिर्फ़ अच्छा लगने वाला motivational slogan बनकर रह जाती है, और popularity ही असली currency बन जाती है—उनके लिए यह अपरिचित लग सकता है

  • 2018 में प्रस्तावित प्रमाण से जुड़ी संभावित महत्ता को समझाने वाला यह लेख एक उपयोगी शुरुआती संसाधन था
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • इस प्रमाण की संभावित महत्ता को लेकर जिज्ञासा है। यह लेख कुछ अस्पष्ट है:

      (अभाज्य संख्याएँ) इंटरनेट पर भेजे जाने वाले encrypted communication की सुरक्षा के लिए महत्वपूर्ण हैं। और महत्वपूर्ण बात यह है कि अनगिनत गणितीय शोधपत्र Riemann hypothesis को सत्य मानकर चलते हैं। अगर यह बुनियादी मान्यता सही सिद्ध हो जाए, तो “सत्य माने जाने वाले बहुत से परिणामों को सत्य के रूप में जाना जाएगा,” Atlanta की Emory University के गणितज्ञ Ken Ono कहते हैं। “यह एक तरह का mathematical oracle है.”
      क्या Riemann hypothesis के प्रमाण का कोई ऐसा स्पष्ट, ज्ञात अनुप्रयोग होगा जो तुरंत व्यावहारिक असर डाले? सिर्फ संतोष या “थोड़ा बेहतर encryption” से आगे की बात कर रहा हूँ

  • दिलचस्प तथ्य: लेखकों में से एक Larry Guth, inflationary cosmology के लिए प्रसिद्ध सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी Alan Guth के बेटे हैं (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

  • Riemann hypothesis को excluded middle law मानकर उस पर निर्भर सभी प्रमेयों के बारे में लोग क्या सोचते हैं, यह जानने की जिज्ञासा है
    constructivists “A या B” के प्रमाण के लिए यह मानते हैं कि A का प्रमाण या B का प्रमाण वास्तव में होना चाहिए, इसलिए वे excluded middle law को अस्वीकार करते हैं। लेकिन अभी तक किसी के पास न तो RH का प्रमाण है, न ~RH का
    यह कुछ ऐसे तथाकथित अपूर्ण logical systems में महत्वपूर्ण होता है जहाँ कुछ प्रमेय न सिद्ध किए जा सकते हैं न खंडित, और ऐसे systems में excluded middle law एक अस्वीकार्य axiom होता है

    • क्या यह थोड़ा अलग मुद्दा नहीं है? मुझे लगा मुख्य बात यह थी कि provability और truth अलग-अलग चीज़ें हैं
    • मैंने यह तर्क सुना है:
      अगर RH किसी भी दिशा में सिद्ध नहीं किया जा सकता, तो RH का counterexample निश्चित रूप से हो ही नहीं सकता। क्योंकि अगर counterexample होता, तो उसे खोजकर RH को असत्य सिद्ध किया जा सकता था
      इसलिए अगर RH undecidable है, तो वह सत्य होना चाहिए। हालाँकि यह RH जिस logical system में काम कर रहा है, उसके बाहर की logic का उपयोग करता हुआ लगता है

  • यह comment section अजीब तरह से ऐसे लोगों से भरा हुआ है जो विषय को वास्तव में समझे बिना बुद्धिमान दिखना चाहते हैं, और नतीजा उल्टा हो रहा है
    अच्छा होगा अगर लोग यह चिंता छोड़ दें। यह ईमानदारी से कह देना ठीक है कि आप कुछ नहीं समझते। हर कोई जितनी चीज़ें समझता है, उससे ज़्यादा नहीं समझता

    • एक flagged comment को छोड़ दें तो मुझे टिप्पणियाँ काफ़ी गहरी और दिलचस्प लगीं। Riemann zeta function का एक शानदार visualization demo भी है:
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      उलटे आपका comment कुछ हद तक ऊपर से देखने वाला लगता है, और सार्थक योगदान से ज़्यादा projection जैसा महसूस होता है
    • क्या सिर्फ यह comment section ही ऐसा है?

  • क्या कोई इसे ऐसे व्यक्ति को समझा सकता है जो गणितज्ञ नहीं है?

    • गणित में सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्याओं में से एक Riemann hypothesis है। यह कहती है कि एक खास समीकरण zeta(z)=0 के सभी solutions एक विशेष रूप के होते हैं
      लगभग हर मौजूदा गणितज्ञ ने जीवन में कभी न कभी इसे हल करने की कोशिश की है। इस hypothesis के number theory में, जैसे कि अभाज्य संख्याओं के वितरण पर, गहरे प्रभाव हैं
      हाल की एक paper में कुछ गणितज्ञों ने दावा किया है कि उन्होंने उन solutions की संभावित स्थितियों पर और कड़ी सीमाएँ दी हैं। लिंक किए गए लेख में आज के सबसे बड़े गणितज्ञों में से एक Terrence Tao ने उस paper की बहुत प्रशंसा की है
      मेरी व्यक्तिगत राय में यह अभी उस स्तर पर नहीं है कि गैर-गणितज्ञों के लिए बहुत बड़ी दिलचस्पी का विषय बन जाए। यह बेहद technical परिणाम है, और आगे की जाँच-पड़ताल में गलत या अपूर्ण भी निकल सकता है
      Riemann hypothesis, उसके निहितार्थों और उसे हल करने के प्रयासों पर पढ़ने के लिए बहुत सामग्री उपलब्ध है
    • इसे Indiana Jones and the Last Crusade की तरह सोचिए। हम अभी कमरे में दाखिल नहीं हुए हैं, लेकिन मंदिर के भीतर लगे एक जाल को निष्क्रिय कर चुके हैं
    • पृष्ठभूमि के लिए यह वीडियो Riemann hypothesis overview को अच्छी तरह समझाता है: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • N से छोटे अभाज्य संख्याओं की संख्या के लिए एक approximation है कि N बड़ा होने पर वह लगभग कितनी होगी
      अगर Riemann hypothesis सत्य है, तो हमें पता चलता है कि इस approximation की त्रुटि अच्छी तरह नियंत्रित और छोटी है, और तब हम कई अन्य approximation results सिद्ध कर सकते हैं। “अगर Riemann hypothesis सत्य है…” वाले बहुत से परिणाम हैं
    • Prime Obsession एक अच्छी पुस्तक-लंबाई की शुरुआती किताब है, जो किसी गणितीय पृष्ठभूमि की अपेक्षा नहीं करती और Riemann hypothesis तथा स्वयं Riemann के बारे में बताती है

  • समय बिलकुल सही है। मैं अभी Matt Haig की The Humans सुन रहा हूँ, और उसकी कहानी किसी के Riemann hypothesis सिद्ध कर देने के बाद से शुरू होती है