- Tom Leinster ने 2021~2023 के Edinburgh undergraduate lectures में इस्तेमाल की गई Galois theory सामग्री को arXiv और वेबसाइट के ज़रिए सार्वजनिक किया
- सामग्री में lecture notes, लगभग 40 छोटे व्याख्यात्मक वीडियो, अभ्यास प्रश्न, और लगभग 500 multiple-choice प्रश्न शामिल हैं, इसलिए यह self-study सामग्री के रूप में भी उपयोगी है
- ऐसा लगता है कि इन notes को पहले सार्वजनिक की गई Fourier analysis, general topology, linear algebra, category theory सामग्री की तुलना में अधिक ध्यान मिला, और category theory notes एक अपवाद के रूप में किताब के रूप में भी प्रकाशित हुए
- पहला lecture Covid पूर्ण lockdown के दौरान हुआ था, इसलिए आमने-सामने interaction मुश्किल था, और इसी कारण सामान्य से अधिक सावधानीपूर्वक मार्गदर्शन और संरचना की ज़रूरत थी
- केवल सामग्री की गहराई ही नहीं, बल्कि रंगों और छोटे icons जैसी visual structure ने भी accessibility बढ़ाने में भूमिका निभाई, और notes, videos, तथा problems सीखने वालों के लिए उपयोगी सार्वजनिक सामग्री के रूप में बचे हुए हैं
Edinburgh Galois theory lecture सामग्री सार्वजनिक
- Tom Leinster ने Edinburgh undergraduate Galois theory lecture notes को arXiv पर अपलोड किया
- यह lecture 2021 से 2023 तक चला
- notes पहले से वेबसाइट पर साझा किए गए थे, लेकिन अन्य lecture सामग्री का अधिकांश हिस्सा भी साथ में सार्वजनिक करना चाहने के कारण arXiv पर पंजीकरण देर से हुआ
- सार्वजनिक सामग्री Galois theory course materials पर देखी जा सकती है
- पूर्ण और स्वतंत्र lecture notes
- लगभग 40 छोटे व्याख्यात्मक वीडियो
- बहुत से अभ्यास प्रश्न
- लगभग 500 multiple-choice प्रश्न
पहले सार्वजनिक की गई सामग्री से अंतर
- Leinster ने पहले भी कई lecture notes सार्वजनिक किए हैं
- ऐसा लगता है कि Galois theory notes को इनसे अधिक ध्यान मिला
- अपवाद के तौर पर category theory notes को किताब के रूप में भी बनाया गया
lockdown की स्थिति ने बनाई सावधानीपूर्वक संरचना
- पहला lecture Covid पूर्ण lockdown के दौरान हुआ
- छात्र आमने-सामने interaction के अवसर से वंचित थे
- Leinster ने माना कि छात्रों को सामान्य से अधिक मार्गदर्शन की आवश्यकता है
- notes के चर्चित होने के कारणों में केवल सावधानीपूर्वक सामग्री-संरचना ही नहीं, बल्कि आकर्षक बाहरी रूप भी शामिल हो सकता है
- रंग
- छोटे icons
- कुल मिलाकर अधिक पढ़ने-योग्य visual structure
सार्वजनिक सामग्री का उद्देश्य
- Leinster आशा करते हैं कि सार्वजनिक किए गए notes, videos, problems लोगों को आनंद देंगे
1 टिप्पणियां
Hacker News की टिप्पणियां
मैं Electrical Engineering का छात्र था, लेकिन यूनिवर्सिटी में Galois theory पढ़ी थी, और संयोग से Edinburgh में यह कोर्स लिया था। चौथे साल में मैंने Advanced Mathematics को एक तरह की तपस्या की तरह चुना था; क्लास में बहुत कम लोग थे और Maths department से रोज़ आने वाला एक “असली mathematician” पढ़ाता था
मैंने maths की काफी पढ़ाई की थी, लेकिन शायद यही इकलौका मौका था जब किसी ऐसे व्यक्ति ने सीधे पढ़ाया जो नया maths बनाता था और papers लिखता था। उसने coding theory के applications को उदाहरण बनाकर Galois theory पढ़ाई, और सच कहूं तो मुझे लगता है यह जीवन का turning point था
regular heptagon का construction फिर कभी सोचने की ज़रूरत नहीं पड़ी, और duel और Montparnasse से भी निश्चित रूप से दूर रहा। मज़ाक अलग रखें तो ऐसा लगा जैसे दिमाग में bulb जल गया हो, और बाद में जब ECC या ZKP जानने का दिखावा करके smart दिखना चाहने वाले लोगों से मिला, तो career में इससे बहुत मदद मिली। यह उन लोगों के ठीक उलट था जो कहते हैं, “यूनिवर्सिटी में सीखी कोई चीज़ कभी काम नहीं आई”
Ian Stewart की किताब self-study के लिए बेहतरीन है, और इसमें दिलचस्प historical background भी है
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
इस साल के अंत में, शायद सर्दियों के आसपास, अगर progress अच्छी रही तो इसी किताब पर एक book club meetup शुरू करने की योजना है। अगर कोई ऐसी किताब साथ पढ़ना और अपनी progress share करना चाहता हो, तो मैं उसे IRC और Matrix के #bitwise channels में invite करना चाहूंगा। दोनों channels bridged हैं, इसलिए किसी भी तरफ से आ सकते हैं
इस channel में HN users और ##math, ##physics, #cs जैसे दूसरे channels के users हैं; यह पढ़ी जा रही maths और computation से जुड़ी किताबों की progress और content share करने की online जगह है
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
आज theory पढ़ाने का तरीका अक्सर mathematical thinking और notation के विकास से गुजरकर फिर से व्यवस्थित किया गया होता है, लेकिन उससे पहले के original papers पढ़ना भी बहुत रोचक था। उस उद्देश्य के लिए Peter Neumann की The mathematical writings of Evariste Galois की मैं जोरदार सिफारिश करता हूं (https://ems.press/books/hem/102). इसमें French original और literal English translation साथ-साथ हैं, और context तथा संभावित thought process समझाने वाली notes भी हैं। मैं French सीख रहा था, इसलिए French ज्यादा पढ़ने का मज़ा भी आया
अध्याय 1 शानदार है
मैं कई सालों से कह रहा/रही हूँ कि गणित की lectures में context की ज़्यादा ज़रूरत है। X, Y, Z सिद्ध किए जा सकते हैं और यह class वही सिखाती है, लेकिन जिस प्रेरक समस्या ने हमें X, Y, Z करने तक पहुँचाया, उसे बस चलते-चलते छू लिया जाता है
कुछ हल करने के बाद उसे अधिक सामान्य रूप में फिर से बनाया जा सकता है, और वह पुनर्निर्माण खुद एक object बन जाता है। इस तरह प्रगति आगे बढ़ना शानदार है, लेकिन शिक्षा के लिहाज़ से सिर्फ मंज़िल नहीं, यात्रा सिखाने पर बात लोगों के दिमाग़ में कहीं बेहतर बैठती है। Calculus I पढ़ाते समय अगर यह शामिल किया जाता कि Newton किस समस्या को हल करने की कोशिश कर रहे थे और क्यों, तो छात्रों की दिलचस्पी कहीं ज़्यादा बढ़ सकती थी। क्योंकि तब अनुसरण करने के लिए एक कहानी और सीखने की वजह मिलती है
अध्याय 1 लिखने वाले author को साधुवाद। बाकी भी शायद अच्छा होगा, लेकिन अभी मेरे पास सिर्फ अध्याय 1 सरसरी तौर पर देखने का समय था। मुझे लगता है यह बात सिर्फ गणित ही नहीं, लगभग हर subject पर लागू होती है
Undergraduate में मैं एक math tutoring center में काम करता/करती था/थी, जहाँ calculus की classes engineering·science के लिए और business·economics के लिए अलग-अलग थीं। अगर Newtonian mechanics दिलचस्प हो या major से जुड़ा हो तो यह approach बहुत अच्छा है, लेकिन biology या industrial engineering जैसे majors के छात्रों को textbook के physics applications की वजह से उलटा ज़्यादा मुश्किल होती थी—ऐसा मैंने अक्सर देखा
छात्र “calculus मुश्किल है” वाली एक समस्या लेकर आते थे, लेकिन अचानक calculus समझने के लिए physics भी समझनी पड़े—ऐसी दो समस्याएँ बन जाती थीं। कुछ छात्र differentiation और integration खुद अच्छे से कर लेते थे, पर physics problem मिलते ही अटक जाते थे। वास्तविक समस्याओं को math में बदलने की क्षमता महत्वपूर्ण है, लेकिन जिस specific field में रुचि न हो वह बीच में आ जाए तो वह और बड़ा अवरोध बन जाती है
Business students के साथ भी ऐसा ही था। Tutors में ज़्यादातर engineering background के थे, इसलिए ऐसे textbooks इस्तेमाल करने वाले business students की मदद करना कठिन होता था जिनमें basic finance knowledge चाहिए होने वाले examples भरे होते थे। Financial quantities अक्सर continuous नहीं बल्कि discrete होती हैं, जिससे tutors का confusion और बढ़ जाता था
अगर student की रुचि वाला application मिल सके तो बेशक वही approach इस्तेमाल करना चाहिए। लेकिन general-purpose textbook में किसी खास application का चुनाव उन कई छात्रों की learning में बाधा डालता है जिन्हें उसमें रुचि नहीं होती
अगर हम सीखें कि गणित समय के साथ कैसे विकसित हुआ और अतीत के लोगों ने महत्वपूर्ण समस्याएँ कैसे हल कीं, तो क्या आज दूसरी समस्याएँ हल करते समय मदद मिलेगी? कुछ साल पहले मैंने Mathematical Thought from Ancient to Modern Times का 3-volume set खरीदा था, लेकिन शुरुआती कुछ chapters से आगे बढ़ने का समय नहीं मिला। अगर ऐसे history of mathematics के बड़े works की recommendations हों तो मेरी रुचि है
अजीब बात है कि David Foster Wallace की Everything and More पढ़ने के बाद यह बहुत बेहतर समझ में आया। क्योंकि उसमें बताया गया था कि Cauchy आदि ने समस्याओं को rigorous बनाने से पहले mathematicians किन paradoxes और dead ends से टकराए थे। Wallace एक postmodern novelist थे, उन्होंने infinity को इतना स्पष्ट कैसे समझाया यह मुझे नहीं पता। उनके दूसरे works मुझे पसंद नहीं आए
Programmer के दिमाग़ से देखें तो चाहे t^3 = 2 हल करना हो या t^100 + t + 1 = 7 को numerically हल करना हो, दोनों के लिए Newton method जैसी iterative methods ही लगेंगी। “n-th root button है” कोई argument नहीं है। और अधिक general Newton button भी रखा जा सकता था
दोनों fundamentally अलग नहीं दिखते। radicals से solve कर पाना क्यों महत्वपूर्ण है? यह उतना ही arbitrary लगता है जितना यह पूछना कि क्या number 2 इस्तेमाल किए बिना solve किया जा सकता है। मुझे iterative methods, Newton method, quadratic convergence जैसी दूसरे अर्थों वाली solvability में शायद ज़्यादा रुचि होगी
मैंने कुछ अन्य schools के students से भी बात की थी और उनका अनुभव भी मिलता-जुलता था। उस समय यह किसी को पसंद नहीं था। मेरे professor ने कम-से-कम दो lecture hours सिर्फ board पर history लिखने में लगाए और हम काफी bore हुए। हालांकि हम math graduate students थे, इसलिए motivation की ज़रूरत नहीं थी
मेरे हिसाब से Galois theory theoretical mathematics की ऐसी व्याख्या और शिखर है जिसकी motivation और content पर math पसंद न करने वाले लोगों के साथ dinner table पर भी बात की जा सकती है
Quadratic equation के formula से शुरू करें तो लगभग सभी को कुछ न कुछ याद रहता है। Polynomials में x solve करने की बात करें, और फिर इस पर आएँ कि क्या हमेशा x solve किया जा सकता है, और उसका मतलब क्या है। Polynomial को graph करें तो वह x-axis को पार करता है, इसलिए solution है; लेकिन क्या इसका मतलब है कि coefficients से बना formula भी मिलेगा? यह algebra के fundamental theorem की ओर इशारा करता है कि हर n-degree polynomial के complex numbers में n solutions होते हैं
Radicals से solve करने और इस बात के बीच संबंध समझाना थोड़ा कठिन है कि इसका मतलब polynomial coefficients से x का formula होना है
निष्कर्ष यह है कि general degree 5 या उससे ऊपर के polynomials के लिए x का ऐसा formula नहीं है जो coefficients से व्यक्त हो और सिर्फ चार basic arithmetic operations तथा radical extraction तक का उपयोग करे। Galois theory इसे सिद्ध करती है
Galois को इसका श्रेय इसलिए मिलता है कि “formula नहीं है” को कैसे formalize और prove किया जाए, यह सोचने के लिए भारी कल्पनाशक्ति चाहिए थी। Formula नहीं होने का मतलब क्या है, और उसे ठीक से कैसे स्थापित और सिद्ध किया जाए—यही मुख्य बात है
Galois theory कहीं ज़्यादा insight देती है, और यह समझने देती है कि कुछ quintic equations radicals से क्यों solve होती हैं वगैरह। लेकिन Galois को quintic formula की अनुपस्थिति के proof का श्रेय नहीं मिलना चाहिए। कम-से-कम वे पहले नहीं थे
University की abstract algebra class में Galois theory हमेशा अंत वाले climax की तरह याद आती है। Galois असाधारण mathematical mind थे, और अगर 20 साल की उम्र में duel में उनकी मौत न हुई होती तो वे और क्या योगदान देते—यह सोचकर जिज्ञासा होती है
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
कुछ साल पहले मैंने Charles C. Pinter की A Book of Abstract Algebra के साथ एक स्टडी ग्रुप लीड किया था। अंत में यह Galois theory तक पहुँची, और गणित के स्टडी ग्रुप में मैंने जिन किताबों का इस्तेमाल किया है, उनमें यह सबसे अच्छी में से एक थी
किताब के पीछे वाले हिस्से में Galois से संबंधित भाग भी याद है। polynomial equations के roots हल करने के इतिहास, खासकर arbitrary degree equations को हल करने के इतिहास पर एक दिलचस्प हिस्सा भी था
गणित major न होने के नाते, मैं सोच रहा हूँ कि यह Simple Wikipedia लेख मोटे तौर पर सही है या नहीं। एक विनम्र engineer के रूप में, math course lists में Galois theory हमेशा देखता था और सोचता था कि यह क्या है
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois की खोजी हुई चमकदार insight fields और groups के बीच मूलभूत connection थी, लेकिन वह समस्या हल करने की “technique” के ज्यादा करीब है। “आखिर यह क्यों करना है” थोड़ा ज्यादा जटिल है, लेकिन सरल शब्दों में कहें तो Galois यह तय करने की कसौटी बनाना चाहता था कि कोई polynomial किस field में solvable है या नहीं
उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि x^2 = -1 complex numbers C में x = i के रूप में हल हो जाता है, लेकिन real numbers में हल नहीं होता। सवाल यह है कि क्या इस तरह के proof को arbitrary fields और arbitrary polynomials के लिए mechanical तरीके से चलाने लायक generalize किया जा सकता है
मैंने Galois theory तक ले जाने वाले सवालों को ज्यादा practical programmers और engineers के लिए accessible बनाने की कोशिश https://news.ycombinator.com/item?id=41258726 में की थी
algebra के दूसरे semester में Galois theory का एक unit था, लेकिन उस समय यह abstract nonsense जैसा लगा और मैं समझ नहीं पाया। अब मेरा नज़रिया बदला है या नहीं, यह देखने के लिए इस material को follow करना चाहता हूँ
Galois theory की मुख्य motivation quintic equation के general solution की असंभवता साबित करना थी। quadratic equation ax^2 + bx + c = 0 को हल करने का general formula हजारों साल से जाना जाता था, और mathematicians ने मेहनत करके cubic और quartic polynomials के formulas भी ढूँढ लिए थे। लेकिन quintic का closed-form solution कोई नहीं ढूँढ पाया था
Galois और Abel ने अंततः साबित किया कि quintic formula मौजूद नहीं है। कम से कम addition, subtraction, multiplication, division, powers और radicals से तो उसे व्यक्त नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए x^5 - x + 1 जैसी concrete equations भी पहचानी जा सकती हैं जिनके roots को उस रूप में express नहीं किया जा सकता
मैंने इस proof पर पूरी class ली थी और यह वास्तव में बहुत दिलचस्प था। यह groups और fields के बीच गहरा correspondence बनाता है, इतना कि groups के बारे में theory को fields के बारे में theory में, और उल्टा, ले जाया जा सकता है। यह symmetry का analysis करने के लिए भी बहुत powerful tool देता है
असली proof उल्टा इतना छोटा लगता है कि थोड़ी निराशा हो। polynomial equations के roots की structure पर गहरे proofs की बड़ी इमारत खड़ी करने के बाद, अंत में आप देखते हैं कि x^5 - x + 1 जैसे किसी specific quintic polynomial की symmetry structure basic mathematical operations की symmetry से match नहीं करती। शब्दशः, उस polynomial के solutions का field किसी solvable group से correspond नहीं करता: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
लगभग इसी flow से, compass और straightedge से angle को trisect करना असंभव है यह भी साबित होता है। यह समस्या हजारों साल तक mathematicians को परेशान करती रही थी। थोड़ा निराशाजनक रूप से, पूरा semester groups, fields और field extensions जैसे “abstract nonsense” define करने के बाद quintic के general solution की असंभवता का proof 10 मिनट लेता है, और angle trisection की असंभवता का proof भी वैसा ही है
Galois theory के compilers और programming से जुड़ने वाले कुछ दिलचस्प बिंदु हैं
Abstract interpretation संभावित रूप से अनंत program behaviors के set को एक सरल, अक्सर finite, soundly approximated और reasoning में आसान model में map करता है। यहाँ Galois connection का उपयोग होता है, और इसकी तुलना Galois theory से की जा सकती है जो infinite fields और finite groups को जोड़ती है। value numbering पर काम करते समय मैं अक्सर इस तरह सोचता हूँ
एक और, शायद थोड़ी खिंची हुई analogy यह है कि integers जैसे computational domain में error values जैसी extra values जोड़ना एक तरह के field extension की तरह सोचना भी दिलचस्प है। field extensions की तरह, कभी-कभी unexpected complexity पैदा होती है। उदाहरण के लिए unique factorization का खोना, LLVM के poison और undef, और NaN जैसी चीजें
मूल रूप से, यह program में reachable states के set का sound approximation करने देता है, जिससे यह जांचा जा सकता है कि bad states तक पहुँचना असंभव है या नहीं, या कौन-सी checks बेकार हैं और हटाई जा सकती हैं। एक और application Rust का नया borrow checker है, जो कई data-flow passes पर आधारित है जो हर program point पर यह तय करते हैं कि कौन-से variables live हैं और borrowed हैं
“i और -i में फर्क करने का कोई तरीका नहीं है” वाली बात के संदर्भ में, मुझे अब भी समझ नहीं आता कि शुद्ध रूप से algebraic तरीके से left-handed coordinate system और right-handed coordinate system को कैसे अलग किया जाए
basis [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] left-handed है या right-handed? चित्र के बिना पता नहीं चलता। जानना चाहता हूँ कि क्या किसी को पता है
“बायां” और “दायां” एक dipole हैं। एक दूसरे के बिना मौजूद नहीं हो सकता और दोनों परस्पर सममित हैं। यह वही समस्या है जैसी Galois theory में चर्चा होने वाले conjugates की है
दरअसल algebraic, यानी order·arithmetic·analysis से अलग दृष्टिकोण से देखें तो sqrt2 या i जैसे field extensions के conjugates को + और - से दिखाना अपने-आप में भ्रम पैदा कर सकता है। ऐसे conjugate pairs के लिए + और - से बेहतर नाम Left और Right हैं। जब arithmetic order दिया जाता है तभी + और - का उपयोग अर्थपूर्ण हो जाता है। उदाहरण के लिए जब x positive real number हो, तब -sqrt(x) < 0 < +sqrt(x) कहा जा सकता है
अगर x negative real number हो, तो - की समस्या तुरंत सामने आ जाती है। -i और i को 0 के प्रति order से अलग नहीं किया जा सकता
complex numbers मूल रूप से 2-dimensional space की theory हैं। सवाल 3-dimensional space के बारे में है। उद्धृत वाक्य सैद्धांतिक रूप से ऊपर और नीचे में फर्क नहीं किया जा सकता, यह बताता है
हर 3-dimensional space के भीतर 2-dimensional space होता है। इसे देखने के कई तरीके हैं, लेकिन सबसे आसान है z-coordinate को छोड़ देना
मान लें कि 3-dimensional space में left-handed और right-handed को अलग किया जा सकता है, तो उसके अंदर मौजूद 2-dimensional space में ऊपर और नीचे को अलग करने का तरीका मिल जाएगा। लेकिन 2-dimensional space में यह अंतर नहीं किया जा सकता, इसलिए 3-dimensional में भी left-handed और right-handed को अलग नहीं किया जा सकता