J. Kenji López-Alt की प्याज़ समस्या का समाधान (2021)

 (medium.com/@drspoulsen)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-11-27 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • प्याज़ को एकसमान आकार में काटने की radial cutting समस्या को गणितीय रूप से मॉडल करने पर यह निकला कि चाकू की नोक को golden ratio के reciprocal 0.61803398875… पर नहीं, बल्कि radius के 55.73066% नीचे की ओर रखना चाहिए
  • मॉडल में प्याज़ को radius 1 की अर्धवृत्ताकार disk मानकर सरल बनाया गया, और परतों व कटों की संख्या को अनंत मान लिया गया ताकि इसे continuous mathematics और multivariable calculus से हल किया जा सके
  • गणना का मुख्य बिंदु coordinate transformation के Jacobian का उपयोग करके सूक्ष्म टुकड़ों का सापेक्ष क्षेत्रफल निकालना है, और फिर उस क्षेत्रफल के variance को सबसे कम करने वाली गहराई h खोजी जाती है
  • Mathematica की numerical integration और numerical minimization लागू करने पर न्यूनतम variance h ≈ 0.55 के आसपास मिलता है, और “true onion constant” 0.5573066… बनता है
  • यह मान अनंत परतों वाले आदर्शीकृत प्याज़ के लिए है; वास्तविक सीमित परतों वाले प्याज़ में optimal depth अलग हो सकती है

60% नीचे की ओर काटने की सलाह से शुरू हुई समस्या

  • Chef Kenji López-Alt के YouTube वीडियो में बताया गया कि उनके एक गणितज्ञ मित्र ने प्याज़ काटते समय केंद्र से नीचे, radius के 60% बिंदु की ओर radial cut लगाने की सलाह दी थी
  • उस मान को golden ratio के reciprocal 0.61803398875… से जुड़ा बताया गया
  • इसके बाद असली प्याज़ को उसी तरह काटते हुए यह सवाल उठा कि ऐसा मान गणितीय रूप से क्यों आता है
  • दो महीने तक कोई बड़ी प्रगति नहीं हुई, फिर दो दिनों की गणना के बाद वह मान मिला जिसे “true onion constant” कहा गया

गणना योग्य प्याज़ मॉडल

  • प्याज़ को केंद्र मूलबिंदु पर और ऊपरी अर्ध-समतल में स्थित radius 1 की अर्धवृत्ताकार disk के रूप में सरल बनाया गया
    • प्याज़ की वास्तविक 3D संरचना और cross-section का आकार इसमें शामिल नहीं है
    • यह सरलीकरण समस्या को संभालने योग्य बनाने वाला एक approximation है
  • क्योंकि परतों की संख्या समाधान को प्रभावित करती है, इसलिए अनंत परतों वाला प्याज़ माना गया
    • यदि प्याज़ में सिर्फ एक परत हो, तो केंद्र की ओर काटना सबसे अच्छा है
    • यदि उसमें दस परतें हों, तो केंद्र से नीचे की ओर काटना चाहिए
    • जब परतें अनंत मानते हैं, तो अनंत कटों को साथ में मानना भी स्वाभाविक हो जाता है
  • इस मान्यता की वजह से समस्या continuous mathematics के दायरे में चली जाती है और calculus लागू किया जा सकता है

Jacobian से टुकड़ों की एकरूपता मापना

  • सामान्य polar coordinate transformation में छोटा क्षेत्रफल dx dy, r dr dθ में बदलता है, और यहाँ r Jacobian की भूमिका निभाता है
  • इस मान का उपयोग यह तुलना करने के लिए होता है कि प्याज़ के सूक्ष्म टुकड़े एक-दूसरे की तुलना में कितने बड़े हैं
    • केंद्र के पास के टुकड़ों में r छोटा होने से वे छोटे होते हैं
    • किनारे के पास के टुकड़ों में r बड़ा होने से वे बड़े होते हैं
  • टुकड़ों की एकरूपता को सूक्ष्म क्षेत्रफल-weights के variance से मापा गया
    • variance बड़ा हो तो टुकड़े कम एकसमान हैं
    • variance छोटा हो तो टुकड़े अधिक एकसमान हैं
  • पहले केंद्र की ओर काटने की स्थिति में औसत क्षेत्रफल-weight और variance निकाला गया, फिर केंद्र के नीचे के बिंदु की ओर काटने के लिए नई coordinate system लाई गई

केंद्र के नीचे एक बिंदु की ओर जाने वाली coordinate system

  • कट जिस बिंदु की ओर जाता है, उसे मूलबिंदु के नीचे (0, -h) माना गया, और h > 0 वाली coordinate system बनाई गई
  • इस coordinate system में कोण θ को (0, -h) से मापा जाता है, जबकि radius r को मूलबिंदु (0, 0) से मापा जाता है
    • radial हिस्सा मूलबिंदु के आधार पर प्याज़ की परतों को मॉडल करता है
    • कोण की दिशा यह मॉडल करती है कि चाकू (0, -h) की ओर सीधी रेखा में प्रवेश करता है
  • यह coordinate system केवल ऊपरी अर्ध-समतल में बिना समस्या के काम करती है, और क्योंकि मॉडल प्याज़ पूरा का पूरा ऊपरी अर्ध-समतल में है, इसलिए इसका उपयोग किया जा सकता है
  • symmetry का उपयोग करने पर केवल दायाँ आधा हिस्सा विश्लेषण करना पर्याप्त है
    • क्षेत्र 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h) है
    • radius की सीमा h tan(θ) ≤ r ≤ 1 है
  • cosine law से (x, y) और (r, θ) के संबंध निकाले गए और दी गई depth h के लिए Jacobian की गणना की गई
  • इसी Jacobian के आधार पर औसत क्षेत्रफल-weight A(h) और variance v(h) परिभाषित किए गए

गणना का परिणाम: true onion constant

  • v(h) को हाथ से integrate करना बहुत कठिन या लगभग असंभव लगा, इसलिए Mathematica की numerical integration का उपयोग किया गया
  • h के सापेक्ष variance का ग्राफ बनाने पर न्यूनतम मान h = .55 के आसपास दिखाई देता है
  • numerical minimization के परिणाम के अनुसार, अनंत परतों वाले आदर्शीकृत प्याज़ का “true onion constant” 0.5573066… है
  • सबसे एकसमान radial cutting के लिए चाकू को प्याज़ के केंद्र से नीचे, radius के 55.73066% बिंदु की ओर जाना चाहिए
  • यह मान वीडियो में बताए गए 61.803% के करीब है, लेकिन वही नहीं है
  • वास्तविक प्याज़ की तरह सीमित परतों के मामले में यह मान बदल सकता है
    • एक परत में optimal depth 0 है
    • अनंत परतों में 0.5573066…
    • दस परतों वाले प्याज़ की optimal depth 0 और 0.5573066… के बीच होने की उम्मीद है, लेकिन इसकी गहराई से जाँच नहीं की गई

बाद का अपडेट: closed form और नाम

  • बाद में v(h) को closed form में निकाला जा सका
  • calculus में किसी function को minimize करने के लिए उसकी derivative को 0 के बराबर रखा जाता है, इसलिए v'(h) की गणना की गई
  • interval (0, 1) में उस derivative का एकमात्र root ही onion constant है
    • यही बिंदु v(h) का critical point है
    • v'(h) का sign negative से positive में बदलता है, इसलिए यह minimum point है
  • इस तरीके से onion constant को मनचाही precision तक निकाला जा सकता है, और इसमें 1000 अंकों तक का decimal expansion शामिल है
  • इस mathematical constant के लिए Hebrew अक्षर samekh चुना गया
    • इसे चुनने का कारण यह था कि वह अक्षर प्याज़ जैसा दिखता है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-11-27
Hacker News की राय

  • मैं ब्लॉग पोस्ट का लेखक हूँ। इस लेख में दिलचस्पी देखकर अच्छा लगा, और समस्या की सेटिंग, गणितीय सामग्री, और 3D प्याज़ तक कवर करने वाली स्लाइड्स यहाँ डाल दी हैं: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
    समस्या और समाधान के विवरण समेटकर एक औपचारिक पांडुलिपि भी recreational mathematics जर्नल में जमा की है, और सवालों के जवाब देने में खुशी होगी

    • समाधान ऐसा मानता हुआ लगता है कि चाकू के सभी कट एक ही बिंदु की ओर होने चाहिए। मुझे लगता है कि अधिक optimal समाधान में बाहर की ओर जाते हुए कट के लक्ष्य की गहराई h बढ़ाना शामिल हो सकता है; सोच रहा हूँ कि क्या मैंने ऐसा न होने की वजह मिस कर दी है
    • यह समतल में वृत्त, या ज्यादा सटीक कहें तो समतल में अर्धवृत्त, को हल करने का तरीका है, लेकिन dimension reduction से जुड़ी एक बात लंबे समय से परेशान करती रही है
      वृत्त को polar coordinates में 3-degree arc के 120 बराबर हिस्सों जैसे समान arcs में आसानी से बाँटा जा सकता है, लेकिन spherical coordinates में sphere की सतह पर यही काम करना बेहद खराब होता है, और मेरी समझ है कि sphere की सतह को एक ही समान आकृति से tile करने जैसा समान प्रभाव संभव नहीं है
      नक्शे पर ऐसा coordinate system सोचते हुए यह समस्या याद आई जिसमें हर “square” sphere पर distortion होने के बावजूद एक-दूसरे के बराबर क्षेत्र बने, और यह भी लगता है कि प्याज़ समस्या का 2D analogue मूल 3D सवाल का कितना जवाब देता है, इससे यह संबंधित है
    • अगर ऐसा model उल्टा बनाना संभव हो जिससे सही जवाब 1/φ निकले, तो दिलचस्प होगा। प्याज़ पर कोई non-uniform measure रखने से शायद यह संभव हो, और प्याज़ को hemisphere मानने पर क्या होगा यह भी जानना चाहूँगा। वैसे cooking में असल में thickness ही मुख्य तौर पर मायने रखती है

  • प्याज़ के आधे हिस्से को “radius 1 वाली disk का आधा” मानकर model करने की वजह समझना चाहूँगा। प्याज़ का आधा हिस्सा hemisphere के ज्यादा करीब होता है, तो समाधान वही होने की उम्मीद क्यों करनी चाहिए, समझ नहीं आ रहा
    प्याज़ के दोनों सिरों, यानी चाकू की एड़ी और नोक के पास वाले बाहरी cross-section को सोचें तो सिरों की ओर जाते हुए आप ज्यादा vertical काटते हैं। बाहरी हिस्सा जितना vertical कटता है, बीच वाले cross-section को शायद थोड़ा और shallow काटना चाहिए, इसलिए इसे असली onion constant कहना शायद गलत है

    • समाधान लेख के बाद वाले हिस्से में आता है। मुख्य insight Jacobian से आती है, और यह uniform half-disk नहीं बल्कि ऐसी संरचना है जिसमें Y-axis से जितना दूर जाएँ, उतना ज्यादा weight लगता है
      इसे ऐसे सोचें जैसे पेंट की हुई आकृति से बराबर मात्रा में ink इकट्ठा करनी हो। uniform disk के विपरीत, लेख की weighted disk ऊपर-नीचे ज्यादा गहरी और बीच में ज्यादा हल्की है, और असल में ASCII चित्र जैसी पट्टियाँ नहीं बल्कि shading धीरे-धीरे बदलती है
    • यह बात भी अनदेखी की गई है कि प्याज़ की परतें केंद्र से दूर जाते हुए बहुत ज्यादा पतली हो जाती हैं। इसलिए पूरी तरह symmetric प्याज़ भी हो, तो भी यह analysis काफी भटकता हुआ लगता है
    • प्याज़ पूरी तरह symmetric न भी हो, तब भी उसे बीच से गुजरने वाली किसी axis या line से optimally बढ़ता या radial रूप में फैलता हुआ माना जा सकता है। sphere में toothpick घुसाकर उसे axis मानें और उस axis के perpendicular काटें, तो sphere में circles मिलते हैं, और आधे प्याज़ के लिए half-disks मिलती हैं
      निजी तौर पर मैं आलसी हूँ, इसलिए आधे प्याज़ को axis के perpendicular काटता हूँ, और uniformity के लिए radial cuts तक नहीं करता
    • एक पल के लिए लगा कि “onion problem” topology या group theory की कोई कठिन समस्या है, फिर याद आया कि Kenji Lopez-Alt गणितज्ञ नहीं बल्कि chef हैं, और बात समझ आ गई
    • मुझे भी ऐसी ही चिंता है। प्याज़ उभरे हुए cylinder जैसा लगता है, जिसमें layers की thickness बीच की तरफ ज्यादा केंद्रित होती है, और हर layer जड़ से डंठल तक जाती है

  • इसके उलट, food YouTuber Adam Ragusea जोर देकर कहते हैं कि heterogeneity महत्वपूर्ण है। uniformity को optimize करना जरूरी नहीं कि सबसे अच्छी strategy हो
    https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

    • Ragusea की तरह मुझे हर bite में थोड़ा नया और अलग होना पसंद है
      Caesar salad tip के तौर पर, पैक्ड croutons का bag table पर सपाट रखकर pan के bottom से बार-बार crush करें, तो अलग-अलग size के crouton pieces, कंकड़ जैसे crumbs और powder का मिश्रण बनता है। एक high-end restaurant में ऐसे खाने के बाद से मैं लगातार ऐसा ही बनाता हूँ
    • Adam ने असल में अलग समस्या हल की है। Kenji का point ऐसा सरल नियम देना है जिसे कोई भी याद रखकर follow कर सके, और precision की चिंता किए बिना अच्छी chopping कर सके
      यह rule अधिकांश recipes में अपेक्षित प्याज़ जैसी ingredients की uniformity के काफी करीब पहुँचा देता है, और Ragusea भी संभवतः उस problem setting के solution के रूप में इससे सहमत होंगे
    • मैंने पढ़ा है कि classically trained chefs knife cuts की consistency को महत्वपूर्ण मानते हैं। Adam Ragusea असली professional kitchen से मेल न खाने वाले niche और अजीब तरीके काफी इस्तेमाल करते हैं, और जैसे Bill Nye science advocate हैं, वैसे वे cooking advocate के ज्यादा करीब हैं, professional chef नहीं
    • उस video में दिया गया logic खारिज करना मुश्किल तो है
    • सही और गलत तरीका कोई खास नहीं है। किसी भी extreme पर बहुत झुकें तो खाना boring हो सकता है या finish खराब हो सकती है
      हालांकि Ragusea के काफी viewpoints समय के साथ उतने अच्छे से टिके नहीं, और कुछ बातों को वे खुद भी मान चुके हैं

  • Marco Pierre-White प्याज़ को grater पर grate करने की सलाह देते हैं, जिससे पूरी समस्या को चालाकी से avoid कर लिया जाता है
    यानी कहें तो Gordian knot को grate कर देना
    https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

    • Tomato sauce के लिए grate करना समझ आता है, लेकिन इसे basic onion prep method नहीं बनाना चाहूँगा
    • यह MPW का तरीका है: https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
      “Perfection is lots of little things done well”
    • समस्या से बच तो जाते हैं, बस उस आखिरी टुकड़े को छोड़कर जिसे उंगलियों को जोखिम में डाले बिना grate नहीं किया जा सकता
      Garlic के लिए कई recipes में मुझे crush करना बेहतर लगता है। इससे ज्यादा rough contours बनते हैं, यह खाने में बेहतर mix होता है, और sauté करते समय भी crispy अच्छी तरह होता है
    • उस स्तर पर तो बस food processor में ही grind कर लें, ऐसा लगता है
    • “आप प्याज़ grate कर सकते हैं, या नहीं भी कर सकते। असल में choice आपकी है”

  • जिज्ञासा है कि समस्या को कहीं लिखकर समझाया गया है या नहीं। मूल बात वीडियो पर छोड़ दी गई है, और लेख में लगता है कि सिर्फ दूसरे वीडियो में सुझाए गए समाधान और नए समाधान पर चर्चा है, इसलिए समझ नहीं आता कि असल में हल क्या किया जा रहा है

    • समस्या यह है कि प्याज़ को इस तरह काटा जाए कि कटे हुए टुकड़ों के आकार और शेप में अंतर कम से कम हो। आम तौर पर मकसद यह होता है कि टुकड़े समान रूप से पकें
    • यह समस्या है कि प्याज़ के आधे हिस्से को काटकर टुकड़ों के वॉल्यूम variance को न्यूनतम किया जाए। बाद में इसे प्याज़ के सबसे चौड़े हिस्से पर cross-sectional area के variance को न्यूनतम करने वाली cutting problem में सरल कर दिया जाता है
    • समस्या यह है: “अगर कोई प्याज़ गोलाकार हो और उसकी layers समान हों, तो उसे समान वॉल्यूम के टुकड़ों में कैसे काटा जाए।” यह व्यावहारिक gourmet समस्या से ज़्यादा geometry thought experiment जैसी है
    • लेख में इसे बहुत अच्छी तरह लिखकर नहीं समझाया गया है। बस “टुकड़ों को जितना संभव हो उतना समान बनाए रखना”, “Jacobian r dr dθ अति-सूक्ष्म टुकड़ों के सापेक्ष आकार को मापता है”, “variance टुकड़ों की uniformity को अच्छी तरह दिखाता है” जैसी बिखरी हुई बातें हैं
    • यह प्याज़ को लगभग समान आकार के टुकड़ों में काटने के तरीके से जुड़ी समस्या है। अगर केंद्र की ओर काटेंगे, तो अंदर के टुकड़े बाहरी टुकड़ों की तुलना में बहुत छोटे हो जाते हैं

  • यह हैरानी की बात है कि Kenji अब भी horizontal cuts लगाते हैं। angled vertical cuts करने पर horizontal cuts पूरी तरह गैर-ज़रूरी लगते हैं
    कुछ साल पहले प्याज़ में horizontal cuts लगाते समय मेरी त्वचा flap avulsion जैसी फट गई थी

    • इससे भी अजीब बात यह है कि vertical cuts लगाने के बाद horizontal cuts लगाए जाते हैं। असल में प्याज़ काटने वाले ज़्यादातर शेफ ऐसा ही करते हैं, लेकिन यह मुझे बिल्कुल उल्टा लगता है
      साबुत आधे प्याज़ में horizontal cuts सुरक्षित और आसान तरीके से लगाए जा सकते हैं, लेकिन vertical cuts पहले ही लगा देने के बाद यह कहीं ज़्यादा मुश्किल हो जाता है
    • अगर horizontal cuts को नीचे की ओर झुकाकर लगाया जाए, तो इस समस्या से निपटना आसान होता है। वैसे भी horizontal cuts मुख्यतः प्याज़ के निचले साइड पर ही चाहिए होते हैं
    • Kenji समझाते हुए कहते हैं कि असल में वे angled cuts नहीं करते, लेकिन यह एक दिलचस्प गणितीय समस्या थी
    • cut-resistant gloves में निवेश करना अच्छा रहेगा। कुछ डॉलर में आप बहुत सा खोने वाला समय बचा सकते हैं, और इन्हें mandoline के साथ भी इस्तेमाल कर सकते हैं
      हालांकि पहले उंगलियों वाले हिस्से में hot dog डालकर टेस्ट कर लेना बेहतर हो सकता है

  • हैरान करने वाला था, और integral का closed-form solution होना सच में अच्छा लगा। बहुत जिज्ञासा है कि discrete case में यह कैसा दिखेगा, और simulation के रूप में इसे code करना भी काफी आसान लगता है

  • Chef Jean-Pierre का तरीका बेहतर है। चीज़ों को सरल रखता है, और यह भी दिखाता है कि horizontal cuts बहुत मायने क्यों नहीं रखते
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

    • सही है। मैं 15 साल से वही तरीका इस्तेमाल कर रहा हूं और कोई पछतावा नहीं। हैरानी है कि वे अब भी वीडियो बना रहे हैं

  • high-end cuisine में सचमुच perfect dice shape जैसी अवधारणा भी होती है। इसमें प्याज़ की पूरी layer अलग कर उसे दबाकर sheet जैसा बनाया जाता है, फिर rectangle को grid में काटकर dice किया जाता है