इमोजी समस्या (2022)

• इंटरनेट पर मशहूर हुई इमोजी गणित समस्या की खासियत यह है कि उसमें मौजूद ट्रिक तत्वों की वजह से कई अलग-अलग उत्तर निकलते हैं
• गणित समुदाय में ऐसे सवालों के विकल्प के रूप में सचमुच कठिन समस्या बनाने की कोशिश हुई
• इस पोस्ट में Pythagorean triples खोजने की विधि और उससे जुड़ी तकनीक (रेखा खींचना) समझाई गई है
• कठिन इमोजी समस्या का केंद्र elliptic curves और rational solutions के विश्लेषण में है
• गणितीय टूल्स और Mathematica की मदद से हल खोजने की रणनीति पर ज़ोर दिया गया है

---

इमोजी गणित समस्या की पृष्ठभूमि और शुरुआत

इंटरनेट पर इमोजी (या फलों की तस्वीरों आदि) से व्यक्त की गई गणित समस्याएँ फैल गईं। इन समस्याओं में भ्रम पैदा करने वाले तत्व (जैसे केले की संख्या में सूक्ष्म अंतर) होने के कारण एक ही प्रश्न के कई उत्तर सामने आते थे, जिससे बहस और वायरल असर पैदा होता था। वास्तविक गणितज्ञों और गणित समुदाय को इस तरह के सवालों से ऊब होने लगी, और 2017 में reddit के r/math पर “आओ सचमुच कठिन चित्र-आधारित गणित समस्या बनाएं” जैसा एक थ्रेड सामने आया। वहाँ प्रस्तुत की गई समस्या, पहले की समस्याओं से अलग, पूर्णांक हल ढूँढने के लिहाज से अपेक्षाकृत आसान थी, लेकिन Sridhar Ramesh नामक व्यक्ति ने उसे थोड़ा बदलकर बेहद कठिन बना दिया। बदली हुई समस्या का सबसे छोटा हल भी 80 से अधिक अंकों वाला निकला, और इसे हल करने के लिए elliptic curves से जुड़ा उन्नत ज्ञान आवश्यक माना गया।

Pythagorean triples निकालने का एक सहज उदाहरण

पहले एक आसान समस्या के रूप में Pythagorean triples की पूर्ण विधि पर चर्चा की गई। x² + y² = z² को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक हल (Diophantine equation) सीधे खोजने के बजाय, x₁² + y₁² = 1 में rational solutions (भिन्न रूपी हल) ढूँढने का तरीका अपनाया जाता है।

• यहाँ x₁ = x/z, y₁ = y/z रखने पर समस्या unit circle पर मौजूद सभी rational points खोजने में बदल जाती है
• इसके लिए (0,1) जैसे प्रारंभिक बिंदु से rational slope वाली एक रेखा खींचने की कल्पना की जाती है
• उस रेखा और वृत्त का दूसरा प्रतिछेद बिंदु हमेशा एक rational point होता है
• इसे Vieta के सूत्र आदि से सत्यापित किया जा सकता है, और slope को स्थिर रखकर सभी rational points तक पहुँचा जा सकता है
• इसे समेटने पर, Pythagorean triples को (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) के रूप में वर्णित किया जा सकता है (धनात्मक पूर्णांकों m, n के लिए)
• मूल विचार है: “रेखा खींचो, नया बिंदु मिलता है”

मूल इमोजी समस्या: कठिन समीकरण को elliptic curve में बदलना

समस्या का मुख्य सूत्र x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 से शुरू होता है। इसे व्यवस्थित करने पर x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz का रूप मिलता है।

• x₁ = x/z, y₁ = y/z रखने और पूरे समीकरण को z³ से भाग देने पर विश्लेषण rational solutions के रूप में आगे बढ़ता है
• प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त समीकरण है x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁
• इसे ग्राफ़ करने पर यह समीकरण सममित दिखता है, और निर्देशांक अक्षों को उपयुक्त रूप से घुमाकर तथा पुनः-प्रतिस्थापित (x₂, y₂) करके इसे और सरल रूप में बदला जाता है
• अंततः elliptic curve के रूप में यह समीकरण प्राप्त होता है: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0

elliptic curve पर rational points बनाने का सिद्धांत

elliptic curve पर दो rational points (P, Q) चुनकर, उन दोनों को जोड़ने वाली सीधी रेखा खींची जाती है, और फिर उस रेखा तथा curve के तीसरे प्रतिछेद बिंदु R को खोजने की प्रक्रिया समझाई गई है।

• तीनों बिंदुओं (P, Q, R) के rational coordinates होते हैं
• Vieta के सूत्र, रेखा की slope, और बीजगणितीय रूपांतरण की मदद से एक संगत समीकरण में तीसरे प्रतिछेद बिंदु की गणना की जा सकती है
• जब वही बिंदु लिया जाए (P=Q), तब खींची गई रेखा स्पर्शरेखा बन जाती है, और इस स्थिति में भी वही सिद्धांत लागू होता है
• यहाँ सबसे महत्वपूर्ण बात है: “दो rational points को जोड़ो, तो एक और rational point मिलता है”

rational points की ‘वृद्धि’ की सीमा और infinite order point की खोज

elliptic curve पर आसानी से मिलने वाले स्पष्ट rational points ((0,1), (-1,0), (0,-1) आदि) समाधान की दृष्टि से अर्थहीन परिणामों तक ले जाते हैं।

• केवल इन बिंदुओं से आगे नए rational points नहीं बनते, बल्कि सिर्फ torsion points (finite order points) ही दोहराते रहते हैं
• इसलिए किसी अज्ञात infinite order बिंदु की ज़रूरत होती है, जो अनंत संख्या में हल दे सके
• Mathematica जैसे कंप्यूटर आधारित गणना टूल्स की मदद से एक नया rational point मिला, उदाहरण के लिए (-2, 1/5) के रूप में (इसे A नाम दिया गया)
• इस बिंदु का उपयोग करके, स्पर्शरेखा या अन्य बिंदुओं के साथ रेखाएँ खींचकर लगातार नए और अधिक जटिल rational solutions उत्पन्न किए जा सकते हैं

वास्तविक धनात्मक हल मिलने की शर्तें और आवर्ती गणना

इस समस्या का हल तभी सार्थक है जब सभी x, y, z धनात्मक हों। समीकरण के विस्तार में, z > 0 मानने पर x₁ > 0, y₁ > 0 आवश्यक हैं, और प्रतिस्थापित निर्देशांकों (x₂, y₂) के लिए x₂ > |y₂| होना चाहिए।

• इस शर्त को संतुष्ट करने वाले क्षेत्र (ग्राफ़ के एक विशेष हिस्से) को ‘लक्ष्य क्षेत्र’ मानकर, रेखा-आधारित ट्रिक को बार-बार लागू करते हुए उस क्षेत्र के rational solutions तक पहुँचा जाता है
• गणना की प्रक्रिया में वास्तविक rational point के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः जटिल बीजगणितीय अभिव्यक्तियों (L, T और Y functions) की मदद से निकाले जाते हैं
• इस तरह स्पर्शरेखा और रेखा की slope की गणना तथा उनके दोहराए गए प्रयोग के बाद, दर्जनों अंकों वाले बहुत बड़े हल प्राप्त होते हैं

निष्कर्ष

यह इमोजी गणित समस्या ऊपर से सरल दिखती है, लेकिन वास्तव में इसमें elliptic curves के गुणों और rational points बनाने के सिद्धांत का सक्रिय उपयोग करना पड़ता है, और कई बार हल का संख्यात्मक आकार घातीय रूप से बढ़ जाता है।

• “रेखा खींचकर नया बिंदु पाना” जैसी सरल संरचनात्मक अवधारणा को elliptic curves में बदले हुए रूप में लागू किया जाता है
• वास्तविक पूर्णांक या धनात्मक हल ढूँढने की प्रक्रिया काफ़ी जटिल है, और कंप्यूटर बीजगणितीय गणना आवश्यक हो जाती है
• पोस्ट के अगले भाग में इस प्रक्रिया का समापन, और अधिक गहरी गणितीय पृष्ठभूमि, तथा हल का विस्तृत विवरण दिया जाएगा

[GN⁺]

Hacker News राय

• एक बेहद शानदार Quora उत्तर के परिचय वाला लिंक साझा किया गया

  • वह Quora उत्तर Alon Amit ने लिखा है, और मूल लेख में भी Alon Amit के उल्लेखित हिस्सों के उद्धरण शामिल हैं

  • यही वह चीज़ है जो Quora के असली शिखर जैसा एहसास कराती है

• पहले बच्चों को गणित पढ़ाते समय सूत्रों या expressions को जानवर, बादल, तारे जैसे प्यारे और अपनत्व भरे शब्दों से बदलकर इस्तेमाल करने का अनुभव साझा किया गया; बच्चों को शुरुआत में यह झंझट लगा, लेकिन इसी वजह से उनकी अमूर्त अवधारणाओं में रुचि जगी, और बाद में उन्होंने दूसरे दोस्तों को पढ़ाते समय भी यही तरीका इस्तेमाल किया—ऐसी प्रतिक्रिया मिली; इस बात पर ज़ोर दिया गया कि x का खास होना ज़रूरी नहीं, “x की जगह सूरज या ‘बिल्ली संख्याओं का योग’ जैसा कोई भी नाम इस्तेमाल किया जा सकता है” यही संदेश था

  • ‘बिल्ली संख्याओं का योग’ जैसे नाम का ज़िक्र करते हुए, गणित की संस्कृति में फैली minimalism प्रवृत्ति का उल्लेख किया गया; सूत्रों में variable names अक्सर बहुत छोटे या अत्यधिक abstract होते हैं, इसलिए किसी सूत्र को पढ़ते समय “यहाँ अहम भूमिका निभाने वाला यह चिह्न आखिर है क्या? यह ‘φ’ किसने लिख दिया...” जैसी कठिनाई पैदा होती है; programmers के लिए variable names रखना कठिन होता है—इस मज़ाक से भी बढ़कर गणितज्ञों के बारे में मज़ाक किया गया; जबकि मानवता के पास हज़ारों वर्षों से भाषा और labels का उपयोग करने की क्षमता है, फिर भी बेवजह ‘rho’ जैसे कूटित प्रतीकों का इस्तेमाल अनावश्यक बताया गया; यह भी रेखांकित किया गया कि कम से कम गणितीय शोधपत्रों से निकले programs में variable names ऐसे होने चाहिए जो अर्थ को सहज रूप से व्यक्त करें

• OpenAI interface का उपयोग करके ChatGPT में समस्या की image upload करने की कोशिश का अनुभव साझा किया गया; शुरुआत में लगा था कि मॉडल या तो समस्या पहले से जानकर सीधा उत्तर दे देगा, या कुछ भी कल्पना कर लेगा, या पूरी तरह हल करने से मना कर देगा; लेकिन असल में उसने आत्मविश्वास से कोई अनुमान दिया मानो वही सही हो, फिर खुद गणना करके गलत निकला, और फिर वही अनुमान दोहराता रहा; वह symmetry तक नहीं पहचान पाया और एक असंरचित agent की तरह व्यवहार करता दिखा; अंत में उसने ज़ोर देकर यह निष्कर्ष दिया कि कोई उत्तर है ही नहीं; यह नतीजा उम्मीद के उलट था, और कहा गया कि अगर भविष्य में दूसरे puzzles पर भी यह इतना ही खराब निकला तो अपनी मान्यता अपडेट करनी पड़ेगी

  • Gemini पर वही सवाल आज़माने का नतीजा भी साझा किया गया, और यह भी बताया गया कि ChatGPT o3 का इस्तेमाल किया गया जिसमें सोचने में 11.5 मिनट लगे; संबंधित काम का लिंक भी साझा किया गया

  • इस अर्थ में यह और भी प्रभावशाली लगा कि इंसानी दिमाग़ से समझ में आने वाला कोई ‘तार्किक’ उत्तर है ही नहीं; यह भी जिज्ञासा जताई गई कि Wolfram Alpha से जुड़ा ChatGPT version भी शायद है—क्या उसे आज़माया नहीं गया?

• Sridhar Ramesh के उल्लेख पर कहा गया कि गणित में PhD होने के साथ-साथ इंटरनेट meme-आधारित मज़ाक (‘shitposting’) में भी निपुण होना बहुत दुर्लभ प्रतिभा है

• इस तरह के puzzles बहुत पसंद होने के कारण उन्हें ‘Dantzig Sniping’ नाम देकर दोस्तों को परिचित कराने का अनुभव साझा किया गया, और अपने बनाए हुए प्रश्न व संबंधित संदर्भ का लिंक भी साझा किया गया

  • शुरुआत में Gdańsk (Danzig) जगह का नाम याद आने से यह जिज्ञासा हुई थी कि आखिर क्या sniping हुआ था

  • यह सवाल पूछा गया कि इस तरह के गुणों वाले प्रश्न आखिर खोजे कैसे जाते हैं

• मज़ाकिया अंदाज़ में पूछा गया कि 2025 हो गया, फिर भी लेखक variable names में सचमुच fruit emoji क्यों नहीं इस्तेमाल करता

  • जटिल C code का विश्लेषण करते समय variable names को emoji से बदलकर देखने पर, कौन-सा variable कहाँ इस्तेमाल हुआ है यह एक नज़र में समझ आता है और code structure समझने में मदद मिलती है—ऐसा अनुभव साझा किया गया; उदाहरण image भी साझा की गई; अफसोस जताया गया कि Rust, JS जैसी आधुनिक भाषाएँ XID_Start/XID_Continue standard का पालन करती हैं, इसलिए emoji identifiers के उपयोग को रोकती हैं

  • Gemini ने fruit emoji variable names का उपयोग करके brute force तरीके से समस्या हल करने वाला C# code उदाहरण दिया—ऐसा लिंक साझा किया गया

  • यह भी जोड़ा गया कि भले ही अभी साल 2025 है, लेकिन वह भाषा 2025 में बनाई नहीं गई थी

• कहा गया कि ‘4’ की जगह कोई दूसरा constant रखा जाए तो कहीं अधिक विशाल minimal solution सामने आ सकता है; संबंधित रोचक Diophantine equation (पूर्णांक हल वाली समीकरण) का उदाहरण लिंक सहित साझा किया गया

  • 12 करोड़ अंकों जैसी अजीब लेकिन शानदार विशाल संख्याएँ real time में बुला लेने की सुविधा खास तौर पर प्रभावशाली बताई गई

• यह स्मृति साझा की गई कि जब यह समस्या पहली बार सामने आई थी, तब integer theory seminar में सब लोग ज़ोर से हँसे थे

• number theory और विचित्र graphs पर गहरी चर्चा दिलचस्प है, लेकिन मूल apple/banana puzzle में आखिर सटीक भ्रम या trap point क्या था—इस पर जिज्ञासा जताई गई; क्या इसमें कोई ऐसा तत्व था जिससे लोग आसानी से भ्रमित हो जाएँ या बहस छिड़ जाए, या फिर यह इतना आसान है कि सब लोग बस अपनी समझदारी दिखाने दौड़ पड़ते हैं?; अपनी ओर से 10, 4, 2 उत्तर निकाला था, इसलिए उल्टा यही लगा कि कहीं खुद ही भ्रमित तो नहीं हो गया

  • असली ‘trick’ यह है कि आख़िरी bundle में bananas 3 हैं, जबकि बाकी bundles में 4-4 हैं, और coconut भी सिर्फ आख़िरी equation में एक ही है; इसलिए वास्तव में इसे '1 + 10 + 3' की तरह भी गलत समझा जा सकता है—ऐसा समझाया गया

• एक खास समस्या-लिंक के query parameter “srsltid” को अनावश्यक value बताया गया—ऐसी टिप साझा की गई