- मिडिल स्कूल के दिनों में लेखक की डूडलिंग से शुरू हुआ fractal आकार (“wallflower”) एक अनोखी संरचना है, जो सामान्य तरीकों से अलग ढंग से बनती है
- इस fractal की निर्माण-प्रक्रिया में L-system और matrix-आधारित position encoding के जरिए इसके गुणों को गणितीय रूप से समझाने की संभावना की पड़ताल की गई है
- determinant ±5 वाले कुछ विशेष matrix का उपयोग करने पर आकृति के आकार में बदलाव और rotation, तथा space में उसकी दोहराई जाने वाली व्यवस्था को प्रभावी ढंग से समझाया जा सकता है
- केवल 2D ही नहीं, बल्कि 3D और 4D generalization की संभावना भी आज़माई गई, और उच्च dimensions में symmetry तथा packing efficiency को ध्यान में रखकर matrix design करना महत्वपूर्ण है
- fractal, linear algebra, और number systems के आपसी संबंध सामने आते हैं, और यह पूरी खोज-प्रक्रिया खुद creative problem solving के महत्व को दिखाती है
शुरुआत: दीवार पर टंगे fractal का रहस्य
- लेखक ने मिडिल स्कूल के समय graph paper पर चौकोरों को कॉपी और rotate करते हुए एक डूडल खोजा था, जिसे बाद में “wallflower” नाम दिया गया, और कई वर्षों तक उसमें रुचि बनाए रखी
- इसकी संरचना इतनी अनोखी थी कि इसमें गहरा गणितीय अर्थ होने का अंदेशा था, लेकिन उस समय उसका विश्लेषण नहीं किया जा सका
- बाद में, गणित का ज्ञान बढ़ने पर, लेखक ने अपने अतीत के स्वयं द्वारा छोड़ी गई इस पहेली की गंभीरता से पड़ताल शुरू की
fractal को बनाने का तरीका
- एक square से शुरुआत करें
- मौजूदा आकृति को बाएँ, दाएँ, ऊपर और नीचे एक-एक बार कॉपी करके रखें
- फिर मौजूदा स्थिति को लगभग 27 degree clockwise थोड़ा घुमाकर चारों दिशाओं में फिर से कॉपी करके रखें
- चरण 2 और 3 को दोहराते हुए पूरे कागज़ को भर दें
- इस तरह फूल की तरह फैलने वाला fractal बनता है
- यह प्रक्रिया भी Gosper Curve की तरह, यदि अनंत बार दोहराई जाए, तो पूरे plane को भर सकती है
L-system के जरिए fractal की boundary बनाना
- L-system (string substitution rules) वाला तरीका भी लागू किया जा सकता है: इसमें सिर्फ R (दायाँ) या L (बायाँ) 90 degree rotation का उपयोग होता है
- शुरुआती नियम: RRRR से शुरुआत, और substitution R→RLR, L→RLL के रूप में चलता है
- L-system से बनी boundary और मिडिल स्कूल वाले तरीके से बनी boundary में चौथे पद से बड़े अंतर दिखाई देते हैं
- Drag and drop तरीके में हर copy की placement अलग होती है
- L-system तरीके में diagonal direction में copying इसकी खासियत है
image के बिना wallflower की विशेषताएँ
- Drag and drop तरीके से बनने वाला wallflower इंटरनेट पर आम तौर पर कहीं दिखाई नहीं देता
- substitution rule L→RLR, R→LLR के कारण direction बार-बार उलटने की विशेषता दिखाई देती है
- copy की placement angle (“27 degree”), matrix संरचना, और L-system substitution rules के बीच संबंध है
numbering का तरीका (fractal की position encoding)
- Cantor pairing function की तरह fractal के भीतर हर square को एक संख्या देकर space को कुशलता से समझा जा सकता है
- हर iteration में 5 के गुणज, 5 की घातें आदि से गहरा संबंध बनता है, और efficient encoding के लिए base-5 का उपयोग किया जाता है
- बाएँ और दाएँ की copy patterns को देखने पर “200 जोड़ना” जैसी geometric movement और addition के बीच कड़ी सामने आती है
matrix और fractal का spatial अर्थ
- position vectors को matrix multiplication से व्यक्त किया जाता है, और हर digit place value पर matrix power लागू होती है
- उदाहरण matrix M=[−2 1; 1 2], जहाँ determinant det(M)=-5 है, उस स्थिति में direction बार-बार उलटती रहती है
- M′=[2 1; -1 2], det(M′)=5 वाले matrix से बनाने पर सामान्य Gosper-प्रकार के fractal जैसी संरचना बनती है
- determinant का absolute value fractal की growth rate और space-filling efficiency से ठीक-ठीक मेल खाता है
- determinant बड़ा हो तो space खाली रह जाता है, छोटा हो तो collision होता है
- हर matrix के column vectors का integer होना ज़रूरी है, ताकि पूरी संरचना coordinate grid पर सही-सही बैठ सके
- vector |1,2| का angle arctan(2/1) ≈ 63.43 degree है → axis से “27 degree” हटने का कारण यही है
fractal के जरिए addition संरचना की पड़ताल
- केवल vector composition से सभी positions का अनुमान नहीं लगाया जा सकता (उदाहरण, →2+→2≠→4)
- 1 से 4 तक को हर direction (ऊपर, दाएँ, नीचे, बाएँ) के रूप में समझा जाता है, और 2D प्रकार का “carry” सामने आता है
- generalized balanced ternary जैसी अवधारणाओं से जुड़कर 2D/उच्च-dimensional number systems और fixed-point रहित संरचनाएँ निकाली जा सकती हैं
उच्च dimensions (3D, 4D) में generalization की संभावना
3D विस्तार का प्रयास
- 3x3 matrix में हर column vector integer होना चाहिए, Hamming distance 3 होनी चाहिए, और determinant ±7 होना चाहिए
- वास्तविक visualization में कुछ क्षेत्र खाली रह जाते हैं, इसलिए पूरी तरह perfect arrangement संभव नहीं होता
- अतिरिक्त copies (नई जगहों पर “plus shape”) से आंशिक सुधार संभव है, लेकिन पूरी symmetry पाना कठिन है
4D विस्तार
- 4x4 matrix में हर column vector integer होना चाहिए, और तीन स्थानों पर ±1 तथा एक स्थान पर 0 की शर्त पूरी करनी होती है
- 4D में “orthotopeflower” नाम की नई fractal संरचना संभव है
- 7x7 grid की 7x7 grid के रूप में पूरी संरचना को plane पर प्रभावी ढंग से visualize किया जा सकता है
उच्च-dimensional generalization की सीमाएँ
- matrix, growth conditions, और integer-spaced vectors जैसी शर्तों को मिलाकर देखें तो यह संरचना केवल 1, 2, और 4 dimensions में ही मान्य ठहरती है
- इससे अधिक dimensions में सभी शर्तें पूरी करने वाला integer matrix बनाना संभव नहीं है
अन्य number systems से संबंध
- Quater-imaginary base (एक ऐसा number system जिसमें base imaginary 2i होता है) की तरह, matrix-आधारित number systems की अवधारणा को complex numbers और quaternions तक बढ़ाया जा सकता है
- 4D matrix के जरिए quaternion encoding (basis: i+j+k) के विचार की पड़ताल की गई, लेकिन पूरी तरह कठोर सत्यापन भविष्य के स्वयं पर छोड़ दिया गया
निष्कर्ष
- एक व्यक्ति की लंबे समय तक चली fractal, number systems और linear algebra संबंधी खोज सुंदर गणितीय खोजों तक पहुँचती है
- रचनात्मक छोटे डूडल और जिज्ञासा वास्तव में गहरे सिद्धांतों को उजागर करने का माध्यम बन सकते हैं
- यह खोज-प्रक्रिया की संयोगपूर्ण प्रकृति, trial and error, और धैर्य के जरिए नए गणितीय और कंप्यूटर-संबंधी विचार सामने लाने का उदाहरण है
- visualization की अपूर्णता या rules की त्रुटियाँ भी खोज का ही हिस्सा हैं, इस मानसिकता पर ज़ोर दिया गया है
1 टिप्पणियां
Hacker News राय
शानदार कृति और पढ़ने का आनंददायक अनुभव
यह लेख बहुत अंतर्दृष्टिपूर्ण और सावधानी से लिखा हुआ लगा, खासकर 3D visualization बहुत पसंद आया, और कुछ साल पहले fractal जैसे effect को किसी भी image पर बनाने के लिए recursive decimation का इस्तेमाल करके बनाए गए एक project की याद आ गई, https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/ लिंक पर इसे सीधे आज़माया जा सकता है, Blursort 2x2 को कुछ बार दबाकर Animate पर क्लिक करें तो animation बनती है, image copy/paste भी support है, यह बिना किसी backend के सिर्फ browser में चलता है, और mobile पर इसकी सिफारिश नहीं है
हल्का-फुल्का पढ़ने की उम्मीद थी, लेकिन लेख काफ़ी लंबा निकला, इसलिए काम के बीच बस थोड़ा skim किया, बाद में लौटकर कई चीज़ें आज़माने की योजना है, और यह वाकई बहुत अच्छी तरह बनाया गया लेख है
लेख बहुत अच्छी तरह लिखा गया है, "middle out" numbering system कैसे सोचा गया यह साझा करने का अनुरोध, और यह चिंता कि गणित की समस्याएँ अकेले हल करते समय ऐसे प्रेरणादायक विचार आसानी से नहीं आते
दिलचस्पी से पढ़ते-पढ़ते "wallflower" fractal को draw करने वाला एक L-system सोच निकाला, https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip... लिंक से देखा जा सकता है, लेकिन फिर सोचने पर लगा कि शायद यह किसी दूसरे fractal को generate कर रहा है
शानदार लेख की प्रशंसा, और इच्छा जताई कि दीवार पर fractal को सचमुच लगाया हुआ कोई फोटो भी होता, Knuth वाला वीडियो बहुत अच्छा था, लेकिन यह देखकर हैरानी हुई कि अब तक उसके बारे में पता नहीं था
क्या इसी तरह का तरीका adjustable detail वाले dithering pattern बनाने में भी लागू हो सकता है, यह सवाल उठाया
अच्छे लेख की सराहना के साथ, Jurassic Park से मशहूर Heighway dragon भी काफ़ी शानदार है, यह सिफारिश की, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve लिंक जोड़ा
थोड़ा propeller जैसा दिखता है, ऐसा प्रभाव बताया
यह एक मज़ेदार अनुभव था