अनंत रेज़िस्टर ग्रिड

 (mathpages.com)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2025-06-16 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • ऐसे अनंत वर्गाकार ग्रिड में जहाँ सभी पड़ोसी nodes रेज़िस्टर R से जुड़े हैं, दो पड़ोसी nodes के बीच effective resistance symmetry और superposition से R/2 हो जाता है
  • यह calculation उस field को जोड़ती है जिसमें एक node में current डाला जाता है और उस field को जिसमें पड़ोसी node से current निकाला जाता है, और discrete Laplace equation का उपयोग करती है, जिसमें हर node का voltage आसपास के चार nodes के average का अनुसरण करता है
  • लेकिन “current अनंत में निकल जाता है” वाली व्याख्या rigorous नहीं है, और एक node से infinity तक resistance odd harmonic series की तरह diverge करता है
  • इसलिए solution तय करने के लिए किसी बड़े finite grid की limit जैसी asymptotic boundary condition की ज़रूरत होती है, और बिना condition वाले असली infinite grid में solution arbitrary हो सकता है
  • सामान्य तौर पर दो nodes के बीच resistance difference equation और Fourier series superposition से calculate किया जाता है, और unit resistance के आधार पर diagonal adjacent nodes का resistance 2/π होता है

adjacent node resistance निकालने की symmetric calculation

  • मान लें कि square grid में सभी adjacent node pairs के बीच resistance R है, और grid सभी directions में अनंत तक फैला है
  • मुख्य सवाल यह है कि adjacent दो nodes, और अधिक general रूप से किसी भी दो grid nodes के बीच effective resistance कैसे निकाला जाए
  • adjacent nodes का standard solution current field को दो हिस्सों में बाँटकर जोड़ता है
    • एक grid जिसमें एक node में current inject किया जाता है
    • एक grid जिसमें adjacent दूसरे node से वही current extract किया जाता है
  • हर node का voltage आसपास के चार node voltages के average को satisfy करने वाली discrete Laplace equation का पालन करता है, और linearity के कारण solutions को superpose किया जा सकता है
  • उदाहरण के लिए, अगर एक node में 4A inject किया जाए, तो symmetry के कारण माना जा सकता है कि चारों directions के resistors में 1A-1A बहता है
  • इसमें adjacent node से 4A extract करने वाला current field जोड़ने पर, दोनों nodes को सीधे जोड़ने वाले link में कुल 2A बहता है
  • direct link को छोड़कर बाकी grid paths भी वही current बाँटकर carry करते हैं, इसलिए direct link resistance और बाकी grid का effective resistance बराबर हो जाता है
  • direct link और बाकी grid parallel बनाते हैं, इसलिए कुल effective resistance R/2 है

infinity boundary condition से पैदा होने वाला trap

  • symmetry argument intuitive है और दूसरे तरीकों से भी वही answer देता है, लेकिन एक node में डाला गया current infinite grid में कहाँ जाता है, इसे साफ़ तौर पर handle नहीं करता
  • “infinity पर grounded है” कहना भर पर्याप्त नहीं है
    • center node को घेरने वाले concentric square paths के बारे में सोचें, तो बाहर की ओर जाने पर links की संख्या 4, 12, 20, 28, … जैसी बढ़ती है
    • उसके अनुसार infinity तक total resistance लगभग odd harmonic series के रूप में बनता है और diverge करता है
  • एक node से infinity तक current बहाने के लिए node और “infinity” के बीच infinite voltage चाहिए
  • ज़्यादा rigorous approach यह है कि पहले एक बड़ा finite grid रखा जाए, और देखा जाए कि grid size बढ़ाने की limit में desired result तक पहुँचा जाता है या नहीं
  • positive-current node centered finite grid और negative-current node centered finite grid की limits को compatible boundary conditions में converge करना चाहिए, और इस समय infinity की ओर net current 0 होना चाहिए
  • संबंधित चर्चा दूसरे note में है, और असली infinite grid asymptotic boundary condition के बिना underdetermined रहता है

physical idealization और solution की non-uniqueness

  • यह assumption कि infinite grid का current field पहले से ही infinity तक पूरी तरह बना हुआ है, किसी realistic physical process से finite time में बनाया नहीं जा सकता
  • इस problem का grid केवल ideal resistors शामिल करता है और capacitance या inductance नहीं मानता, इसलिए circuit dynamics पर विचार नहीं करता
  • ऐसी idealization को ज्यों का त्यों आगे बढ़ाने पर ऐसा निष्कर्ष निकलता है कि current field infinity तक तुरंत बन सकता है, लेकिन यह real circuits की finite propagation speed से मेल नहीं खाता
  • सभी real circuits में capacitance और inductance होते हैं, इसलिए propagation speed infinite नहीं हो सकती
  • answer एक ही तय लगता है क्योंकि बड़े finite grid की limit जैसी, local source से आने वाली physically plausible asymptotic behavior को implicit रूप से मान लिया जाता है

difference equation से generalize करना

  • अधिक general दो nodes के बीच resistance basic difference equation के solutions को superpose करके निकाला जाता है
  • 1-dimensional unit resistance grid में, origin से 1A extract करके और दूसरे nodes का net current 0 रखने पर, voltage solution distance के absolute value के proportional होता है
  • नतीजतन 1 dimension में k resistors जितनी दूरी पर मौजूद दो nodes का effective resistance expected रूप से kR होता है
  • 2-dimensional grid में node (m,n) का net current चार पड़ोसी voltages के साथ differences से व्यक्त होता है, और जिन nodes का net current 0 है वे 2-dimensional difference equation satisfy करते हैं
  • solution μ^m ν^n रूप के components को superpose करके बनाया जा सकता है, और μ, ν के बीच characteristic equation मौजूद होती है
  • μ = exp(iα), ν = exp(iβ) रखने पर Fourier form के solution को integral के रूप में superpose किया जा सकता है
  • origin से 1A extract करने वाला solution बनाने के लिए indices के absolute value लेने पर, origin के पास V(1,0) = 1/4 होता है, जो adjacent node resistance 1/2Ω से match करता है
  • axis पर unwanted current हटाने के लिए कई solutions को α के respect में integrate किया जाता है, और Fourier series से weighting function तय किया जाता है

diagonal और arbitrary nodes के resistance formula

  • origin और (m,n) के बीच resistance origin के reference में voltage difference के double के रूप में express होता है, और integral formula के रूप में simplify किया जाता है
  • diagonal में एक step दूर (1,1) node का resistance unit resistance के आधार पर 2/π है
  • यह result Fourier series के बिना purely algebraic तरीके से भी derive किया जा सकता है, और संबंधित सामग्री अलग note में है
  • adjacent node resistance 1/2 और diagonal adjacent node resistance 2/π पता हो तो basic difference equation से आसपास के कई nodes के resistance calculate किए जा सकते हैं
  • general formula को cos(mα) को s = cos(α) के trigonometric polynomial के रूप में दिखाने वाले form में simplify किया जा सकता है
  • axis direction R(0,n) पर focus करने पर integral को और reduce किया जा सकता है, और substitution के जरिए कई values calculate की जा सकती हैं
  • दूसरा substitution method α = r+s, β = r-s रखता है और cos(r)cos(s)=1 relation का उपयोग करके integral को फिर से express करता है
  • diagonal nodes (m,m) का resistance unit resistance के आधार पर 2/π को 1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) से multiply किए गए value के रूप में simplify होता है
  • बाकी nodes का resistance basic recurrence relation से calculate किया जा सकता है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2025-06-16
Hacker News की टिप्पणियाँ

  • एक गणितज्ञ और साथ ही electrical engineer होने के नाते, electrical engineer कहेगा कि करंट बहाए बिना मापा नहीं जा सकता, और करंट बहाने के बाद भी वितरित inductance और capacitance, तथा field propagation speed की वजह से सवाल उठेगा कि “कब मापते हैं”
    गणितज्ञ यह सुनकर बार में जाकर तेज़ शराब पीने लगेगा

    • आखिरकार physicist को भी बुलाना पड़ेगा, और physicist कहेगा कि पर्याप्त बड़ी दूरी पर quantum effects हावी हो जाते हैं
      क्योंकि बहुत दूर जाने पर किसी node पर प्रति सेकंड चलने वाले electrons की संख्या, यानी current flow, 0 या 1 रह जाती है
    • electrician जानता है कि workbench पर सिर्फ 10x10 grid से भी 99% सही जवाब मिल सकता है
      उसके बाद engineer किनारों पर resistors जोड़ता रहे, जब तक research funding खत्म न हो जाए या physicist के paper की deadline न आ जाए
      असली मुश्किल सवाल यह है कि हर दूरी पर grid की soldering errors कितने प्रतिशत तक स्वीकार्य हों ताकि बीच के square के दोनों सिरों पर लगा Fluke meter खराबी पकड़ सके
      मैंने सुना है कि conductive structures में दूर की दरारें, जैसे carbon-fiber submarine hull, local resistance changes से पकड़ी जाती हैं, इसलिए यह वास्तव में अर्थपूर्ण समस्या हो सकती है
    • मुझे लगता है circuit diagram की दो व्याख्याएँ होती हैं
      एक में diagram के components भौतिक वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए resistor में थोड़ा inductance, nonlinearity, ground plane के सापेक्ष capacitance वगैरह होता है. OrCad जैसे tools के साथ इस्तेमाल होने वाले schematics आम तौर पर इसी अर्थ में होते हैं
      दूसरी में resistor को आदर्श Ohm's law element माना जाता है, और wiring में न inductance होता है, न propagation delay, न resistance. Voltage source के दोनों सिरों को wire से जोड़ना 0 से भाग देने जैसा हो जाता है
      कभी-कभी पहली व्याख्या को दूसरी में बदलते समय असली wiring behavior को model करने के लिए resistor, inductor आदि को स्पष्ट रूप से जोड़ा जाता है. अगर आप खुद न करें तो SPICE यह काम कर सकता है
      infinite resistor grid सिर्फ दूसरी व्याख्या में ही मौजूद है
    • बस सभी transient responses खत्म होने तक अनंत समय इंतज़ार करना है
      तब grid steady state में पहुँच जाएगी और diagram के अनुरूप उसका वास्तविक रूप बन जाएगा

  • यह मानना आसान है कि इसका वास्तविक समस्याओं से कोई संबंध नहीं, लेकिन वास्तव में है. बस पूरी गणना ही हर हिस्से में उपयोगी नहीं होती
    integrated circuits में local point of view से देखें तो silicon substrate resistance वास्तव में लगभग अनंत unit-resistor grid के काफ़ी करीब है
    silicon substrate अक्सर heavily doped p-type होता है, और foundry से आम तौर पर सिर्फ resistivity की जानकारी मिलती है, जो प्रायः 1~100Ω·cm के बीच होती है. अत्याधुनिक process nodes में यह अक्सर 10Ω·cm होती है
    substrate के माध्यम से होने वाले noise coupling का अंदाज़ा लगाने के लिए सिर्फ A और B points के बीच resistance निकालना काफी नहीं, उसे grid की तरह सोचना पड़ता है. Noise current इकट्ठा करने के लिए substrate contact grid भी वितरित तरीके से लगाना पड़ता है, इसलिए आख़िरकार grid फिर लौट आती है

    • यहाँ वर्णित मामला तो बल्कि continuum है, इसलिए गणितीय रूप से और सरल लगता है
    • resistivity की unit ohm/cm नहीं बल्कि ohm * cm है. मैंने बहुत पहले Fairchild में काम किया था

  • शैक्षिक दृष्टि से, 1Ω resistors से बने cube के आमने-सामने वाले vertices के बीच equivalent resistance पूछना कहीं ज़्यादा उपयोगी है
    इससे circuit symmetry, Kirchhoff's current law जैसी intuition बनती है
    infinite grid शुरुआती circuit class में हल हो जाने वाली चीज़ जैसा लगता है, लेकिन वास्तव में यह बहुत कठिन गणितीय समस्या के अधिक करीब है

  • electrical engineering degree के दौरान जिन समस्याओं से मुझे नफ़रत थी, यह वही थी
    professors को ऐसे thought experiments बहुत पसंद थे

    • electrical engineering की पहली introductory course की final exam में 4 सवालों में पहला सवाल यही था, बस एक बार देखा था
      class में infinite ladder resistor network पढ़ाया गया था, लेकिन उस समय उसका ज्ञान इस समस्या पर लागू करना काफ़ी बड़ी छलांग जैसा लगा

  • सरल symmetry-based solution में जो बात समझ नहीं आती, वह यह मान्यता है कि “positive node और negative node के लिए current field को अलग-अलग संभाला जा सकता है”
    मुझे समझ नहीं आता कि two-node solution की current, यानी non-symmetric solution, कैसे दो single-node solutions, यानी symmetric solutions, का सीधा योग बन जाती है
    बेशक two-node solution में भी कुछ symmetry है, लेकिन वह मूल symmetry नहीं है जिसने यह निष्कर्ष दिया था कि हर दिशा में current समान होगा

    • Maxwell equations electric field और magnetic field के लिए linear हैं, इसलिए fields और potentials को जोड़ा और घटाया जा सकता है
      यही तर्क interference या optical gratings के काम करने की वजह भी है

  • symmetry और superposition principle की व्याख्या में एक बात समझ नहीं आती
    पास के nodes alpha-beta-alpha क्यों हैं, alpha-alpha-alpha क्यों नहीं? यानी सिर्फ एक दिशा को अलग और बाकी दो दिशाओं को समान क्यों माना जाता है?

    • शुरुआत में आप मान सकते हैं कि सब अलग हैं और currents को i_1 से i_12 तक नाम दे सकते हैं
      लेकिन समस्या vertical axis के सापेक्ष symmetric है, इसलिए figure को पलटा जा सकता है, और flipped path से गुजरने वाली currents पलटने से पहले जैसी ही होनी चाहिए, इसलिए आप लिख सकते हैं कि कौन-सी i बराबर हैं
      horizontal axis के लिए भी यही करें, और 90-degree rotational symmetry के लिए भी यही करें
      अंत में बहुत-सी i एक-दूसरे के बराबर निकलेंगी, और उन्हें दो अलग समूहों में रखा जा सकता है. उन समूहों को alpha और beta कह सकते हैं
      दूसरे तरीके से कहें तो दिए गए symmetry operations से किसी alpha से beta तक नहीं जाया जा सकता. यह alpha से alpha या beta से beta जाने से अलग है

  • physics undergraduate के समय team project में मैंने percolation theory पर प्रयोग किया था
    conductive ink से कई grids बनाए, लेकिन उनमें कुछ निश्चित संख्या में links, यानी graph की edges, गायब रखीं
    समान रूप से conductive ink बहाना मुश्किल था, और मैंने XY plotter के लिए पूरा software लिखा ताकि वह rectangular grids और triangular grids बनाने के निर्देश दे सके
    फिर एक तरफ़ से दूसरी तरफ़ तक resistance मापा गया

  • मैं पूरे लेख का गणित पूरी तरह follow करने लायक मज़बूत नहीं हूँ, लेकिन electronics में काम करने वाले के रूप में मेरी intuition यह है कि जब कोई quantized system infinity के साथ interact करता है, तो वह infinity quantized element के आकार के अनुसार सीमित हो जाती है
    charge quantized होता है. किसी node से एक electron से कम नहीं गुजर सकता, इसलिए मुझे लगता है कि infinite resistor grid सिस्टम में डाले गए charge की मात्रा के अनुसार आकार बदलने वाली finite resistor grid की तरह काम करेगी

    • पहले मुझे भी ऐसा ही लगा था, लेकिन दोबारा सोचने पर यह गलत लगा
      electron तरंग भी है, और वह तरंग पूरे grid में फैल सकती है
      एक और रोचक बात यह है कि infinite grid में कहीं-न-कहीं हमेशा स्वाभाविक high voltage मौजूद होता है. शायद बहुत दूर, लेकिन फिर भी अजीब है
    • यह सिर्फ तब महत्वपूर्ण है जब individual carriers से उत्पन्न noise को time domain में मापा जा रहा हो
      कई मामलों में हमें सिर्फ समय और स्थान पर लिए गए औसत की चिंता होती है. उदाहरण के लिए पानी का macroscopic flow, individual molecules की गति से काफ़ी अलग तरह से व्यवहार करता है
    • “intuition” और “infinity” को एक ही वाक्य में रखना मज़ेदार है
      infinity के बारे में intuition बनाने की संभावना जिन लोगों में पूरी तरह नगण्य नहीं है, वे शायद सिर्फ गणितज्ञ हैं

  • यह sheet resistance का discrete case है. [1]
    इस मामले में किसी भी दो points, यहाँ nodes, के बीच resistance समान होता है
    यह पहले electrical engineering college curriculum में पढ़ाया जाता था, लेकिन अब solution derivation याद नहीं है
    [1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance

  • अलग से कहूँ तो Veritasium का प्रकाश के रास्ते से जुड़ा ऐसा ही एक शानदार वीडियो था
    मैं उस हिस्से का लिंक दे रहा हूँ जिसमें मेरे हिसाब से सबसे बेहतरीन physics demonstration है
    https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500

    • दुर्भाग्य से वह demonstration वीडियो में बताए गए स्तर जितनी प्रभावशाली नहीं है. जो अतिरिक्त path से आती हुई रोशनी दिखती है, वह light source की exit diffraction की वजह से है
      बेशक वही आधारभूत सिद्धांत यह भी समझाता है कि सीमित boundaries पर हमेशा diffraction होता है, और उसके परिणामस्वरूप वह वास्तविकता, जिसमें प्रकाश सचमुच हर संभव path से गुजरता है, हमारी दुनिया से अलग पहचानी नहीं जा सकती
      लेकिन यह दावा करना कि प्रकाश वास्तव में ऐसा करता है, physics से ज़्यादा metaphysics के करीब माना जा सकता है
      ऊपर से laser की diffraction performance भी संभवतः physical limits से काफी दूर होती है, इसलिए demonstration की विश्वसनीयता और कमज़ोर हो जाती है
      कोई निंदक पर्यवेक्षक कह सकता है, “क्या यह बस laser से निकली कुछ रोशनी का axis से हट जाना नहीं है?” और वास्तव में यही सही है. Physics के नियमों के अनुसार कुछ प्रकाश हमेशा axis से हटेगा, लेकिन वह demonstration इस तथ्य को सिद्ध नहीं करता