एक अप्रत्याशित जगह से आया नया sphere packing रिकॉर्ड
(quantamagazine.org)- उच्च-आयामी sphere packing समस्या में Boaz Klartag ने अप्रैल में एक छोटा मसौदा ऑनलाइन जारी किया, जिसमें 1947 में Claude Ambrose Rogers के बाद दक्षता में सबसे बड़ा सुधार दिखाया गया
- नई विधि किसी भी lattice से शुरू होकर एक बड़ा ellipsoid बनाती है, फिर Rogers की प्रक्रिया से घना sphere packing तैयार करती है, और लंबे समय से पीछे छूटे geometric approach को फिर से जीवित करती है
- Klartag की रचना dimension d में पहले के कई परिणामों की तुलना में लगभग d गुना अधिक spheres pack कर सकती है; यानी 100 dimensions में लगभग 100 गुना, और 10 लाख dimensions में लगभग 10 लाख गुना
- 2023 के non-lattice रिकॉर्ड के बाद बढ़ी disordered packing की संभावनाओं पर चर्चा के विपरीत, यह परिणाम दिखाता है कि उच्च dimensions में optimal packing के लिए order और symmetry अब भी मजबूत दावेदार हो सकते हैं
- cryptography और communication applications में sphere packing समस्या महत्वपूर्ण है, लेकिन यह परिणाम तुरंत लागू होने वाला नहीं है; हाँ, यह convex geometry और lattice theory को फिर से जोड़ने का मौका बन सकता है
उच्च-आयामी sphere packing में बड़ा कदम
- sphere packing problem वह समस्या है जिसमें यह पूछा जाता है कि उच्च-आयामी space में गोलों को यथासंभव अधिक दक्षता से कैसे भरा जाए
- यह समस्या सदियों से गणितज्ञों को आकर्षित करती रही है, और cryptography तथा long-distance communication में इसके महत्वपूर्ण applications हो सकते हैं
- 17वीं सदी की शुरुआत में Johannes Kepler ने दिखाया था कि 3-dimensional spheres को किराना दुकान में संतरे रखने की तरह जमाने पर space का लगभग 74% भरा जा सकता है, और उन्होंने अनुमान लगाया कि यही optimal है
- इस अनुमान को सिद्ध होने में लगभग 400 साल लग गए
- इससे ऊँचे dimensions में 8 और 24 dimensions को छोड़कर अब तक optimal उत्तर ज्ञात नहीं हैं
- गणितज्ञ लंबे समय से बेहतर packings खोजते रहे हैं, लेकिन सुधार छोटे और विरले रहे हैं
- Boaz Klartag ने अप्रैल में जारी अपने छोटे मसौदे में पुराने रिकॉर्ड को बड़े अंतर से पार कर लिया, और कुछ शोधकर्ताओं का मानना है कि यह परिणाम optimum के काफ़ी करीब हो सकता है
lattice से ellipsoid तक जाती एक पुरानी सोच
- 1905 में Hermann Minkowski ने lattice के माध्यम से sphere packing को देखने का तरीका स्थापित किया
- इसमें space में बिंदुओं का एक दोहराने वाला विन्यास बनाया जाता है, और हर बिंदु के आसपास एक sphere खींचा जाता है
- किसी खास dimension में optimal sphere packing खोजने की समस्या इस सवाल में बदल जाती है कि बिंदुओं का सबसे दक्ष lattice कौन-सा है
- 2 dimensions में hexagonal lattice optimal है
- 1947 में Claude Ambrose Rogers ने एक अलग दृष्टिकोण दिया
- इसमें किसी arbitrary lattice से भी शुरुआत की जा सकती है
- हर बिंदु पर sphere खींचने के बजाय, एक बिंदु के आसपास एक ellipsoid खींचा जाता है ताकि उसकी सतह lattice के दूसरे बिंदुओं को छुए लेकिन उन्हें पार न करे
- फिर उन्होंने इस ellipsoid को शुरुआती बिंदु बनाकर घना sphere packing बनाने का algorithm दिया
- Rogers की विधि का फ़ायदा यह है कि शुरुआती lattice का बहुत दक्ष होना ज़रूरी नहीं है
- अगर सही ellipsoid चुन लिया जाए, तो उससे दक्ष sphere packing बनाई जा सकती है
- लेकिन ellipsoids को spheres की तुलना में संभालना कठिन है
- sphere सिर्फ एक radius से तय होता है, जबकि ellipsoid अलग-अलग लंबाई वाली कई axes से तय होता है
- dimensions बढ़ने पर उसे फैलाने की दिशाएँ और संभव आकार बहुत तेज़ी से बढ़ जाते हैं
- अंततः गणितज्ञ फिर Minkowski-शैली वाले lattice approach पर लौट आए, और lattice theory पर अधिक ध्यान देने लगे, जिससे Rogers का geometric approach पीछे छूट गया
- इस रणनीति ने भी उच्च-आयामी sphere packing में सुधार किए, लेकिन अधिकांश सुधार Rogers की packing से छोटे ही रहे
convex geometry के शोधकर्ता ने Rogers का approach फिर जीवित किया
- Klartag Weizmann Institute of Science में गणितज्ञ हैं और मुख्यतः convex geometry का अध्ययन करते हैं
- convex आकृतियाँ वे होती हैं जिनमें कोई हिस्सा अंदर की ओर धँसा हुआ नहीं होता
- उच्च dimensions में इनमें तरह-तरह की symmetries होती हैं, और Klartag इन्हें शक्तिशाली mathematical tools के रूप में देखते हैं
- उनकी lattice और sphere packing में रुचि थी, लेकिन उनके पास उस क्षेत्र को गहराई से सीखने का समय नहीं था
- पिछले साल नवंबर में एक बड़े प्रोजेक्ट को पूरा करने के बाद उनका शेड्यूल थोड़ा खुला, तो उन्होंने Tel Aviv University के Barak Weiss से नया क्षेत्र सीखने के लिए mentoring माँगी
- Weiss ने Klartag और कुछ अन्य लोगों के साथ साहित्य पढ़ने के लिए एक छोटा seminar शुरू किया
- Klartag ने Minkowski और Rogers की sphere packing विधियों को विस्तार से पढ़ा
- Rogers द्वारा ellipsoid को sphere packing में बदलने की विधि पढ़ने के बाद Klartag को सवाल हुआ कि गणितज्ञों ने यह तरीका छोड़ा ही क्यों
- ellipsoid एक convex shape है, इसलिए Klartag के पास उसे manipulate करने के परिष्कृत तरीके मौजूद थे
- उनका मानना था कि Rogers का शुरुआती ellipsoid intuitive तो था, लेकिन inefficent था
- यदि वे अधिक volume वाला ellipsoid बना सकते, तो Rogers की मूल प्रक्रिया से नया packing record बनाया जा सकता था
random growth से बड़ा ellipsoid बनाना
- Klartag ने उस परिचित विधि से शुरुआत की जिसमें ellipsoid की boundary को हर axis के along एक random process के ज़रिए बढ़ाया और घटाया जाता है
- जब boundary काफ़ी फैलकर lattice के किसी नए बिंदु को छू लेती, तो उस दिशा में growth रोक दी जाती
- इससे वह बिंदु ellipsoid के अंदर नहीं जाता
- दूसरी दिशाओं में ellipsoid तब तक फैलता रहता जब तक वह किसी और बिंदु को न छू ले
- इस प्रक्रिया में ellipsoid झटकों के साथ रुकता-चलता हुआ आसपास के space को धीरे-धीरे टटोलता है
- समय के साथ, औसतन ellipsoid का volume बढ़ता जाता है
- Klartag का मुख्य सवाल यह था कि क्या यह volume growth Rogers के intuitive ellipsoid से आगे निकलने के लिए पर्याप्त है
- क्योंकि random process हर बार अलग ellipsoid बनाता था, Klartag ने संभव volumes की range का आकलन किया
- शुरुआत में उन्हें Rogers के ellipsoid से काफ़ी बड़ा कोई एकल ellipsoid नहीं मिला
- random growth प्रक्रिया के विवरण में बदलाव करने के बाद उन्होंने 1–2 हफ्तों में यह सिद्ध कर दिया कि कभी-कभी इतना बड़ा ellipsoid बन सकता है कि वह नया रिकॉर्ड स्थापित कर दे
लगभग d-गुना सुधार का गणितीय अर्थ
- Klartag का प्रमाण जाँचा जा चुका है, और नए शुरुआती ellipsoid को sphere packing में बदलने पर Rogers के 1947 के पेपर के बाद दक्षता में सबसे बड़ा सुधार मिलता है
- दिए गए dimension d में Klartag की विधि पहले के कई परिणामों की तुलना में लगभग d गुना अधिक spheres pack कर सकती है
- 100-dimensional space में यह लगभग 100 गुना अधिक spheres pack करती है
- 10 लाख-dimensional space में यह लगभग 10 लाख गुना अधिक spheres pack करती है
- Klartag ने sphere packing क्षेत्र को केवल कुछ महीनों तक पढ़ा, कुछ हफ्तों में प्रमाण लिखा, और एक केंद्रीय समस्या में बड़ा कदम आगे बढ़ा दिया
- convex geometry में उनका अनुभव सीधे इस बात में काम आया कि उन्होंने ऐसी तकनीकों को sphere packing समस्या पर लागू किया जिन्हें आमतौर पर अलग क्षेत्र माना जाता था
- Gil Kalai ने इस परिणाम को “वाकई चौंकाने वाली breakthrough” कहा और इसे उस समस्या से जुड़ी उपलब्धि माना जिसने लगभग 100 साल से गणितज्ञों को उत्साहित किया है
order और disorder पर बहस
- Klartag का परिणाम उच्च-आयामी optimal packing की प्रकृति पर चल रही बहस को फिर से जीवित करता है
- लंबे समय तक गणितज्ञों का मानना था कि बहुत अधिक symmetry वाले lattice-based packings ही spheres को सबसे घना जमाने का सर्वोत्तम तरीका हैं
- 2023 में एक ऐसी packing खोजी गई जो दोहराने वाले lattice पर साफ-सुथरे ढंग से निर्भर नहीं थी, और वही Klartag से पहले का रिकॉर्ड थी
- कुछ गणितज्ञों ने इसे optimal sphere packing की खोज में अधिक disorder की आवश्यकता के प्रमाण के रूप में देखा
- Klartag का काम फिर इस विचार को मज़बूती देता है कि order और symmetry अब भी सबसे मजबूत संभावना हो सकते हैं
- sphere packing कितना घना हो सकता है, इस पर अब भी बहस जारी है
- कुछ गणितज्ञों को लगता है कि Klartag की packing optimum के बहुत करीब है
- दूसरे मानते हैं कि अभी सुधार की गुंजाइश है
- University of Illinois, Chicago के Marcus Michelen ने कहा कि फिलहाल उन्हें नहीं पता किस पर विश्वास किया जाए, और सभी संभावनाएँ खुली हैं
तात्कालिक applications से बड़ी है क्षेत्रों के बीच कड़ी
- sphere packing समस्या का उत्तर cryptography और communication applications की संभावना के कारण महत्वपूर्ण है
- Hebrew University के information theorist Or Ordentlich का कहना है कि यह समस्या engineers के लिए बड़ी है, लेकिन इसमें प्रगति कम हुई थी, इसलिए यह परिणाम उत्साह पैदा करता है
- हालाँकि Klartag का परिणाम उन applications के लिए तुरंत उपयोगी नहीं है
- Klartag चाहते हैं कि उनका काम फिर उस तरह की दिशा खोले जैसी Rogers के समय में थी, जब convex geometry और lattice theory अधिक जुड़ी हुई थीं
- उनका मानना है कि convex bodies के बारे में मौजूदा समझ sphere packing से आगे बढ़कर lattice समस्याओं में भी उपयोगी हो सकती है
- Klartag का लक्ष्य इन दोनों क्षेत्रों को आज की तुलना में कम अलग-थलग बनाना है
1 टिप्पणियां
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माता-पिता को यह समझाना ही मुश्किल है कि मेरा काम सचमुच की नौकरी है; ऐसे में यह समझाना कि “मैं सिर्फ़ उन आकृतियों का अध्ययन करता हूँ जिनमें बाहर निकले हुए या अंदर धंसे हुए हिस्से नहीं होते,” सोचकर ही और मुश्किल लगता है
असल में विकल्प सिर्फ़ तीन हैं। अगर सामने वाले की समझ की भाषा में संक्षेप में समझाएँ, तो काम आसान दिखने लगता है और वे सोचते हैं, “इसके लिए पैसे कैसे मिलते हैं?”
अगर सामने वाले की समझ की भाषा में यह समझाएँ कि आप क्या करते हैं और वह क्यों अहम है, तो बात इतनी लंबी हो जाती है कि उबाऊ लगने लगती है, और वे पूछने का पछतावा करते हैं
या फिर आप सामने वाले को न पता होने वाले jargon में संक्षेप में समझाकर उन्हें बोर भी कर सकते हैं और प्रभावित भी; खराब विकल्पों में यही सबसे अच्छा है
अपने business को आम लोगों को थोड़ा भी समझ में आ सके, ऐसे समझाने का तरीका मुझे अब तक नहीं मिला। सब कुछ बहुत जटिल है और रोज़मर्रा की ज़िंदगी से कई कदम दूर है
बात यह नहीं कि यह ज़रूरी तौर पर बहुत complex है; बल्कि इसमें ऐसी details बहुत ज़्यादा हैं जिनसे औसत व्यक्ति परिचित नहीं होता, और रोज़मर्रा की analogies भी लगभग नहीं हैं
convex shapes के बारे में मुझे ठीक से नहीं पता
बहुत ज़्यादा detail वाली लगने वाली भाषा में लोगों को दूर धकेलने वाली toxicity आ सकती है
इसे इस नज़रिए से समझा सकते हैं: “XYZ करना है, लेकिन यह बहुत मुश्किल है और frustrating है, इसलिए एक आसान अनुमान लगाते हैं। इस problem को इस तरह rough तरीके से सोचना इसलिए manageable है, और चूँकि ABC पता है, हम ABC बनाते हैं। फिर उसे इस्तेमाल करने पर यह अब तक किए गए तरीकों से बेहतर काम करने के करीब पहुँचता है, इसलिए excitement होती है”
non-technical लोगों के लिए emotions वाली explanation भी काफी काम करती है। वे emotional तरीके से सोचने के ज़्यादा आदी हो सकते हैं, जबकि हम अपने काम की logic और कभी-कभी math में गहराई से डूबे होते हैं। इसलिए explanation में emotions वापस डालने पड़ते हैं
मैंने अपने परिवार को इसी तरह समझाया, तो वे साथ चल पाए और सच में समझ गए
लेख में कहा गया कि “100-आयामी space में उनकी विधि लगभग 100 गुना ज़्यादा spheres भरती है, और दस लाख-आयामी space में लगभग 10 लाख गुना ज़्यादा भरती है”, जो यह दिखाने का अच्छा उदाहरण है कि high-dimensional space कितना अजीब होता है
इसका मतलब शायद यह है कि जब तेज़-तर्रार लोग 100-आयामी डिब्बे में जितने ज़्यादा हो सकें 100-आयामी संतरे डालने की कोशिश कर रहे थे, अब तक वे space का 1% भी नहीं भर पाए थे, और दशकों तक खोजने के बाद भी उन्हें एक और रखने की जगह नहीं मिली थी
unit cube से घिरे unit n-sphere के बारे में सोचें, तो n बढ़ने पर sphere द्वारा घेरा गया अनुपात गायब हो जाता है। और अजीब बात यह है कि यह संबंध monotonic भी नहीं है और n=6 पर maximum होता है
n=100 में unit 100-sphere का volume लगभग 10^-40 होता है, और इस cube के अंदर दूसरा sphere डाल पाना तो स्वाभाविक रूप से संभव नहीं है। इसलिए packing improvement से मिलने वाला gain इतना बड़ा हो सकता है, यह चौंकाने वाली बात नहीं है
कई लोग कहते हैं कि वे 4D visualize कर सकते हैं, लेकिन मैंने अभी तक किसी को सच में ऐसा करते नहीं देखा। इसमें कई mathematicians भी शामिल हैं, लेकिन इस तरह का दावा करने वाले आम तौर पर mathematicians नहीं होते
मुझे इस Math Overflow पोस्ट का animation[0] पसंद है, क्योंकि इसमें बहुत सारी छिपी हुई complexity है जिसके बारे में ज़्यादातर लोग सोचते नहीं। वह animation असल में optical illusion है और हम “hallucination” देख रहे होते हैं। ऊपर वाली आकृति cube को plane पर project कर रही है? असल में वह cube नहीं है। वह पहले से ही cube का 2D projection है। तकनीकी रूप से यह 3D है, लेकिन तीसरा dimension spatial dimension नहीं, time dimension है। यह अपने-आप में dimensions की abstraction सीखने के लिए अच्छा सबक है
इसलिए हम घूमते हुए cube की hallucination करते हैं, फिर plane पर projection देखते हैं, और फिर उसे बिना मुड़े हुए square की तरह नहीं बल्कि depth वाला समझकर फिर से hallucinate करते हैं। यह अपने-आप में भी काफ़ी विचित्र है
सच तो यह है कि हमें 2D imagination में भी मुश्किल होती है। ज़्यादातर लोग दावा करते हैं कि वे 2D visualize कर सकते हैं, और उस दावे का आम तौर पर खंडन नहीं होता
अगर आपने Flatland[1] नहीं पढ़ी है, तो मैं सभी को इसकी सलाह दूँगा। बहुत से लोग इसे गलत पढ़ते हैं। आम तौर पर वे इसे एक dimension घटाकर बनाई गई analogy के रूप में पढ़ते हैं: हम 3D beings, 2D beings के बराबर हैं, और 4D being हमारे लिए उतना ही confusing होगा जितना Flatlander के लिए 3D being होता है। यह सही है, लेकिन इसमें एक छल है। हमें लगता है कि 2D समझना बहुत आसान है। लेकिन मैं दावे से कह सकता हूँ कि अभी आप अपने दिमाग में जो बना रहे हैं, वह गलत है। सच कहूँ तो किताब भी पूरी तरह accurate नहीं है
सच में Flatlander की स्थिति में जाना होगा। किताब के अंदर नहीं, बल्कि असली Flatlander की स्थिति में। कल्पना करें कि आप एक square Flatlander हैं और triangle देख रहे हैं—आपको क्या दिखेगा? शायद आप एक line सोचेंगे, लेकिन वह गलत है। आपने thickness दे दी और तीसरा dimension डाल दिया। फिर से कोशिश करें, और और गहराई जोड़ते हुए real Flatland की कल्पना करने की चुनौती खुद को दें, तो पता चलेगा कि आप ऐसा नहीं कर सकते
इसके बजाय हम 3D के भीतर embedded 2D space को visualize और reason कर सकते हैं। कोई कह सकता है कि यह बाल की खाल निकालना है, लेकिन अगर ऐसा नहीं है, तो इसे[2,3] 4D hypercube का representation नहीं बल्कि 4D hypercube कहना पूरी तरह ठीक होना चाहिए
इसे समझना बहुत high dimensions को समझने में बहुत मददगार है, ऐसा मुझे लगता है। जब आप एक dimension बढ़ाने या घटाने को सटीक रूप से visualize करने की भारी कठिनाई का सामना करते हैं, तो बहुत अधिक dimensions के बारे में reason करते समय खुद को धोखा देने की संभावना कम हो जाती है
जैसा Feynman ने कहा था, पहला principle है कि खुद को धोखा न दें, और सबसे आसानी से धोखा खाने वाला व्यक्ति आप खुद हैं
[0] https://math.stackexchange.com/a/2286226
[1] http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/
[2] [https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-s...](https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-simple.gif)
[3] Carl Sagan का एक अच्छा video है जिसमें वे hypercube के 3D projection, यानी shadow, को उठाकर समझाते हैं। जो भी दिखाया जाए, वह 2D के अंदर embedded होने को मजबूर है। 6:20 से उठाते हैं https://www.youtube.com/watch?v=UnURElCzGc0
दिलचस्प। एक बेहतर compression algorithm बनाने के लिए मैंने एक महीने तक sphere-packing approach इस्तेमाल की थी
बहुत सारे vectors थे और वे clustering से grouped थे, लेकिन निष्कर्ष यह निकला कि theoretical approach सिर्फ uniform data पर ठीक से काम करती है और real-world data पर अच्छी तरह फिट नहीं बैठती
उदाहरण के लिए मान लें कि data में high-dimensional structure है, लेकिन locally uniform है। यह common है और noise पैदा करने वाली process की वजह से होता है। centroids compute करके store कर दें, तो वे original data से ज़्यादा uniform होते हैं और संख्या में बहुत ज़्यादा नहीं होते, इसलिए वैसे भी बड़ी समस्या नहीं बनते
हर vector को centroid index और vector offset के रूप में store करें। इस समय AoS नहीं, SoA है। index को अपनी पसंदीदा entropy-based integer method से compress किया जा सकता है, और अगर order preserve करने की ज़रूरत न हो तो इससे बेहतर भी किया जा सकता है
assumption के हिसाब से offsets अब roughly uniform हैं, इसलिए literature में मौजूद अपनी पसंदीदा sphere strategy इस्तेमाल की जा सकती है
बेशक अगर actual use cases बहुत heterogeneous हैं और कोई general technique कारगर नहीं है, तो नहीं
गणितज्ञों को लगता है कि पहली PhD के कुछ साल बाद उन्हें अपने क्षेत्र से बिल्कुल समान नहीं, लेकिन करीबी क्षेत्र में दूसरी PhD-स्तर की डिग्री कर पाने की सुविधा होनी चाहिए
कई शोधकर्ता postdoc अवधि में या उसके बाद करीबी क्षेत्रों में फिर से training लेते हैं या अपनी research interests जोड़ते हैं। उस बिंदु के बाद यह बस research ही है
हालांकि आधुनिक academic माहौल में ऐसा करने की कोशिश आसान नहीं होगी
खासकर गणित के अलग-अलग क्षेत्रों को जोड़ना बहुत शक्तिशाली हो सकता है
कम से कम Germany में यह बताए गए विचार से काफी मिलता-जुलता है
दिए गए dimension d के लिए Klartag कहते हैं कि वह पहले के ज्यादातर परिणामों की तुलना में d गुना ज्यादा spheres भर सकते हैं
यानी 100 dimensions में लगभग 100 गुना, और दस लाख dimensions में लगभग दस लाख गुना ज्यादा spheres भरना—यह संख्या बहुत बड़ी लगती है। क्या इसका मतलब कई communication systems में bandwidth कई orders of magnitude बढ़ जाना या power consumption कम हो जाना है?
इसलिए यह केवल उन objects के लिए मददगार है जो स्वाभाविक रूप से high-dimensional हैं। digital objects की कोई natural dimension, यानी byte length, नहीं होती, इसलिए छोटी dimension चुनी जा सकती है
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Klartag अपनी training background के हिसाब से sphere packing specialist नहीं हैं, लेकिन वे आसपास के सबसे अच्छे problem solvers में से एक हैं
इस साल की शुरुआत में उन्होंने Hyperplane Conjecture हल किया, और KLS Conjecture, Mahler Conjecture, convex bodies के लिए central limit theorem जैसी convexity theory से जुड़ी समस्याओं में प्रगति में योगदान दिया है
उनके छात्र Eldan का Stochastic Localization पर काम भी log-concave sampling algorithms में अहम साबित हुआ है, जो KLS Conjecture से जुड़ा है, और उस पर ICM में भी lecture हुआ था
साथ ही convex geometry में इस्तेमाल होने वाले tools, खासकर कुछ harmonic analysis tools, sphere packing research में भी काफी उपयोगी हैं
इसलिए इसे “अप्रत्याशित” कहना मुश्किल है
मैं सहमत हूं कि Klartag convex shapes को एक underrated mathematical tool मानते हैं। मैं गणितज्ञ नहीं हूं, लेकिन मैंने convex hull algorithms को ऐसी जगहों पर समस्याएं हल करते देखा है जहां बिल्कुल उम्मीद नहीं थी
उदाहरण के लिए, image की automatic palette decomposition पर paper जैसी जगहों पर convex hull algorithms इस्तेमाल होंगे, यह सोचा भी नहीं होगा
https://www.rose-hulman.edu/class/cs/csse451/Papers/DILvGRB....
शुरुआती सवाल है: क्या optimal sphere packing का regular lattice से correlation होता है? 2D और 3D में तो ऐसा है, है न? अगर हां, तो क्या यह n dimensions तक extend होगा?
इसे Maryna Viazovska ने 2017 में साबित किया था, और दूसरे paper में coauthors भी थे। https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7 https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8
यह भी देखने लायक है: https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf
अन्य dimensions में यह open problem है, और आम तौर पर इसके सच होने की संभावना कम लगती है। कुछ dimensions में, ज्ञात सबसे dense non-regular packing, ज्ञात सबसे dense regular packing से ज्यादा dense है
हालांकि उन सभी की density FCC lattice जैसी ही है। ऐसी packings FCC की horizontal layers को एक-दूसरे के सापेक्ष horizontal रूप से सरकाकर बनाई जा सकती हैं
high dimensions में यह conjecture है कि सबसे dense packing हमेशा non-lattice होगी। वजह यह है कि ऐसे spaces में पर्याप्त symmetry नहीं होती
आज इससे पहले एक पोस्ट थी कि Neanderthals ने fat render किया था
उसमें बात आई थी कि anthropologists को यह पता नहीं था कि pottery के आविष्कार से पहले भी उबालना संभव था, और science teachers को यह संभावना पता थी क्योंकि वे इसे कक्षा में करके दिखाते हैं
आखिर में बात इस दिशा में गई कि अलग-अलग क्षेत्रों में एक ही चीज़ फिर से खोजी जाती है, जैसे glucose पर शोध करने वाले किसी व्यक्ति ने integration का trapezoidal rule फिर से खोज लिया था
यह भी एक और उदाहरण है कि किसी दूसरे क्षेत्र की expertise कैसे मददगार हो सकती है
survival situations में इस्तेमाल होने वाला तरीका दिखाने वाला सिर्फ एक YouTube video देख लेना काफी है। ऐसे और भी बहुत होंगे: https://www.youtube.com/shorts/0zun_UxO2vU
यह सही है कि मुझे context नहीं पता, लेकिन ऐसे चौंकाने वाले दावे के लिए कोई source न हो तो बात बनती नहीं। यह “laugh test” भी पास नहीं करता