Fourier transform क्या है?

• Fourier transform एक गणितीय गणना है जो जटिल signals या functions को मूलभूत frequency components के योग में विभाजित करती है
• कान भी विभिन्न sound waves को ग्रहण करके उन्हें अलग-अलग frequencies में विभाजित करता है, और गणितज्ञ Fourier ने 19वीं सदी में इसे औपचारिक रूप दिया, जिससे गणित में एक बड़ा नवाचार आया
• Fourier transform का उपयोग केवल function analysis में ही नहीं, बल्कि compression, signal processing, physics, quantum mechanics जैसे व्यापक क्षेत्रों में भी होता है
• यह digital images, audio और अन्य तरह के data को प्रभावी ढंग से compress और transform करने में अनिवार्य भूमिका निभाता है
• Fast Fourier Transform algorithm (FFT) के आने के बाद, आज Fourier transform रोजमर्रा के जीवन और IT तकनीक के लगभग हर हिस्से में व्यापक रूप से उपयोग हो रहा है

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परिचय

• जब हम संगीत सुनते हैं, तो हमारे कान जटिल ध्वनि तरंग signals को ग्रहण करके उन्हें frequency के अनुसार विभाजित करने का काम करते हैं
• Fourier transform किसी भी जटिल function को मूलभूत waveforms के योग में तोड़कर फिर से मूल function प्राप्त करने का साधन देता है
• इस विधि की खोज 19वीं सदी के फ़्रांसीसी गणितज्ञ Jean-Baptiste Joseph Fourier ने की, और इसने function analysis में क्रांतिकारी बदलाव लाया
• इसके बाद Fourier transform ने function analysis, signal processing, mathematics, physics जैसे अनेक क्षेत्रों की प्रगति को तेज़ किया, और आज यह कंप्यूटर में file compression, audio signal amplification आदि में भी उपयोग होता है
• New York University के प्रोफेसर Leslie Greengard के अनुसार, Fourier analysis का प्रभाव गणित और विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र पर पड़ा है

Fourier का जुनून और खोज

• Fourier का जन्म 1768 में फ़्रांस में हुआ और उन्होंने कम उम्र से ही मठीय शिक्षा और गणित की पढ़ाई की
• धर्म और गणित के बीच दुविधा में रहते हुए, 1794 में उन्हें प्रतिविप्लवी विचारों के कारण कैद किया गया, लेकिन फ़्रांसीसी क्रांति के बाद वे फिर गणित शिक्षा में लौट आए
• Napoleon के मिस्र अभियान में वैज्ञानिक सलाहकार के रूप में शामिल होकर उन्होंने प्राचीन मिस्र के अध्ययन और heat transfer की समस्याओं पर काम किया
• उन्होंने दावा किया कि धातु की छड़ में heat transfer को सरल तरंगों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे उस समय के गणितज्ञों में बड़ा विवाद खड़ा हो गया
  • तापमान में तेज़ बदलाव (जैसे आधी छड़ ठंडी और आधी गर्म) को भी अनंत संख्या में चिकनी वक्रों के योग से ठीक-ठीक समझाया जा सकता है — यही इस विचार की क्रांतिकारिता थी
• अंततः Fourier ने यह साबित करके गणित जगत पर गहरा प्रभाव डाला कि मनमाना function भी बहुत सरल oscillations के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
• हालांकि, अत्यधिक जटिल functions पर इसका उपयोग सीमित हो सकता है, खासकर उन functions पर जो ज़ूम करने पर भी लगातार अनियमित बने रहते हैं

Fourier transform का सिद्धांत

• Fourier transform किसी जटिल वस्तु को सुगंध या chord के घटकों की पहचान करने की तरह अलग-अलग frequency components में विभाजित करता है
• गणितीय रूप से, यह input function लेकर यह गणना करता है कि हर frequency का मूल function में कितना योगदान है
  • उदाहरण: यदि किसी function को frequency 3 की sine wave से गुणा करने पर graph का average value ऊँचा आता है, तो इसका मतलब है कि यह frequency मूल function में काफ़ी मात्रा में मौजूद है
  • यदि किसी खास frequency पर positive peaks और negative peaks एक-दूसरे को काट दें और average 0 के करीब हो, तो वह frequency लगभग मौजूद नहीं मानी जाती
• Fourier transform सभी frequencies के लिए ऐसे coefficients मापता है, और इन्हें जोड़ने पर मूल जटिल function को फिर से बनाया जा सकता है
• square wave जैसे तीखे किनारों वाले signals (जैसे digital signals) को अनंत frequencies के योग (Fourier series) से निकटानुमानित किया जा सकता है
• शुरुआती गणितज्ञों के लिए यह स्वीकार करना कठिन था कि अनंत संख्या में smooth curves अचानक बदलाव पैदा कर सकती हैं, लेकिन आज यह एक महत्वपूर्ण उपकरण है

उच्च आयाम और वास्तविक जीवन के उपयोग

• Fourier transform दो-आयामी functions जैसे images पर भी लागू होता है, जिन्हें हर pixel brightness को दर्शाने वाले 2D function के रूप में समझा जा सकता है
• किसी image के Fourier transform का परिणाम विभिन्न दिशाओं वाले striped patterns के रूप में समझा जा सकता है, और इन patterns को मिलाकर मूल image फिर से बनाई जा सकती है
• JPEG जैसी image compression तकनीकें high-frequency information (छोटे details) को हटाकर file size बहुत कम कर देती हैं, जबकि image की मुख्य विशेषताएँ बनी रहती हैं
• 1960 के दशक में James Cooley और John Tukey द्वारा बनाए गए Fast Fourier Transform (FFT) algorithm ने Fourier transform की गणना को क्रांतिकारी रूप से तेज़ कर दिया
• इसके कारण data signal processing, computer science, medical imaging (MRI), astronomy, audio/video compression सहित कई क्षेत्रों में Fourier transform अनिवार्य तकनीक बन गया

आधुनिक गणित और विज्ञान में प्रभाव

• Fourier transform physics (विशेषकर quantum mechanics) का एक केंद्रीय आधार है और यह uncertainty principle की गणितीय नींव प्रदान करता है
  • उदाहरण: किसी कण की position जितनी अधिक सटीकता से ज्ञात होगी (graph में जितनी अधिक नुकीली), Fourier transform के बाद momentum की अनिश्चितता उतनी ही बढ़ेगी
• harmonic analysis नाम की शाखा विकसित हुई, जो तरंगों, functions के inverse transform, और functions के विभिन्न गुणों के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है
• गणित में इसका number theory, prime numbers के distribution आदि से भी गहरा संबंध है
• प्रोफेसर Charles Fefferman ने इसकी महत्ता पर ज़ोर देते हुए कहा कि Fourier transform के बिना गणित का बड़ा हिस्सा ही गायब हो जाता

निष्कर्ष

• Fourier transform signals, data, images और physics सहित आधुनिक विज्ञान और तकनीक का एक मुख्य उपकरण है
• गणितीय नवाचार से लेकर व्यावहारिक तकनीक तक, इसका प्रभाव बेहद व्यापक है
• आज यह computers, communications, healthcare और entertainment सहित अनेक क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग हो रहा है

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Hacker News राय

• Captain Disillusion चैनल का वह वीडियो सुझाया गया है जो बहुत शानदार तरीके से दिखाता है कि Fourier transform विज़ुअली कैसे काम करता है, और blur या unblur जैसे visual effects में इसका उपयोग कैसे होता है
  https://youtu.be/xDLxFGXuPEc?feature=shared
  • Captain Disillusion का कंटेंट पसंद है, लेकिन यह भी बताया गया कि 'CD / Blur' एपिसोड सीरीज़ में अपेक्षाकृत कम जानकारी वाला है। यह मज़ेदार और सुलभ ज़रूर है, लेकिन 3Blue1Brown के Fourier Transform(FT) वीडियो जैसी गहराई नहीं है
  • वीडियो में Carl Sagan को दिया गया homage वाला दृश्य काफ़ी मज़ेदार लगा
• अगर Fourier में रुचि है, तो Laplace transform (या उसका discrete version, z-transform) भी पसंद आएगा। किसी समय इस क्षेत्र में पूरी तरह डूबकर गहराई से पढ़ा था, और आज भी यह पसंदीदा अध्ययन-शौकों में से एक है। Fourier, Laplace, z-transform के applications सच में बहुत व्यापक हैं। इन्हें मुख्यतः signal processing और analog electronics में इस्तेमाल किया गया
  • electronics पढ़ते समय, computer algebra systems न होने की वजह से Laplace transform के transfer function को हाथ से z-transform में बदलने की याद है। विस्तार करना, फिर से समूह बनाना, factor करना—ऐसे करते हुए pencil, eraser और line-printer paper का ढेर लगाकर बुनियादी लेकिन उबाऊ algebra का अभ्यास किया था। आज के छात्र सच में बहुत भाग्यशाली हैं
  • पहले Amazon पर अक्सर ऐसे चुनाव करने पड़ते थे जहाँ एक product की rating ऊँची होती थी लेकिन reviews कम, और दूसरे की rating थोड़ी कम लेकिन reviews ज़्यादा होते थे। तब Laplace Rule of Succession लागू करके एक browser extension बनाया, जो review count और rating दोनों को ध्यान में रखकर Laplacian score निकालता था। इससे काफ़ी समझदारी भरे चुनाव संभव हुए
    https://greasyfork.org/en/scripts/443773-amazon-ranking-laplace
  • discrete sequences के लिए तथाकथित 'Z-transform' मूलतः generating function या formal power series/Laurent series जैसा ही है। यानी discrete sequence को z^(-1) की power series के रूप में लिखना
  • Laplace Transform की बात आते ही control theory के poles और zeros जैसे concepts याद आते हैं
  • मूल रूप से electric/electronic engineering का केंद्र ही ऐसे transforms हैं
• लोग जब संसाधन साझा कर रहे थे, तब MIT के Dennis Freeman के "Signals and Systems" लेक्चर का परिचय दिया गया, जो चार Fourier representations (FT, DFT, Fourier Series, DTFT) के आपसी संबंध को बहुत सहज ढंग से समझाता है
  https://ocw.mit.edu/courses/6-003-signals-and-systems-fall-2011/resources/lecture-19-relations-among-fourier-representations/
  • कभी Wavelet transform बहुत लोकप्रिय था, लेकिन आजकल उसके बारे में लगभग बात ही नहीं होती—यह बात हैरान करती है
• BetterExplained.com पर भी Fourier transform से जुड़ी interactive guide बहुत अच्छी तरह व्यवस्थित है
  https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/
• Fourier Transform या अन्य कई transforms (generating functions, Mellin/Laplace/Legendre/Haar आदि) वास्तव में उपयोगी क्यों हैं, इस पर एक निजी सिद्धांत है। वजह यह है कि वास्तविक दुनिया के बहुत से functions sparse होते हैं और compressed sensing आसान हो जाती है FT एक 1:1 transform है, इसलिए सिद्धांततः इसमें information loss नहीं होता, और frequency space में देखने पर समस्याएँ अक्सर बहुत सरल हो जाती हैं। वजह यह है कि ऊपर से जटिल दिखने वाले functions भी transform space में अक्सर सरल building blocks से बने होते हैं उदाहरण के लिए, मक्खी के पंख फड़फड़ाने की ध्वनि का signal जटिल लग सकता है, लेकिन FT में देखने पर एक single frequency पर मज़बूत peak दिखती है। दो sine waves का योग भी मूल रूप में जटिल लग सकता है, लेकिन FT में बदलने पर वह दो स्पष्ट स्थानों पर अलग दिखता है JPEG, MP3 आदि में FT (जैसे DCT) का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि मानव senses (hearing/vision) के लिए महत्वहीन frequency components को हटाकर data compression किया जा सकता है FT का जादू सिर्फ orthogonal basis में बदलना नहीं है, बल्कि यह है कि वास्तविक signals को अक्सर बहुत कम basis components से काफ़ी सटीकता से व्यक्त किया जा सकता है
  • इसी संदर्भ में Taylor Series भी उपयोगी है, क्योंकि यह वास्तविक dynamics को "मुख्यतः linear + nonlinear effects" के संयोजन के रूप में approximate करती है। drag इसका उदाहरण है; Taylor expansion लगाने पर इसे viscosity (linear term) और volume displacement (quadratic term) में बाँटा जा सकता है। वास्तविक हवा में linear term का coefficient बहुत छोटा होता है, लेकिन यह तरीका संरचना समझने में मदद करता है
  • FT के विशेष रूप से प्रमुख होने का कारण यह है कि sine, cosine और complex exponential functions differential operator के eigenfunctions होते हैं। वास्तविक दुनिया की बहुत-सी systems differential equations से वर्णित होती हैं, इसलिए FT analysis का मूल उपकरण बन जाता है। खासकर वास्तविक signals FT space में sparse क्यों दिखते हैं, इसका कारण यह है कि अधिकांश वास्तविक systems में periodic motion बहुत होता है—जैसे motors या मक्खी के पंख—इसलिए FT द्वारा components का विभाजन बहुत कुशलता से हो जाता है। हर signal को मूल frequency के harmonics में तोड़ने की संरचना होती है
  • आखिरकार महत्वपूर्ण बात यह है कि 'मनुष्य जिन signals को perceive करता है, वे और भी अधिक sparse होते हैं'। वास्तविक violin tone sine wave से काफ़ी दूर होता है, लेकिन मस्तिष्क उसे एक आदर्श timbre के रूप में पहचानता है। यानी हमारा cognitive model वास्तव में बहुत compressed है
• Fourier Transform को "महसूस" करने में कठिनाई इसलिए लगती है क्योंकि signal की oscillation को वास्तव में मापने के लिए कुछ समय तक इंतज़ार करना पड़ता है, और transformation process में integration शामिल होता है। दृश्य रूप में तो पूरा signal एक साथ दिखा दिया जाता है, लेकिन वास्तविक जीवन में signal धीरे-धीरे आता है, इसलिए यह सहज नहीं लगता। इस तरह के मामलों पर और गहराई से पढ़ना चाहेंगे
  • ऐसे मामलों में time-frequency analysis की ज़रूरत होती है, और इसका मुख्य उपकरण short-time Fourier transform (STFT) है। music spectrogram और कई visualizations इसी पर आधारित हैं
  • stream signals के लिए sliding-window FFT इस्तेमाल होता है। window size यह सीमित करता है कि न्यूनतम/अधिकतम कौन-सी frequency band detect की जा सकती है। digital data की time quantization भी high-frequency band को सीमित करती है, और window की चौड़ाई के कारण latency अनिवार्य रूप से पैदा होती है, जो real-time voice filtering में महत्वपूर्ण है
  • सहज रूप से देखें तो यह time window के साथ convolution करने जैसा है। window size यह तय करता है कि कौन-सा frequency band पहचाना जा सकेगा
  • आमतौर पर FFT को 512 samples जैसे छोटे खंडों पर चलाया जाता है। या 1024 samples की overlapping window लेकर हर 512 samples पर आगे बढ़ते हैं; ज़्यादा samples इस्तेमाल करने पर precision बेहतर होती है
• यह लेख पढ़ते हुए पहली बार सच में Fourier Transform की समझ खुलती हुई लगी। image compression bitmap का सिद्धांत भी पहली बार समझ आया, और अब खुद compression या continuous signals को अलग-अलग components में बाँटकर देखने के प्रयोग करने की इच्छा हुई colour quantisation पर भी इसे लागू करके देखना चाहेंगे, और मुख्य/औसत RGB components निकालकर पारंपरिक dithering की तरह error फैलाने के बजाय सिर्फ sparse components बचाने वाली color reduction method भी आज़माई जा सकती है। हो सकता है यह अच्छा न चले, लेकिन कोशिश करते हुए सीखने की प्रक्रिया ही उत्साहजनक लगती है
• जो लोग Fourier Transform में अभी नए हैं, उनके लिए यह अच्छा resource हो सकता है, लेकिन इससे चीज़ें वास्तविकता से कहीं अधिक arbitrary और random भी लग सकती हैं। उल्टा, कहीं ऐसा न हो कि पूरी बात समझ लेने का भ्रम पैदा हो जाए और आगे की अधिक सुंदर चीज़ें छूट जाएँ आशा है कि Fourier Analysis जैसे शायद जीवन के सबसे सुंदर विषयों में से एक के फूल को, पहले से पा लेने का भ्रम पालकर खो न दिया जाए
  https://news.ycombinator.com/item?id=45134843 यह सवाल उस छिपी सुंदरता की ओर इशारा हो सकता है
  • 3Blue1Brown का Fourier Transform व्याख्यान वीडियो भी high-quality explanation के रूप में सुझाया गया
    https://youtu.be/spUNpyF58BY?si=nSqHf_3zbhyu9YGd
• अगर Fourier Transform को और गहराई से visual तरीके से अनुभव करना चाहते हैं, तो ये explorable explanations बहुत उपयोगी हैं
  https://injuly.in/blog/fourier-series/index.html, https://www.jezzamon.com/fourier/
• यह बात चकित करती है कि Fourier ने दावा किया था कि एक छड़ में फैलती हुई ऊष्मा को सरल waveforms के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। मन में आता है, 'ऐसा विचार किसी को कैसे आया?' कुछ लोग सच में अलग तरह से पैदा होते हैं
  • लगता है Fourier differential equations, series expansion, calculus के शुरुआती अव्यवस्थित दौर जैसे कई गणितीय मुद्दों से सच में बहुत परिचित थे। इन 200 वर्षों में नए और शानदार गणितीय frontier भी काफ़ी बदल चुके हैं