सभी elementary functions को एकल binary operation से जनरेट करना

• exp(x) − ln(y) रूप वाला एकल binary operator EML सभी elementary functions और constants को जनरेट कर सकता है, यह प्रस्तावित किया गया है
• इस operator और constant 1 मात्र से arithmetic operations, transcendental functions (sin, cos, log, √ आदि), complex constants (e, π, i) सभी को व्यक्त किया जा सकता है
• सभी EML expressions एक ही node structure वाले binary tree से बने होते हैं, इसलिए इन्हें symbolic regression और gradient-based learning में उपयोग किया जा सकता है
• EML को NAND gate का mathematical counterpart माना गया है, जो continuous mathematics में एकल universal operator की भूमिका निभाता है
• यह खोज दिखाती है कि सभी elementary functions को एक ही generative rule में घटाया जा सकता है, और equation search तथा symbolic AI के लिए नई संभावनाएँ खोलती है

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एकल binary operator EML की परिभाषा

• eml(x, y) = exp(x) − ln(y) रूप वाला एकल binary operator सभी elementary functions को जनरेट कर सकता है, यह प्रस्तावित किया गया है
  • इस operator और constant 1 मात्र से arithmetic operations (+, −, ×, /, powers), transcendental functions (sin, cos, log, √ आदि), constants (e, π, i) सभी को व्यक्त किया जा सकता है
  • उदाहरण के लिए e^x = eml(x, 1), ln x = eml(1, eml(eml(1, x), 1)) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
• EML (Exp–Minus–Log) operator complex domain (C) में computation करता है
  • constant 1, ln(1)=0 के माध्यम से log term को neutralize करने का काम करता है
  • ln(−1) की गणना से i और π जैसे complex constants बनाए जा सकते हैं
• इस operator को digital logic के NAND gate के अनुरूप continuous mathematics का एकल basic operator बताया गया है
  • जैसे NAND सभी Boolean logic का निर्माण करता है, वैसे ही EML सभी elementary functions का निर्माण करता है

एकल operator-आधारित calculator की अवधारणा

• “दो-बटन calculator” की अवधारणा प्रस्तुत की गई है
  • केवल एक binary operator (EML) और एक constant (1) से scientific calculator की सभी functions को चलाया जा सकता है
  • किसी अतिरिक्त operator के बिना भी सभी real और complex elementary functions की गणना संभव है
• operators की संख्या को इससे अधिक घटाना संभव नहीं है
  • कम से कम एक binary operator और एक terminal symbol (constant) आवश्यक है

EML representations की संरचनात्मक विशेषताएँ

• सभी EML expressions में एक ही तरह के nodes से बनी binary tree structure होती है
  • grammar रूप: S → 1 | eml(S, S)
  • इसे Catalan structure तथा full binary tree के समरूपी context-free language के रूप में समझा जा सकता है
• यह uniform structure symbolic regression में gradient-based optimization (Adam आदि) लागू करना संभव बनाती है
  • EML tree को एक learnable circuit की तरह उपयोग करके, कम tree depth (अधिकतम 4) पर सटीक closed-form elementary function recovery संभव है
  • यदि generating law elementary function हो, तो learned weights सटीक equation form में converge कर सकते हैं

खोज की प्रक्रिया और गणितीय निहितार्थ

• EML operator की खोज systematic exhaustive search के माध्यम से की गई
  • खोज के परिणाम में यह पुष्टि हुई कि EML scientific calculator के लिए पूर्ण operational basis बनाता है
• इसमें operators की संख्या को धीरे-धीरे घटाने वाले “broken calculator” approach का उपयोग किया गया
  • 4 → 3 → 2 → 1 operator तक घटाते हुए complete functionality बनाए रखी गई
• EML में अप्रत्याशित सरलता है, और यह elementary functions से ही परिभाषित binary operator है
• EML का अस्तित्व दिखाता है कि elementary functions अपेक्षा से कहीं अधिक सरल generative hierarchy में आते हैं
  • यह इस विचार का विस्तार है कि विभिन्न functions को exp और ln के combinations में घटाया जा सकता है
• एकल repeatable building block से सभी mathematical expressions को व्यक्त किया जा सकता है,
  • जिससे electronic circuits की transistor-based construction जैसी mathematical expressions की circuit-style representation संभव होती है
• ऐसी uniform circuit representation equation search, evaluation, और learning के लिए नई संभावनाएँ प्रस्तुत करती है

संबंधित अवधारणाएँ और ऐतिहासिक संदर्भ

• एकल basic element की universality गणित, engineering और biology में एक महत्वपूर्ण अवधारणा रही है
  • उदाहरण: NAND/NOR gates, ReLU activation function, K,S combinators, OISC(SUBLEQ), Rule 110 cellular automaton आदि
• Sheffer-type elements दुर्लभ होते हैं, और उनकी खोज में समय, computation, और luck की आवश्यकता हो सकती है
  • EML को ऐसे ही Sheffer-type continuous operators का एक उदाहरण बताया गया है
• यह log और exponential की mutual expressibility (x×y = e^{ln x + ln y}, x+y = ln(e^x × e^y)) तथा Euler formula (e^{iφ} = cos φ + i sin φ) जैसी मौजूदा reduction relations पर आधारित है

elementary function set और आगे का विस्तार

• यह शोध scientific calculator-स्तर के elementary function set को शुरुआती बिंदु मानता है
  • constants: π, e, i, −1, 1, 2, x, y
  • unary functions: exp, ln, inv(1/x), minus(−x), √, sqr(x²), σ(1/(1+e^−x)), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh आदि
  • binary operations: +, −, ×, /, log, pow(x^y), avg((x+y)/2), hypot(√(x²+y²))
• यह सिद्ध किया गया है कि इस पूरे set को एकल operator EML और constant 1 से पूरी तरह बदला जा सकता है
• शुरुआती खोज में और अधिक शक्तिशाली गुणों वाले समान operators भी मिले
  • उदाहरण: ऐसा ternary variant operator जिसे किसी constant की आवश्यकता नहीं होती
• EML को continuous mathematics में एकल generative operator के अस्तित्व की संभावना दिखाने वाले प्रारंभिक बिंदु के रूप में प्रस्तुत किया गया है
  • आगे automatic equation discovery, symbolic AI, mathematical representation optimization आदि में विविध उपयोग की संभावनाएँ हैं

[carnoxen]

सूत्र के रूप में कहें तो, $eml(x, y) = e^x - ln(x)$ है।

लेकिन लगता है कि इसकी असली उपयोगिता तभी दिखेगी जब ऐसा प्रोसेसर आए जो $e^x$ या $ln(x)$ को एक ही बार में compute कर सके।

[GN⁺]

Hacker News टिप्पणियाँ

• यह तरीका कोई खास या सबसे कम गणनात्मक लागत वाला तरीका नहीं है
  उदाहरण के लिए, अगर f(x, y) = 1/(x - y) परिभाषित करें, तो यह भी एक universal operator बन जाता है
  अगर x#y = 1/(x - y) रखें, तो x#0 = 1/x से reciprocal मिलता है, और (x#y)#0 = x - y से subtraction को व्यक्त किया जा सकता है
  इस तरह सिर्फ reciprocal और subtraction से चारों मूल arithmetic operations बनाए जा सकते हैं, यह एक जाना-पहचाना सवाल है
  इसका एक छोटा-सा प्रमाण इस नोट में है

  • दिलचस्प बात यह है कि इस तरीके में constants e, π, i भी शामिल हैं। addition, multiplication, exponentiation, logarithm जैसी transcendental functions तक कवर होती हैं
  • तुम्हारे बताए f(x, y) तरीके में किसी भी concept को व्यक्त करने के लिए limit की ज़रूरत पड़ती है, लेकिन EML तरीका सिस्टम मॉडल को व्यक्त करने वाली computation tree structure के रूप में है
  • बढ़िया खोज है। यह 1935 के पेपर(PNAS paper) का हवाला देता है, और संबंधित चर्चा MathOverflow में भी जारी है
  • तब यह जानने की जिज्ञासा है कि क्या ऐसी single expression से trigonometric functions भी निकाले जा सकते हैं
  • लेकिन इस तरीके से e, π, exp, log जैसे standard constants या closed-form expressions को संभालना मुश्किल लग रहा है

• FRACTRAN जैसे आइडिया को मेन पेज पर देखकर अच्छा लगा
  1-bit stack को binary number में encode करने का तरीका याद आ गया।
  0 को push करने पर संख्या दोगुनी होती है, 1 को push करने पर दोगुनी करके 1 जोड़ा जाता है। pop करना 2 से divide करने जैसा है
  मैं ऐसे विचारों पर आधारित Rejoice नाम की एक concatenative language इस्तेमाल करता हूँ। डेटा को multiplication से compose होने वाले multiset के रूप में व्यक्त किया जाता है
  Rejoice wiki

  • क्या stack का आकार track नहीं करना पड़ेगा ताकि leading 0 का पता चल सके?
  • अभी की व्याख्या तो बस binary numbers के बुनियादी सिद्धांत को नए तरीके से कहती लग रही है

• यह LLM performance टेस्ट करने के लिए अच्छा benchmark है

  paper: https://arxiv.org/pdf/2603.21852
  "2x + y" ko EML sanyojan se vyakt kijiye
  

  Opus(paid) “2” को recursive बताकर फेल हो गया, लेकिन ChatGPT ने पहले ही कर दिखाया था, तो वह सफल रहा
  ChatGPT(free) एक ही बार में सफल, Grok ने depth estimate किया, Gemini सफल रहा, Deepseek PDF लोड नहीं कर सका, Kimi बीच में रुक गया, GLM ठीक-ठाक था

  • आज सीखा कि LLM को taunt करो तो वह और अच्छा करता है। शायद उसमें competitive instinct है
  • मैंने DeepSeek में सिर्फ abstract कॉपी-पेस्ट किया था और उसने फिर भी नतीजा दिया। PDF न पहचान पाने पर अंक काटना अनुचित है
  • अगर तुम्हें ऐसे प्रयोग पसंद हैं तो Terminal Bench Science में योगदान देने की सलाह दूँगा
  • prompt को इस तरह बदलकर देखा:

    eml(x,y)=exp(x)−ln(y)
    sin(x)/x ko EML aur sthirank 1 se vyakt kijiye
    

  • meta.ai instant mode भी एक बार में सफल हुआ

    2x + y = \operatorname{eml}\Big(1,\; \operatorname{eml}\big(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(L_2 + L_x, 1), 1) \cdot \operatorname{eml}(y,1)),1)\big),1\big)\Big)
    

    Gemini ने EML को “elementary mathematical layers” समझ लिया

• single variable की 36 अलग-अलग 2-stage EML functions का visualization किया गया
  पहली 18 real-valued output देती हैं, बाकी में बीच में complex values शामिल होती हैं
  image link

  • इस तरह fixed depth की binary tree functions को पूरी तरह classify करना, और tree को binary number में encode करना मजेदार हो सकता है
    पुराने गणित की किताबों की function tables को एक साधारण hash lookup की तरह फिर से समझा जा सकता है

• “EML और सिर्फ संख्या 1 से हर computation संभव है” वाली बात Iota combinator की याद दिलाती है
  यह न्यूनतम formal system से Turing completeness हासिल करने वाले विचार जैसा लगता है

• अभी पेपर का लिंक v1 है, इसलिए figures गायब हैं। इसे v2 में बदलना चाहिए
  अभी पढ़ ही रहा हूँ, लेकिन अगर यह सही है तो यह कई वर्षों बाद की बड़ी खोज हो सकती है
  अगर spline या polynomial की जगह EML trees से data या wave function fitting की जा सके,
  तो multivariate functions को भी gradient descent से सीखकर EML approximation tree में बदला जा सकता है
  Schrödinger equation की derivative conditions मिलाने के तरीके से भी training की जा सकती है
  यह इतना अच्छा लग रहा है कि शक होता है, लेकिन ऐसा पहले सचमुच हो चुका है

  • इस क्षेत्र में 1 साल शोध करने के अपने अनुभव से कहूँ तो EML शक्तिशाली है, लेकिन expression explosion समस्या है
    सिर्फ एक multiplication व्यक्त करने के लिए depth 8 का tree और 41 से अधिक leaves चाहिए
    न्यूनतम operation set की elegance और expression length के बीच trade-off होता है
    मैं Operad theory और Category Theory का उपयोग करके spectral neural networks और symbolic regression को मिलाने वाले तरीके पर काम कर चुका हूँ
  • यह उसी वजह से है कि हम सारी boolean logic सिर्फ NAND से implement नहीं करते। कारण है computational efficiency
    polynomial, expressive power के मुकाबले computationally तेज़ होते हैं
  • पेपर दिलचस्प और elegant है, लेकिन regression या optimization का competitive alternative नहीं है
    जो तुम कह रहे हो वह मौजूदा symbolic regression जैसा ही है। यह पहले से परिपक्व क्षेत्र है
  • EML आधारित तरीका शानदार है, लेकिन simple functions (जैसे +) को भी व्यक्त करना कठिन है
    फिर भी यह बहुत दिलचस्प खोज है
  • यह एक बढ़िया trick है, लेकिन इसे major discovery कहना शायद बढ़ा-चढ़ाकर कहना होगा

• लगता है -x की derivation गलत है
  stack machine execution trace देखें तो, eml(z, eml(x,1)) = e^z - x के रूप में आता है,
  और इसके -x होने के लिए e^z = 0 होना चाहिए। लेकिन ऐसा complex z मौजूद नहीं है
  वास्तव में z को expand करने पर ln(0) जैसी समस्या आती है। x^-1 में भी कुछ ऐसा ही है
  अगर ln(0)=∞, x/∞=0 जैसी मान्यताएँ लें, तो यह “ऊपरी तौर पर” काम करता दिखता है

  • लेखक RPN notation का ज़िक्र करता है, लेकिन formulas सिर्फ images में दिए गए हैं, इसलिए असुविधा होती है
    computation order देखें तो ln(1)=0 → e-ln(0)=+∞ → e-ln(+∞)=-∞ क्रम से चलता है
  • पेपर में भी इस समस्या को माना गया है। मैंने बहुत जल्दी निष्कर्ष निकाल लिया था

• कुछ दिलचस्प विचार मन में आ रहे हैं

  1. अगर absolute value को sqrt(x*x) के रूप में जोड़ें, तो min, max, signum भी निकाले जा सकते हैं
  2. अगर f(x) और f⁻¹(x), eml() से व्यक्त होने वाले bijective functions हों, तो eml(f(x), f(y)) और f⁻¹(1) से एक और universal basis बनाई जा सकती है
  3. natural logarithm की जगह 2^x - log₂(y) जैसी basis लें, तो यह computationally अधिक efficient हो सकती है। यह Elias omega coding की याद दिलाती है
  4. अगर eml() trees के लिए derivative calculation algorithm हो, तो शायद साफ़ तौर पर सिद्ध किया जा सके कि कौन-सी functions symbolic antiderivative नहीं रख सकतीं
  5. complex domain तक विस्तार complex truth-valued fuzzy logic से भी जुड़ सकता है। Lukasiewicz और multiplicative logic को एकीकृत करने की संभावना है

• मज़े-मज़े में कल emlvm project बनाया

• “depth 4 या उससे कम EML trees से closed-form function recovery संभव है” वाला हिस्सा वाकई शानदार है
  मैं हमेशा सोचता था कि क्या ऐसा संभव हो सकता है