उन्नत गणित में शिक्षण की समस्या

• प्राथमिक और माध्यमिक स्तर की गणित में कमज़ोर व्याख्या छात्रों को गणित से दूर कर सकती है, और नतीजतन केवल बहुत मज़बूत प्रेरणा वाले छात्र ही टिके रह जाते हैं
• उन्नत गणित की कई पाठ्यपुस्तकों में दिए गए प्रमाण पूर्ण प्रमाण से अधिक उच्च-स्तरीय रूपरेखा के करीब होते हैं, इसलिए छात्रों को हर पंक्ति का औचित्य खुद भरना पड़ता है
• Stewart की Galois Theory में एक विशेष मामले के तर्क को खोलने में दो दिन लग गए, और बीच के चरण पेशेवर गणितज्ञों के लिए भी अस्पष्ट थे
• सभी विवरण शामिल किए जाएँ तो 200-पृष्ठ की पाठ्यपुस्तक 2000 पृष्ठ की हो सकती है, इसलिए संक्षेपण अपरिहार्य है, लेकिन छोड़ी गई बातों की संख्या और आकार तकलीफ़देह रूप से बहुत बड़े हैं
• अच्छे विश्वविद्यालयों के अतिरिक्त नोट्स की तरह, ऐसे संसाधनों की ज़रूरत है जो कठिन तर्कों को कठोर प्रमाण और अंतर्ज्ञान के साथ विस्तार दें, और कुछ विषयों से सहायक नोट्स बनाने की योजना है

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उन्नत गणित शिक्षा में दिखने वाले व्याख्या के अंतराल

• प्राथमिक और माध्यमिक गणित शिक्षा की कमज़ोर व्याख्या छात्रों को जीवन भर के लिए गणित से दूर कर सकती है, और केवल मज़बूत प्रेरणा वाले छात्रों को ही आगे बनाए रख सकती है
• गणित को ऐसे विषय के रूप में देखा जाता है जो तर्क की कठोरता, सोच की स्पष्टता, और first principles से तर्क निर्मित करने का प्रशिक्षण देता है
• उन्नत गणित में भी यही समस्या जारी रहती है, और कई स्नातकोत्तर-स्तर की पाठ्यपुस्तकों के प्रमाण पूर्ण प्रमाण से अधिक उच्च-स्तरीय रूपरेखा जैसे होते हैं
• जब पाठ्यपुस्तकें बीच के चरण पर्याप्त रूप से नहीं दिखातीं, तो हर पंक्ति को समझने और उसका औचित्य साबित करने में छात्रों को बहुत मेहनत करनी पड़ती है
• किसी पाठ्यपुस्तक का 10-पंक्ति का तर्क अगर पूरी तरह समझाकर लिखा जाए, तो वह 10 पृष्ठ का प्रमाण बन सकता है

पाठ्यपुस्तकों में संक्षेपण और पूरक सामग्री की ज़रूरत

• पेशेवर गणितज्ञों के साथ मिलकर भी जब पाठ्यपुस्तकों के बीच के चरणों को सँवारा गया, तब कुछ विशेष प्रमाणों के मध्यवर्ती चरण पेशेवर गणितज्ञों के लिए भी अस्पष्ट रहे
• Stewart की Galois Theory में एक विशेष मामले के जटिल तर्क को खोलने में दो दिन लगे, और तैयार परिणाम को सटीकता, पूर्णता, और पर्याप्त रूप से प्रेरित छात्रों के लिए पहुँच—तीनों को संतुष्ट करना था
• ‘proof by obviousness’ और ‘proof by intimidation’ जैसे मज़ाक इसलिए चल पड़ते हैं क्योंकि वास्तविक पाठ्यपुस्तकों में ऐसी स्थितियाँ बार-बार आती हैं
• समस्या सिर्फ इतनी नहीं है कि group theory या field theory जैसे स्नातक-स्तर के बुनियादी परिणामों को छोड़ दिया जाता है; समस्या यह है कि भले ही छात्र पूरा स्नातक पाठ्यक्रम जानता हो, फिर भी स्नातकोत्तर पाठ्यपुस्तक के प्रमाण क्यों काम करते हैं यह पर्याप्त रूप से स्पष्ट नहीं होता
• छात्रों को सीमित समय-सीमा के भीतर विषय सीखना होता है, इसलिए अगर पाठ्यपुस्तक की व्याख्या अपर्याप्त हो, तो हर 10-पंक्ति के तर्क को 10-पृष्ठ के प्रमाण में खुद बदलने का समय नहीं मिलता, और वे अंततः सही कारण सीखे बिना रह सकते हैं
• शोध-पत्रों में यह समस्या और गंभीर होती है, लेकिन यहाँ ध्यान पाठ्यपुस्तकों पर है
• उन्नत पाठ्यपुस्तकों के लिए हर तर्क को पूरी तरह न्यायोचित ठहराना संभव नहीं होने की व्यावहारिक सीमा भी बहुत बड़ी है
  • अगर सारे विवरण जोड़ दिए जाएँ, तो 200-पृष्ठ की पाठ्यपुस्तक 2000 पृष्ठ की हो सकती है
  • न छात्रों के पास और न शिक्षकों के पास हज़ारों पृष्ठ के ऐसे तकनीकी तर्क पढ़ने का समय या धैर्य है जो विशेष रूप से रोचक भी नहीं होते
  • लेखक दिलचस्प हिस्सों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और उम्मीद करते हैं कि छोड़े गए हिस्से छात्र स्वयं भर लेंगे
• फिर भी सामान्य पाठ्यपुस्तकों में मौजूद छोड़ी गई बातों की संख्या और उनका आकार इतना बड़ा है कि वह पीड़ादायक लगता है
• कई अच्छे विश्वविद्यालय कठिन तर्कों को विस्तार से समझाने वाले अतिरिक्त नोट्स देते हैं, जो कठोर प्रमाण और अंतर्ज्ञान दोनों में मदद करते हैं, और यह एक अच्छी परंपरा लगती है
• स्नातकोत्तर-स्तर की पाठ्यपुस्तकें इस अर्थ में बिल्कुल न होने से कहीं बेहतर हैं कि वे विषय को दुनिया के सामने लाती हैं, लेकिन उनकी सामग्री अक्सर आसानी से सुलभ नहीं होती
• यदि समय असीमित होता, तो इन पाठ्यपुस्तकों के सभी तर्कों को विस्तार से खोलकर लिखने वाली सहायक सामग्री बनाना अच्छा होता, लेकिन व्यवहार में यह संभव नहीं है
• फिर भी योजना यह है कि उन विषयों से सहायक नोट्स शुरू किए जाएँ जहाँ व्याख्या की गुणवत्ता विशेष रूप से महत्वपूर्ण लगती है; उदाहरण के तौर पर ग्राफ़ की s-arc transitivity और field extension से जुड़े विषय बताए गए हैं

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Lobste.rs की राय

• आह, यह सच में चुभता है। एक निजी किस्सा और थोड़ी भड़ास निकालूँ तो, मैंने math/computer science की बजाय software engineering इसलिए चुनी, उसके कारणों में से एक यह था कि कक्षा में मौखिक रूप से सुनने पर और अकेले किताब से पढ़ने पर मेरी गणित समझने की क्षमता में बहुत बड़ा अंतर था।
  लिखित theorem को समझने में मुझे असामान्य रूप से बहुत समय लगता है, और अंत में पता चलता है कि जो बात असल में आसान थी, उसे मेरी पसंद के हिसाब से बेहद खराब तरीके से समझाया गया था, इसलिए बहुत असंतोष होता है।
  लेकिन मेरा diagnosis थोड़ा अलग है। मुझे नहीं लगता कि समस्या details की कमी है; बल्कि समस्या motivation और overview की कमी है। proofs ऐसे लगते हैं मानो सब कुछ ठीक उल्टे क्रम में लिखा गया हो। पहले समस्या पर लंबे समय तक सोचकर proof खोजा गया, फिर उस सोचने की प्रक्रिया को मिटाकर आखिरी step से proof लिखना शुरू कर दिया गया।
  उदाहरण के लिए proofs अक्सर “ɛ = n^2 / 36 चुनें” से शुरू होते हैं, और पहले यह समझने के लिए एक बार पढ़ना पड़ता है कि वह epsilon यांत्रिक रूप से क्यों चाहिए; फिर उस technical device के पीछे का idea समझने के लिए दोबारा सोचना पड़ता है; फिर उस idea के आधार पर दिमाग में एक informal proof बनाना पड़ता है; और आखिर में उस idea को ध्यान में रखकर फिर पढ़ना पड़ता है कि proof उसका सही formalization है या नहीं। formalization उपयोगी है, लेकिन वह समझ अपने-आप में नहीं है।
  Reed-Solomon भी इसका उदाहरण है। Wiki यह कह सकती थी कि “degree N का polynomial, N+1 points पर interpolate किया जा सकता है। अगर K points को redundant रूप से भेज दिया जाए, तो कुछ खो जाने पर भी coefficients वापस निकाले जा सकते हैं।” लेकिन उसकी जगह एक लंबी और दुरूह व्याख्या आती है (previously)।
  हाल का एक उदाहरण Tao की Analysis में theorem 1.5.8 है, यानी compact set पर हर open cover का एक finite subcover होता है। वह तुरंत “y चुनें, V_a चुनें, एक ball है, radius r है…” में कूद जाता है; गलत तो कुछ नहीं, लेकिन ऐसा क्यों किया जा रहा है यह समझना मुश्किल होता है।
  formalism को आत्मसात करने के बाद ही मुख्य idea दिखता है। finite subcover चाहिए, तो “सबसे बड़ा” set लालचपूर्ण तरीके से चुनना स्वाभाविक है, लेकिन “सबसे बड़ा” का मतलब क्या है यह तय करना होगा। एक बिंदु fix कर दें तो उस बिंदु के सापेक्ष सबसे बड़ा set चुना जा सकता है, और balls को बढ़ाते-बढ़ाते cover का सिर्फ एक element बचाया जा सकता है। balls अनंत रूप से छोटी नहीं हो सकतीं; तब compactness का उपयोग करके radius 0 वाली ball वाला point मिल जाएगा। इसलिए balls की चौड़ाई कम से कम किसी ɛ जितनी होगी, और फिर जो points अभी तक cover नहीं हुए हैं, उनके लिए सबसे बड़े sets चुनते रह सकते हैं। अगर finite steps में काम खत्म हो जाए तो सफलता, और अगर न हो तो ऐसे points की sequence मिलेगी जो एक-दूसरे से ɛ जितनी दूरी पर होंगे, जो compactness के विरुद्ध है।
  मुख्य idea हमेशा formalization से कहीं सरल होता है, और एक बार वह पकड़ में आ जाए तो लगता है कि inequalities को थोड़ा निखारकर कोई न कोई formalization तो निश्चित ही सही बैठेगी। formalization फिर भी ज़रूरी है; नहीं तो पता ही नहीं चलेगा कि कहीं गलती से axiom of choice जैसी किसी चीज़ पर निर्भर तो नहीं कर रहे। लेकिन ideas पहुँचाने के माध्यम के रूप में यह बेहद खराब है। यह मानो assembly code से quicksort को reverse-engineer करने जैसा है।
  मुझे लगता है कि गणित प्रस्तुत करने का सही तरीका theorem को starting point नहीं बल्कि परिणाम के रूप में रखना है, और “इसे खोजा कैसे जा सकता था?” मोड में समझाना चाहिए।
  बेशक, मैं यह नहीं नकारता कि कभी-कभी ऐसे arguments भी होते हैं जिन्हें “जब तक सच में यकीन न हो जाए कि यह prove करता है, तब तक पकड़कर हिलाना” पड़ता है; लेकिन मैंने अब तक जो अपेक्षाकृत सरल गणित देखा है, उसमें ऐसे मामले कम हैं।

  • इस टिप्पणी ने मुझे cake baking की याद दिला दी।
    textbook के theorems, recipe book में छपी तैयार cake की तस्वीर जैसे हैं, और proofs recipe जैसे। cake बनाते समय जो अफरातफरी होती है, वह असल में नज़र नहीं आती।
    जो चीज़ गायब है, वह यह कि वही cake बनाने के लिए अब भी baking की समझ और कौशल चाहिए। recipe में batter की consistency या गड़बड़ होने पर उसे कैसे ठीक करें, जैसी बातें नहीं होतीं। और baking के “first principles” जान लेने से भी कोई तुरंत baker नहीं बन जाता। basic ideas हों तो भी उन्हें जोड़कर cake बनानी पड़ती है।
    मेरे हिसाब से गणित भी दूसरी आधुनिक disciplines जैसा ही है। display case में cakes भरे पड़े हैं, और सबसे अच्छे bakers को और cakes बनाने के लिए research funding मिलती है। अगर खुद baker बनना है, तो bakery में apprenticeship करके हुनर सीखना होगा, और boss की recipes पर निर्भर रहने के बजाय अपनी cakes बनानी शुरू करनी होंगी। इसके लिए समय, मेहनत, और थोड़ी किस्मत चाहिए।
  • BetterExplained के Kalid Azad ने “Developing Your Intuition For Math” में इसे काफ़ी अच्छी तरह समेटा है।
    https://betterexplained.com/articles/…
    DNA sequence किसी बिल्ली का बहुत सटीक विवरण हो सकता है, लेकिन सिर्फ उसे देखकर आप उस जानवर की मानसिक छवि नहीं बना सकते।
  • वैसे Reed-Solomon में “oversampling” वाला तरीका वास्तव में इस्तेमाल नहीं होता, यह भी समस्या का एक हिस्सा है। उसकी जगह message को polynomial के coefficients के रूप में रखा जाता है, और कुछ अतिरिक्त coefficients जोड़े जाते हैं ताकि पूरा polynomial 0 को छोड़कर सभी points पर 0 हो।
    इस format में checking और correction ज़्यादा efficient हो जाते हैं, और इसे R-S का BCH view कहा जाता है। हालांकि BCH codes के एक पूरे वर्ग का नाम भी है।
    फिर भी, इसे implement करते हुए इस विषय पर बहुत पढ़ने के बाद भी मैं इस बात से सहमत हूँ कि R-S और BCH पर Wikipedia के लेख अधिकांशतः समझ से बाहर हैं। अगर शानदार literate-programming शैली वाली gf256 library, खासकर gf256::rs, न होती तो शायद कोई प्रगति नहीं होती।
  • undergraduate स्तर पर mathematics पढ़ चुके व्यक्ति के रूप में, मैं इससे सहमत हूँ। बहुत-से proofs पीछे मुड़कर देखने पर समझ में आते हैं, लेकिन पहली बार देखने पर अक्सर लगता है, “वहाँ तक पहुँचे कैसे?”
    लेकिन मेरे अनुभव में कुछ theorems दूसरे theorems की तुलना में prove करना आसान होते हैं। Algebra I की class में एक exam ऐसा था जिसमें professor मौके पर चुने गए किसी भी theorem को prove करने को कहता था। यह डरावना लग सकता है, लेकिन पहले से prove हुई चीज़ों को लंबे समय तक prove करते-करते patterns दिखने लगते हैं। और दूसरे proofs में इस्तेमाल होने वाले theorems भी ज़्यादा याद होने लगते हैं।
    मैं यह नहीं कह रहा कि यह आसान है, लेकिन उस स्तर पर mathematics पढ़ने से दिमाग में कुछ खुलता है और वह संभव होने लगता है। formalization ज़्यादा लग सकता है, पर यही वह चीज़ भी है जो mathematicians को ऐसे निष्कर्षों तक पहुँचने देती है जिन्हें दूसरे लोग नहीं देख पाते।

• physical sciences की तरफ़ मेरे निजी अनुभव में, इसका बड़ा हिस्सा academic papers लिखे, प्रकाशित और मूल्यांकित किए जाने के तरीके से आता है।
  paper लिखने और publishing की प्रक्रिया वास्तव में science को समझाने के लिए प्रोत्साहित नहीं करती; वह लोगों को ऐसा लिखने के लिए प्रेरित करती है जो plausible और थोड़ा persuasive लगे, बिना details पर बहुत “समय बर्बाद” किए। proofs में दिखने वाला यह bias भी बहुत मिलता-जुलता लगता है।
  publishing houses को science से बाहर कर देना चाहिए।

  • “समय बहुत बर्बाद किए बिना” कहना भी कम है; स्थिति उससे बदतर है।
    “यह कैसे मिला” समझाने के लिए आपको धुँधले, मोटे, पूरी तरह justified नहीं और सटीक नहीं statements देने पड़ते हैं। reviewers, चाहे वह जगह self-published लेकिन indexed conference proceedings हो या overlay journal, अंतिम accepted version में कुछ हद तक झूठे वाक्य रहने देना पसंद नहीं करते।
    इसलिए, भले पहले submission में intuitive explanation रही हो, अंततः उसे हटा दिया जाता है।
    और भी बुरा होता है। मेरा एक coauthor, जो introductions अच्छा लिखने और papers को acceptance के लिए optimize करने में माहिर है, समझाता था कि proposition के version चुनते समय आम तौर पर tradeoff होता है। जो version acceptance के लिए सबसे आसान हो, वही अक्सर उन लोगों के लिए सबसे खराब होता है जिन्हें वह paper पसंद आएगा और जो उसे cite करेंगे। यह तब भी सच है जब सभी versions सही हों और समान स्तर की proof quality के साथ prove किए जा सकें।
  • सहमत। theoretical computer science के सीमित अनुभव से देखूँ तो conference की page limits के कारण पूरा proof मुख्य लेख से बाहर कर दिया जाता है, और आम तौर पर या तो उसकी गहराई से review नहीं होती या वह सिर्फ appendix में, कभी-कभी अनौपचारिक रूप से ही, उपलब्ध होता है।
    इसलिए incentives मेल नहीं खाते। हालांकि इस बार शायद publishers से ज़्यादा गलती उस संरचना की है जिसमें academics को उनके वास्तविक काम से नहीं बल्कि publication metrics के आधार पर reward दिया जाता है।
    textbooks के मामले में मैं लेख के दावे से पूरी तरह सहमत नहीं हूँ। अच्छी omission proof को अधिक readable बना सकती है और पाठक को सोचने के लिए प्रेरित भी कर सकती है। सबसे खराब स्थिति में आप किसी दूसरी textbook या original source को देख सकते हैं। लेकिन research papers में अधूरे proofs मिलना बहुत झुंझलाहट पैदा कर सकता है। वहाँ यह शक पैदा होने लगता है कि क्या किसी के पास सचमुच पूरा proof है भी, और फिर देखते-देखते एक हफ़्ता/महीना/साल निकल सकता है।

• mathematics का graduate student होने के नाते, मुझे लगता है कि इस मुद्दे के दो पहलू हैं। कभी-कभी दिया गया proof काफ़ी high-level होता है और अगर किसी खास step का अर्थ सच में न समझ आए तो वह बहुत खीझ दिलाता है; लेकिन दूसरी ओर, खाली जगह भरने की प्रक्रिया हर चीज़ सीधे मिल जाने की तुलना में कौशल सुधारने में ज़्यादा उपयोगी हो सकती है।
  अगर proof proposition 1 से proposition 2 पर जाता है और बात तुरंत समझ नहीं आती, तो पहली बात यह कि इससे यह intuition बनती है कि लेखक, और आगे बढ़कर उस क्षेत्र का mathematical community, किन बातों को obvious मानता है। यह इसलिए मूल्यवान है क्योंकि इससे पता चलता है कि किन परिणामों को intuitively गहराई से आत्मसात करना चाहिए।
  दूसरी बात, जब आप बीच के steps भरते हैं और खुद को संतुष्ट कर लेते हैं कि argument ठोस है, तो आप उन steps को कागज़ पर सीधे पढ़ लेने की तुलना में कहीं बेहतर याद रखते हैं।
  मेरे लिए “sweet spot” वह है जब proof के एक step को justify करने में 30 सेकंड से 5 मिनट लगें। इससे ज़्यादा हुआ तो निराशा बढ़ती है और सीखना भी कम अच्छा होता है।

• असली papers के proofs देखने तक इंतज़ार कीजिए।
  थोड़ा गंभीर होकर कहूँ तो, हाँ, बुरी तरह लिखी हुई और गैर-शैक्षिक mathematics books मौजूद हैं। लेकिन औसत graduate-level proof में हर detail लिखना संभव नहीं होता। तब उसे पढ़ना भारी और बेहद उबाऊ हो जाएगा।
  mathematicians से यह अपेक्षा की जाती है कि वे दिमाग में proof की खाइयाँ भर सकें, और यह कौशल सीखा जाना चाहिए।

  • ज़्यादातर लोग graduate-level mathematics इसलिए पढ़ते हैं ताकि कम-से-कम research-level mathematics पढ़ सकें, इसलिए अगर यह filter की तरह काम करता है तो कम-से-कम यह उस filter से कुछ हद तक मेल खाता है जिसमें lecture knowledge का इस्तेमाल होता है। कभी-कभी यह दुर्भाग्यपूर्ण ज़रूर होता है।
    खाली जगह भरने को लेकर मेरे पास कुछ निजी किस्से हैं।
    high school में, आवश्यक detail के स्तर को लेकर बहस के बाद हमने यह मान लिया था कि मैं proofs को न्यूनतम omission के साथ लिखूँगा। अगर मैं दिखा दूँ कि मैं gaps भर सकता हूँ, तो बहुत-से ऐसे texts जो मेरी अपेक्षा से अधिक outline-जैसे लिखे गए थे, उन्हें भी आवश्यक समझ का पर्याप्त प्रमाण मान लिया जाएगा।
    मुझे याद है कि मैंने कम-से-कम तीन परतों वाले nested “असल में इसे explicit proof की ज़रूरत नहीं, लेकिन वादा किया था इसलिए” parentheses लिखे थे। सबसे अंदर वाले parentheses में से एक में “induction से prove करें कि 2^n>0” था। सबसे ऊपर का proposition शायद limit के बारे में था। जोड़ दूँ कि सबसे नीचे वाले ये overproofs सच में overproofs ही थे, इस पर हम दोनों सहमत थे।
    high school और college में notes लेते समय, मैं अक्सर अगले obvious point का सार पहले लिख लेता था और उससे मुझे उसके बाद आने वाली बातों पर अधिक detailed notes लेने के लिए समय मिल जाता था। बाद में, postdoc होने पर, मैं एक colleague को कोई समस्या समझाते सुन रहा था और मैंने बीच में टोककर कहा, “उस हिस्से को छोड़ सकते हो, मुझे दिख रहा है कि तुम कौन-सा lemma कहने वाले हो और उसे कैसे prove करोगे।”
    बाद में पता चला, मैं गलत था। वे कोई result बता नहीं रहे थे, बल्कि सवाल पूछ रहे थे। हालांकि जिस outline का मैंने अनुमान लगाया था, उससे निकला proof अंततः paper में आ गया।

• हम जैसे लोग जो concrete mathematics करते हैं, उनमें एक अलग दुनिया है जो Lean, Agda, Coq जैसे proof assistants से detail की समस्या ठीक करने की कोशिश करती है। लेकिन “सामान्य” mathematics education के लिए proof assistants का उपयोग करने वाले लोग बहुत कम दिखते हैं। ऐसा क्यों है?

  • discrete mathematics में, कुछ जगह CS departments ऐसा करते हैं ताकि students computer science/discrete math proofs के साथ बेहतर interaction कर सकें।
    continuous mathematics में, मानक notation और higher-order logic proof assistants के बीच थोड़ा-सा representation mismatch है। first-order set-theoretic formalization से काफ़ी आगे जाने के लिए जिन definitions की ज़रूरत होती है, वे शायद अभी तक किसी एक consistent collection में व्यवस्थित नहीं हुई हैं।