सब कुछ log है

• अगर log को किसी संख्यात्मक function की बजाय base-रहित log नाम के एक अमूर्त object के अनुपात के रूप में देखें, तो (\log_b N = \log N / \log b) को unit conversion की तरह पढ़ा जा सकता है
• (\log 2) एक मापन इकाई bits बन जाता है, और (\log e) nats; इसलिए base-conversion formula उसी राशि को अलग unit में लिखने जैसा लगता है
• (p)-adic valuation, zeros और poles की order, और differentiation द्वारा component extraction—इन सबको log components की projection की तरह समझा जा सकता है
• vector को translation operator के log के रूप में, dimension को finite field पर vector space के size के log के रूप में, और basis को log द्वारा लौटाए गए object के रूप में देखने वाली कई समानताएँ सामने आती हैं
• पूरी चर्चा कोई कड़ा unified theorem नहीं, बल्कि notation और structure की पुनरावृत्ति को ट्रैक करने वाली एक खोज है; coordinates और units को अलग करने वाला गणितीय दृष्टिकोण इन patterns को व्यवस्थित कर सकता है

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base-रहित log और unit conversion

• सामान्य log को (\log_b x) की तरह base (b) के साथ लिखा जाता है, और यह (b^y=x) के हल को दर्शाता है
• base-conversion formula (\log_b x = \log_a x / \log_a b) को unit conversion की तरह समझा जा सकता है
  • इसका ढांचा (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km})) जैसा है
  • “(x) में (b) कितनी बार समाता है” को “(x) में (a) की संख्या” को “(b) में (a) की संख्या” से भाग देने के रूप में देखा जा सकता है
• अगर (\log N) को संख्या नहीं बल्कि एक abstract object माना जाए, तो base वाला log दो base-रहित logs का अनुपात बन जाता है
  • (\log_2 N = \log N / \log 2)
  • (\log 2) को “bits” जैसी इकाई की तरह माना जाता है
  • (\log e) को “nats” जैसी इकाई की तरह माना जाता है
• इस नज़रिए में (\log N) का अपने आप में कोई प्रत्यक्ष संख्यात्मक अर्थ नहीं होता; (\log b) से भाग देने पर ही यह किसी खास unit में मान देता है
• base-रहित exponential जैसे ((*)^{\log N}) का कोई अर्थपूर्ण समकक्ष बनाना संभव नहीं दिखता
  • पारंपरिक (\log_b N) को (\log N) और (\log b) जैसे दो unit-रहित objects के अनुपात के रूप में व्यवस्थित किया जाता है

log और vector की समानता

• जैसे coordinate-रहित geometric vector और किसी खास coordinate system में उसके coordinate vector अलग होते हैं, वैसे ही (\log N) को भी किसी base को चुनने से पहले का object माना जा सकता है
• vector (\mathbf{v}) को basis vector (\mathbf{x}) से भाग देकर component मापने वाली nonstandard notation, और (\log N / \log 2) से bits में मान निकालने की प्रक्रिया—दोनों का ढांचा एक जैसा है
  • (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
  • (\log N / \log 2=\log_2 N)
• एक ही log को अलग-अलग units में लिखना, एक ही vector को अलग-अलग bases में लिखने के समान है
  • (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
  • (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
• base-conversion formula vector के coordinate transformation जैसी भूमिका निभाता है
  • (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
  • (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

log components निकालने वाले operations

• सामान्य log में partial derivative की तरह किसी खास component को अलग निकालने की partial projection notation नहीं होती
  • जब (N=2^a3^b) हो, तब (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3) की तरह पूरी मात्रा एक ही unit में मापी जाती है
  • (\log 2) component और (\log 3) component को अलग निकालने के लिए कोई standard log notation नहीं है
• number theory का p-adic valuation प्राकृतिक संख्या के prime factorization में (\log p) component के coefficient को निकालने वाले operation की तरह समझा जा सकता है
  • (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
  • (\nu_p(n)=n_p)
  • (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) जैसी logarithmic identities भी बनी रहती हैं
• जब इसे rational numbers या radicals वाले संख्याओं तक बढ़ाया जाता है, तो coefficients पूर्णांक या rational हो जाते हैं, और परिणामी object वास्तविक vector space के और करीब आता है
• complex analysis में zero या pole की order को भी इसी तरह log ratio की limit से व्यक्त किया जा सकता है
  • (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
  • यह Laurent series में सबसे प्रभावशाली पद की degree निकालता है
• (p)-adic valuation, partial differentiation, और complex analysis में order extraction आपस में मिलते-जुलते हैं, लेकिन इन्हें जोड़ने वाला कोई स्पष्ट unified theory अभी नहीं है

जहाँ vector को भी log की तरह देखा जा सकता है

• differential geometry में vectors को partial differential operators की basis के रूप में इस्तेमाल किया जाता है, और इन्हें exponentiate करने पर translation operators मिलते हैं
  • (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
  • (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
• flat space में translation operator को coordinate-wise translations के गुणनफल में तोड़ा जा सकता है
  • (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
  • curved space में अलग-अलग coordinates के translations commutative न भी हों, इसलिए मामला अधिक जटिल हो जाता है
• इस स्थिति में vector को translation operator के log के रूप में लिखा जा सकता है
  • (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
• प्राकृतिक log के base (e) पर निर्भर रहने की बजाय, सामान्य translation के base (T) को लेकर (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}}) जैसा लिखना अधिक उचित लगता है
• सामान्य multiplication को भी (\ln a) coordinates में translation के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन यह व्याख्या व्यवहार में कितनी उपयोगी है, यह स्पष्ट नहीं है

log और derivative का संबंध

• natural log को (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a) से परिभाषित किया जा सकता है
  • (x^a=e^{a\ln x}) का Taylor expansion करने पर (\ln x) निकलता है
• इसमें ((1+x)) रखने पर (\ln(1+x)) की Taylor series फिर से प्राप्त होती है
  • (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
• यह सूत्र derivative जैसा दिखता है, और (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0}) के रूप में लिखा जा सकता है
• (\ln x) कई मायनों में (x^0) की तरह व्यवहार करता है
  • (\ln x\sim (x^0-1)/0)
  • औपचारिक रूप से (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x) जैसा दिखता है
• यह हिस्सा लेख की बाकी चर्चा से सीधे नहीं जुड़ता, लेकिन log को (x^0) के आसपास के first-order change के रूप में देखने का दृष्टिकोण जोड़ता है

dimension भी log की तरह काम करता है

• finite-dimensional vector spaces में (\dim_K) log जैसी identities का पालन करता है
  • (\dim_K K^n=n)
  • (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
  • (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
  • (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
• finite field (K) पर finite-dimensional vector space (V\simeq K^n) के लिए size और dimension के बीच वास्तविक logarithmic संबंध बनता है
  • vector को basis के प्रत्येक element पर (K) का coefficient सौंपने वाले function की तरह देखा जा सकता है
  • (|V|=|K|^{\dim_K V})
  • इसलिए (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
• infinite-dimensional spaces या infinite fields में यह व्याख्या कम मजबूत हो जाती है, और cardinality के बदले numerosity) जैसी किसी दूसरी size concept की ज़रूरत पड़ सकती है
• अगर base-रहित dimension notation इस्तेमाल करें, तो (\dim K^n=n\dim K), (\dim_K V=\dim V/\dim K) की तरह लिखा जा सकता है
• tensor product में dimensions को सीधे गुणा करने पर (\dim K) एक बार अतिरिक्त आ जाता है, इसलिए (K) पर tensor product (\otimes_K) को scalar coefficient के quotient के जरिए उस factor को हटाने वाला माना जाता है

basis और span को log और exponent की तरह देखना

• अगर dimension को basis की cardinality माना जाए, तो log को cardinality नहीं बल्कि basis स्वयं लौटाने वाला माना जा सकता है
  • अगर (V\simeq K^3) की basis ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})) हो, तो (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})) जैसा लिखा जा सकता है
  • (\dim_KV=|\log_KV|)
• क्योंकि किसी एक खास basis को चुनने की समस्या रहती है, इसलिए (\log_KV) को (V) की सभी संभावित bases को साथ में दर्शाने वाला object मानना अधिक सही हो सकता है
  • किसी भी reference frame (X_0) और (\Lambda\in GL(V)) के लिए (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
  • इस object को (GL(V))-torsor के रूप में देखा जा सकता है
• log का inverse operation basis से vector space को पुनर्निर्मित करने वाले span के रूप में समझा जा सकता है
  • (\span_K(X)=K^X=V)
• यह व्याख्या notation के काफी दुरुपयोग पर टिकी है और यह सर्वोत्तम है या नहीं, यह निश्चित नहीं; फिर भी यह (\dim) और (\span) को linear algebra के (\log) और (\exp) के समानांतर सोचने को प्रेरित करती है
• base-रहित log के दृष्टिकोण से (\log K) को स्वयं “(K) की basis” की तरह समझने की संभावना भी है, लेकिन यह आगे की अधिक अमूर्त चर्चा का विषय है

functions और log के संबंध पर अटकल

• arithmetic operations को set operations तक उठाकर देखने की प्रक्रिया को “setification” जैसा माना गया है
  • प्राकृतिक संख्याओं का addition, multiplication, और exponentiation क्रमशः set के disjoint union, product, और function set से मेल खाते हैं
  • finite sets के लिए cardinality इन operations को अच्छी तरह preserve करती है
• उदाहरण के लिए, जब (A={a,b}), (X={x,y}) हो, तो ((a+b)^{x+y}) को expand करने पर (X\to A) की 4 functions को पदों के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है
  • (a^xb^y) को उस function की तरह पढ़ा जा सकता है जिसमें (x\mapsto a), (y\mapsto b)
  • अगर कुछ variables को (0) या (1) रखा जाए, तो यह function evaluation या restriction जैसा व्यवहार करता है
• factorial और combinations को भी इसी तरह permutations और combinations को पदों में खोलकर देखा जा सकता है
• सामान्यतः function (f:X\to A) को relation ({(x,f(x))\mid x\in X}) से model किया जाता है, लेकिन (a^xb^y) स्वयं एक function है, इसलिए उसकी cardinality 1 है
• (\log f ? x\log a+y\log b) function के relational representation जैसा लगता है, लेकिन यह हिस्सा अभी पर्याप्त रूप से व्यवस्थित नहीं है

सामान्य covariance और निष्कर्ष

• पूरी चर्चा log को multiplicative expression को additive expression में बदलने वाले isomorphism के रूप में देखने वाले सरल मामले पर केंद्रित है
  • complex log या matrix log जैसे अधिक जटिल मामलों को चर्चा से बाहर रखा गया है
• (\dim), (\nu_p), और total differential जैसे कई गणितीय operations log के बराबर या उसके बहुत करीब की संरचना रखते हैं
• इन संबंधों में “numerology” जैसा पहलू है, फिर भी ये इतने सुथरे हैं कि इन्हें नज़रअंदाज़ करना कठिन है
• physics की mathematics, खासकर quantum mechanics की operator formalism में भी इसी तरह की संरचनाएँ दिखाई देती हैं, और physics गणितीय notation और coordinate choice पर कुछ बंधन लगाती है
• general covariance वह विचार है कि किसी object के गुण coordinate choice से स्वतंत्र होने चाहिए; base-रहित log को भी multiplicative और additive representations के बीच के isomorphism को unit choice से अलग करने की कोशिश के रूप में देखा जा सकता है

[GN⁺]

Hacker News की राय

• यहाँ base-less logarithm बस एक torsor है [0]
  स्थिति, मुद्रा का मूल्य, और कैलेंडर की तारीख जैसी चीज़ों को भी torsor की तरह देखा जा सकता है। मान स्वयं मनमाना होता है, और किसी मान के बराबर parallel translation करने या scale बदलने पर उसकी कार्यात्मक प्रकृति नहीं बदलती। torsor का इस्तेमाल करने से इन मनमानी पसंदों को पहले से तय किए बिना भी हम उस वस्तु के बारे में बात कर सकते हैं
  base-less logarithm में underlying set “सूचना की इकाइयाँ” है। log 2 bit है, log e nat है, log 10 digit है, और conversion factors torsor के group का निर्माण करते हैं। किसी एक unit को विशेष रूप से चुनना बस torsor को trivialize करना है
  vector division notation भी length units की तरह बिल्कुल उसी तरीके से g-torsor को encode करती है
  अब तक के उदाहरण सभी Abelian group torsor हैं, लेकिन स्थिति बताने के लिए origin और length unit दोनों चुनने पड़ते हैं। इस torsor का group translation और scaling का उपयुक्त semidirect product होता है, इसलिए यह non-Abelian group बनता है
  ज़्यादातर लोग trivialization को चुपचाप चुन लेते हैं, और इसलिए object तथा उस object पर होने वाले operations को एक ही समझ लेने की गड़बड़ी पैदा होती है। उदाहरण के लिए, vector को position की तरह देखना और translation की तरह देखना आपस में मिला दिया जाता है। geometric algebra की समस्या पर लेखक के लेख [1] में भी इसी बिंदु की चर्चा है
  [0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
  [1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...

  • इस गणितीय अवधारणा के लिए torsor शब्द चुनना बहुत खराब फैसला था। इसका शब्द के मूल अर्थ से कोई साफ़ रिश्ता नहीं दिखता, और classical mechanics में यह पहले से ही बहुत पुराने समय से एक बिल्कुल अलग अवधारणा के लिए इस्तेमाल होता रहा है—यानी वह राशि जो किसी rigid body के संतुलन में रहने के लिए 0 होनी चाहिए (कुल बल और कुल torque की जोड़ी)
    दुख की बात है कि गणित में सामान्य शब्दों को उनके मूल अर्थ से लगभग असंबंधित अवधारणाओं के नाम के रूप में फिर से इस्तेमाल करने की परंपरा बहुत पुरानी है। इसलिए गणित की किताबें या शोधपत्र, चाहे वे कोई मामूली बात ही क्यों न कह रहे हों, उस खास उप-क्षेत्र की शब्दावली से परिचित न होने पर वाक्य अस्पष्ट लगने लगते हैं
  • torsor के बारे में जानता था, लेकिन वहाँ तक यह संबंध नहीं सोचा था। सच कहूँ तो यह शब्द मुझे बहुत उपयोगी भी नहीं लगता; torsor क्या है यह जानने के बाद भी उसके बारे में सोचना आसान नहीं लगता। फिर भी, लगता है कि इस अवधारणा की और आदत डालने की ज़रूरत है
    यहाँ एक और टिप्पणी में किसी ने मेरे base logarithm को “GL(V)-torsor” कहा, जो उस चीज़ को मुझसे कहीं ज़्यादा संक्षेप में कह देता है जिसे मैं हाथ से जबरन खोलकर लिख रहा था
    शब्दावली से अलग, logarithm को इस तरह से सोचना मैंने पहले नहीं देखा था, इसलिए दिलचस्प लगा

• logarithm कमाल की चीज़ है। मैंने कुछ समय पहले 1920 के दशक की गणित की एक पाठ्यपुस्तक देखनी शुरू की, और उसमें हर गणना सारणीबद्ध logarithm पर निर्भर थी। संख्याओं को तालिका से logarithm में बदलकर operations का स्तर नीचे लाया जाता था, फिर वापस सामान्य रूप में बदला जाता था
  cube root निकालने जैसी गणना को भी division तक घटाया जा सकता है, और उसे log-log में बदल दें तो फिर subtraction तक और नीचे लाकर बाद में मूल notation में वापस जाया जा सकता है। हाथ से करके देखें तो ऐसा लगता है जैसे कोई जादुई wormhole इस्तेमाल कर रहे हों; वाकई बहुत शानदार है

  • उस जादुई wormhole का भौतिक रूप slide rule है
  • अच्छा होगा अगर उसका PDF मिले। ऐसी पुरानी किताबें मुझे पसंद हैं
  • जानना चाहूँगा कि उस किताब का शीर्षक क्या है
  • 2010 के दशक तक भी स्कूल की परीक्षाओं में hand calculation और log tables इस्तेमाल होते थे। calculators की अनुमति नहीं थी
    परीक्षा में एक-दो बार ऐसे प्रश्न आते थे जिनमें log table की ज़रूरत पड़ती थी। उदाहरण के लिए, division को lookup(a)-lookup(b) में बदलते, और फिर उस मान को antilog, यानी exp table में ढूँढते थे

• Charles Petzold की The Lost Art of Logarithms पढ़ने में अच्छी है। यह अभी भी लिखी जा रही कृति है
  https://www.lostartoflogarithms.com/

  • Charles Petzold की लिखावट हमेशा बहुत स्पष्ट और गहराई वाली होती है

• यही विचार physics में भी आता है। quantum physics में action S, amplitude e^iS/(h^bar) के पीछे एक logarithm-जैसी राशि के रूप में आता है
  statistical mechanics में entropy, संभावित microstates की संख्या Omega का logarithm है: S = log(Omega)
  ये अलग-अलग physics क्षेत्रों से आए विचार हैं, लेकिन दोनों उसी सिद्धांत को दर्शाते हैं कि logarithm का उपयोग multiplicative relationships को additive relationships में बदलने के लिए किया जाता है

• “अगर base-less log(N) है, तो क्या ‘base-less exponent’ भी होगा?” इस सवाल पर, भोले algebra के हिसाब से यह संभव लगता है
  अगर log(x,base) में से base हटाया जा सकता है, तो pow(base,x) में से भी base हटाया जा सकता है। bits=log(2) इसलिए pow(bits)=2 हो जाता है। शायद इसे integral जैसी reverse-direction अवधारणाओं से भी जोड़ा जा सकता है
  मज़े के लिए notation के साथ खेलें तो:
  log(freq) = pitch
freq = pow(pitch)
octave = log(2)
400*Hz = 100*Hz*4 // 400 Hz आवृत्ति, 100 Hz की 4 गुना है
log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // 400 Hz की pitch, 100 Hz से 2 octave ऊपर है
cent = log(2)/1200
A4 = log(440*Hz)
B4 = A4 + 200*cent // B4 की pitch, A4 से 200 cent ऊपर है
B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200
B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))
B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))
pow(B4) = 493.883 Hz // B4 की आवृत्ति 493.883 Hz है
  मुझे base-less log notation से मिलने वाला intuition पसंद है, और किसी खास reference point को चुनने की ज़रूरत भी नहीं पड़ती। चाहें तो कोई arbitrary base चुनकर सीधे calculate भी कर सकते हैं:
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)
exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)

  • इससे decibel को भी वास्तव में unit दिया जा सकता है
    dB_P = log(10)/10
dB_F = log(10)/20
log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // 10 V का level, 1 V के power level से 20 dB ऊँचा है
SPL = 20*10^-6 * Pa
hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // hearing damage, SPL से 90 dB_F ऊपर होने पर होता है (A-weighting को अनदेखा करते हुए)
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // hearing damage pressure, SPL से 31622 गुना अधिक
pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // hearing damage pressure, 0.632 Pa से अधिक
    वाकई उपयोगी है। decibel suffixes की हास्यास्पद सूची को एक समान notation में समेटने की कल्पना की जा सकती है। अगर पहले log लिखा जाए, तो + या - की स्थिति भी जैसी की तैसी रहती है
    log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)
log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
  • हाँ। exponentiation को बस currying करके उसे base-less power कहा जा सकता है। लेकिन इसके लिए कोई साफ notation नहीं मिला

• इस लेख को type system की ज़रूरत है। जब भी आप “log” लिखते हैं, आपको बताना चाहिए कि किस चीज़ का log है, और वह कहाँ map करता है
  यह वैसा ही है जैसे audio में लोग सिर्फ “dB” बोलते हैं और मान लेते हैं कि उन्होंने अगले सवालों के जवाब दे दिए हैं। किसके relative है, कैसे measure किया गया, किसके लिए weighting की गई—यह सब गायब रहता है
  लेखक को https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory फिर से देखना चाहिए

  • log का महत्वपूर्ण गुण structural है। वास्तविक numerical calculation को छोड़ दें, तो आम तौर पर units या base की उतनी चिंता नहीं की जाती
    जैसा लेख में अनौपचारिक लेकिन काफ़ी हद तक पर्याप्त रूप से बताया गया है, base conversion formula यह दिखाता है कि base का चुनाव ज़्यादातर महत्वपूर्ण नहीं होता। अलग-अलग bases के log एक constant multiple तक equivalent होते हैं
    exp का Taylor expansion exponential function की एक ज़्यादा intrinsic और general definition देता है। इसलिए, जब उपयुक्त convergence conditions पूरी होती हैं, तो exp को कई algebraic environments में structurally generalize किया जा सकता है। जैसे complex exponentials और उनके कई possible logs, matrix exponentials आदि
  • audio में dB negative क्यों होता है, यह अब भी समझ नहीं आता। यह किसके relative है? 0dB पर क्या होता है?
  • पहले section में लेखक विस्तार से समझाता है कि base-less “log N” को एक संख्या नहीं बल्कि abstract object की तरह सोचना है। या आप लेख के किसी और हिस्से की बात कर रहे हैं?

• complex log में जो होता है, वह मूलतः उस log जैसा लगता है जो vector space के सभी possible basis sets को output करता है
  complex log एक Z-torsor बनाता है, और basis log एक GL(V)-torsor बनाता है। ऐसा लगता है कि branch cut चुनने की क्रिया को complex log में base चुनने की प्रक्रिया के हिस्से के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और उसी तरह किसी खास basis को चुनने को vector space basis log में base चुनने की प्रक्रिया के हिस्से के रूप में देखा जा सकता है

  • दिलचस्प। मैंने यह नहीं सोचा था कि वे दोनों एक ही phenomenon के दो उदाहरण हो सकते हैं। फिर भी complex analysis वाला पक्ष अब भी सोचने में कठिन लगता है

• “बेस-रहित लॉग” जैसा शब्द सच में बेमानी है, और इसका इस्तेमाल करना बड़ी गलती है
  फिर भी मूल लेखक की यह बात सही है कि लॉग लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन जैसी एक भौतिक राशि है, और तथाकथित “बेस” चुनना दरअसल लॉग की माप-इकाई चुनने जैसा है
  लॉग कई व्युत्पन्न भौतिक राशियों के आयाम-व्यंजक में शामिल होता है। उदाहरण के लिए, तरंग के प्रसार के समय क्षीणन या प्रवर्धन को बताने के लिए प्रति लंबाई लॉग, प्रति समय लॉग जैसी राशियों का उपयोग किया जाता है
  लॉग का “बेस” बदलने पर सभी व्युत्पन्न भौतिक राशियों के संख्यात्मक मान ठीक उसी तरह बदलते हैं जैसे लंबाई या समय जैसी मूल माप-इकाइयों को बदलने पर बदलते हैं
  किसी भी भौतिक राशि का लॉग का पूर्ण मान माप-इकाई से स्वतंत्र होता है। क्योंकि वह संख्यात्मक मान और माप-इकाई के गुणनफल से बनता है। माप-इकाई बदलने पर संख्या और इकाई साथ-साथ बदलते हैं, और गुणनफल वही रहता है। यानी किसी भी बेस से संख्या की गणना की जाए, लॉग उसी अनुपात के अनुरूप रहता है
  आजकल लॉग की इकाइयाँ आम तौर पर octave (बाइनरी लॉग), neper (हाइपरबोलिक लॉग), bell (कॉमन लॉग) में से चुनी जाती हैं
  लॉग की माप-इकाई खुद बेस नहीं, बल्कि बेस का लॉग है। इसलिए उदाहरण के लिए, हाइपरबोलिक लॉग के बेस संख्या e का मान किसी गणना में आवश्यक नहीं होता। ज़रूरत सिर्फ ln 2 या उसके व्युत्क्रम log2 e की होती है, और इन्हें बाइनरी लॉग और हाइपरबोलिक लॉग (जिसे natural log भी कहते हैं, लेकिन हाइपरबोलिक लॉग किसी और लॉग से ज़्यादा “natural” नहीं है) की संबंधित माप-इकाइयों के बीच लॉग मान बदलने के लिए इस्तेमाल किया जाता है

  • “बेस-रहित लॉग” बेमानी नहीं है। जब यह दिया हो:
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
    तो बेस-रहित लॉग बस समान गुणों वाले फंक्शनों का एक family है। अगर लेखक ने “बेस-रहित लॉग” की जगह “लॉग गुण” जैसा कुछ कहा होता तो बात शायद और साफ होती, लेकिन इस पर आपत्ति करना ज़्यादा nitpicking और बहस पसंद करने जैसा है
    बेस बदलने पर संख्या बदलती है—इस बात पर, मैं जानना चाहूँगा कि क्या आपने advanced linear algebra या अधिक विशेष रूप से tensor पढ़े हैं। tensor का सार यह है कि वह basis से स्वतंत्र रूप से किसी object पर एक ही तरह से क्रिया करता है। दूसरे शब्दों में, अगर a और b अलग-अलग basis में एक ही object का निरूपण हैं, तो जब T(x) एक tensor है, तब T(a) और T(b) समतुल्य होते हैं
    मुद्दा यह है कि कोई भी संख्या एक मनमाना चयन है, और वही अंतर्निहित संरचना को परिभाषित नहीं करती। यहाँ लेखक लॉग संरचना की बात कर रहा है
    इसी वजह से linear algebra में अलग-अलग basis और उनके transformations पढ़ाए जाते हैं। किसी कारण से स्कूल में पढ़ाया जाने वाला polar coordinate और Cartesian coordinate भी ऐसा ही है। यह संरचना को समझने की तैयारी है। groups तक पहुँचने पर आप सीखते हैं कि अगर group A और B isomorphic हैं, तो उनकी गणितीय संरचना एक ही है
    यानी संख्या बदल जाने पर भी बात वही रहती है

• यह यकीन करना मुश्किल है कि सामान्य लॉग को “based” कहा गया

• अगर यह सब सच में कोई नया गणितीय तथ्य दिखाने में मदद करता, तो यह कहीं ज़्यादा दिलचस्प होता। अभी यह notation के खेल के ज़्यादा करीब लगता है

  • मेरे हिसाब से नए facts, theorems, और proofs को काफ़ी ज़्यादा बढ़ा-चढ़ाकर आंका जाता है। आप एक नया तथ्य खोज भी लें, तो वह बस पहले से पड़े विशाल और लगभग बेकार facts के ढेर में एक और चीज़ जोड़ देता है। गणित में उपयोगी प्रगति उन refactoring प्रयासों से आती है जो चीज़ों को ज़्यादा सरल और सहज बनाते हैं
    यह ज़रूरी नहीं कि यही लेख ऐसा कर रहा हो, लेकिन मुझे लगता है कि अभी हमारी स्थिति ऐसी है जहाँ facts बहुत ज़्यादा हैं और उन्हें उपयोगी व सुलभ बनाने वाले सरल दृष्टिकोण कम हैं
    बेशक, यह मेरी निजी राय है
  • मैं इस तरह के लेखों को नए विचार बनने की प्रक्रिया के एक हिस्से की तरह पढ़ता हूँ। यह बड़े पैमाने पर pattern matching करते हुए कई मिलते-जुलते उदाहरणों को सामने रखना और उस समानता के मूल आधार को ढूँढ़ना है
    ऐसे patterns को सार्वजनिक करने से सोचने की प्रक्रिया वितरित हो सकती है। हो सकता है किसी और को उसमें कोई insight दिख जाए