Claude Fable ने Jacobian अनुमान का counterexample बनाया

 (xcancel.com)
2 पॉइंट द्वारा GN⁺ 16 시간 전 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • Claude Fable द्वारा बनाए गए के रूप में प्रस्तुत polynomial map का Jacobian determinant स्थिर -2 है और यह तीन अलग-अलग points को एक ही point पर भेजता है, इसलिए यह Jacobian अनुमान का counterexample बनता है
  • यह map ℂ³ → ℂ³ पर define है, और इसके तीनों components x, y, z के polynomials से बने हैं
  • अलग-अलग (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2) सभी (-1/4, 0, 0) पर map होते हैं, इसलिए यह injective function नहीं है
  • Jacobian determinant और दो input points के function values को linked Wolfram|Alpha calculations से verify किया जा सकता है
  • स्थिर और non-zero Jacobian determinant होने के बावजूद injectivity नहीं बनती, इसलिए दिया गया formula ℂ³ में Jacobian अनुमान को खारिज करता है

Polynomial map और Jacobian determinant

  • ℂ³ → ℂ³ map नीचे दिए गए तीन polynomial components से बना है
    • पहला component: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
    • दूसरा component: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
    • तीसरा component: 2x - 3x^2y - x^3z
  • इस map का Jacobian determinant -2 है
  • Wolfram|Alpha calculation में determinant value देखी जा सकती है

Injectivity तोड़ने वाले तीन input points

  • नीचे दिए गए तीन points अलग-अलग हैं, लेकिन सभी (-1/4, 0, 0) पर map होते हैं
    • (0, 0, -1/4)
    • (1, -3/2, 13/2)
    • (-1, 3/2, 13/2)
  • पहले और दूसरे input point के function values भी linked Wolfram|Alpha calculation से verify किए जा सकते हैं
  • इसलिए यह polynomial map injective function नहीं है, और स्थिर तथा non-zero Jacobian determinant रखने की शर्त के साथ Jacobian अनुमान का counterexample बनता है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 16 시간 전
Hacker News की टिप्पणियां

  • करीब 10 साल पहले मेरी मुलाकात एक postdoc से हुई थी, जिसे लगता था कि उसने Jacobian conjecture के counterexample के करीब कुछ खोज लिया है। वह और उसका सहकर्मी coefficient mapping के लिए binary tree इस्तेमाल करते हुए लगभग 16 variables और हर polynomial में 80–700 terms वाले polynomials को brute force कर रहे थे
    उस समय उम्मीद थी कि counterexample ((P,Q)) के (\max(\deg(P),\deg(Q))) की lower bound 200 तक पहुंच जाएगी, इसलिए Claude Fable ने degree 7 counterexample खोज लिया, यह विश्वास करना मुश्किल है; सचमुच लगता है कि नया दौर आ गया है

    • लगता है 2-variable case और 3-variable case में भ्रम हुआ है। पहले वाले में सच में degree 150 से ऊपर तक जांच हो चुकी थी, और यह counterexample 3 variables का है
    • सोच रहा हूं कि क्या यह counterexample उस समय के search space में शामिल रहा होगा

  • अद्भुत गणितज्ञ Yitang Zhang ने इस conjecture को साबित करने में 7 साल लगाए थे। उनके advisor Moh ने लिखा कि Zhang Jacobian conjecture साबित करने में “बुरी तरह नाकाम” रहे, Purdue छोड़ने के बाद उन्होंने “algebraic geometry पर एक भी paper प्रकाशित नहीं किया”, और “अपनी जिंदगी के 7 साल और मेरा समय बर्बाद किया”
    https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
    https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
    https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

    • यह T.T. Moh द्वारा लिखा गया Zhang के Purdue वाले दौर का रिकॉर्ड है: https://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf
      हैरानी की बात तो यह है कि ऐसा document सचमुच मौजूद है

  • यह उन दुर्लभ मामलों में से है जहां LLM को groundbreaking जानकारी देने पर उल्टा LLM ही मानसिक उलझन में पड़ गया। Claude Code में डालने पर उसने 100% sure होने के लिए सात तरीकों से verify किया और फिर जो हैरानी दिखाई, वह काफी प्रभावशाली थी

    • मैंने ChatGPT को बिना किसी context के सिर्फ mapping दी और कहा, “इस function के बारे में बताओ।” उसने Jacobian वगैरह compute किया, फिर उसे दिख रहे result के implications समझ में आए, और arithmetic को चार बार recheck करने के बाद तो उसने यह शक भी किया कि SymPy से छेड़छाड़ हुई होगी, इसलिए उसने तुरंत symbolic checker बनाकर manually verify करने का फैसला किया
    • Claude का दंग रह जाना confirm किया। Gemini ने पहले web search करके पहले से मौजूद news quote कर दी, और Kimi आसानी से मानने को तैयार नहीं हुआ
    • किसे पता था कि “DOES NOT COMPUTE” सचमुच की स्थिति बन जाएगा
    • यह गणित वाला unicorn emoji phenomenon जैसा है, जो तब होता है जब LLM को किसी “गहराई से माने हुए” proposition के खिलाफ अकाट्य सबूत मिलता है
    • सुना है कि mathematicians भी ऐसा ही process झेलते हैं, जब किसी अजीब source से या खुद उनसे निकला अपरिचित proof आखिरकार सही निकलता है। amateurs के गलत proofs लगातार मिलते रहने से fatal flaw होने की संभावना बेहद ज्यादा होती है, और अपने proof में भी अपने ही jumps को critical तरीके से देखना मुश्किल होने का blind spot बन जाता है
      इसलिए वे बार-बार शक करते रहते हैं कि कुछ छूट गया है, कई तरीकों से repeat verification करते हैं, लगभग टूटने की हालत में पहुंचने के बाद ही सार्वजनिक रूप से नए breakthrough की संभावना सावधानी से उठाते हैं

  • ऐसे mathematical clean-up का फायदा यह है कि अब किसी को इसे true साबित करने में समय बर्बाद नहीं करना पड़ेगा। उम्मीद है अगली बार LLM Collatz conjecture हल कर दे, ताकि अनजाने victims द्वारा लगाए गए भारी person-years बच सकें

    • यह problem “आसान” इसलिए थी क्योंकि conjecture false था। अगर Collatz conjecture true है, जैसा ज्यादातर mathematicians मानते हैं, तो उसे prove करना औसत Erdős problem से कहीं ज्यादा कठिन होगा
    • बात यहीं खत्म नहीं होती। अगला कदम यह पता लगाना है कि किस तरह के polynomials में Jacobian conjecture true है, और किस तरह में false
    • सदी के मोड़ के आसपास मैं युवा mathematician था, और “prove करने की कोशिश में समय बर्बाद करना” कहना MBA-style सोच है कि लगातार results और papers निकालते रहना चाहिए
      कठिन problems पर काम करने से, fail होने पर भी, कई results और tools की गहरी समझ मिलती है और उन्हें दूसरी problems पर लागू किया जा सकता है, इसलिए यह बिल्कुल समय की बर्बादी नहीं है। एक ही problem पर कई साल झोंक देने वाले extreme cases अपवाद हैं

  • LLM से संदिग्ध quality वाला code या proofs बड़ी मात्रा में generate करने में निश्चित रूप से problem है, इसलिए लगातार चलती बहस समझ आती है। लेकिन counterexample search में तो brute force पहले से आम है, इसलिए LLM को ज्यादा advanced brute force की तरह इस्तेमाल करना बिल्कुल सही approach लगता है; समझ नहीं आता कि इतना विरोध क्यों है

    • जिन क्षेत्रों में सिर्फ human brain ही useful माना जाता था, वहां machines का लगातार बेहतर होना कई लोगों के लिए बेहद कठिन होगा। विरोध में “proof से पहले सब बकवास हो सकता है” वाला attitude और “जिन चीजों को हम इंसान को अद्भुत बनाने वाली मानते थे, उनमें से बहुत कुछ खो जाएगा” वाला डर, दोनों मिले हुए लगते हैं
      आने वाले कुछ वर्षों में compassion बेहद महत्वपूर्ण होगा, और हमें अंदरूनी व बाहरी दोनों तरह से तकलीफ होगी
    • Fable ने यह result कैसे reason करके निकाला, उसका log देखे बिना इसे advanced brute force कह देना छलांग जैसा लगता है

  • मैं कई महीनों से AI के साथ math को vibe coding कर रहा हूं और यह हैरान करने वाली आसानी से संभव है। मुश्किल हिस्सा results को खुद verify करना और validity check करना है; एक छोटी discovery से मैंने एक conjecture को disprove किया और अपना पहला paper लिखा
    अगली discoveries quantum topology और physics के क्षेत्रों में काफी substantial हैं, इसलिए मैं उन्हें बहुत सख्ती से review करके publication की तैयारी कर रहा हूं। Verification में लगा समय discovery से भी ज्यादा था
    अगर number theory में interest है, तो पहला paper यहां है: https://arxiv.org/abs/2607.09793

    • मैंने physics पढ़ी है और पहले papers भी निकाले हैं, लेकिन academia छोड़े बहुत समय हो गया। Claude से math और simulation मिले हुए physics problems हल कराए तो मामला काफी उलझ गया
      problem सेट करने और ऐसे approaches सुझाने की क्षमता, जिनके बारे में मैंने सोचा नहीं था, कमाल की है; लेकिन results interpret करने की क्षमता काफी कमजोर थी
    • काम करते समय आप खुद कितनी गहराई तक समझने की कोशिश करते हैं, यह जानने की उत्सुकता है। surface पर intuition से आगे बढ़ने की तुलना में, अपनी understanding को abstraction की कितनी layers नीचे तक ले जाते हैं, यह जानना चाहता हूं
    • मैं भी type theory में यही काम कर रहा हूं

  • पोस्ट करने वाला Anthropic में काम करता है, इसलिए बहुत संभावना है कि उसके पास अगली-generation Fable की internal access हो। internal models math में जबरदस्त मजबूत हैं, और जल्द आने वाले benchmarks में भी शायद math performance का नया record बनाएंगे
    असली prompts और reasoning logs public करने से हिचकने की वजह भी यही हो सकती है। model के official release तक इस पर non-disclosure agreement लागू होने की संभावना है

  • लगता है निष्कर्ष पर कुछ ज़्यादा ही बड़ी छलांग लगा दी गई है। चूंकि Sol भी वही counterexample स्वतंत्र रूप से खोज सकता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकालने की कोई वजह नहीं कि benchmarks को पछाड़ने वाला Fable 6 मौजूद है
    [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

    • ज़्यादा उत्साहजनक नहीं। बेहतरीन AI तक पहुंच वाले इस दावत में मुझे बुलाया नहीं गया, और जिन्हें बुलाया गया है वे मेरे हितों का अच्छी तरह प्रतिनिधित्व करते हैं, ऐसा भी कहना मुश्किल है

  • हैरानी है कि लोग यह नहीं पूछ रहे: Fable ने यह counterexample कैसे खोजा होगा? क्या उसने कई polynomial families का अनुमान लगाकर हर family में संभावित हल निकाले, कोई smart search की, या कोई और तरीका अपनाया—यह जानने की जिज्ञासा है

    • इस Claude conversation में कुछ अनुमान हैं: https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
      स्रोत यहां है: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
      संक्षेप में, मौजूदा literature में एक गलत counterexample है जो एक pole को छोड़कर लगभग हर जगह सही बैठता है। लगता है Fable ने इसी polynomial को आधार बनाया और structure बचाए रखते हुए pole को हटाने के लिए इसे expand किया
    • सभी logical steps को Lean formal verification में बदला जा रहा है। AI द्वारा लिखी गई व्याख्या और Lean के verification errors/warnings के बीच तेज़ feedback loop से logical consistency सुनिश्चित की जा सकती है
      जो समस्या फिर भी बचती है वह यह है कि proof का idea सच में वही proposition साबित करता है या नहीं जो चाहिए, और मिले हुए result को कैसे interpret किया जाए। इसके अलावा, kernel द्वारा check किए गए code के अंदर की हर चीज़ logically consistent है

  • counterexample इतना छोटा है—यह बात अच्छी तरह दिखाती है कि आगे बहुत से रोचक results कहां मिल सकते हैं। वजह यह नहीं कि समस्या अत्यंत कठिन थी, बल्कि यह कि intelligence को scale करना कठिन था, और जब तक computer इसकी जगह नहीं ले सकते थे, तब तक कम लोगों ने ऐसी समस्याओं को गंभीरता से खंगाला
    science, medicine और दूसरे क्षेत्रों में भी इस effect के असर को लेकर बहुत उत्साह है

  • मुझे math अच्छी तरह नहीं आती, इसलिए मेरी 5 साल के बच्चे जैसी समझ शायद मददगार हो या सुधारी जा सके। यह conjecture कहता है कि किसी process को हमेशा reverse करके original input पता किया जा सकता है, और यह proof दिखाता है कि कई inputs वही output बनाते हैं
    इसलिए output से input reverse-calculate नहीं किया जा सकता, और conjecture false हो जाता है

    • inverse function मौजूद होने के लिए non-zero constant Jacobian एक prerequisite है, और उस inverse function का भी polynomial होना एक specific form की शर्त है। यह counterexample prerequisite को satisfy करते हुए दो अलग inputs को same output पर भेजता है, इसलिए polynomial हो या न हो, कोई inverse function मौजूद नहीं हो सकता
      शायद यह 7 साल के बच्चे के level की explanation हो गई
    • यह conjecture सिर्फ एक खास तरह के processes पर लागू होता है। Fable ने उसी class में आने वाला एक concrete process और same output देने वाले तीन concrete inputs खोजे। बेशक दो ही काफी थे
      यहां “concrete” का मतलब है कि उसे finite string से express किया जा सकता है
    • general case में यह false है, यह पहले से पता था। कई problems ऐसी भी होती हैं जो general तौर पर false होती हैं, लेकिन polynomials तक सीमित करने पर true होती हैं