मानव गणितज्ञों को प्रतिदृष्टांत खोजने में AI ने पीछे छोड़ा

 (xenaproject.wordpress.com)
2 पॉइंट द्वारा GN⁺ 6 시간 전 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • ChatGPT और Claude परिवार के मॉडलों ने सिर्फ कुछ हफ्तों में Erdős unit distance conjecture, Grothendieck के group scheme प्रश्न, और Jacobian Conjecture के लिए प्रतिदृष्टांत बनाए, जिनमें से कुछ Lean से सत्यापित भी हुए
  • OpenAI के Sol ने Erdős प्रतिदृष्टांत और आवश्यक global class field theory के परिणामों को 3 हफ्तों में 12 लाख लाइनों के Lean कोड में formalize किया, जो 9 साल में लिखी गई mathlib की 23 लाख लाइनों का आधे से भी अधिक है
  • Grothendieck के 60 साल पुराने प्रश्न के लिए Sol ने 12 पन्नों का प्रतिदृष्टांत खोजा और Fable ने 4 घंटे में उसे 1,076 लाइनों में formalize करके order 4 लेकिन 4 से annihilate न होने वाली group scheme के अस्तित्व की पुष्टि की
  • स्वचालित formalization ने research की रफ्तार भी काफी बढ़ाई; Andrew Yang ने लगभग 2 हफ्तों में 2.5 लाख लाइनों का Lean कोड लिखकर Fermat’s Last Theorem के लिए जरूरी modularity lifting theorem project को लगभग पूरा कर दिया
  • AI द्वारा बनाई गई informal mathematics पर सीधे भरोसा नहीं किया जा सकता, लेकिन जब किसी conjecture को सटीक Lean proposition में बदला जाता है, तब proof और disproof को मशीन से जांचा जा सकता है, और मनुष्यों को प्रतिदृष्टांतों से गहरी mathematical insight निकालनी होगी

Erdős unit distance conjecture और global class field theory

  • 20 मई 2026 को ChatGPT ने discrete geometry की Erdős unit distance conjecture को खंडित किया
    • 1960 के दशक में Golod और Shafarevich के गहरे number theory theorem का उपयोग करके प्रतिदृष्टांत बनाया गया
    • कई गणितज्ञों ने तर्क की पहले से समीक्षा की और उसे वैध माना, लेकिन घोषणा के समय Lean formalization मौजूद नहीं था
  • 26 मई को Fields Medal विजेता और Logical Intelligence के chief scientific officer Mike Freedman ने बताया कि उनकी system ने ChatGPT के पूरे paper को अपने-आप Lean में formalize कर दिया
    • Formalization का दायरा इस proposition तक था कि Golod–Shafarevich theorem, Erdős प्रतिदृष्टांत को imply करता है
    • आधार बनने वाले number theory theorem को खुद 100 से अधिक पन्नों की जरूरत पड़ती है और वह global class field theory के विशाल हिस्सों पर निर्भर है
  • 2025 की class field theory formalization summer school के बाद 1 साल में local case लगभग पूरा हो गया था, लेकिन global case अब भी अनसुलझा था

Sol द्वारा बनाया गया 12 लाख लाइनों का पूर्ण formalization

  • 26 जून को OpenAI के Boris Alexeev ने Lean Zulip पर घोषणा की कि उन्होंने नए मॉडल Sol को guide करके ऐसा Erdős प्रतिदृष्टांत का पूर्ण formalization तैयार कराया जो गणितीय axioms के अलावा कुछ भी assume नहीं करता
  • Sol ने 3 हफ्तों में 12 लाख लाइनों का Lean कोड बनाया
    • 9 साल में लिखी गई mathlib 23 लाख लाइनों की है
    • कोड की quality एकसमान नहीं थी, लेकिन उसने global class field theory के कठिन परिणामों और number fields की cohomology से जुड़े nontrivial theorem वास्तव में सिद्ध किए
  • Lean एक programming language है जो मनमाने commands चला सकती है, इसलिए malicious code की संभावना को देखते हुए generated code को sandbox में चलाया गया
  • इस पैमाने और गति ने इस निष्कर्ष को मजबूत किया कि बड़े पैमाने पर AI-generated mathematics development अब अपरिहार्य है

Formalizing Fermat workshop और tool accessibility

  • 6–10 जुलाई को हुए Formalizing Fermat workshop में 25 लोग शामिल हुए, लेकिन sponsor Logos Research की automatic formalization system को एक साथ सिर्फ 5 लोग ही इस्तेमाल कर सकते थे
  • सभी प्रतिभागियों को एक महीने का Claude Max subscription दिया गया ताकि वे Claude Fable का उपयोग कर सकें, और OpenAI ने भी एक महीने का ChatGPT Pro access मुफ्त दिया
    • Sol की release 9 जुलाई को निर्धारित थी
    • Fable का access 7 जुलाई को समाप्त होना था, लेकिन वास्तविक access बना रहा
    • प्रतिभागियों को workshop के 5 में से 4 दिनों तक Sol और Fable, और पूरे समय Logos tool का उपयोग मिला
  • Fermat’s Last Theorem के formalization के लिए जरूरी finite flat group scheme theory विकसित करने हेतु classical papers को Fable और ChatGPT में डालकर उनसे natural-language commentary लिखवाई गई
    • Logos ने commentary में शामिल एक proposition को false पाया और एक explicit प्रतिदृष्टांत दिया
    • जांच में पता चला कि standard construction का वर्णन करने वाला LLM-generated दस्तावेज़ गलत था, और इंसान पढ़ते समय उस त्रुटि को पकड़ नहीं पाए थे
    • सिर्फ यह कहने के बजाय कि वह तर्क समझ नहीं सका, सिस्टम ने यह प्रमाण दिया कि तर्क गलत है

Grothendieck का group scheme प्रश्न

  • UChicago के professor Akhil Mathew ने AI के सामने Grothendieck का पुराना प्रश्न रखा: क्या order (n) की हर finite free group scheme, (n) से annihilate होती है?
    • Deligne ने commutative case सिद्ध किया था
    • Grothendieck ने उस case को सिद्ध किया था जिसमें base space reduced हो
    • Rene Schoof ने और भी cases पर काम किया था, और Emiliano Torti ने पिछले साल के paper में अधिक सामान्य cases सिद्ध किए थे
  • Workshop के अगले day, 11 जुलाई को Sol ने प्रतिदृष्टांत खोजकर 12 पन्नों की PDF बनाई
    • जब informal result के बजाय पूरा Lean formalization मांगा गया, तो Fable ने 4 घंटे में 1,076 लाइनें अपने-आप formalize कर दीं
  • पहले यह जांचा गया कि Lean file में file deletion जैसे commands नहीं, सिर्फ theorem ही हैं; उसके बाद उसे notebook पर compile किया गया
    • यह पुष्टि की गई कि proposition में सिर्फ mathlib के concepts इस्तेमाल हुए हैं
    • यह जांचा गया कि proposition वास्तव में प्रतिदृष्टांत के अस्तित्व को दर्शाती है
    • यह भी देखा गया कि proof ठीक से compile होता है
    • पूरी verification में 5 मिनट से भी कम लगे
  • Verification के नतीजे में order 4 लेकिन 4 से annihilate न होने वाली group scheme का अस्तित्व सामने आया
  • Akhil Mathew ने इस प्रतिदृष्टांत को mathlib PR के रूप में submit किया
  • Erdős प्रतिदृष्टांत लगभग 10 लाख लाइनों का था, जबकि Grothendieck प्रतिदृष्टांत लगभग 1,000 लाइनों का होकर काफी सरल था, लेकिन यह 60 साल पुराने algebraic geometry प्रश्न को मशीन द्वारा हल किए जाने का उदाहरण बन गया

विशेषज्ञों की प्रतिक्रिया और modularity lifting theorem

  • 14 जुलाई को Imperial College के एक professor ने कहा कि Grothendieck प्रतिदृष्टांत का आसानी से मिल जाना सिर्फ यह दिखाता है कि इंसानों ने उस समस्या पर पर्याप्त समय तक विचार नहीं किया था
  • PhD छात्र Andrew Yang ने Fermat’s Last Theorem के लिए महत्वपूर्ण modularity lifting theorem को Lean में formalize करते समय Sol और Fable का उपयोग किया
    • उन्होंने लगभग 2 हफ्तों में 2.5 लाख लाइनों का Lean कोड लिखा
    • इससे project लगभग पूरा हो गया
  • Imperial के एक अन्य professor को यह समझना कठिन लगा कि graduate students Sol और Fable के लिए हर महीने 200 डॉलर दें, लेकिन इन नतीजों को देखने के बाद उन्होंने उल्टा यह मान लिया कि जो PhD छात्र इन tools पर 200 डॉलर महीना नहीं खर्च कर रहा, वही अलौकिक नहीं बल्कि अव्यावहारिक है
  • Harvard पहले से ही सभी PhD छात्रों, postdocs और professors को Fable का मुफ्त access दे रहा था

Jacobian Conjecture प्रतिदृष्टांत

  • Akhil Mathew और Levent Alpöge ने algebraic geometry में और प्रतिदृष्टांत खोजने के तरीकों पर चर्चा की, और Fable ने लगभग 100 साल से खुले प्रसिद्ध प्रश्न Jacobian Conjecture का प्रतिदृष्टांत खोज लिया
  • Levent Alpöge ने 2026 World Cup final के दौरान इस परिणाम को, जो हल होता हुआ दिख रहा था, X पर साझा किया
  • जब Akhil Mathew ने नया mathlib PR प्रस्तावित किया, तब तक Paul Lezeau प्रतिदृष्टांत को manually formalize करके DeepMind के Formal Conjectures repository में PR submit कर चुके थे
  • mathlib में mathematical conjectures की बड़ी सूची नहीं है, लेकिन Formal Conjectures repository में यह मौजूद है
  • अगर लोग किसी conjecture के अर्थ को faithfully व्यक्त करने वाले Lean proposition पर सहमत हो जाएं, तो यह जांचना आसान हो जाता है कि AI-generated code उस conjecture को सिद्ध करता है या खंडित

Formal verification के बाद इंसानों के लिए बचा काम

  • Jacobian Conjecture में अगला कदम यह समझना है कि उस प्रतिदृष्टांत में ठीक-ठीक क्या हो रहा है
  • Grothendieck प्रतिदृष्टांत के लिए भी मनमाने ring presentations और calculations की सूची से आगे बढ़कर गहरी समझ विकसित करने का काम चल रहा है
  • प्रतिदृष्टांत का मूल्य सिर्फ किसी समस्या को औपचारिक रूप से खत्म करने में नहीं है; वह तब पूरा होता है जब इंसान उससे गणित को बेहतर समझने के लिए insight निकालते हैं

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 6 시간 전
Hacker News की टिप्पणियाँ

  • ग्रेजुएट स्कूल के दौरान अपने advisor की research class में एक open problem पर सीधे योगदान देने का मौका मिला। एक शुक्रवार प्रोफेसर ने एक smooth और beautiful conjecture पेश की, जिसे वे true देखना चाहते थे, लेकिन मुझे विचित्र exceptions पसंद थे और मेरे पास proof tools भी कम थे, इसलिए मैंने counterexample ढूँढने पर ध्यान दिया और एक घंटे में उसे खोज लिया
    प्रोफेसर पूरे वीकेंड proof देने में असफल रहे; यह दिखाने वाली घटना थी कि अलग-अलग tools, expectations, और motivations वाले लोग एक ही समस्या को देखकर बिल्कुल अलग दिशाओं से योगदान दे सकते हैं। मैं महान advisor की बराबरी नहीं कर सकता था, लेकिन उस समय मेरे पास दूसरी दिशा में देखने की वजह थी, और वही मेरे गणितीय research का एकमात्र छोटा-सा योगदान, एक counterexample, बन गया

    • शायद यही वजह है कि मशीनें counterexample खोजने में अच्छी होती हैं। उन्हें conjecture के प्रति कोई सौंदर्यात्मक आसक्ति नहीं होती, और न ही बदसूरत परिणाम देने में शर्म आती है
    • गणितज्ञ के रूप में मेरा अनुभव इसका उलटा है। proof तो अक्सर पहले से ज्ञात proof में थोड़ा बदलाव करके बनाया जा सकता है, लेकिन counterexample बनाने के लिए विषय की संरचना को गहराई से समझना पड़ता है, और यह अक्सर मेरी क्षमता से बाहर हो जाता है
      हालांकि ऐसा इसलिए भी हो सकता है कि मैं मुख्यतः ऐसे abstract objects पर काम करता हूँ जिन्हें समझना कठिन है; numbers या polynomials में स्थिति उलटी हो सकती है
    • जो प्रोफेसर, researcher, और teacher छात्रों के सामने अभी तक unsolved समस्याएँ रखते हैं और उन्हें भाग लेने के लिए प्रोत्साहित करते हैं, उन्हें अधिक सम्मान मिलना चाहिए। यूनिवर्सिटी की पहली engineering class में instructor ने first-year छात्रों से कहा था, “ये ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें हम अभी तक हल नहीं कर पाए हैं, इसलिए अगर कोई idea आए तो हमें बताइए”; उस क्षण मुझे जितना स्वागतयोग्य और समुदाय का हिस्सा महसूस हुआ, उतना शायद कभी नहीं हुआ, और इसने पढ़ाई के शुरुआती, वरना उबाऊ हो सकने वाले, दौर में बहुत प्रेरणा दी
    • 《How to Solve It》 में भी लगभग यही कहानी है
    • Zeeman की एक और भी अधिक चरम, लेकिन उलटी दिशा वाली, कहानी है। वे 5-dimensional space में एक knotted sphere खोजने की कोशिश में कई साल लगे रहे, फिर उन्हें समझ आया कि यह असंभव है, और कुछ ही घंटों में उसका proof दे दिया
      https://ima.org.uk/28009/sir-erik-christopher-zeeman-the-mat...

  • twin prime conjecture के लिए प्रसिद्ध Yitang Zhang ने Purdue में Tzuong-Tsieng Moh के निर्देशन में Jacobian conjecture पर 7 साल काम किया। बाद में पता चला कि उनकी thesis का मुख्य कदम Moh के एक गलत corollary पर निर्भर था, Moh ने recommendation letter लिखने से इनकार कर दिया, और Zhang शिक्षा या research की नौकरी नहीं पा सके, इसलिए उन्हें कई वर्षों तक Subway में काम करना पड़ा
    सोचता हूँ कि अगर 1986 में, जब उन्होंने यह research शुरू की, ChatGPT होता तो क्या होता। आज यह एक प्रेरक सफलता-कथा बन चुकी है, लेकिन “庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关” वाली पंक्ति की तरह यह जटिल भावनाएँ जगाती है

    • एक बार mathematics PhD defense के दौरान एक examiner professor ने proof में खामी पकड़ ली थी। छात्र ने समझने के बाद पूछा, “अब क्या करें?” और examiner professor ने बस कंधे उचका दिए
    • बाद में twin prime conjecture में उनकी सफलता को प्रेरक कहा जा सकता है, लेकिन अकादमिक दुनिया की ऐसी कहानियों से मैं थक चुका हूँ। राजनीति और प्रतिष्ठा-प्रबंधन बहुत ज़्यादा है, और Zhang को ऐसा कष्ट नहीं झेलना चाहिए था
      गणित की दिशा में अपना research बढ़ाते हुए मुझे यह देखकर हैरानी हुई कि literature में कई propositions झूठे हैं और वे application literature तक व्यापक रूप से फैल चुके हैं। समस्या बताने पर भी, Zhang की कहानी की तरह, लोग अक्सर बचाव और इनकार से जवाब देते हैं। LLM proof में उपयोगी हैं, लेकिन वे गंभीर रूप से गलत भी हो सकते हैं; वे कुछ वैसा ही हैं जैसे अलग intuition वाला कोई दूसरा व्यक्ति, जो खोज की दिशा सुझा दे, इसलिए 1986 में भी शायद नतीजा वही रहता
    • ChatGPT द्वारा अनूदित उस पंक्ति का अर्थ लगभग यह है: “Yu Xin का जीवन पूरी तरह उदास और विरान था, लेकिन बुढ़ापे में उसकी कविता और गद्य ने नदियों-सी सीमाओं वाले प्रदेशों को हिला दिया”

  • गणित में counterexample परिभाषाओं को तराशने और proofs को अधिक सटीक बनाने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। Imre Lakatos की 1976 की पुस्तक 《Proofs and Refutations》 की सिफारिश की गई, और topology, probability theory, analysis आदि में केवल counterexamples पर केंद्रित काफी किताबें भी हैं
    https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_and_Refutations
    https://www.amazon.com/s?k=counterexamples

  • counterexample खोज लेने से किसी false proposition को prove करने में समय बर्बाद नहीं होता और आगे दूसरी समस्या पर बढ़ा जा सकता है, इसलिए कम से कम गणित में यह मानवता के समय को अधिक उत्पादक ढंग से इस्तेमाल करने में मदद करता है

    • counterexample के ज़रिए खंडन प्रभावी होता है, लेकिन अंततः संतोषजनक नहीं। यह उत्तर तो देता है, पर यह नहीं समझाता कि गणित ऐसा क्यों काम करता है, न ही यह ज़रूरी तौर पर नए प्रश्नों तक ले जाता है
      जब तक मानव गणितज्ञ यह तय करते रहेंगे कि कौन-सा proof elegant और insightful है, तब तक उनके लिए काम बना रहेगा
    • counterexample theorem के कथन को refine करने में भी उपयोगी हैं। theoretical computer science research में अक्सर ऐसा होता है कि जिस theorem को true साबित करना चाहते थे, उसी के लिए counterexample मिल जाता है, फिर कथन को संशोधित करके आगे बढ़ते हैं
      यह बात भी मदद करती है कि computer science के कई theorems inductive और coinductive definitions से जुड़े होते हैं
    • खासकर अगर counterexample formally verified हो, तो वह वर्षों की अटकलों पर आधारित मेहनत को लगभग तुरंत एक निर्णायक उत्तर में बदल देता है
    • लेकिन कुल मिलाकर यह निश्चित नहीं कहा जा सकता कि समय अधिक उत्पादक रूप से ही इस्तेमाल हुआ। चाहे किसी proposition को prove किया जाए या disprove, और चाहे वह अंततः true निकले या false, उस प्रक्रिया में नई insights जन्म ले सकती हैं

  • लगता है गणित जगत की 《John Henry की Ballad》 भी AI ही लिखेगा। सोचता हूँ कि “THE BOOK में जगह पाने लायक” proof पेश करने वाला आख़िरी मानव champion कौन होगा, जिसे मशीन भी पार न कर सके
    https://en.wikipedia.org/wiki/John_Henry_(folklore)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_from_THE_BOOK

    • यह कुछ वैसा अस्वस्थ नज़रिया है जैसे football fans गणित को भी प्रतियोगिता की तरह देखें। गणित में सबसे मूल्यवान चीज़ सिर्फ सुंदर proof नहीं, बल्कि उपयोगी definitions भी हैं; अच्छी definitions बनाना और उनसे अच्छे conjectures निकालना ऐसा क्षेत्र है जिसे LLM ने अभी तक जीतने की कोशिश नहीं की है
    • अभी बात इतनी नाटकीय नहीं हुई है, लेकिन जल्द उस चरण तक पहुँचने की संभावना है। AI की क्षमता asymptotically बढ़ेगी या तेज़ी से, इसका संरचनात्मक अनुमान लगाने का कोई आधार नहीं है, और कौन-सी समस्याएँ नए तरीकों से हल होंगी, इस पर दोनों संभावनाएँ खुली हैं
      हम AI क्षमताओं के भीतर और उनकी growth curve को नहीं समझते, और यह भी ठीक-ठीक नहीं जानते कि क्या वह जानबूझकर अपनी क्षमता कम दिखा रहा है। यह मापन का प्रतिरोध करने वाली कोई emergent phenomenon भी हो सकती है, या कुछ साल बाद घड़ी की तरह पूर्वानुमेय बन सकती है। कोई नहीं जानता, और अगर कोई जानता भी है तो वह बता नहीं रहा; ज़ोर से बोलने वाले लोग भी वास्तव में नहीं जानते हैं

  • अगर इससे graduate students की meaningful उपलब्धियाँ काफ़ी जल्दी आ सकती हैं, तो प्रति छात्र $2,400 प्रति वर्ष निवेश न करने की कोई वजह नहीं है। कुल लागत के हिसाब से यह लगभग नगण्य है

    • कुछ graduate students खुद को “meaningful results पैदा करने वाली machine” नहीं बल्कि एक नैतिक अस्तित्व मानते हैं। सभी जानते हैं कि उपयोगी LLMs को भी चोरी किए गए training data और भारी environmental impact की वजह से सही ठहराना मुश्किल है
    • EPSRC PhD studentship का living stipend लगभग £20,000 है, इसलिए यह वार्षिक लागत का लगभग 10% बनता है। छात्र के लिए व्यक्तिगत रूप से यह बड़ा बोझ है

  • काश विश्वविद्यालय के दिनों में LLM द्वारा बनाई गई Lean formalization मौजूद होती। lecture slides में गणित की गलतियाँ बहुत थीं, और कुछ professors “proof slides में है” कहकर स्पष्टीकरण की मांग ठुकरा देते थे, साथ ही गलती मानने में भी कंजूस थे
    Lean proof खुद अक्सर समझने के लिए उपयुक्त नहीं होता, लेकिन उम्मीद है कि इसके आधार पर इंसान के लिए आसानी से समझ आने वाले तर्क बनाए जा सकें

    • पहली बात से सहमत होना कठिन है। learning curve खड़ी है, लेकिन अच्छी तरह लिखी गई Lean·Agda·Rocq formalizations proof को समझने में बेहतरीन हैं। अच्छी formalization रूपरेखा और मुख्य तर्क को संरचनात्मक रूप से दिखाती है, और paper proofs के विपरीत मनचाही गहराई तक हर step का detail जाँचना संभव बनाती है
      Martín Escardó का TypeTopology Agda repository इसका अच्छा उदाहरण है। दूसरी तरफ, मौजूदा LLM-जनित formalizations बहुत बेतरतीब हो सकती हैं, इसलिए भले ही वे theorem को certify करें और दिलचस्प तर्क समेटे हों, उन्हें गणितीय समझ बढ़ाने वाले रूप में सँवारने के लिए काफी काम चाहिए। interactive Agda tutorial lets-play-agda.quasicoherent.io पर है
    • formalization का उपयोग बहस समाप्त करने और संदेह पूरी तरह हटाने वाले Leibniz-style approach में भी किया जा सकता है

  • जिज्ञासा है कि गणितज्ञों के लिए counterexamples क्या भौतिक विज्ञान के unexpected results की तरह होते हैं—जो उस समय परेशान करने वाले हों, लेकिन model की अशुद्धि दिखाकर बेहद महत्वपूर्ण बनें—या programming के bug reports की तरह मामूली और झुंझलाहट भरे details होते हैं

    • counterexamples conditions की भूमिका स्पष्ट करते हैं। जब proof की हर condition का उल्लंघन होने पर क्या विफल होता है, यह दिखाने वाला सबसे सरल और याद रहने वाला counterexample मिल जाए, तो वह बहुत उपयोगी होता है
      गणितज्ञ अक्सर दिमाग में counterexample zoo लेकर चलते हैं। theorem को फिर से बनाते समय भी वे तीखे और यादगार counterexamples याद करके domain और conditions को इतना सीमित कर सकते हैं कि वे बाहर हो जाएँ
    • 《Counterexamples in Topology》 और 《Counterexamples in Analysis》 जैसी शैक्षिक किताबें हैं जो counterexamples के ज़रिए किसी क्षेत्र की सूक्ष्म भिन्नताएँ सिखाती हैं। केवल इच्छित सामान्य objects सीखने की तुलना में pathological और degenerate examples से details सीखना आसान होता है, इसलिए ये लोकप्रिय हैं

  • इस गणित का बड़ा हिस्सा समझना कठिन है, लेकिन लगता है कि ज़्यादातर theorem proving से जुड़ा है। अगर AI math तेज़ी से आगे बढ़ती रही, तो क्या आगे चलकर engineering या biomedicine में लागू होने वाला नया गणित भी खोजा जाएगा, क्या हम मानवता की किसी बड़ी breakthrough के ठीक पहले हैं, या यह बस पहले से ज्ञात बातों को साबित करने तक सीमित रहेगा

    • संभावना है। compressed sensing को biomedicine में लागू होने वाले नए गणित के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, और यह MRI scan का समय काफ़ी घटाकर मरीजों का अनुभव बेहतर कर सकता है तथा अधिक मरीजों को जाँच मिल सकती है
      https://en.wikipedia.org/wiki/Compressed_sensing
    • engineering और biomedicine में इसका उपयोग हो भी जाए, तो शायद यह दीर्घकालिक बात होगी, लेकिन नए mathematical methods का विकास fundamental physics research में इससे पहले महत्वपूर्ण हो सकता है। कई बार ऐसा हुआ है कि किसी cosmological model को व्यक्त या verify करने वाले mathematical tools आने पर model में बड़ा सुधार हुआ
    • संभव हो तो भी इसमें बहुत लंबा समय लगेगा। ज़्यादातर applied fields में तो हम कई सौ साल पुराने गणित का भी अब जाकर ठीक से उपयोग करना शुरू कर रहे हैं

  • कभी ऐसा हो सकता है कि गणितज्ञ जाँचने के लिए proofs के ढेर में दब जाएँ और overconfident झूठे propositions गणित समुदाय में प्रवेश कर जाएँ। भविष्य के गणितज्ञ शायद AI का उपयोग करने वाले software engineers की तरह AI-जनित proofs की हज़ारों lines जाँचते हुए सूक्ष्म त्रुटियाँ ढूँढ़ेंगे

    • वह समय तो बहुत पहले ही आ चुका है। आज का literature विशाल है और गलत proofs से भरा हुआ है, और प्रकाशित नतीजों में भी संख्या भले अज्ञात हो, लेकिन निश्चित रूप से शून्य नहीं, इतने झूठे results मिले हुए हैं