Differential Equations लेक्चर से पहले काश सीखे होते ये 10 सबक [PDF] (1997)

 (web.williams.edu)
2 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2023-11-14 | 2 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • MIT में दूसरे वर्ष के Differential Equations कोर्स को लंबे समय तक पढ़ाने वाले Gian-Carlo Rota का मानना था कि introductory course पुराने solving tricks और inertia में बंधा हुआ है, इसलिए इसके बड़े व्यावहारिक reform के बजाय यह स्वाभाविक रूप से कई छोटे alternative courses में बंट सकता है
  • शुरुआत में सिखाई जाने वाली first-order equation techniques, integrating factor, exact equation जैसी अलग-अलग tricks वास्तविक engineering problems से दूर हैं, और लंबे समय तक value रखने लायक बस separation of variables और change of variables ही हैं
  • छात्रों के लिए अनिवार्य axis constant-coefficient linear equations और systems है; non-constant-coefficient second-order linear equations या formal Sturm-Liouville content introductory course के लिए ठीक से फिट नहीं होते
  • existence-uniqueness theorem, word problems, variation of parameters, और differential notation-केंद्रित explanations समझ से ज्यादा exam में test हो सकने वाली manipulation को मजबूत कर सकते हैं, इसलिए इन्हें trajectories, vector fields, और integral curves के perspective से फिर समझाना चाहिए
  • introductory differential equations education ऐसा subject नहीं होना चाहिए जो बहुत सारी tricks छोड़ जाए; उसे छात्रों में exponential function की universality, stability, phase plane, और Laplace transform जैसी conceptual feel छोड़नी चाहिए

पुराने introductory differential equations course पर चिंता

  • Gian-Carlo Rota अपने युवा दिनों में ordinary differential equations की textbook लिखने को एक गलती के रूप में याद करते हैं, और कहते हैं कि उस अनुभव से उन्हें एहसास हुआ कि वे खुद differential equations क्या हैं, यह नहीं जानते
  • MIT का दूसरे वर्ष का differential equations course शिक्षकों और छात्रों दोनों के लिए बोझिल undergraduate math course माना जाता था, और textbook लिखने के कारण उन्हें लगातार यह course पढ़ाना पड़ा
  • यह लेख 1958 से बार-बार हुए lecture-related mistakes और biases को 10 lessons के रूप में整理 करता है

1. Introductory course का बड़ा हिस्सा पुराना हो चुका है

  • Cauchy के 19वीं सदी के differential equations lecture notes और modern introductory textbooks की तुलना करें, तो systems जुड़ने के अलावा content में लगभग कोई बदलाव नहीं है
  • आज की textbooks की शुरुआत में exact equations, integrating factors, homogeneous differential equations जैसी आपस में disconnected techniques useful tools की तरह रखी जाती हैं
  • ऐसे equations engineering practice में कम ही दिखते हैं, और साथ में दिए जाने वाले exercises भी Euler के बाद से बड़े बदलाव के बिना चले आ रहे हैं
  • introductory differential equations course के बड़े reform के बजाय उसके स्वाभाविक रूप से गायब होने और real-world aspects को कवर करने वाले कई छोटे courses से replace होने की संभावना है
  • हालांकि math departments का budget काफी हद तक engineering students के elementary math courses में enrollment पर निर्भर करता है, इसलिए ऐसे courses न हों तो math departments का बने रहना मुश्किल होगा

2. First-order differential equations को न्यूनतम करना चाहिए

  • Boole की differential equations book first-order equations solving पर लगभग आधा हिस्सा देती है, लेकिन आज meaningful रूप से बचे हुए techniques बस separation of variables और change of variables हैं
  • integrating factors मजाक जैसे हो गए हैं, और वे कहते हैं कि उन्होंने सच में किसी first-order differential equation को integrating factor खोजकर solve करने का example कभी नहीं सुना
  • फिर भी lectures में integrating factors पर एक-दो घंटे लगाए जाते हैं, और छात्रों से कहा जाता है कि यह important है—यह practice जारी है

3. Linear constant-coefficient equations ही core हैं

  • छात्रों को constant-coefficient linear differential equations solve करना जरूर सीखना चाहिए; खासकर second-order constant-coefficient linear equation solve करना basic mathematical literacy का हिस्सा है
  • इसके उलट, non-constant-coefficient linear differential equations को साहसपूर्वक घटाना चाहिए
    • Euler-Cauchy equation को छोड़ दें, तो special functions introduce किए बिना explicitly solve की जा सकने वाली second-order linear equation कोई नहीं है, ऐसा वे मानते हैं
    • Bessel function पहले syllabus में शामिल था, लेकिन अब introductory course में इसे संभालना कठिन माना जाता है
  • Sturm-Liouville theory सुंदर mathematics है, लेकिन introductory course में लिया जाने वाला regular Sturm-Liouville eigenvalue problem असली mathematics, physics, और engineering में नहीं आता—वे इसकी आलोचना करते हैं
    • वास्तविकता में आने वाले Sturm-Liouville systems singular systems होते हैं
    • rigorous theory पहले ही नहीं, दूसरे differential equations course के scope से भी बाहर है, ऐसा वे मानते हैं
  • non-constant-coefficient equations को पूरी तरह छिपाने की जरूरत नहीं है; introductory level पर भी Wronskian और differential algebra के कुछ results दिखाए जा सकते हैं
    • second-order linear equation के general solution का formula न हो, फिर भी दो solutions के Wronskian के लिए explicit formula है
    • एक solution पता हो तो Wronskian से दूसरा solution खोजा जा सकता है

4. Change of variables सिखाना चाहिए

  • आगे चलकर छात्रों को जिस technique से जरूर जूझना पड़ेगा, वह first-order और second-order differential equations दोनों में change of variables है
  • change of variables सिर्फ trick नहीं, बल्कि consistent theory है, लेकिन current textbooks इस technique को पर्याप्त importance नहीं देतीं
  • second-order linear differential equations में dependent और independent variables के transformation formulas जाने जाते हैं, लेकिन 20वीं सदी में लिखी books में मिलना मुश्किल है, वे कहते हैं
  • Liouville ने second-order linear differential equation coefficients के differential polynomials यानी invariants खोजे, और सिद्ध किया कि दो equations को change of variables से एक-दूसरे में transform करने की necessary and sufficient condition यह है कि उनके invariants समान हों
  • यह theorem textbooks में शामिल नहीं है; उनकी textbook के first edition में यह exercise के रूप में था, लेकिन बाद के editions से हट गया

5. Existence और uniqueness कम important हैं

  • ordinary differential equations का existence theorem आम तौर पर जितना important माना जाता है, उतना नहीं है; यह psychological reassurance देने वाला theorem ज्यादा है
  • अगर ordinary differential equations में ऐसे examples होते जहां solution मौजूद नहीं होता, तो existence theorem ज्यादा interesting हो सकता था, लेकिन ऐसे problems partial differential equations में अधिक prominent हैं
  • uniqueness theorem ज्यादा sensitive issue है, और वे कहते हैं कि जब वे बिना proof के कहते हैं कि constant-coefficient second-order linear equation के सभी solutions दो solutions के linear combination होते हैं, तो उन्हें guilt महसूस होता है
  • y' = ay के सभी solutions y = ce^{ax} form के हैं, यह prove कर देने पर भी छात्रों तक convincingly पहुंचाना कठिन है, वे मानते हैं

6. Linear constant-coefficient systems course का केंद्र हैं

  • constant-coefficient linear systems solve करना differential equations course में छात्र द्वारा सीखी जाने वाली सबसे महत्वपूर्ण skill है
  • science और technology के students आगे बड़े linear systems से मिलेंगे, और जैसे-जैसे large systems solving computerized होती है, theory की समझ और important हो जाती है
  • छात्रों को matrices के eigenvalues और eigenvectors, matrix exponential आदि related theory जाननी चाहिए
  • पिछले 30 वर्षों में control, economics, signal processing, और mathematics में interesting constant-coefficient system examples आए हैं, लेकिन introductory textbooks में शामिल नहीं हुए, वे मानते हैं
  • textbooks में matrix system examples अधिकतर plane systems या artificial examples हैं, वे इसकी आलोचना करते हैं
  • variation of parameters systems unit में ritual की तरह आता है, लेकिन practical usefulness कम है, और students को देने लायक problems बनाना भी मुश्किल है
  • non-constant-coefficient second-order nonhomogeneous linear equation solve करने की पुरानी variation of parameters method सदियों से उन्हीं artificial examples के साथ textbooks में दोहराई जाती रही है

7. Differential notation-केंद्रित explanation से बचना चाहिए

  • 1800 के बाद से textbooks ने integrating factors जिस तरह explain किए हैं, उसकी वे कड़ी आलोचना करते हैं कि वह rigorous नहीं है
  • existing explanation first-order equation dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) को अचानक M dx + N dy = 0 नाम की “differential form” में बदल देती है, और कहती है कि यह बस दूसरी notation है
  • फिर कहा जाता है कि कोई function q(x,y) multiply करने पर qM dx + qN dy = 0 exact हो जाता है, लेकिन original equation और multiplied equation समान हैं या अलग, इसे ठीक से handle नहीं किया जाता
  • बेहतर explanation यह है कि उस first-order equation के साथ plane autonomous system पर विचार किया जाए
    • dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y) को साथ में लिया जाए
    • system के solutions velocity वाली parametrized curves यानी trajectories हैं
    • original differential equation के solutions velocity हटाने के बाद integral curves के graphs हैं
  • q(x,y) बदलने पर trajectory पर speed बदलती है, लेकिन integral curve वैसी ही रहती है
  • integrating factor को ऐसे factor q के रूप में introduce किया जा सकता है जो vector field को geometrically और analytically handle करना आसान बनाता है
  • वे exterior differential forms के खुद खिलाफ नहीं हैं, और मानते हैं कि undergraduate mathematics curriculum में exterior differential forms की elementary calculus course जल्द जरूरत बन सकती है

8. Word problems से बचना चाहिए

  • exams और assignments में grade distribution बनाना आसान है, इस वजह से word problems पसंद करना गलत सोच है
  • Cambridge Tripos की पुरानी training style की तरह, अगर students को problem-solving tricks के हिसाब से train किया जाए, तो understanding से ज्यादा manipulation ability important हो जाती है
  • differential equations textbooks के word problems artificial, unrealistic, repetitive और कम relevant हैं—वे इसकी आलोचना करते हैं
  • snowplow problem या connected tanks में saltwater flow जैसे problems solve कराने से छात्र कुछ meaningful सीखते हैं, ऐसा मानना मुश्किल है, वे कहते हैं
  • economics student को मिलने वाले real problems और chemical engineering student को मिलने वाले real problems बहुत अलग हैं, और एक introductory course simple word problems के जरिए इन सबको cover नहीं कर सकता

9. Laplace transform की motivation ठीक से सेट करनी चाहिए

  • आम तौर पर Laplace transform को constant-coefficient linear differential equations के initial value problem से motivate किया जाता है, लेकिन inverse transform आसान नहीं होता और initial value problem अन्य तरीकों से भी solve हो सकता है, इसलिए motivation कमजोर है
  • Laplace transform लेते समय “function” शब्द में दो अलग concepts मिल जाते हैं
    • graph रखने वाला ordinary function
    • mass density या probability density की तरह integration से अर्थ तय होने वाला density function
  • density function में किसी एक point पर value meaningful नहीं होती; interval [a,b] पर integral mass या probability को दर्शाता है
  • इस perspective को स्वीकार करें तो Dirac delta function को सरल और rigorous तरीके से handle किया जा सकता है
    • point c पर unit mass सबसे सरल density function है जिसका graph नहीं है
    • अगर interval में c शामिल नहीं है तो integral value 0, और शामिल है तो 1 define की जाती है
    • infinite value वाली function जैसी explanation के बिना properties derive की जा सकती हैं
  • density functions में ordinary sense की multiplication के बजाय convolution natural multiplication की भूमिका निभाता है
  • convolution के महत्वपूर्ण theorem के रूप में वे Titchmarsh convolution theorem बताते हैं; कहते हैं कि उसका कोई known elementary proof नहीं है और Titchmarsh का proof complex variable methods इस्तेमाल करता है

10. Tricks नहीं, concepts सिखाने चाहिए

  • introductory differential equations course को tricks के collection के रूप में पढ़ाया जाए तो उसका educational value नहीं है
  • छात्र एक साल बाद ज्यादातर tricks भूल जाएंगे, और उनमें से काफी वैसे भी useless हैं, वे कहते हैं
  • छात्रों के मन में छोड़ने योग्य concepts ये हैं
    • exponential function का universal appearance
    • stability
    • systems की trajectories और integral curves का relation
    • phase plane analysis
    • Laplace transform manipulations
    • Laplace transform के जरिए partial fraction decomposition और convolution का relation
  • छात्र कठिन problems कुशलता से solve करता है या नहीं, इससे ज्यादा जरूरी है कि उसे differential equations की importance और mathematics की power का अहसास मिले
  • undergraduate education का purpose केवल information delivery मानना गलत है; information classroom के बाहर भी बेहतर तरीकों से मिल सकती है
  • सफल undergraduate lecture वह है जो student को यह महसूस कराए कि उसने अच्छा course लिया, भले ही वह ठीक-ठीक न बता पाए कि उसने concretely क्या सीखा

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2 टिप्पणियां

 
excovert 2023-11-14

लगता है कि सामग्री और शीर्षक अलग हैं?
 
GN⁺ 2023-11-14
Hacker News राय

  • गणित के दूसरे क्षेत्रों या कई अलग-अलग क्षेत्रों में भी कुछ ऐसा ही होता है। गणित की क्लास में Fourier transform सीखते समय यह complex exponential functions के integrals को यांत्रिक ढंग से संभालने वाले algebra जैसा लगा और बिल्कुल समझ नहीं आया, लेकिन audio signal analysis में waveform का magnitude spectrum देखते ही तुरंत समझ आ गया कि क्या हो रहा है, और उसके बाद phase भी मुश्किल नहीं रहा
    यूनिवर्सिटी गणित में ऐसे practical examples लगभग प्रतिबंधित लगते हैं; शायद मकसद हर चीज़ को बहुत abstract और rigorous बनाना होता है। intuition मिलने के बाद formal math भी समझ आने लगी, और जब पढ़ाने की स्थिति आती है तो यह भी दिखता है कि ऐसा क्यों होता है। शिक्षक के लिए चीज़ें इतनी obvious होती हैं कि यह कल्पना करना मुश्किल होता है कि छात्र अभी notation और vocabulary समझने से पहले किस अवस्था में है। इसलिए जब छात्र जिस किसी दूसरे क्षेत्र को पहले से जानता है, उसमें कोई concept ढूंढकर उसे नए topic के सरल example से जोड़ते हैं और दिखाते हैं कि “यह वही चीज़ है, बस notation और abstraction अलग है”, तो अक्सर क्लिक करके समझ आ जाता है। हालांकि textbooks या बड़े lectures में यह कठिन है, और इसलिए सिर्फ सामग्री फेंक देने के बजाय इंसान द्वारा पढ़ाना ज़रूरी होता है

    • practical examples न जानें तो कठिन होता है। जब मैंने थोड़े समय के लिए कॉलेज math पढ़ाई थी, तब physics major होने और industry experience होने के कारण मैंने कहा कि differential equations की class में engineering applications हों तो अच्छा होगा। इस पर differential equations TA रहे एक होशियार graduate student ने गंभीर चेहरे से जवाब दिया, “differential equations के कोई engineering applications नहीं हैं”
    • theoretical mathematics पढ़ चुके और hobby के तौर पर electronics करने वाले व्यक्ति के रूप में, theoretical math के छात्रों और faculty में दूसरे क्षेत्रों को थोड़ा नीचा देखने का माहौल सचमुच था। जहां मैं था, वहां physics या applied math के छात्रों तक के बारे में मज़ाक में कहा जाता था, “वह math नहीं है, सिर्फ formulas और memorization है”, और computer science students को तो और भी खराब नज़र से देखा जाता था
      लेकिन math concepts अक्सर वास्तविक physical problems हल करने के लिए invent हुए हैं, या बाद में पता चला कि वे physical problems में बेहद useful हैं। ऐतिहासिक रूप से physics और math को बहुत अलग-अलग नहीं बांटा जाता था, और दोनों ने एक-दूसरे को बहुत प्रभावित किया। यह कहानी दिलचस्प है कि Einstein ने general relativity बनाते समय math में बहुत मजबूत न होने के कारण दोस्तों से मदद ली और लगभग private tutoring जैसी प्रक्रिया से उसे समझा। Fourier analysis भी electronics करने से पहले समझता था, लेकिन high-frequency problems से जूझते हुए circuits के काम में frequency domain इस्तेमाल करना शुरू करने के बाद ही उसकी usefulness सच में महसूस हुई
    • मेरे हिसाब से Fourier transform को calculus course में नहीं, linear algebra में पढ़ाना चाहिए। linear algebra में इसका अर्थ अच्छी तरह फिट बैठता है, और यह textbooks में कमी रहने वाले non-trivial application examples में से एक बन सकता है

  • अब तक देखे गए differential equations introductions में सबसे intuitive resource https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t... था
    यह शुरुआत से ही differential equations समझाता है, उनके physical meaning और पारंपरिक solution methods में से एक-दो को cover करता है, फिर numerical methods की ओर बढ़ता है। अगर differential equations सीखना चाहते हैं तो strongly recommend करने लायक छोटा और अच्छा resource है, लेकिन यह regular course की तैयारी कराने या सब कुछ बताने वाला material नहीं है

    • अगर differential equations समझने में numerical methods का उपयोग करने वाले educational approach के शुरुआती pioneers की तरफ से regular course-level material चाहिए, तो Blanchard, Devaney, Hall की किताब (http://math.bu.edu/odes) को strongly recommend करूंगा

  • 14–15 साल की उम्र में calculus पहली बार सीखते समय अगर किसी ने समझा दिया होता कि हम यह क्यों कर रहे हैं, तो शायद मैं बहुत कम confuse होता। अब speed, distance, acceleration जैसे examples से समझाएं तो यह पूरी तरह समझ आता है, लेकिन functions, infinitesimal pieces, delta quantities, equations और proofs की list के रूप में ही सीखने पर यह बहुत dry और boring था। कुछ साल बाद physics की class में आने तक मुझे यह अंदाज़ा ही नहीं था कि calculus करता क्या है

    • मैंने जो calculus class ली और पढ़ाई, वह physical world के examples से भरी हुई थी। हालांकि पहली बार सीखते समय शायद ऐसे explanations और examples के दिमाग में जड़ पकड़ने के लिए जमीन अभी कम थी
      graduate student बनने पर जब basic material फिर से देखा, तो सोचा, “यह तो इतना sense बनाता है, हाई स्कूल में हमें क्यों नहीं सिखाया गया?” फिर समझ आया कि शायद सच में सिखाया गया था, लेकिन mathematical maturity की कमी के कारण वह ठहरा नहीं। algebraic manipulation में अच्छा होना भी बाधा बना, क्योंकि conceptual foundation को गहराई से समझे बिना भी ज्यादातर assignments कर सकता था। algebraic manipulation skill महत्वपूर्ण है, लेकिन classes को इस तरह redesign करना अच्छा होगा कि conceptual understanding के बिना पास करना मुश्किल हो
    • pure mathematics के नजरिए से calculus सीखा, लेकिन physics की कुछ समझ थी, इसलिए दोनों concepts को जोड़ पाया और उससे मदद मिली। फिर भी शुरुआती 3 semesters के अधिकतर हिस्से में “integral = curve के नीचे का area”, “derivative = curve के किसी point पर slope निकालना” इतना जानना ही समझने के लिए काफी था
      लेकिन physics examples उन्हीं छात्रों पर अच्छे से काम करते हैं जिन्हें physics में interest है। math tutoring center में काम करते समय देखा कि Stewart textbook जैसे physics examples, physics में interest न रखने वाले छात्रों को उल्टा बहुत confuse कर देते थे। क्योंकि math सीखने के साथ-साथ example समझने के लिए physics concepts भी सीखने पड़ते थे। finance/economics students के लिए अलग calculus भी कुछ ऐसा ही था: tutors को problems में मदद करने के लिए basic finance concepts सीखने पड़ते थे, और कई बार students सिर्फ finance concepts मिले हुए problems ही solve कर पाते थे
    • physics असल में math पढ़ाने का काम कर रही है, यह math department के नजरिए से सामान्य शर्मिंदगी होनी चाहिए
    • मेरे साथ भी बिल्कुल ऐसा ही था। पहले semester का ज्यादातर हिस्सा C average में बिताया, क्योंकि समझ नहीं आता था कि क्या और क्यों कर रहे हैं
      school library में swimming pool के बगल में बढ़ते जा रहे छेद से पानी निकलने वाले problems हल करते समय eureka moment आया, और उसके बाद सब कुछ समझ आ गया। फिर ज्यादातर A मिले और उस साल AP exam में class में अकेला 5 score किया। आखिरकार signal processing पर focus वाली electrical engineering में major किया और grad school तक गया, तो ironical है कि न समझ आने वाली हालत से लगभग 8 साल तक calculus ही करता रहा
    • engineer parents वाले बच्चों को यहां फायदा होता है। ऐसे parents math असल दुनिया में कैसे इस्तेमाल होती है, इसके examples दे सकते हैं
      relevance बन जाए तो समझाया जा सकता है कि भले ही यह math software के अंदर छिपी हो और आप सीधे इस्तेमाल न करते हों, किसी ने वही math code में बदली है और हम उसका फायदा लेते हैं। “तुम शायद इसे सीधे इस्तेमाल न करो, लेकिन जो tools तुम इस्तेमाल करते हो वे अंदर से इसे इस्तेमाल करते हैं” — यह बात उन students को motivate कर सकती है जिन्हें यह अजीब-सा बेकार काम लगता है

  • यूनिवर्सिटी में मैंने जो पहला mathematics course लिया था, वह उनका दूसरे semester का calculus था, और आज भी लगता है जैसे वह आवाज़ मेरे दिमाग में सुनाई देती है। वह आवाज़ भुलाने लायक नहीं थी, और वे शानदार teacher थे
    एक और दिलचस्प बात यह है कि 50 साल की उम्र में मैंने खुद चुनकर engineer बनना तय किया, लेकिन तब तक engineering काफी बदल चुकी थी और अहम चीज़ महंगे computer programs को कुशलता से चलाने की क्षमता थी। वे programs differential equations को numerically solve करते थे, और किसी और तरीके से solve करने के बारे में सोचने वाले लोग बहुत कम थे। क्योंकि उसके लिए समय ही नहीं होता

    • मुझे लगता है कि ज़्यादातर differential equations analytic तरीके से solve नहीं की जा सकतीं। जो साफ-सुथरे तरीके से solve होती हैं, वे बहुत छोटे subset जैसी हैं, मानो बड़ी सावधानी से बनाई गई puzzles हों, और real problems में अक्सर approximate solution खोजने का रास्ता सिर्फ numerical analysis methods ही होते हैं
      फिर भी मेरी समझ यह है कि differential equations theory, numerical analysis methods के काम करने के framework को design करने में अब भी उपयोगी है
    • मैंने भी Rota का “exploring higher mathematics” seminar लिया था, और वे सचमुच असाधारण व्यक्ति थे। आज भी infinity की hierarchy को लेकर वह रोमांच बाकी है
      दूसरी बात से सहमत हूं। Programs differential equations को numerically solve करते हैं, लेकिन पुराने समय में उन्हें कैसे solve किया जाता था, इसके बारे में थोड़ा जान लेना आज भी ठीक है

  • मैंने constant coefficients वाली second-order linear ordinary differential equation, यानी mass-spring-damper system, के सभी general solutions को ऐसी compact matrix form में derive करने पर एक लेख लिखा था जिसे code में आसानी से implement किया जा सके: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
    मैंने Lua में पूरा solution भी दिया था, जिसमें damping, natural angular frequency और residual के आधार पर sin/cos या sinh/cosh चुना जाता है और position व velocity के time evolution की गणना की जाती है

    • अच्छा example है। Math वाला explanation भारी था, इसलिए basic understanding तक पहुंचने में काफी समय लगा, और यह भी पक्का नहीं कि मैंने सच में ठीक से समझा। दूसरी ओर Lua code समझना आसान था, भले ही variable names सब कुछ पढ़कर guess करने पर मजबूर करते हैं
      काम में differential equations से निपटे हुए काफी समय हो गया है, लेकिन PDF में कही बात “जितना ज्यादा जाना, उतना कम समझा” से मैं सहमत हूं। मुझे समझ नहीं आता कि pure mathematics को reality जैसी गंदी चीज़ से contaminated होना क्यों ज़रूरी है ताकि वह समझ आए, या क्या वही समझ में बाधा डालता है
    • Graduate course असल में F=Ma-Cv-Kx को तरह-तरह से extend करते हुए आखिरकार finite element analysis तक पहुंचने की प्रक्रिया था। अंत में core बात इसी पर आ जाती है कि जिस question का answer देना है, उसके लिए सबसे convenient basis functions चुनना

  • 10 साल पहले जब मैं chemical engineering graduate school गया, तो classes को लेकर मेरी frustration यह थी कि math उल्टे पर्याप्त rigorous नहीं था। स्पष्ट करने को पूछो तो inconsistencies को बस मोटे तौर पर टाल दिया जाता था
    लेख में आया differential forms इसका अच्छा example है। Engineering classes में वे अचानक ऐसे आते हैं जैसे equations को फिर से लिखने का कोई तरीका हो, बिना rigor या formality के। “differential” क्या है, इन symbols को consistently manipulate करने के लिए कोई axiomatic basis है या नहीं, यह कोई नहीं समझाता; बस exam के लिए solution steps दे दिए जाते हैं। Quantum chemistry class में भी मैंने wavefunction collapse और प्रकाश की गति से तेज़ information transfer की संभावना पर सवाल पूछे, लेकिन “यह इस class के scope में नहीं है” कहकर टाल दिया गया। Statistical mechanics की graduate class में, जब पूरे system के wavefunction को individual wavefunctions के Slater determinant के रूप में समझाया गया, तो मैंने counter किया कि quantum mechanics का core यह है कि पूरे system की state function सामान्यतः separable नहीं होती, और अगर ऐसा न हो तो entanglement भी नहीं होगा। लेकिन professor ने यह कहकर dismiss कर दिया कि जिस topic को student नहीं जानता, उस पर professor को challenge नहीं करना चाहिए। उस professor का research career काफी हद तक computational chemistry papers पर निर्भर था, जिनमें DFT software में atoms के coordinates और types की file डालकर run किया जाता और फिर results publish किए जाते थे

    • किस size तक के systems quantum entanglement या quantum coherence बनाए रख सकते हैं, यह अभी भी open problem है। Quantum computers पर असर पड़ने की वजह से यह बेहद important है
      Experimentally लगता है कि पर्याप्त बड़े systems quantum coherence को लंबे समय तक maintain नहीं कर पाते। अगर जानना हो कि इस process को mathematically कैसे handle किया जाता है, तो ‘quantum decoherence’ खोजें; और possible physical interpretations जाननी हों तो ‘objective collapse theory’ देखें
    • Math major के तौर पर मुझे लगा कि engineering, chemistry और physics professors सहित कई non-mathematicians math को बस working level तक समझते हैं, गहराई में नहीं जाते
      “क्या इन symbols को consistently manipulate करने के लिए कोई axiomatic basis है?”—इसका जवाब है। साथ ही academia का बड़ा हिस्सा अपने छोटे subfield के भीतर publish करता है और broader implications के बारे में बहुत कम सोचता है। इसलिए थोड़ा अलग background वाले new entrants कई discoveries कर लेते हैं
    • DFT single-particle approximation यानी Kohn-Sham approximation इस्तेमाल करता है और ground-state theory है। Quantum chemistry में तुम्हारे कहे direction का research निश्चित रूप से है, लेकिन वह DFT नहीं है। Levy-Lieb density और Mazziotti के papers देखना अच्छा होगा
    • जिन्हें नहीं पता, उनके लिए: DFT का मतलब density functional theory है

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  • “constant coefficients वाली linear differential equations ही core हैं” इस बात से मैं पूरी तरह सहमत हूं। Variables में आसान constants डालकर देखा जाए तो यह कैसे काम करता है, इसका feel मिल जाता है; इसलिए constant coefficients पहले न पढ़ाना यकीन करना मुश्किल है

    • तो फिर बस तब तक इंतज़ार करो जब तक ऐसे students न मिलें जिन्होंने Algebra II पास कर लिया है, फिर भी constant coefficients और variable coefficients का difference नहीं समझते

  • अब तक जिन लगभग सभी शिक्षकों से सीखा, वे अवचेतन रूप से इस बात पर अड़े रहे कि learning material पूरी तरह “sterile” रहना चाहिए, और इस लेख की तरह मज़ेदार या तीखे नज़रिए वाला होने की इजाज़त नहीं दी। ज़्यादातर छात्रों के लिए “learning” तब तक बेतुकी हद तक उबाऊ रहती है, जब तक वे विश्वविद्यालय से बाहर नहीं निकलते या graduate school में जाकर essays और memoirs के ज़रिए सीखना शुरू नहीं करते
    12–16 साल तक हड्डी जैसी सूखी शैली में स्थापित सत्य के रूप में पेश की गई चीज़ें असल में कभी-कभी दर्जनों से लेकर हज़ारों लोगों के जीवनभर के काम का नतीजा थीं; वे लोग अपने-अपने करियर दांव पर लगाकर लड़े, सामाजिक दृष्टिकोण बनाए, मज़ाक किए, शादी की, तलाक लिए, मरे, झगड़े और एक-दूसरे पर वार किए, और अपनी भारी passion को पाठ्यपुस्तकों में distilled कर दिया। छात्र के रूप में सीखी जाने वाली बहुत-सी जानकारी अपनी खोज के समय बेहद विवादास्पद थी। Massachusetts के Sandwich में glass art museum में भी प्रदर्शनी के विवरण-पट्टों ने इसे “मौजूदा glass workers ने औद्योगिक अतिक्रमण के कारण विरोध किया” जैसा polished बना दिया था, लेकिन असली उद्धरण कहीं अधिक मानवीय था—कुछ ऐसा कि आविष्कारक हिंसक प्रतिक्रिया से बचने के लिए कई हफ्तों तक कमरे में छिपा रहा। अगर आधुनिक शिक्षा में मैं एक चीज़ बदल सकता, तो छात्रों को यह पता चलने देता कि जानकारी का विकास और संरक्षण कभी भी orderly या bias-free नहीं रहा, और उन्हें पुराने लेखकों की चतुराई और बुद्धिमत्ता से भरपूर रूबरू कराता। साथ ही, comedy को समर्पित artists और writers को छोड़ दें, तो mathematicians और engineers अक्सर artists और writers से कहीं ज़्यादा मज़ेदार रहे हैं

    • एक पूर्व शिक्षक के तौर पर, मुझे लगता है इसकी वजह यह है कि हमारा जाना-पहचाना education system बड़े पैमाने पर reproducible learning outcomes बनाने के लिए मौजूद है। यह सदियों के geniuses द्वारा मुश्किल से हासिल किए गए ज्ञान को किशोरों के दिमाग में पहुँचाने की कोशिश है—सोचें तो यह काफी अजीब काम है
      इस तरह देखें तो असली insight पहुँचाने में कमज़ोर होने के बावजूद यह चौंकाने वाली हद तक सफल है। बेहतर शिक्षा शायद student-led, discovery-centered approach होगी, लेकिन उसे scale करना कठिन है और उसके outcomes भी कम deterministic हैं। इसलिए हम उबाऊ मगर कुछ हद तक असरदार शिक्षा को बार-बार दोहराते रहते हैं

  • 2022 की पिछली चर्चा: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

    • उस चर्चा में यह बात थी कि mathematics ने 0 नहीं, लेकिन infinitely small numbers को limits से replace किया। infinitesimals को बाद में https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html के ज़रिए rigorous तरीके से फिर से introduce किया गया
      मैं लंबे समय से सोचता आया हूँ कि यह तरीका modern computers पर ज़्यादा आसानी से handle किया जा सकेगा