‘Calculus Made Easy’ की प्रस्तावना: Calculus उम्मीद से ज़्यादा आसानी से सीखा जा सकता है

 (calculusmadeeasy.org)
3 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-04-19 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • यह प्रस्तावना इस तथ्य से शुरू होती है कि कई लोग calculus calculations कर लेते हैं, और कहती है कि वही तरीके सीखना ज़रूरी नहीं कि कठिन या उबाऊ हो
  • Calculus में बहुत आसान तरीके और बेहद कठिन हिस्से दोनों होते हैं, और शुरुआत से ही हर चीज़ को कठिन मानने की ज़रूरत नहीं है
  • यह advanced mathematics textbooks की आलोचना करती है कि वे आसान calculations को सरलता से दिखाने के बजाय, लेखक की चतुराई दिखाने जैसा उन्हें जटिल ढंग से पेश करती हैं
  • वक्ता खुद को “remarkably stupid fellow” कहकर विनम्रता से कमतर बताते हैं, और कहते हैं कि उन्होंने जिन गैर-कठिन हिस्सों को अलग किया है, उन्हें वे अपनी ही स्थिति वाले पाठकों को दिखाएँगे
  • आसान हिस्सों को पर्याप्त रूप से सीख लेने पर बाकी चीज़ें भी समझ में आ सकती हैं, और “What one fool can do, another can” वाले रवैये से सीखने की संभावना पर ज़ोर दिया गया है

प्रस्तावना के अनुसार Calculus की कठिनाई

  • Calculus ऐसा विषय नहीं है जिसके सभी हिस्से समान रूप से कठिन हों; इसमें आसान तरीके और बहुत कठिन तरीके दोनों साथ होते हैं
  • कई लोगों के calculation कर पाने का तथ्य इस बात का आधार है कि दूसरे लोग भी वही calculation के तरीके सीख सकते हैं
  • Advanced mathematics textbooks की आलोचना की जाती है कि वे आसान हिस्सों को आसानी से समझाने के बजाय जटिल तरीके से पेश करने की प्रवृत्ति रखते हैं

पाठकों के लिए सुझाया गया सीखने का रवैया

  • वक्ता कहते हैं कि वे खुद कठिनाइयों को हटाने की प्रक्रिया से गुज़रे हैं
  • यह किताब यह रुख अपनाती है कि पहले गैर-कठिन हिस्सों को सीखा जाए, और जब वह बुनियाद पर्याप्त हो जाए तो बाकी चीज़ें भी साथ आ सकती हैं
  • आखिरी वाक्य “What one fool can do, another can” इस बात को संक्षेप में कहता है कि जो काम एक व्यक्ति कर सकता है, वह दूसरा भी कर सकता है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-04-19
Hacker News की राय

  • स्कूल छोड़े करीब 10 साल हो गए थे, फिर physics lectures में दोबारा दिलचस्पी जगी तो classical mechanics की किताब उठा ली, और बुनियादी linear algebra भी फिर से देखने लगा
    लेकिन यह देखकर हैरानी हुई कि कई textbooks vector dot product निकालने की प्रक्रिया ही बताती हैं, और यह क्यों महत्वपूर्ण है—दो vectors की समानता आंकने में उपयोगी है—इस बारे में लगभग कुछ नहीं कहतीं
    ChatGPT से इसका अर्थ समझने पर बात करने के बाद ही बात समझ आई, और आजकल अच्छा लगता है कि university के दिनों की तुलना में रफ्तार धीमी करके concepts को ठीक से पकड़कर आगे बढ़ सकता हूं
    मैं जो ज्यादातर maths books पढ़ता हूं, वे समग्र अर्थ की बजाय mechanical procedures दिखाने की तरफ झुकी होती हैं, इसलिए सोचता हूं कि concepts की semantic explanation बेहतर देने वाली किताबें कहां मिलेंगी

    • मुझे लगता है कि यह सिर्फ किताबों की समस्या नहीं, बल्कि पढ़ाने के पूरे तरीके की समस्या है
      eigenvectors निकालने की प्रक्रिया तो सीखी थी, लेकिन हमें वे चाहिए क्यों, इस पर एक शब्द भी नहीं सुना—ऐसी याद है
      ठीक से समझाना हो तो शायद course goals को “calculus, linear algebra, quantum mechanics सब पढ़ा देंगे” जैसी बातों से ज्यादा विनम्र रखना होगा
    • high school में differentiation और integration की introductory class में मैंने पूछा कि “integration का उद्देश्य क्या है,” तो teacher चिल्लाकर बोला कि ऐसे बेवकूफी भरे सवाल अपने parents से पूछा करो
      उस दिन के बाद maths के लिए motivation खत्म हो गया, और बाद में जब पता चला कि integration का संबंध curve के नीचे के area से है और यह कितना useful है, तो फिर गुस्सा आया
      ज्यादातर teachers नेक नीयत से मेहनत करते होंगे, लेकिन कुछ लोग इतने खराब भी जरूर होते हैं कि उन्हें फिर कभी classroom में नहीं जाना चाहिए
    • high school trigonometry में मुझे पता था कि sine और cosine एक circle बनाते हैं, लेकिन एक साल बाद जब समझ आया कि उन्हीं functions से screen पर circle draw किया जा सकता है, तभी उस साधारण तथ्य का अर्थ और असर गहराई से महसूस हुआ
      उससे पहले तक वह exams pass करने के लिए याद रखने वाले abstract concepts से जुड़ा एक और abstract concept ही था
      आज भी जब abstract algebra relations जैसे papers पढ़ता हूं, और उस concept को intuitively कैसे सोचना चाहिए इस पर एक-दो वाक्य भी दिए बिना सिर्फ symbolic relations गिनाए जाते हैं, तो झुंझलाहट होती है
      maths नाम के game के अंदर शायद वह नजरिया natural हो जाता होगा, लेकिन बहुत से लोग अतिरिक्त motivation के साथ maths सीखते हैं और actual utility या reality से connection दिखाने वाला नजरिया चाहते हैं
      किसी abstract concept का सिर्फ एक concrete example दिखा दिया जाए, तो कहीं ज्यादा smart और relevant readers maths papers समझ पाएंगे
    • ऐसा क्यों है यह न सिखाना सचमुच बड़ा अपराध है
      Steven Strogatz की बेहतरीन किताब Infinite Powers पढ़ने के बाद ही calculus ठीक से समझ आया; यह किताब सिर्फ क्यों नहीं, बल्कि उस वजह का इतिहास भी समझाती है
      मेरे लिए यह 10 में 10 वाली किताब है
      https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
    • यह काफी अप्रत्याशित लगता है
      मैंने जो lower-level physics books देखी हैं, वे dot product को geometric definition और algebraic definition दोनों रूपों में introduce करती हैं, और 2–3 dimensions में दोनों के समान होने को दिखाती हैं
      अगर “कैसे” algebraic definition है, तो “क्यों” geometric definition है
      physics में dot product similarity मापने के लिए नहीं, बल्कि length और angle बताने के कारण महत्वपूर्ण है, और ज्यादा abstract spaces में dot product length और angle की definition भी बन जाता है
      machine learning में similarity की definition चाहिए होती है, और उसे दो vectors के बीच angle छोटा होने की तरह लिया जा सकता है, इसलिए वह नजरिया आता है
      ज्यादा traditional similarity measure difference की length, यानी distance है, और वह भी dot product से calculate होती है

  • स्कूल, नौकरी और hobby में 20 साल से calculus से जुड़ा रहा हूं, और ऐसे लेख देखकर हमेशा खुशी होती है और मुस्कान आ जाती है
    ठीक से develop किया जाए तो लगता है कि कई वर्षों में बनी intuition कुछ ही मिनटों में पहुंचाई जा रही है
    “(dx)^2, x के बहुत छोटे टुकड़े का भी एक छोटा टुकड़ा है” जैसी explanation, हाल में stochastic calculus को बस बुनियादी तौर पर समझने की कोशिश में लगाए दर्जनों घंटों की मशक्कत में भी एक core pillar बनी
    ऐसे resources देखकर लगता है कि नई generation ऐसी जानकारी तक पहुंचकर ज्यादा तेजी से सीख सकती है, इसलिए मानवता आगे बढ़ रही है

    • समस्या यह नहीं कि ऐसे resources पहले नहीं थे; बल्कि यह है कि Calculus Made Easy 1910 में लिखी गई थी, यानी वे पहले से मौजूद थे, फिर भी ज्यादा जाने नहीं गए
      आज भी यह बात बहुत ज्यादा बदलना मुश्किल लगता है
    • notation और conceptualization मुझे अनावश्यक रूप से उलझाने वाले लगते हैं
      इसका कुछ हिस्सा infinitesimals की ontological status को लेकर पुराने, अक्सर philosophical और theological debates से जुड़ा है
      difference quotient differential calculus का formal formulation बन गया, लेकिन असल में उसका इस्तेमाल लगभग उस तरह नहीं होता, जबकि reality में calculus इसी तरह इस्तेमाल होता है
      practice में अभी भी ad-hoc infinitesimal notation इस्तेमाल होती है, लेकिन वह अलग rules वाली अजीब चीज है और वास्तव में वे rules जानने वाले लोग ज्यादा नहीं हैं
      nonstandard analysis infinitesimals को लगभग सामान्य algebra rules के अनुसार handle करने देता है, लेकिन यह कम इस्तेमाल fundamental technical/philosophical issues की वजह से होता है या सिर्फ conservatism की वजह से, यह नहीं जानता
      stochastic calculus सचमुच अजीब है; उदाहरण के लिए continuous-time Kalman filter का “सही” formulation मैं कभी समझ नहीं पाया
      time interval को 0 की ओर भेजने के रूप में देखने पर थोड़ा adjust करें तो सही result मिल जाता है, लेकिन मेरी समझ में formally यह exact नहीं है

  • कॉलेज में दाखिले के दौरान calculus पढ़ने वाले के तौर पर, इस तरह के calculus आसानी से सीखें किस्म के पैम्फलेट चिढ़ पैदा करने वाली हद तक घिसे-पिटे लगते हैं
    मुश्किल हिस्सा सबसे ऊँचे स्तर की concepts नहीं, बल्कि असल calculus problems हल करने के लिए ज़रूरी बुनियादी knowledge है
    मेरे लिए सबसे कठिन हिस्सा, पहला, completing the square से लेकर polynomial long division और derivatives वाली equations तक, अनपेक्षित problems हल कर सकने लायक prerequisite knowledge को पूरी तरह मज़बूत करना है
    दूसरा, Leibniz notation से लेकर curve sketching तक notation और graph techniques को समझना और सही ढंग से लागू करना है
    इसलिए introductory calculus पर ही मोटी किताबें और lectures मौजूद हैं, और वे advanced mathematics की सतह तक भी नहीं छू पाते

    • लिंक की गई चीज़ कोई पैम्फलेट नहीं है
      अगर आपने सिर्फ HTML page ही नहीं पढ़ा है, तो यह 1910 में Silvanus P. Thompson द्वारा प्रकाशित एक पूरी किताब है, जिसे पर्याप्त सराहना मिली कि 1998 में Martin Gardner ने उसे फिर से edit किया, और volunteers ने मेहनत से TeX में फिर से typeset करके website बनाया
      यह एक स्पष्ट ज़रूरत पूरी कर रही है, और सिर्फ “घिसा-पिटा” पैम्फलेट नहीं है
      हालांकि Gardner edition की सिफारिश न करने वाले लोग भी हैं, क्योंकि उन्हें लगता है कि उसमें दो मजबूत व्यक्तित्व टकराते हैं
    • अभी जो समस्या दिख रही है, वह ज्यादातर algebra की लगती है
      निजी तौर पर मैं Khan Academy recommend करूँगा, और high school mathematics पूरी तरह फिर से हल करके देखना अच्छा रहेगा
      जब मैं भी ऐसी ही स्थिति में था, तो मैंने YouTube पर Khan की material देखी थी; high school में मेरे marks ठीक थे, लेकिन school अच्छा नहीं था इसलिए मैंने बहुत सारी basics छोड़ दी थीं और असल mathematics पढ़ने के लिए बिल्कुल तैयार नहीं था
      जब भी professor या TA किसी जटिल expression में “algebra की obvious trick” दिखाते, तो अक्सर वह मेरी ज़िंदगी में पहली बार देखी चीज़ होती थी
      calculus सीखते हुए algebra, geometry और trigonometry को खुद दोबारा पढ़ने के अलावा बहुत रास्ते नहीं हैं
    • पहला point ज़्यादातर algebra ही लगता है
      अगर algebra skill कमजोर है, तो calculus equations संभाली नहीं जा सकतीं, और उसका solution “calculus आसानी से सीखें” में नहीं, बल्कि “algebra आसानी से सीखें” में ढूँढना चाहिए
    • मुझे तो उल्टा लगा
      high school में मैं calculus problems काफी अच्छी तरह हल कर लेता था, लेकिन limits असल में क्या हैं, यह लगभग समझता ही नहीं था
      college में जब limits की definition और उस पर खड़े basic theorems समझे, तो बड़ा झटका लगा
      ज्यादातर लोग जिन्हें रोज़ complex math problems हल नहीं करनी होतीं, उनके लिए math learning का core mechanical problem-solving ability नहीं, बल्कि mathematical concepts और ideas की समझ है, जो overall thinking ability को आकार देती है
    • अगर calculus करना है तो algebra चाहिए
      algebra का कौन सा हिस्सा चाहिए? यह आपको खुद पता लगाना पड़ेगा
      यही math को उल्टे क्रम में सीखते समय बड़ी रुकावट है; हर मोड़ पर कोई missing piece सामने आता है और वह piece फिर किसी और missing piece तक ले जाता है
      basics से advanced की ओर जाने का तरीका इसलिए frustrating है कि math muscles बहुत धीरे बढ़ते हैं, और ऊपर से नीचे उतरने का तरीका भी धीमा और frustrating है
      सिर्फ conceptual understanding से आप math में अच्छे नहीं हो जाते, और कुछ problems हल करने से पहले खुद को “समझ गया” कहकर धोखा देना आसान है
      नीचे स्तर की problems को पर्याप्त repeat करके muscle memory बनाने के बाद ही ऊपर के level पर जा सकते हैं
      फिर भी किसी point पर एक inflection point आता है जहाँ दर्द और rabbit hole जैसा एहसास काफी जल्दी कम होने लगता है, repeated practice का reward मिलता है और अगला bundle थोड़ा आसान हो जाता है
      programming भी ऐसी ही है: loops का concept जान लेने भर से आप array sorting code efficiently नहीं लिखते; syntax और loops काफी इस्तेमाल करने के बाद sorting algorithms को बार-बार practice करके शरीर में उतारना पड़ता है
      इस प्रक्रिया से गुजरते हुए वही concept अलग variants में दोहराता है, और धीरे-धीरे उसे पकड़ने में कम समय लगने लगता है
      बहुत से लोग बस हार मान लेते हैं और मान लेते हैं कि उनके पास math gene नहीं है, इसकी वजह भी यही है

  • calculus पढ़ने के लिए दूसरी किताब Otto Toeplitz की The Calculus: A Genetic Approach है
    यह मिलती-जुलती प्रक्रिया का अनुसरण करती है और पढ़ने में आनंद आया
    https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...

    • “Generic” नहीं, “Genetic” है

  • high school और engineering के दिनों में math subjects में अच्छे marks लाने लायक calculus “जानता” था, लेकिन सच में calculus जानता हूँ ऐसा मुझे 1908 में आई “A Course of Pure Mathematics” जैसी किताब पढ़ने के बाद महसूस हुआ
    वह किताब number theory से शुरू करके calculus बनाती है, और जहाँ तक याद है, fundamental theorem of calculus किताब के लगभग बीच में आता है
    इस तरह सीखें तो भूलना मुश्किल होता है
    मेरे हिसाब से आजकल इसे इस तरह न पढ़ाने की वजह यह है कि exam system और बड़े lecture halls core formulas को थोड़े समय के लिए याद करने और उन्हें mechanical तरीके से कहाँ apply करना है यह जानने को, गहरी और लंबे समय तक रहने वाली meaning understanding से ज्यादा बढ़ावा देते हैं
    हर साल math teacher बदलने से अगले साल के subject के prerequisite knowledge की समझ हर student में अलग-अलग हो जाती है, और हर unit की शुरुआत review और integration में लगानी पड़ती है, यह भी एक वजह है
    जीवनभर टिकने वाली rich understanding पाने में शायद सिर्फ 10–20% समय ज्यादा लगे, लेकिन वास्तविक learning से ज्यादा compression और तुरंत measure हो सकने वाले results को महत्व दिया जाता है
    ऐसी material मिलती है तो सचमुच खुशी होती है, लेकिन साथ ही यह एहसास होकर कड़वाहट भी होती है कि modern pedagogy की आम हालत काफी दुखद है

  • पिछले कुछ महीनों से Professor Leonard के YouTube channel[0] से algebra basics पढ़ रहा हूँ
    लक्ष्य calculus को फिर से देखने से पहले knowledge gaps भरना है
    इसे ठीक से करने में काफी समय लगता है, लेकिन अब अपनी ability पर पहले से बहुत ज्यादा confidence है, और वही अपने आप में rewarding और motivating है
    शुरू करने से पहले मुझे नहीं पता था कि मेरी algebra knowledge में इतने बड़े छेद हैं
    final goal Andrej Karpathy के “Neural Networks: Zero to Hero”[1] को बिना बड़ी समस्या के follow करना है
    जिस चीज़ को सच में सीखना चाहता हूँ उसे self-study करने से पहले लगभग “0” से शुरू करके prerequisite knowledge सीखना भारी लगता है, लेकिन shortcut लेने पर आखिरकार frustration ही मिलेगा लगता है
    इसलिए 38 साल की उम्र में YouTube पर algebra lectures सुन रहा हूँ
    [0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
    [1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...

  • मैं इस किताब को हमेशा उस Calculus for the Practical Man से मिला देता/देती हूँ जिसे Feynman ने पढ़ा था
    https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp

    • Feynman ने शुरुआत Calculus Made Easy से की थी, और उसे खत्म करने के बाद ही Calculus for the Practical Man पढ़ी थी

  • शुरू में ही लेखक Silvanus P. Thompson[1] का सीधे उल्लेख होना चाहिए, ऐसा लगता है
    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy

    • https://calculusmadeeasy.org/
      लिंक उस पहले पेज पर नहीं जाता जहाँ लेखक का नाम है
    • ओह, यह सचमुच 1910 का लेख था
      मुझे लगा था लेखक बस जानबूझकर बहुत ज़्यादा cute अंदाज़ में लिख रहा है

  • शीर्षक कहता है कि calculus को आसान बनाया गया है, लेकिन असल में category theory ही नहीं है
    जैसे कोई पूछ रहा हो, “ऐसा कैसे हो सकता है?!”
    यह किताब 1910 में लिखी गई थी और category theory उसके 50 साल बाद आई, इसलिए ऐसा होना स्वाभाविक है
    फिर भी चिंता की ज़रूरत नहीं है
    एक किताब है जो categories का इस्तेमाल करके सामान्य differentiation और integration को विकसित करती है
    इससे ज़्यादा आसान क्या होगा, यह तो नहीं पता, लेकिन मिला तो बताऊँगा/बताऊँगी
    https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...

  • मेहनत के लिए शुक्रिया, लेकिन कुछ पेज पढ़ने भर से लगता है कि अगर मैं पहली बार calculus सीख रहा/रही होता/होती, तो यह वह material नहीं होता जो मैं चाहता/चाहती
    revision के लिए भी यह perfect नहीं है
    लेखक ज़्यादातर “ठीक-ठाक” किताबों की समस्या सही पकड़ता है, लेकिन इतना ज़्यादा correction कर देता है कि समझना बेवजह जटिल हो जाता है और यह कुछ formal textbooks से भी कठिन हो सकता है
    यह बहुत लंबा-चौड़ा, informal है और पढ़कर follow करना काफ़ी मुश्किल है
    Dean Swift की कविताओं या “Queen Elizabeth के दौर” जैसे references की ज़रूरत नहीं; मैं बस जानना चाहता/चाहती हूँ कि calculus क्या है, इसकी ज़रूरत क्यों है, और इसे असल में कैसे करते हैं
    भले ही कोई ज़्यादा आसान दिखने वाला engineering approach अपनाए, और अगर थोड़ा भी mathematical approach लेना हो, तो मेरे हिसाब से कुछ हद तक formality अब भी ज़रूरी है
    गणित ऐसा क्षेत्र है जहाँ असल में समझे बिना समझ लेने का भ्रम होना बहुत आसान है, और फिर किसी paradoxical fake proof या सीधे proof करने की माँग के सामने आप खाली रह सकते हैं
    valid derivation और invalid derivation में फर्क करने के लिए आखिरकार formal definitions चाहिए होती हैं
    सच कहें तो formal foundations अपने-आप में बिल्कुल भी समझने में कठिन नहीं हैं
    कोई भी आसानी से मान सकता है कि x², x से तेज़ी से बढ़ता है, और limit की अवधारणा लाने पर दिखता है कि (dx)² को dx की तुलना में क्यों नज़रअंदाज़ किया जा सकता है
    इसके लिए हफ्तों और मिनटों की तुलना करने की ज़रूरत नहीं है, और ऐसी उपमाएँ उल्टा ध्यान भटका सकती हैं
    मुझे लगता है कि “पुरानी अंग्रेज़ी शैली” वाली कई पेजों की लंबी बातों के बजाय कुछ formal definitions पढ़ना कहीं कम धैर्य माँगता है
    एडिट: ओह, यह “stylization” नहीं बल्कि सचमुच पुराना लेख था
    फिर भी मूल बात नहीं बदलती कि calculus सीखने के लिए इससे कहीं बेहतर modern material मौजूद है