calculus की पाठ्यपुस्तक को कठोरता से लिखना आसान नहीं है
अगर बहुत ज़्यादा rigor रखी जाए, तो वह ‘real analysis’ की किताब बन जाती है, और calculus का उद्देश्य concepts का परिचय कराना है, पूरी analysis सिखाना नहीं
इस किताब में convergence की अवधारणा पर ज़रूरत से ज़्यादा अटकने के बजाय, functions की भाषाई अभिव्यक्ति और linear algebra के साथ उसके मेल पर ज़्यादा ध्यान दिया गया है, यह बात मुझे पसंद आई
मैं कई बार calculus पढ़ा चुका एक math professor हूँ, और मुझे लगता है कि calculus class के लक्ष्य को एक वाक्य में समेटना मुश्किल है
calculus गणित के उन दुर्लभ क्षेत्रों में है जिसे गैर-कठोर स्तर पर कहीं ज़्यादा आसानी से समझा जा सकता है
उदाहरण के लिए, अगर हम कहें “derivative तात्कालिक परिवर्तन की दर है” और dy/dx को सचमुच भिन्न की तरह मानें, तो chain rule जैसी अवधारणाएँ कहीं अधिक सहज लगती हैं
ज़्यादातर textbooks rigor और non-rigor के बीच अधर में लटकी रहती हैं, लेकिन मुझे लगता है कि किसी एक तरफ़ साफ़-साफ़ जाना बेहतर है
यह किताब हर किसी के लिए नहीं होगी, लेकिन यही इसकी ताकत भी है
पहले से ही Apostol मौजूद है, इसलिए अगर calculus खुद सीखना है, तो उसका पुराना edition लेना बेहतर होगा
नए edition में linear algebra जैसी अतिरिक्त सामग्री है, लेकिन कीमत बहुत ज़्यादा है ($150/volume)
लेखक ने कहा कि वह गणित को “intuitive और informal तरीके से, लेकिन logical rigor खोए बिना” पेश करना चाहते हैं, लेकिन पश्चिमी दुनिया की textbooks समय के साथ कम कठोर होती जा रही हैं
इसके उलट एशियाई या रूसी textbooks में ऐसा नहीं दिखता
छात्रों की visual और informal explanations की पसंद को देखते हुए, चिंता यह है कि आगे research स्तर पर उन्हें कठोर औपचारिकता अपनाने में मुश्किल हो सकती है
रूसी textbooks में Aleksandrov, Kolmogorov, Lavrent’ev की 『Mathematics: Its Content, Methods and Meaning』 अब भी एक महान कृति मानी जाती है
यह 1962 में 3 volumes में प्रकाशित हुई थी, और इसका English edition एक ही volume में संकलित है
पश्चिमी textbooks के कम कठोर होने की एक वजह यह भी हो सकती है कि पहले जो छात्र vocational school जाते, वे अब university आने लगे हैं, इसलिए लक्षित पाठक-वर्ग व्यापक हो गया है
अलग-अलग पृष्ठभूमि के छात्रों को शामिल करना हो, तो textbooks को भी बदलना पड़ता है
“कठोर” से ठीक-ठीक क्या मतलब है, यह जानने की जिज्ञासा है
क्या इसका मतलब है कि हर चीज़ को प्रमाण-केंद्रित ढंग से पढ़ाया जाए, या फिर यह कि अनुप्रयोगों की बजाय सिद्धांत पर ज़ोर हो?
इस विषय पर एक पुरानी blog post भी है → Professor Confess
उसमें दावा है कि student loans के विस्तार का संबंध academic standards के पतन से है
तर्क यह है कि schools tuition को अधिकतम करने के लिए छात्रों को fail नहीं करना चाहते, इसलिए कठिनाई और rigor दोनों कम हो गए
मैं भी इस राय से सहमत हूँ
समस्या छात्र नहीं, बल्कि textbook चुनने और उन्हें प्रकाशित करने वाले education specialists और publishers हैं
हर किसी के लिए उपयुक्त textbook बनाने की कोशिश मूर्खता है
ज़्यादातर लोगों को calculus जानने की ज़रूरत नहीं होती, और अगर सीखें, तो उसे वास्तव में कठोरता से सीखना चाहिए
यह किताब कई learning tracks को समेटने की कोशिश जैसी लगती है
① math majors के लिए proof-based calculus
② engineering·science majors के लिए computation-focused calculus
③ social science·business majors के लिए simplified calculus
अगर ① और ② को जोड़ा जा सके, तो यह सचमुच बड़ी उपलब्धि होगी
लेकिन मुझे लगता है कि इन दोनों tracks को जोड़ना मुश्किल है लक्ष्य और methodology बहुत अलग हैं
उदाहरण के लिए, Tao की analysis class में होने वाली ε-δ चर्चा का वास्तविक differential equations या stability analysis से बहुत कम संबंध होता है
आप Hilbert space के dense subspace का प्रमाण दे सकते हैं, फिर भी multi-scale analysis में पूरी तरह भटक सकते हैं
मैंने किताब को थोड़ा-सा पलटकर देखा, और यह काफ़ी पसंद आई
मैंने गणित को procedures और rules के हिसाब से सीखा था, इसलिए theoretical rigor से ज़्यादा mechanical manipulation की आदत थी
यह किताब ऐसे लोगों को बुनियादी concepts फिर से परखने में मदद करती है
‘What is Calculus?’ अध्याय 6 (पेज 223) में आता है, और ‘Differentiation’ तो अध्याय 8 (पेज 261) में जाकर आता है; उससे पहले के 200 पन्ने बुनियादी concepts को मज़बूत बनाते हैं
revision या parallel study material के रूप में इसकी ज़ोरदार सिफारिश करूँगा
मैं जानना चाहता हूँ कि गणित की कठोरता और abstraction वास्तविक समस्याओं को हल करने में कितनी मदद करती हैं
मेरा अनुभव है कि engineering problem-solving को बेहतर करने के लिए probability models का अध्ययन measure theory से अधिक उपयोगी है
『Mathematical Methods for Physics and Engineering』 जैसी intuition और application-केंद्रित किताबें मेरे लिए ज़्यादा प्रभावी रहीं
मुझे ऐसी किताबें पसंद हैं जो अलग से prerequisites न मानें और ज़रूरी सामग्री एक ही volume में दे दें
उदाहरण के लिए 『Calculus for Machine Learning』 (Jason Brownlee) या 『No Bullshit Guide to Math & Physics』 (Ivan Savov)
स्कूल कई subjects को parallel में पढ़ाते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि integrated curriculum वास्तव में अधिक प्रभावी होता है
किताब का शीर्षक देखकर कि यह computer scientists के लिए calculus है, मैंने सोचा था कि शायद इसमें Knuth द्वारा 1998 में प्रस्तावित Big-O आधारित approach होगा
(Knuth की चिट्ठी का लिंक)
लेकिन वास्तव में यह real analysis के एक हल्के परिचय से शुरू होती है
वास्तव में यह किताब भी “Limits and Continuity” अध्याय के “Order of Vanishing” सेक्शन में O-notation पर चर्चा करती है
मैं numerical computation की तरफ़ ज़्यादा झुका हूँ, लेकिन यह PDF Wikipedia से कहीं ज़्यादा आसानी से पढ़ी जा सकने वाली reference है
Goethe की एक बात याद आती है — “गणितज्ञ एक तरह के Frenchman होते हैं। आप उनसे बात कीजिए, वे उसे अपनी भाषा में अनुवाद कर देते हैं, और वह तुरंत कुछ और ही बन जाता है।”
1 टिप्पणियां
Hacker News राय
calculus की पाठ्यपुस्तक को कठोरता से लिखना आसान नहीं है
अगर बहुत ज़्यादा rigor रखी जाए, तो वह ‘real analysis’ की किताब बन जाती है, और calculus का उद्देश्य concepts का परिचय कराना है, पूरी analysis सिखाना नहीं
इस किताब में convergence की अवधारणा पर ज़रूरत से ज़्यादा अटकने के बजाय, functions की भाषाई अभिव्यक्ति और linear algebra के साथ उसके मेल पर ज़्यादा ध्यान दिया गया है, यह बात मुझे पसंद आई
calculus गणित के उन दुर्लभ क्षेत्रों में है जिसे गैर-कठोर स्तर पर कहीं ज़्यादा आसानी से समझा जा सकता है
उदाहरण के लिए, अगर हम कहें “derivative तात्कालिक परिवर्तन की दर है” और
dy/dxको सचमुच भिन्न की तरह मानें, तो chain rule जैसी अवधारणाएँ कहीं अधिक सहज लगती हैंज़्यादातर textbooks rigor और non-rigor के बीच अधर में लटकी रहती हैं, लेकिन मुझे लगता है कि किसी एक तरफ़ साफ़-साफ़ जाना बेहतर है
यह किताब हर किसी के लिए नहीं होगी, लेकिन यही इसकी ताकत भी है
नए edition में linear algebra जैसी अतिरिक्त सामग्री है, लेकिन कीमत बहुत ज़्यादा है ($150/volume)
लेखक ने कहा कि वह गणित को “intuitive और informal तरीके से, लेकिन logical rigor खोए बिना” पेश करना चाहते हैं, लेकिन पश्चिमी दुनिया की textbooks समय के साथ कम कठोर होती जा रही हैं
इसके उलट एशियाई या रूसी textbooks में ऐसा नहीं दिखता
छात्रों की visual और informal explanations की पसंद को देखते हुए, चिंता यह है कि आगे research स्तर पर उन्हें कठोर औपचारिकता अपनाने में मुश्किल हो सकती है
यह 1962 में 3 volumes में प्रकाशित हुई थी, और इसका English edition एक ही volume में संकलित है
अलग-अलग पृष्ठभूमि के छात्रों को शामिल करना हो, तो textbooks को भी बदलना पड़ता है
क्या इसका मतलब है कि हर चीज़ को प्रमाण-केंद्रित ढंग से पढ़ाया जाए, या फिर यह कि अनुप्रयोगों की बजाय सिद्धांत पर ज़ोर हो?
उसमें दावा है कि student loans के विस्तार का संबंध academic standards के पतन से है
तर्क यह है कि schools tuition को अधिकतम करने के लिए छात्रों को fail नहीं करना चाहते, इसलिए कठिनाई और rigor दोनों कम हो गए
समस्या छात्र नहीं, बल्कि textbook चुनने और उन्हें प्रकाशित करने वाले education specialists और publishers हैं
हर किसी के लिए उपयुक्त textbook बनाने की कोशिश मूर्खता है
ज़्यादातर लोगों को calculus जानने की ज़रूरत नहीं होती, और अगर सीखें, तो उसे वास्तव में कठोरता से सीखना चाहिए
यह किताब कई learning tracks को समेटने की कोशिश जैसी लगती है
① math majors के लिए proof-based calculus
② engineering·science majors के लिए computation-focused calculus
③ social science·business majors के लिए simplified calculus
अगर ① और ② को जोड़ा जा सके, तो यह सचमुच बड़ी उपलब्धि होगी
लक्ष्य और methodology बहुत अलग हैं
उदाहरण के लिए, Tao की analysis class में होने वाली ε-δ चर्चा का वास्तविक differential equations या stability analysis से बहुत कम संबंध होता है
आप Hilbert space के dense subspace का प्रमाण दे सकते हैं, फिर भी multi-scale analysis में पूरी तरह भटक सकते हैं
मैंने किताब को थोड़ा-सा पलटकर देखा, और यह काफ़ी पसंद आई
मैंने गणित को procedures और rules के हिसाब से सीखा था, इसलिए theoretical rigor से ज़्यादा mechanical manipulation की आदत थी
यह किताब ऐसे लोगों को बुनियादी concepts फिर से परखने में मदद करती है
‘What is Calculus?’ अध्याय 6 (पेज 223) में आता है, और ‘Differentiation’ तो अध्याय 8 (पेज 261) में जाकर आता है; उससे पहले के 200 पन्ने बुनियादी concepts को मज़बूत बनाते हैं
revision या parallel study material के रूप में इसकी ज़ोरदार सिफारिश करूँगा
मैं जानना चाहता हूँ कि गणित की कठोरता और abstraction वास्तविक समस्याओं को हल करने में कितनी मदद करती हैं
मेरा अनुभव है कि engineering problem-solving को बेहतर करने के लिए probability models का अध्ययन measure theory से अधिक उपयोगी है
『Mathematical Methods for Physics and Engineering』 जैसी intuition और application-केंद्रित किताबें मेरे लिए ज़्यादा प्रभावी रहीं
मुझे ऐसी किताबें पसंद हैं जो अलग से prerequisites न मानें और ज़रूरी सामग्री एक ही volume में दे दें
उदाहरण के लिए 『Calculus for Machine Learning』 (Jason Brownlee) या 『No Bullshit Guide to Math & Physics』 (Ivan Savov)
स्कूल कई subjects को parallel में पढ़ाते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि integrated curriculum वास्तव में अधिक प्रभावी होता है
किताब का शीर्षक देखकर कि यह computer scientists के लिए calculus है, मैंने सोचा था कि शायद इसमें Knuth द्वारा 1998 में प्रस्तावित Big-O आधारित approach होगा
(Knuth की चिट्ठी का लिंक)
लेकिन वास्तव में यह real analysis के एक हल्के परिचय से शुरू होती है
Quomodocumque ब्लॉग पोस्ट और
Cornell Math ब्लॉग,
Texnical Stuff ब्लॉग आदि हैं
साथ ही Terry Tao की O notation की formalization पर पोस्ट भी देखने लायक है
(ये links Shreevatsa की summary post से लिए गए हैं)
मैं numerical computation की तरफ़ ज़्यादा झुका हूँ, लेकिन यह PDF Wikipedia से कहीं ज़्यादा आसानी से पढ़ी जा सकने वाली reference है
Goethe की एक बात याद आती है — “गणितज्ञ एक तरह के Frenchman होते हैं। आप उनसे बात कीजिए, वे उसे अपनी भाषा में अनुवाद कर देते हैं, और वह तुरंत कुछ और ही बन जाता है।”