कंप्यूटर साइंस के लिए Mathematics (2018) [PDF]

 (courses.csail.mit.edu)
5 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2026-01-10 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • MIT द्वारा उपलब्ध कराया गया कंप्यूटर साइंस के छात्रों के लिए गणित का पाठ्यपुस्तक, जो logic और proof से लेकर probability, recurrence, और graph theory तक के प्रमुख गणितीय concepts को व्यवस्थित रूप से कवर करता है
  • यह proofs, structures, counting, probability, recurrences के पाँच भागों में विभाजित है, और हर भाग में सैद्धांतिक आधार के साथ कंप्यूटर साइंस अनुप्रयोगों को भी शामिल किया गया है
  • इसमें logical formulas, mathematical induction, state machines, graphs, probability variables जैसे ऐसे विषय शामिल हैं जो programming और algorithm analysis के लिए अनिवार्य हैं
  • RSA encryption, Turing का code, Monty Hall problem जैसी वास्तविक उदाहरणों और अनुप्रयोग समस्याओं के माध्यम से यह दिखाता है कि गणितीय concepts का उपयोग कैसे होता है
  • MIT और Google के शोधकर्ताओं द्वारा सह-लेखित यह पाठ्यपुस्तक Creative Commons BY-SA 3.0 license के तहत सार्वजनिक है, इसलिए सीखने और पुनः उपयोग की पूरी स्वतंत्रता है

पाठ्यपुस्तक का अवलोकन

  • Mathematics for Computer Science (MCS) MIT के कंप्यूटर साइंस और electrical engineering के undergraduate course (6.042) की पाठ्यपुस्तक है, जिसका उद्देश्य तार्किक सोच और mathematical modeling की क्षमता विकसित करना है
  • लेखक हैं Eric Lehman (Google Inc.), F. Thomson Leighton (MIT, Akamai Technologies), Albert R. Meyer (MIT)
  • यह 6 जून 2018 का revised edition है, जिसे Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license के तहत वितरित किया गया है

I. Proofs (प्रमाण)

  • इसमें propositions, predicates, axiomatic method, proof by contradiction, proof by cases जैसी गणितीय प्रमाण की बुनियादी अवधारणाएँ शामिल हैं
  • यह Well Ordering Principle और induction के संबंध को समझाता है, और prime factorization जैसे उदाहरणों के माध्यम से उसका प्रयोग दिखाता है
  • इसमें logical formulas and propositional logic, SAT problem, mathematical data types (sets, functions, relations) आदि भी शामिल हैं

II. Structures (संरचनाएँ)

  • number theory, graph theory, network structures के माध्यम से कंप्यूटर साइंस की गणितीय नींव प्रस्तुत की गई है
    • prime numbers, greatest common divisor, modular arithmetic, RSA encryption जैसी number theory applications
    • directed graphs, partial orders, network routing, simple graphs, planar graphs जैसे संरचनात्मक models का विवरण
  • यह Turing का code और SAT problem के संबंध को भी कवर करता है, जिससे computation theory और cryptography के बीच का जुड़ाव स्पष्ट होता है

III. Counting (गणना और संयोजन)

  • इसमें sums, products, asymptotic notation, combinatorial rules, generating functions जैसी combinatorial counting techniques शामिल हैं
  • pigeonhole principle, inclusion-exclusion principle, poker hand examples जैसे व्यावहारिक उदाहरण भी दिए गए हैं
  • generating functions और linear recurrence solutions के माध्यम से algorithm analysis और sequence calculation में इनके उपयोग को समझाया गया है

IV. Probability (प्रायिकता)

  • probability spaces, conditional probability, random variables, variance, sample estimation, random walks सहित probability theory का व्यापक दायरा शामिल है
  • Monty Hall problem, Simpson's paradox, birthday problem जैसे ऐसे उदाहरण दिए गए हैं जो सहज सोच की परीक्षा लेते हैं
  • Markov, Chebyshev theorems और random sampling के माध्यम से data analysis की बुनियादी समझ दी गई है

V. Recurrences (पुनरावृत्ति संबंध)

  • Tower of Hanoi, merge sort, divide-and-conquer recurrences जैसे algorithm analysis के प्रमुख विषय शामिल हैं
  • linear recurrence solutions और recursive thinking के माध्यम से कुशल computation structures को समझाया गया है

परिशिष्ट

  • references, symbol guide, index शामिल हैं, जिससे अध्ययन और संदर्भ लेना आसान हो जाता है
  • पूरी पाठ्यपुस्तक MIT CSAIL website पर PDF रूप में मुफ्त उपलब्ध है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2026-01-10
Hacker News की राय

  • यह उल्लेख किया गया कि Thomson Leighton, Akamai के संस्थापक हैं, और उनके lecture series की सिफारिश की गई
    इंटरनेट से जुड़ी lectures में यह सबसे प्रभावशाली content में से एक था

    • अतिरिक्त सामग्री के तौर पर MIT OCW के नवीनतम lecture videos और textbook के लेखकों में से एक Albert Meyer द्वारा लिया गया Open Learning Library course भी साझा किया गया
    • यह भी जोड़ा गया कि Akamai को scanner या script kiddie द्वारा इस्तेमाल किए जाने वाले IPv4 range की समस्या पर और ध्यान देना चाहिए

  • हर section की संरचना काफ़ी standard है, लेकिन यह बात पसंद आई कि हर citation के साथ सभी स्रोतों की backlink दी गई है
    ऐसे तरीके से बनी और किताबें होनी चाहिए

    • content का चयन उल्टा non-standard लगा, इसलिए और दिलचस्प था, और उसमें MIT-शैली का humor भी घुला हुआ है
      बस यह अफ़सोस रहा कि 2018 के बाद इसका लेखन रुक गया

  • यह किताब सचमुच बहुत पसंद आई। मुश्किल ज़रूर है, लेकिन हर paragraph में 1~2 pages तक समझ आ जाता था
    यह insight मिली कि function, input और output की अंतहीन list है, और mathematical notation के भीतर का humor भी यादगार लगा
    मरने से पहले इसे पूरी तरह समझना चाहता हूँ

    • “हर paragraph में 1~2 pages समझ आ जाते हैं” वाली बात Victor Hugo-शैली के लंबे वाक्य की याद दिलाती है, इसलिए मज़ेदार लगी
    • “1~2 pages” पर मज़ाक में कहा गया कि यह तो “-1 page” जैसा है

  • सवाल उठाया गया कि क्या computer science में ज़रूर पढ़ी जाने वाली सिर्फ़ 5 किताबें चुनी जा सकती हैं

    • जवाब में कहा गया कि सिर्फ़ 5 चुनना नामुमकिन है, और अपनी Top 10 list साझा की गई
      इसमें Brookshear, Forta, Stallings, CLRS, Kurose & Ross, Sipser, Aumasson, Russell & Norvig आदि शामिल हैं
      यह भी कहा गया कि Python लगभग lingua franca बन चुकी है, और Matthes की Python Crash Course 3rd Edition भी सुझाई गई
    • अगर कोई computer engineering major नहीं है, तो TeachYourselfCS.com की सिफारिश की गई
      समय कम होने पर पढ़ने के लिए मुख्य 2 किताबें भी वहाँ बताई गई हैं
    • कहा गया कि यह इस पर निर्भर करता है कि आप किस क्षेत्र में काम कर रहे हैं। यह “कौन-सी language सीखनी चाहिए?” जैसे सवाल के समान है
    • यह भी कहा गया कि यह किताब numbers की तुलना में relations पर कम ध्यान देती लगती है, इसलिए type theory और category theory भी साथ में पढ़नी चाहिए
    • सबको मान्य हो ऐसी कोई list नहीं हो सकती। खुद खोजते हुए algorithms, automata, languages, operating systems, machine learning आदि में अपने लिए सही किताबें ढूँढना ज़रूरी है

  • इस किताब का probability section खास तौर पर बहुत अच्छा लगा
    Monty Hall problem को ‘4-step method’ से इतने साफ़ ढंग से समझाया गया कि फ़िल्म से कहीं ज़्यादा आसानी से समझ आया

    • यह भी पता चला कि 2017 edition ब्रिटेन में print-on-demand के रूप में उपलब्ध है
      paper book के रूप में थोड़ा-थोड़ा पढ़ने के लिए यह अच्छा है

  • table of contents देखकर हैरानी हुई कि chapter 2 Well-Ordering Principle पर है
    Zermelo के theorem के विपरीत, natural numbers के order को पहले से मान लेना थोड़ा असामान्य लगा
    क्योंकि आमतौर पर इसे Peano axioms से order को define करके, फिर बाद में उस principle को prove करने के रूप में पढ़ाया जाता है

    • यह समझाया गया कि Well-Ordering Principle, Axiom of Choice, और Zorn’s Lemma एक-दूसरे के equivalent हैं
      real numbers पर भी well-ordering मौजूद होती है, लेकिन उस order को वास्तव में express नहीं किया जा सकता, यह बात दिलचस्प लगी
      “axiom of choice तो साफ़ तौर पर सही है, well-ordering principle साफ़ तौर पर ग़लत है, और Zorn’s lemma के बारे में पता नहीं” वाला मज़ाक भी उद्धृत किया गया
    • CS education में इसे आमतौर पर सिर्फ़ mathematical induction की बुनियाद के रूप में पढ़ाया जाता है, और बाद में algorithms classes में इसका लगभग ज़िक्र नहीं होता

  • section 15.8 के pigeonhole principle को Dijkstra के approach से फिर समझाया गया
    अगर Boston के 5 लाख लोगों के सिर पर 1 से 2 लाख तक बाल हों, तो average 2.5 लोगों का होगा, इसलिए कम-से-कम 3 लोगों के बालों की संख्या समान होगी—यह सिद्ध किया गया
    यह बात रोचक लगी कि average, maximum से बड़ा नहीं हो सकता—इस सीधे तथ्य से ही समाधान निकल आता है

  • कहा गया कि इस तरह की problem-set शैली की किताब पहली बार देखी, इसलिए जिज्ञासा हुई कि क्या solutions उपलब्ध हैं
    कुछ problems हल कीं, लेकिन answers जाँचे नहीं जा सके

    • Math Academy के Discrete Math course में answer submit करने पर solution दिखता है, और spaced repetition feature भी है
    • यह महसूस हुआ कि solutions न हों तो self-study मुश्किल हो जाती है। Susanna Epp की Discrete Mathematics With Applications भी एक अच्छा विकल्प है
    • कहा गया कि ऐसी problems को LLM से आसानी से हल किया जा सकता है
    • वास्तव में LLM ने proof में गलती पकड़ने में मदद की—ऐसा अनुभव भी साझा किया गया। Gemini ने ग़लत proof की ओर इशारा किया, इसलिए वह उपयोगी लगा
    • universities solution manuals सार्वजनिक नहीं करतीं, इसका कारण problems का दोबारा इस्तेमाल है। सीमित problem pool को कई सालों तक घुमाकर इस्तेमाल किया जाता है

  • इसे बहुत उपयोगी resource बताते हुए धन्यवाद दिया गया

  • खुशी जताई गई कि Hacker News की वजह से वह PDF मिल गया जिसकी तलाश थी
    PDF पढ़ सकने वाले screen reader की सिफारिश माँगी गई

    • यह सवाल उठाया गया कि क्या कोई ऐसा reader है जो LaTeX equations वाले PDF भी पढ़ सके
      यह भी कहा गया कि वे खुद भी ज़्यादातर mathematical symbols पढ़ नहीं पाते