सबसे बेहतरीन शैक्षिक लाइफ हैक: गणित पहले से सीखना

 (justinmath.com)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-07-18 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • अगर स्कूल·कॉलेज की कक्षाओं से पहले गणित सीख लिया जाए, तो पढ़ाई की गुणवत्ता और गति के उतार-चढ़ाव से कम प्रभावित होना पड़ता है, और शैक्षिक जोखिम घटाकर जल्दी अवसरों तक पहुँचा जा सकता है
  • आगे की पढ़ाई का लाभ सिर्फ अंकों तक सीमित नहीं रहता, बल्कि प्रोफेसरों के साथ संवाद के जरिए recommendation letter·research·internship तक फैल सकता है
  • Calculus के बाद भी Linear Algebra, Multivariable Calculus, Differential Equations, Probability·Statistics जैसे कॉलेज-स्तर के विषय जारी रहते हैं, और quantitative क्षेत्रों में advanced math की नींव करियर विकल्पों को व्यापक बनाती है
  • यहाँ advanced math से मतलब olympiad-शैली की problem solving से अधिक उच्च कक्षा·कॉलेज-स्तर का गणित है, और वास्तविक quantitative पेशेवर अक्सर उसी तरह के गणित का उपयोग करते हैं
  • इस बात के प्रमाण कमज़ोर हैं कि शैक्षिक acceleration तैयार छात्रों को मनोवैज्ञानिक नुकसान पहुँचाता है; वास्तविक बाधाएँ ज़्यादातर timetable·teacher availability·financial incentive जैसी operational constraints के करीब हैं

गणित पहले सीखने से शैक्षिक जोखिम कैसे घटता है

  • अगर गणित के विषय पहले से पढ़ लिए जाएँ, तो स्कूल या कॉलेज में वही विषय पढ़ते समय A ग्रेड मिलने की संभावना काफी बढ़ जाती है
  • आगे की पढ़ाई उन जोखिमों को घटाती है जो तब पैदा होते हैं जब कक्षा इस तरह कमज़ोर हो
    • गति बहुत तेज़ हो
    • concepts को सतही तौर पर पार कर दिया जाए
    • समझाना अच्छा न हो
    • यह मान लिया जाए कि ज़रूरी prerequisite knowledge पहले से आती है
    • पर्याप्त practice के अवसर न दिए जाएँ
  • खासकर कॉलेज lectures कई बार किसी विषय को पहली बार सीखने के लिए उपयुक्त नहीं होते, इसलिए जो छात्र पहले से पढ़ चुके हों वे lecture quality पर कम निर्भर रहते हैं
  • जैसे किसी foreign language की class में घर पर वही भाषा बोलने वाला छात्र आसानी से ढल जाता है, वैसे ही गणित की class में भी पहले से सीखी हुई अवस्था में प्रवेश किया जा सकता है

आगे की पढ़ाई से खुलने वाले अवसर

  • advanced classes में उत्कृष्ट प्रदर्शन और प्रोफेसरों के साथ सक्रिय संवाद से recommendation letter पाने की नींव बनती है
    • कक्षा में सवालों के जवाब देना
    • office hour में विचारपूर्ण प्रश्न लेकर जाना
    • यह मायने नहीं रखता कि विषय real time में सीखा या पहले से पढ़ा गया था
  • अच्छा recommendation letter सिर्फ हाई स्कूल छात्र के कॉलेज आवेदन के लिए ही नहीं, बल्कि कॉलेज छात्रों के summer research programs और graduate school applications के लिए भी महत्वपूर्ण होता है
  • प्रोफेसरों के साथ संबंध research project, job, internship और उनके network के जरिए अन्य अवसरों तक पहुँच बना सकते हैं
  • आगे की पढ़ाई किसी छात्र को, भले वह genius न हो, top student जैसा दिखा सकती है और उसे उन अवसरों तक पहुँचा सकती है जो top students के लिए खुलते हैं
  • ऐसे अवसरों को पाना और उनका उपयोग करना, ऊँची entry barrier वाले रोचक, अर्थपूर्ण और लाभदायक careers तक ले जा सकता है

Calculus के बाद भी बहुत सारा कॉलेज गणित बाकी रहता है

  • बहुत से लोग Calculus को गणित का अंत मान लेते हैं, लेकिन उसके ऊपर हाई स्कूल Calculus के नीचे वाले हिस्से से भी अधिक कॉलेज-स्तर के गणित के विषय मौजूद हैं
  • single-variable Calculus, जैसे AP Calculus BC, के बाद quantitative majors के छात्र जो मुख्य “engineering math” विषय आमतौर पर पढ़ते हैं, वे हैं
    • Linear Algebra
    • Multivariable Calculus
    • Differential Equations
    • Probability & Statistics
      • इसका मतलब AP Statistics जैसे algebra-based course से नहीं, बल्कि Calculus-based advanced version से है
  • गणित, physics, engineering, economics जैसे quantitative majors में core engineering math के बाद भी कई specialized courses आते हैं
  • standard 4-year undergraduate course में सब कुछ समेटना मुश्किल है, और हर साल overload लेकर पढ़ने पर भी सारे विषय समा पाना कठिन हो सकता है
  • जितने अधिक math courses पढ़े जाते हैं, आगे उतने अधिक academic opportunities और career doors खुलते हैं
  • computer science या medicine के कुछ jobs में algebra से ऊपर का गणित बहुत ज़रूरी न हो, लेकिन उन क्षेत्रों में advanced math जानने वाला व्यक्ति domain knowledge और math को जोड़कर projects कर सकता है, इसलिए उसे अधिक मूल्यवान और demand में माना जा सकता है

बहुत आगे तक पढ़ लेने का लाभ

  • अगर advanced math काफी पहले से पढ़ लिया जाए, तो आमतौर पर मज़बूत math background वाले graduates के लिए खुले विभिन्न specialized क्षेत्रों को पहले ही explore किया जा सकता है
  • इससे रुचियों की खोज, उस क्षेत्र की उपयोगी skills का विकास, और career की शुरुआती अवस्था में professional contribution तक रास्ता बन सकता है
  • Park, Lubinski, Benbow की 40-वर्षीय longitudinal study ने गणितीय रूप से प्रगतिशील हजारों छात्रों को track किया
    • पाया गया कि career की शुरुआत जितनी जल्दी होती है, विशेषकर STEM में, adulthood में productivity और achievement उतनी अधिक होने की प्रवृत्ति रहती है
    • शैक्षिक acceleration के कारण अगर career जल्दी शुरू हो, तो शुरुआती adulthood में creative production के लिए अधिक समय मिल सकता है
    • जिन mathematically precocious छात्रों ने grades skip किए, वे बौद्धिक रूप से समान लेकिन acceleration न पाने वाले साथियों की तुलना में advanced degrees और STEM achievement हासिल करने की अधिक संभावना रखते थे
    • वे इन उपलब्धियों तक पहले पहुँचे और STEM में citations तथा highly cited papers अधिक इकट्ठा किए

olympiad गणित से अधिक ऊँची कक्षा का गणित

  • यहाँ advanced math से मतलब उसी कक्षा के olympiad problems को और कठिन स्तर पर हल करना नहीं, बल्कि ऊपरी कक्षा·कॉलेज-स्तर का गणित है
  • गणित में अच्छे छात्र को olympiad math की ओर भेजना, छात्र के लिए सबसे अच्छा विकल्प होने से अधिक, शिक्षक के लिए कम अतिरिक्त काम वाला विकल्प हो सकता है
  • olympiad math problems आमतौर पर नए गणितीय क्षेत्रों को सीखने की माँग नहीं करते; वे पहले से सीखे गए tools से चतुर tricks और insights खोजने पर आधारित होते हैं
  • quantitative professionals रोज़मर्रा में जो गणित इस्तेमाल करते हैं, उसमें olympiad-शैली की tricks कम मिलती हैं, और इस तरह के कॉलेज-स्तर के विषय अधिक आम हैं
    • Linear Algebra
    • Multivariable Calculus
    • Differential Equations
    • Calculus-based Probability and Statistics
  • गणित पसंद करने वाले अधिकांश छात्र pure mathematician नहीं बनते, बल्कि दूसरे क्षेत्रों में गणित लागू करते हैं; इसलिए संभव हो तो जल्दी गणित का व्यापक दृष्टिकोण पाना रुचि-क्षेत्र के projects में उसे जल्दी लागू करने के लिए बेहतर है
  • “पहले से सीखे गए गणित को गहराई से पढ़ लें और बाकी क्षेत्र बाद में सीख लेंगे” जैसी सोच व्यवहार में अच्छी तरह काम करना कठिन है
    • गणित के क्षेत्र इतने अधिक हैं कि अधिकांश math majors भी पूरे गणित का सिर्फ छोटा हिस्सा ही सीखते हैं
    • graduation के बाद वास्तविक दुनिया की cutting-edge समस्याएँ हल करते समय आवश्यक अतिरिक्त गणित बताने वाला कोई “known path” नहीं होता
    • यह समझने के लिए कि गणित का कौन-सा क्षेत्र समस्या-समाधान में काम आ सकता है, उस क्षेत्र को काफी हद तक पढ़ा हुआ होना चाहिए
  • छात्र के लिए दूसरे गणितीय क्षेत्रों को तैयार होने पर सीखने का व्यावहारिक तरीका यही है कि स्कूल में रहते हुए जितना संभव हो उतना गणित सीख लिया जाए

developmental appropriateness और educational acceleration पर शोध

  • बहुत से लोग मानते हैं कि कम उम्र में गणित पढ़ना छात्र के social-emotional और cognitive-academic development के अनुरूप नहीं होता, लेकिन सक्षम छात्रों के लिए educational acceleration से नकारात्मक psychological outcomes पैदा होते हैं, इसके प्रमाण कमज़ोर हैं
  • Bernstein, Lubinski, Benbow की 35-वर्षीय longitudinal study ने हजारों accelerated छात्रों को जीवनभर track किया
    • educational acceleration की मात्रा psychological well-being के साथ नहीं बदलती थी
    • दोनों studies के प्रतिभागियों की psychological well-being राष्ट्रीय probability sample के औसत से अधिक थी
    • high-potential छात्रों पर long-term social-emotional effects को लेकर चिंता का आधार कमज़ोर है
    • acceleration पाने वाले छात्रों में पछतावा कम था, बल्कि उनमें यह प्रवृत्ति थी कि काश वे और अधिक accelerated हुए होते
  • कोई छात्र advanced math सीखने के लिए तैयार है या नहीं, यह prerequisite knowledge में mastery पर निर्भर करता है
    • अगर prerequisite knowledge में mastery है, तो advanced math जल्दी आगे पढ़ना उचित है
    • पहले से mastered सामग्री वाली class में छात्र को रोके रखना भी एक निर्णय है, और उसके नकारात्मक पहलुओं पर भी विचार होना चाहिए
  • Wai का long-term effects पर summary कहता है कि कई दशकों का empirical research प्रतिभाशाली युवाओं की educational acceleration का समर्थन करता है
    • मूल बात academic और social रूप से उपयुक्त developmental placement है
    • acceleration चाहने वाले छात्रों को ऐसा करने देने के समर्थन में प्रमाण मज़बूत हैं, जबकि उन्हें रोके रखने के समर्थन में नहीं
    • जिन वयस्कों ने स्कूल में acceleration पाया, उन्हें अधिक educational और occupational success मिली और वे उस विकल्प तथा उसके प्रभाव से संतुष्ट थे
  • James Borland का निष्कर्ष है कि acceleration पर शोध बहुत लगातार सकारात्मक रहा है, और उचित acceleration के लाभ स्पष्ट हैं

developmental mismatch वाले मिथक के बने रहने के कारण

  • शोध-परिणामों के बावजूद educational acceleration को development के अनुरूप न मानने की सोच के पीछे incentives को एक कारण माना गया है
  • acceleration अतिरिक्त काम माँगता है, और लोग आमतौर पर अतिरिक्त काम पसंद नहीं करते, इसलिए यह मान लेना आसान हो जाता है कि शायद इससे वास्तव में मदद नहीं होती
  • स्कूल के नज़रिए से भी acceleration बहुत असुविधाजनक हो सकता है
    • हर grade आमतौर पर एक ही math curriculum के साथ चलता है, इसलिए accelerated छात्र को ऊपरी grade की class में रखना पड़ सकता है
    • अगर स्कूल में ऊपरी grade की class न हो, तो दूसरे स्कूल में class लेनी पड़ सकती है, जिससे transport·timetable·administration से जुड़ी समस्याएँ आती हैं
    • स्कूल को उच्च-स्तर का गणित पढ़ा सकने वाले teachers नियुक्त करने पड़ सकते हैं
    • भले ऊपरी grade की class स्कूल में हो, accelerated छात्र की अपनी grade की ज़रूरी classes के साथ timetable conflict हो सकता है
  • Steenbergen-Hu, Makel, Olszewski-Kubilius की study के अनुसार administrative incentives भी acceleration से बचने को बढ़ावा दे सकते हैं
    • अगर school funding छात्र संख्या पर आधारित हो, तो accelerated छात्र के कम समय तक स्कूल में रहने से कुल funding घट सकती है
    • dual enrollment में funding का कुछ हिस्सा district के बाहर जा सकता है
    • open enrollment वाले राज्यों में छात्र बेहतर fit वाले district में जा सकता है
    • test-score accountability system में acceleration योग्य छात्र को अपनी age group के साथ रखने से औसत test scores बढ़ सकते हैं
  • logistics की समस्याएँ, financial·evaluation incentives, acceleration योग्य छात्रों की कम संख्या, और यह आसानी से कल्पना कर लेना कि छोटा छात्र बड़े छात्रों की class में socially struggle करेगा — ये सब मिलकर इस मिथक को बनाए रखते हैं

follow-up सवालों पर स्पष्टीकरण

  • व्यक्तिगत उदाहरण बताते हैं कि specialized school के बिना भी आगे की math learning संभव है
    • सामान्य primary·middle·high school में पढ़ते हुए self-study करना
    • सामान्य कक्षा के समय में भी चुपचाप college math·physics की किताबें पढ़ना और problems हल करना
    • विश्वविद्यालय में placement test से मिलने वाली छूट से भी अधिक math courses skip करने के लिए सीधे math department chair से संपर्क करना
    • पहले वर्ष में metric spaces / real analysis, abstract linear algebra, topology पढ़ना, और दूसरे वर्ष में graduate courses लेना
    • दूसरे वर्ष में academia में रुचि कम हो जाने पर data scientist के रूप में काम शुरू करना, और उसके बाद विश्वविद्यालय के दौरान minimum course load के साथ full-time काम जारी रखना
  • educational acceleration साथियों के साथ प्रतिस्पर्धा से अधिक समय के साथ प्रतिस्पर्धा के करीब है
    • सपनों को छोड़ देना, या यह तलाश छोड़ देना कि सपना क्या है, अक्सर समय के दबाव का परिणाम होता है
    • अगर दरवाज़े जल्दी खुलें, तो रुचि वाले रास्तों को जल्दी explore किया जा सकता है
    • अगर लगे कि चुना हुआ रास्ता अब सही नहीं है, तो दरवाज़ा बंद होने से पहले लौटकर दूसरा रास्ता खोजने का समय मिल सकता है
    • पहले से खुले दरवाज़े से गुजरने के बजाय दीवार तोड़ने में समय लगाया जा सकता है
    • अपने अनुकूल रास्ता मिल जाने के बाद वहाँ बिताने वाला समय अधिकतम किया जा सकता है
  • science, technology, engineering careers में रुचि रखने वाले छात्रों के लिए advanced math को पहले सीखना, समय द्वारा विकल्प सीमित किए जाने से पहले अपनी जगह खोजने में मदद कर सकता है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-07-18
Hacker News की रायें

  • जीवन के लगभग हर क्षेत्र में मैं देर से खिलने वाला रहा हूं, और math भी ऐसा ही था
    अपने 30s में जीवनभर के math के डर को पार करके अब मैं math में bachelor's degree कर रहा हूं। पहले math मुझे आसानी से समझ नहीं आता था, इसलिए सोचता था कि मैं जन्मजात इसमें कमजोर हूं, और अपनी पहली bachelor's degree में मैंने math की एक भी class नहीं ली थी
    काश मैंने इसे पहले सही तरीके से सीखा होता, लेकिन मुख्य बात यह है कि math सीखने के लिए कभी बहुत देर नहीं होती। proof लिखना सीखते हुए जीवन के कई क्षेत्रों में व्यवस्थितता और शांति आई, और जटिल समस्याओं को संभालते समय मैं उन्हें छोटे-छोटे घटकों में बांट पाने लगा
    यह भी दिखने लगा कि programming languages और computer science में math कैसे रचा-बसा है, और जब भी मैं अपने इस्तेमाल किए या बनाए program की mathematical foundations को समझता हूं, तो ऐसा लगता है जैसे ब्रह्मांड के मूल में झांक रहा हूं। math जल्दी सीखना भी शानदार hack है, लेकिन देर से सीखना भी उतना ही अच्छा है

    • हौसला बढ़ाता हूं। इस साल अपने 40वें जन्मदिन से पहले मैंने math bachelor's पूरा किया, और proof लिखना सीखते हुए शांति और आत्मविश्वास आने की बात से गहराई से सहमत हूं
      मेरे युवा सहपाठी इससे ज्यादा सहमत नहीं थे, तो लगा शायद यह उम्र और परिपक्वता की वजह से है, लेकिन degree शुरू करने से पहले की तुलना में मैं खुद को कहीं ज्यादा परिपक्व महसूस करता हूं। अब मैं किसी भी समस्या को ऐसा नहीं मानता कि उसे हल किया ही नहीं जा सकता, और सीखने के प्रति मेरा प्रेम भी बहुत गहरा हो गया है। आगे भी सिर्फ math तक सीमित नहीं रहकर कई hobbies रखना चाहता हूं और यह सीखते रहना चाहता हूं कि दुनिया कैसे चलती है
    • math anxiety सचमुच होती है। मेरी पत्नी बहुत बुद्धिमान है, लेकिन advanced math के पास जाने से बचती थी, क्षमता की कमी से नहीं बल्कि डर की वजह से
      वह कहा करती थी, “math में numbers होने चाहिए, letters नहीं,” और statistics course की वजह से psychology degree पूरी नहीं कर पाई। यह पहली बार gym जाने वाले मोटे व्यक्ति जैसा है; जब exercise की आदत बन जाती है और बदलाव दिखने लगते हैं, तो anxiety खत्म होने लगती है। math anxiety पर काबू पाना बधाई की बात है
    • जिज्ञासा है कि आपने बाद में math कैसे सीख पाया। मुझे पता है कि math में कमजोर होना मेरे काम में भी बाधा डालता है
    • “math सीखने के लिए कभी बहुत देर नहीं होती” वाला अनुभव दुर्भाग्य से काफी असामान्य लगता है। मैंने कुछ लोगों को बड़ी उम्र में math सीखने की कोशिश करते देखा है, लेकिन अब तक सफल होते नहीं देखा
      मेरा मतलब यह नहीं कि यह असंभव है; मैं मानता हूं कि कुछ भी संभव है, बस मैंने इसे असल में होते नहीं देखा। उन odds को मात देना सचमुच दुर्लभ उपलब्धि है
    • अगर ठीक लगे तो जिज्ञासा है कि आपका पहला major क्या था, और उस major को पढ़कर आपको क्या मिला, ऐसा आप मानते हैं

  • मैं France के सबसे प्रतिष्ठित high school में पढ़ा, और math class के top 2 छात्रों में समान बात यह थी कि वे पिछले साल की गर्मियों में ही curriculum पहले से पढ़ लेते थे
    मैंने भी एक साल गर्मियों में यह आजमाया, और भले ही मैं उनके जितना अच्छा नहीं कर पाया, कुछ जादू जैसा हुआ। concepts पूरी तरह समझ न आए हों, फिर भी class में concepts ग्रहण करने की क्षमता काफी बढ़ गई। concept पूरी तरह पहली बार देखने जैसा नहीं था, इसलिए teacher की explanation follow करना कहीं आसान था

    • इसलिए teachers पिछली रात materials पहले से पढ़कर आने को कहते थे। इससे काम करने के लिए एक ढांचा मिल जाता है और चीज पूरी तरह अनजान नहीं लगती। इससे सच में मदद मिली, लेकिन मैं हमेशा ऐसा नहीं कर पाया
    • मैं उस समय Russia के सबसे प्रतिष्ठित math high school में पढ़ा। graduates में से ज्यादातर ने university में math पढ़ा, और first year में हम classmates से काफी आगे थे
      लेकिन जल्द ही वह पल ईंट की दीवार की तरह सामने आ गया जब सचमुच textbook पढ़ना और exams की तैयारी करनी पड़ी
    • कुछ सालों तक math लगभग न करने के बाद Oxford में software engineering mathematics course लिया। पहले curriculum पर नजर डाल लेना बेहद मददगार रहा, और lectures में content एक साथ जुड़ता गया, जबकि दिमाग पहले से तैयार था
    • जिज्ञासा है कि ऐसा करने से यह ज्यादा boring हुआ या कम boring

  • अगर English आपकी native language नहीं है, तो सबसे बड़ा educational hack है जितना जल्दी हो सके English सीखना। सोच खुलती है और global-level content और communication तक access मिलता है

    • अगर non-English-speaking parents भी English जानते हों, तो शुरू से बच्चे से English में बात करने पर विचार किया जा सकता है। तरीके कई हैं, लेकिन एक parent native language बोले और दूसरा English बोले वाला one parent one language approach अपेक्षाकृत सरल है
      pronunciation perfect न भी हो तो results काफी अच्छे होते हैं। मैं 3 साल के बच्चे को पाल रहा हूं और अभी वह English और Polish दोनों समझता और बोलता है। हम दोनों Polish हैं और सिर्फ मैं English बोलता हूं; बोलने के अलावा बच्चा जो TV content देखता है उसमें English audio होता है और हम English-Polish दोनों वाली books खरीदते हैं
      हालांकि यह उस स्थिति की बात है जब आप non-English-speaking country में रहते हैं जहां बच्चे के पास English सीखने के दूसरे रास्ते लगभग नहीं हैं। यहां सिर्फ school English से काम मुश्किल है, समय भी कम होता है और शुरुआत भी बहुत देर से होती है
    • non-native English speaker के रूप में सहमत हूं। native English speakers ऐसी सलाह देने से हिचकते हैं, लेकिन English लगभग हर महत्वपूर्ण field की lingua franca है। प्रभावी ढंग से communicate न कर पाना साफ बाधा बन जाता है
    • English जितनी जल्दी हो सके सीखने की एक और वजह यह है कि इसकी spelling बेहद अजीब है। बचपन में तुलना करने का कोई आधार नहीं होता कि यह कितनी अजीब है, इसलिए इसे बस naturally स्वीकार कर लेते हैं
      बाद में English सीखने पर काफी संघर्ष करना पड़ता है
    • non-native English speaker के रूप में सहमत हूं। English वही भूमिका निभा रही है जो Esperanto निभाना चाहता था
    • बिल्कुल सहमत नहीं हूं। अपने भविष्य के बच्चों को एक तय उम्र तक English-speaking world में फैलने वाले कई विचारों से बचाकर रखना चाहूंगा
      French और Chinese में भी किशोरावस्था तक दिमाग भरने के लिए पर्याप्त cultural, scientific और entertainment content है

  • उन्नत कक्षा का गणित सीखने की सलाह के बजाय प्रतियोगी गणित सीखना चाहिए—इस बात पर मैं आपत्ति रखना चाहूंगा। मुझे लगता है लेखक उस अहम क्षमता को नजरअंदाज कर रहे हैं जो प्रतियोगी गणित विकसित करता है।
    ऐसे सवालों पर कई घंटों तक लगे रहना जिनका हल मालूम नहीं, कई तरीके आजमाना, असफल होना और फिर दोबारा कोशिश करना—यह जीवनभर काम आने वाली समस्या-समाधान क्षमता है। सिर्फ 2 साल पहले calculus सीखने से यह सिखाना मुश्किल है।
    प्रतियोगी सवालों में इस्तेमाल होने वाली रणनीतियां भी सामान्य quantitative स्थितियों में उपयोगी होती हैं। जैसे symmetry खोजना, invariants खोजना, perturbation के तहत केवल बढ़ सकने वाले गुण खोजना वगैरह।

    • हाई स्कूल में प्रतियोगी गणित में गहराई से डूबा रहा हूं, इसलिए मेरा अपना bias है, लेकिन हाई स्कूल स्तर पर मुझे यह लगभग सबसे अच्छे विकल्पों में से एक लगता है। यह सिर्फ calculus या linear algebra को पहले सीख लेने से अलग तरीके से गणितीय परिपक्वता विकसित करता है।
      प्रतियोगी गणित पृष्ठभूमि वाले काफी लोग शानदार scholar या सफल professional बने हैं। ऊपर से, प्रतियोगी गणित भी कई मामलों में स्पष्ट रूप से “उच्च गणित” है। ठीक-ठाक competitive स्तर पर पहुंचने के लिए group और field जैसे “असली” algebra, Burnside lemma, vectors, barycentric coordinates, combinatorics में recursive handling, generating functions आदि जानने पड़ते हैं। यह सिर्फ छोटी-मोटी tricks नहीं है।
    • मैंने middle और high school में प्रतियोगी गणित किया था, और AMC, AIME, CEMC में ठीक-ठाक प्रदर्शन करने की बुनियाद इसलिए बनी क्योंकि मैंने अमेरिकी या कनाडाई curriculum की तुलना में बहुत पहले कई mathematical concepts देख लिए थे।
      मजबूत बुनियाद बनाने के बाद technique और problem solving पर ध्यान देने वाले छात्रों से मुकाबला करें तो प्रतियोगी गणित zero-sum game बन जाता है। अगर आप चल नहीं सकते, तो दौड़ नहीं सकते।
      अगर आप 2 साल calculus पढ़कर AP Calc BC में 5 score करते हैं, तो college में 2 और courses ले सकते हैं या जल्दी graduate कर सकते हैं। मैं मानता हूं कि प्रतियोगी सवालों की tactics सामान्य quantitative situations में उपयोगी हैं, लेकिन आखिरकार AIME या USAMO में पहुंचने वाले बच्चे 9वीं कक्षा में ही high school या college-level math कर रहे होते हैं।
    • सलाह अच्छी है, लेकिन सबके लिए अच्छी सामान्य सलाह नहीं है। कुछ लोगों के लिए मददगार हो सकती है, लेकिन कहीं ज्यादा लोगों को हताश कर सकती है और उन्हें गणित से नफरत करा सकती है।
    • हाई स्कूल में मैंने math competitions में भाग लिया, और मिले awards की वजह से elite universities के दरवाजे खुले। सीमित tools के साथ problems से जूझना, और जितना हो सके elegant solution खोजना—यह मुझे तब भी पसंद था और आज भी कभी-कभी IMO problems हल करके आनंद लेता हूं।
      लेकिन वह सिर्फ एक game है। game के अंदर आप कितनी भी शानदार चीज करें, real world में वह practical नहीं होती। college में आने के बाद जिन batchmates के पास वह experience नहीं था, उनके मुकाबले मुझे कोई खास बढ़त महसूस नहीं हुई।
      उल्टा higher mathematics की दुनिया में प्रवेश करने की प्रक्रिया काफी पीड़ादायक थी। करीब 400 साल पुरानी “modern” techniques को उन problems को बहुत fundamental तरीके से solve करते देखना, जिनसे मैं मेहनत से जूझता था, overwhelming था। यह वैसा था जैसे कोई athlete तेज दौड़ने पर गर्व करे और modern transport देखकर समझे कि लंबी दूरी की यात्रा अब इंसान के पैरों की ताकत से नहीं होती।
      हाई स्कूल math olympiad से higher math में जाने के लिए knowledge और tools का बड़ा upgrade ही नहीं, सोचने का तरीका भी बदलना पड़ता है। बात किसी खास problem के elegant और clever shortcut खोजने की नहीं, बल्कि ऐसे general और inspiring highways खोजने की है जो पूरे नए field खोल दें। मैंने इस transition को स्वीकार करने की कोशिश की, लेकिन ठीक से नहीं हो पाया; exams पास करके advanced degree और किसी specific applied area की expertise तो मिल गई, मगर यह एहसास अब भी है कि मेरी mathematical understanding रेत पर बने घर जैसी है।
      mental ability वाली बात से मैं कुछ हद तक सहमत हूं। प्रतियोगी गणित ने focus और perseverance बढ़ाया, लेकिन उस मामले में piano practice ने ज्यादा मदद की।
    • बच्चा गणित में बहुत अच्छा है, advanced concepts भी जल्दी समझता है और school curriculum से कई साल आगे है, लेकिन उसे ऐसे problems पर कई घंटे लगाए रखने की संभावना 0% है जिनका हल उसे नहीं पता।

  • अमीर या upper-middle-class suburbs में, खासकर जहां immigrants का अनुपात ज्यादा है, वहां आधे छात्र Kumon, RSM जैसी जगहों के जरिए चुपचाप इसी तरह आगे की पढ़ाई कर रहे होते हैं।
    कई मायनों में यह school evaluation को distort करता है। school अगर आलसी होकर कम भी पढ़ाए, तो भी कई बच्चे बाहर से supplement कर लेते हैं, इसलिए school का average score ऊंचा दिखता है। देखते-देखते school बस औपचारिकता रह जाता है और असली learning घर पर होती है। शिक्षक को “अच्छा पढ़ाना चाहिए” सोचना आदर्श है, लेकिन real world में सभी ऐसे नहीं होते।

    • यह सिर्फ अमीर या upper-middle-class suburbs की बात नहीं है। अगर आप Asian American हैं तो working class में भी यह आम है।
      San Francisco public schools और पास के suburbs Daly City, SSF में Asian बच्चे बड़ी संख्या में working class से थे, लेकिन parents उन्हें Kumon या tutoring centers भेजना चाहते थे। SoCal का SGV, Boston के Quincy और Malden जैसे working-class Asian neighborhoods में भी यही कहानी है।
    • college math में भी यही होता है। मैंने college में पहली बार calculus लिया, लेकिन class के आधे लोग इसे high school में पहले ही पढ़ चुके थे और उनमें से आधे AP calculus भी कर चुके थे।
      पहली बार पढ़ने वालों के लिए exam खास तौर पर brutal था। instructor ने class के अलावा 2 घंटे रखे और 7 बहुत कठिन questions दिए, जिन्हें ज्यादातर लोग 2 घंटे में खत्म नहीं कर पाए। average 50% के आसपास था। मैं C लेकर आगे बढ़ गया, और उसके बाद हाथ से calculus करने की नौबत फिर कभी नहीं आई।
    • शिक्षा culture का हिस्सा है। मुझे लगता है अमेरिकी culture वास्तव में शिक्षा को महत्व नहीं देने वाला culture है।
      रुझान shortcuts, minimum effort, checkbox भरकर ठीक-ठाक salary वाली job पाने की ओर है। इसके बजाय popularity, sports, fraternities, “college life” जैसी social life को ज्यादा value दी जाती है।
    • बच्चों को Singapore Math में भेजने की वजह यह है कि school math curriculum और teaching method कमजोर हैं। concepts को सतही तौर पर छूकर आगे बढ़ जाते हैं।
      school में solution examples देखकर लगभग वही procedure सिर्फ numbers बदलकर दोहराने वाले problems हल कराए जाते हैं। इसके उलट Singapore Math में शुरुआत से ही concept पर सोचकर उसे नए तरीके से apply करना पड़ता है।
    • school evaluation की असली चीज दरअसल socioeconomic status है। cultural differences अगर wealth से ज्यादा असर न डाल रहे हों, तो school खुद से जुड़े बाकी सभी factors उसके मुकाबले statistical noise जैसे हैं।

  • differential equations करते-करते calculus में अच्छा हो गया, और modeling व control theory करते-करते differential equations में अच्छा हो गया। आम तौर पर कोई विषय उसे क्लास में सीखते समय नहीं, बल्कि उससे एक स्तर ऊपर की चीज़ें संभालते समय अच्छे से आने लगता है
    इसलिए अगर आप अभी वाली क्लास में अच्छा करना चाहते हैं, तो अगली क्लास की पढ़ाई शुरू करना निश्चित रूप से एक प्रभावी तरीका है
    लेकिन असल में ऐसा करना बेहद मुश्किल है। बहुत संसाधनों वाले माहौल में पले व्यक्ति को यह उतना ही आसान और स्वाभाविक लग सकता है जैसे “माता-पिता ने जो tutor लगाया है, उसकी बात सुन लो।” लेकिन जिस छात्र के लिए इस साल की course books खरीदना भी मुश्किल है, उसके लिए यह “बस पंख लगाकर उड़ जाओ, मुश्किल नहीं है” कहने जैसा है
    आसपास मैंने कई ऐसे लोगों को देखा जो एक साल आगे की पढ़ाई करके क्लास में बेहतर दिखते थे, लेकिन उनमें से ज़्यादातर के माता-पिता PhD थे, उनका rent चुका देते थे और आगे आने वाली समस्याएँ पहले से समझा देते थे। जिस छात्र को क्लास खत्म होने के बाद rent कमाने के लिए काम पर जाना पड़ता है और रात में फिर campus लौटकर पढ़ाई व research करनी पड़ती है, उसके लिए यह सलाह खास मददगार नहीं है। शिक्षा क्षेत्र के कई “आसान नुस्खों” की तरह, जो अनकही शर्त है वह है अमीर पैदा होना

    • मिलता-जुलता अनुभव है। आम तौर पर एक साल पहले सीखी गई concepts बाद में समझ आईं, तुरंत समझ आना बहुत कम हुआ

  • निजी स्कूल में काम करने के नज़रिए से देखें, तो इस phenomenon से जुड़े स्कूलों के incentives लेख में बताए गए से कहीं ज़्यादा गंभीर रूप से कम करके दिखाए गए हैं
    “differentiation” को अक्सर स्कूलों का अनिवार्य और बहुत बड़ा काम बताया जाता है, लेकिन गणित जैसे विषयों में भी—जहाँ prerequisites पूरी हैं या नहीं, pace और comfort को अपेक्षाकृत आसानी से assess किया जा सकता है—हम या तो उन छात्रों को रोककर रखते हैं जिन्होंने material पहले ही पक्का सीख लिया है, या उल्टा mastery की कमी जमा होने देते हुए उन्हें बस अगले स्तर पर भेज देते हैं, और अंत में बच्चा गणित से सचमुच नफरत करने लगता है
    advance learning से भी ज़्यादा मैं यह सलाह दूँगा कि माता-पिता सक्रिय रूप से देखते रहें कि बच्चा पढ़ाई के दौरान गणित को लेकर reasonable comfort बनाए हुए है या नहीं। “pass” या “ठीक-ठाक grade” से आगे जाकर gaps भरने चाहिए और देखना चाहिए कि बच्चा सच में आराम से समझ रहा है या नहीं। वास्तविकता में स्कूल बच्चों को बहुत बार pass कर देते हैं और उन्हें ठीक-ठाक grades दे देते हैं, लेकिन इसका बच्चे द्वारा सीखी गई चीज़ों को असल में कितनी सहजता से महसूस करने से अक्सर लगभग कोई संबंध नहीं होता

  • मेरी पत्नी इसका अच्छा उदाहरण थी। undergraduate में mathematics major करने के बाद वह engineering masters और PhD में गई, और masters के पहले साल में ज़्यादातर remedial engineering courses थे—statics/dynamics, thermodynamics, controls, basic electric circuits वगैरह
    जब पूछा कि क्या मुश्किल नहीं था, तो उसने कहा, “अगर maths पहले से आती हो, तो यह बस terminology problem है”

    • दूसरे साल में general education requirement के लिए “barrier” जैसी introductory physics class ली थी। पहले सोमवार सुबह की exam से एक रात पहले, 1970s के phone book में professor का नंबर ढूँढकर कहा कि उसने अभी पढ़ाई शुरू नहीं की है और extension माँगा, लेकिन मना कर दिया गया
      वह exam असल में multivariable calculus ही था, जिसे अजीब नाम दे दिए गए थे, और जिसमें वह पहले ही A पा चुकी थी, इसलिए class में top scores में रही। अगली बार ज़िम्मेदारी दिखाने के लिए उसने एक घंटा और पढ़ाई की, लेकिन इस बार exam differential equations पर था जिन्हें अजीब नाम दे दिए गए थे, इसलिए fail हो गई
      ordinary differential equations उसने ठीक से तभी सीखी जब Columbia में assistant professor के तौर पर पढ़ाने के लिए assign किया गया
    • वही तो isomorphism की परिभाषा है

  • शीर्षक थोड़ा sensational है। जितना जल्दी हो सके पढ़ना सीखना, और अपनी उम्र के स्तर से कहीं ऊपर की चीज़ें पढ़ना, इससे भी बड़ा “educational life hack” हो सकता है

    • अफसोस, हर बच्चे के पास इस साफ़ तौर पर लाभकारी hack तक पहुँच नहीं होती
      मैंने जल्दी पढ़ना इसलिए सीखा क्योंकि मेरी immigrant माँ हर रात मुझे अपनी non-native भाषा में किताब पढ़कर सुनाती थीं, और यह इसलिए संभव था क्योंकि वह ऐसी culture से आई थीं जहाँ शिक्षा को बहुत महत्व दिया जाता है। काश हर बच्चा ऐसे माता-पिता पाने जितना भाग्यशाली हो, लेकिन कई बच्चों का शिक्षा से पहला परिचय public school में ही होता है
    • दोनों एक ही व्यवहार, यानी माता-पिता की educational interest, के परिणाम हैं। शुरुआती learning की सफलता का माता-पिता द्वारा बच्चे की शिक्षा में कितनी investment की जाती है, उससे मज़बूत संबंध होता है
      यह केवल पैसों का मामला नहीं है। 1.5 generation Asian Americans में से काफी लोग इसका प्रमाण हैं कि ऐसा नहीं है
    • लगता है reading ability जल्दी plateau नहीं कर जाती? मेरा 13 साल का बेटा लगभग मेरी तरह ही अच्छी तरह पढ़ता है
      हम SAT questions साथ में देख रहे हैं और सुधार की गुंजाइश है, लेकिन बहुत ज़्यादा नहीं। दूसरी ओर, maths तो college से बहुत आगे तक चलती रहती है
    • बहुत छोटी उम्र में पढ़ना सीखना मेरी superpower है। इसने मुझे जीवनभर undiagnosed ADHD के बावजूद कुछ हद तक सफल होने दिया
      अगर मैंने जल्दी पढ़ना नहीं सीखा होता और इसलिए तेज़ पढ़ना भी नहीं सीखा होता, तो शायद मैं उस बिंदु तक नहीं पहुँचता जहाँ reading enjoyable हो जाती है
    • लेखक maths education company में काम करता है, इसलिए maths पर focus करना समझ में आता है

  • 4th और 5th grade में हमारे teachers ने algebra को “riddles” कहा और उसे मज़ेदार puzzles की तरह करवाकर हमें सीखने के लिए trick कर दिया
    मेरे लिए यह निश्चित रूप से काम आया, और जब पता चला कि middle school maths उन्हीं puzzles को बस अलग नाम से बुलाता है, तो मैं काफ़ी हैरान हुआ। इसकी वजह से class बहुत आसान हो गई

    • English-speaking दुनिया के बाहर कई देशों में यह तरीका लगभग standard है। जटिल word problems का इस्तेमाल करके lower grades से ही arithmetic और जिसे English-speaking schools “pre-algebra” कहते हैं, उसके भीतर algebraic reasoning को धीरे-धीरे introduce किया जाता है
      आम तौर पर इसमें कई steps स्वाभाविक रूप से शामिल होते हैं, और जब छात्रों में उचित mathematical maturity आ जाती है, तब formal algebra पढ़ाने पर transition लगभग seamless होता है
    • DragonBox भी यही काम करता है। बच्चे maths से नफरत इसलिए करते हैं क्योंकि teachers और textbook authors maths से नफरत करते हैं, इसलिए उसमें मज़ा नहीं डालते