गणित सीखने के तरीके (2017)
(math.uh.edu)- विश्वविद्यालय का गणित हाई स्कूल की तरह तय परिस्थितियों में algorithm लागू करने वाला विषय नहीं है; इसमें definitions, theorems और proofs के आधार पर उपयुक्त तरीका चुनने का निर्णय भी चाहिए
- Definition को केवल intuition के भरोसे नहीं छोड़ा जा सकता; इसकी logical structure और लागू होने की सीमा समझनी होती है, examples और counterexamples से जांचना होता है, और फिर ठीक-ठीक वाक्य भी सीखना होता है
- Theorem, proposition, lemma, corollary किसी परिणाम की भूमिका और महत्व बताते हैं; इनके assumptions और conclusion, उपयोग के उदाहरण, और assumptions की जरूरत को साथ-साथ समझना चाहिए
- Proof विश्वविद्यालयी गणित में optional नहीं है; theorem के कथन को पहले समझकर, बड़ी strategy देखने के बाद छोड़े गए detailed steps भरने पर ही उसे सही तरह से लागू किया जा सकता है
- Problem-solving skill के लिए सिर्फ repeated practice काफी नहीं है; कई solutions आजमाकर और random problems हल करके कौन-सी technique इस्तेमाल करनी है, यह चुनने की judgment विकसित करनी होती है
विश्वविद्यालय का गणित हाई स्कूल के गणित से कैसे अलग है
- हाई स्कूल गणित में काफी समय algorithm और manipulation techniques पर लगता है, और छात्रों से उम्मीद होती है कि वे तय परिस्थितियों में उन्हें लागू करेंगे
- केवल ऐसी study habits से विश्वविद्यालय का गणित पकड़ना मुश्किल है, और यह छात्रों व professors दोनों के लिए frustration पैदा कर सकता है
- विश्वविद्यालयी गणित का पहला बड़ा अंतर यह है कि इसमें उस हिस्से पर कहीं अधिक जोर होता है जिसे छात्र अक्सर theory कहते हैं
- definitions और theorems को ठीक-ठीक statement के रूप में रखना
- theorem सही क्यों है, इसकी logical process से निपटना
- definition क्यों उपयुक्त है, यह दिखाने वाले examples और theorem को असल में कैसे इस्तेमाल करें, दोनों पर बात करना
- किसी course description में
rigorousशब्द हो तो इसका मतलब है कि definitions और theorems को बहुत सावधानी से state किया जाएगा, और theorem के लिए कोई plausible explanation नहीं बल्कि proof दिया जाएगा - Theory को ऊपर-ऊपर पढ़कर सीधे problems पर चले जाना विश्वविद्यालयी गणित में मुश्किलें पैदा करता है
- दूसरा अंतर techniques और application problems को handle करने के तरीके में है
- हाई स्कूल में अक्सर एक बार में एक technique सीखी जाती है
- विश्वविद्यालयी गणित में एक problem के कई approaches हो सकते हैं, और उनमें से कौन-सा बेहतर है, यह चुनना पड़ता है
- इसलिए technical proficiency के साथ-साथ problem solving की judgment विकसित करने वाली study habits चाहिए
Definitions कैसे पढ़ें
- गणित की definition एक ऐसा वाक्य है जो किसी concept को पहले से defined concepts या
number,setजैसे undefined concepts से जोड़कर उसकी सीमा ठीक-ठीक तय करता है और उसे नाम देता है - Intuitive feel जरूरी है, लेकिन university level पर पर्याप्त नहीं है; definition के formal statement और उसके meaning से सीधे निपटना पड़ता है
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Definition क्या कह रही है, इसे ठीक-ठीक समझना
- Definition speed reading का अभ्यास करने की जगह नहीं है
- Established definitions में आम तौर पर बेकार शब्द या unnecessary symbols नहीं होते;
and,or,if ... then,for all,there isजैसे छोटे शब्द logical structure बताते हैं - पहले यह समझना चाहिए कि definition किस general category के objects की बात कर रही है
- Polynomial की definition किसी खास तरह के algebraic expression की बात करती है
- Continuous function की definition किसी खास तरह के function की बात करती है
- Vector space के basis की definition किसी खास तरह के vector set की बात करती है
- फिर यह interpret करना चाहिए कि उस general category का कोई object definition को satisfy करता है, यह दिखाने के लिए क्या करना होगा
-
Examples से definition की range जांचना
- Standard examples उपयोगी हैं, लेकिन वे यह उम्मीद भी पैदा कर सकते हैं कि सारे examples standard examples जैसे ही होंगे
- Definition समझने के लिए खुद examples बनाने चाहिए
- Definition satisfy करने वाले, लेकिन जितना संभव हो आपस में अलग, 3 examples बनाएं
- उसी general category में आने वाले, लेकिन definition satisfy न करने वाले 2 examples बनाएं
- साबित करें कि ये 5 examples सचमुच intended तरीके से काम करते हैं
- ऐसे proofs आम तौर पर छोटे होते हैं और definition की structure को लगभग ज्यों का त्यों follow करते हैं
- अपने लिखे examples review के समय किताब या professor के examples से ज्यादा meaningful होते हैं
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ठीक-ठीक statement याद करना
- Definition इस्तेमाल करने के लिए यह जानना जरूरी है कि definition ठीक-ठीक क्या कहती है
- Exam में किसी definition का statement पूछने वाला question आ सकता है
- Definitions का मजबूत knowledge पूरी learning का बड़ा हिस्सा है, और इस पर लगाया गया समय waste नहीं है
Theorem, proposition, lemma, corollary से कैसे निपटें
- Definitions तब सच में काम करती हैं जब वे एक-दूसरे से जुड़ती हैं और general problems से संबंधित होती हैं; यही भूमिका theory निभाती है
- Proved result को दिया गया नाम उसकी relative importance और intended use के बारे में कुछ हद तक बताता है
- Theorem एक महत्वपूर्ण result है, जो concepts का problem solving में उपयोग या subject के काम करने के तरीके पर मुख्य insight देता है; इसका proof अक्सर गहरा और complex होता है
- Proposition छोटा result होता है; यह अक्सर अलग-अलग definitions को जोड़ता है या किसी definition का दूसरा रूप देता है, और इसका proof आम तौर पर theorem से कम complex होता है
- Lemma theorem के proof में इस्तेमाल होने वाला technical result होता है; जब वही trick कई बार इस्तेमाल होती है, तो उसे अलग करके repeated proofs से बचाया जाता है
- Corollary theorem का immediate result होता है; यह special case देता है या theorem की रुचि और importance दिखाता है
- अगर author या professor ने ये नाम सावधानी से इस्तेमाल किए हैं, तो वे यह समझने में मदद करते हैं कि क्या महत्वपूर्ण है
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Theorem का statement समझना
- Theorem defined terms इस्तेमाल करता है, इसलिए theorem के words समझने के लिए संबंधित definitions फिर से देखनी पड़ सकती हैं
- Theorem की logical structure में assumptions और conclusion को अलग करना चाहिए
- जांचना चाहिए कि क्या सभी assumptions जरूरी हैं, या कुछ ही काफी हैं
- अधिकांश theorems तभी लागू होते हैं जब सभी assumptions satisfy हों
- जिन situations में assumptions satisfy नहीं होते, उनके बारे में theorem कुछ नहीं कहता
- Assumptions बताते हैं कि किसी specific case पर theorem लागू करने के लिए क्या दिखाना होगा, और conclusion बताता है कि theorem उस case के बारे में क्या कहता है
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Theorem कैसे इस्तेमाल होता है, यह देखना
- ऐसे problem examples खोजने चाहिए जिनमें theorem answer खोजने की technique देता है
- खुद problems बनाकर दिखाना चाहिए कि theorem कैसे मदद करता है
- इसे लिखकर रखने से theorem दिमाग में ज्यादा मजबूत बैठता है और review भी आसान होता है
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Assumptions की भूमिका जांचना
- हर assumption हटाने पर conclusion false हो सकता है, यह दिखाने वाले examples खोजना उपयोगी तरीका है
- Calculus के कई theorems में function के continuous होने का assumption होता है; यह assumption हटाने पर theorem क्यों fail होता है, examples इसे ज्यादा स्पष्ट दिखा सकते हैं
- ऐसे examples की lists उपयोगी हैं, और
Counterexamples in AnalysisवCounterexamples in Topologyजैसी किताबें उदाहरण के तौर पर दी जाती हैं - कुछ cases में assumption conclusion के लिए essential होने के बजाय complex proof को आसान बनाने के लिए भी जोड़ा जाता है, इसलिए हर assumption जरूरी है यह दिखाने वाला example हमेशा नहीं मिल सकता
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Theorem का statement याद करना
- Theorem इस्तेमाल करने के लिए यह जानना जरूरी है कि theorem ठीक-ठीक क्या कहता है, खासकर assumptions पर ध्यान देना चाहिए
- Theorem का proof रटने की कोशिश करने के बजाय, उसे इतना समझना बेहतर है कि आप खुद prove कर सकें
पूरे course की structure मिलाकर देखना
- गणित अलग-अलग techniques का बिखरा collection नहीं है, बल्कि सोचने का एक तरीका और एक unified subject है
- Study का एक हिस्सा विभिन्न definitions और theorems को आपस में सही तरह से connect करना है
- यह काम खासकर semester के अंत में महत्वपूर्ण है, लेकिन पढ़ाई के दौरान भी overall organization का ध्यान रखने से subject की content और arrangement समझने में मदद मिलती है
-
पीछे की ओर trace करना
- किसी महत्वपूर्ण result तक पहुंचने पर यह देखना उपयोगी है कि उसके proof में कौन-से previous results इस्तेमाल हुए
- फिर उन previous results को किन और earlier results से prove किया गया, यह trace करते हुए अंततः definitions तक लौटा जा सकता है
- लेकिन कुछ theorems बिना proof के दिए जा सकते हैं, जैसे Calculus में intermediate value theorem का proof छोड़ा जाना
- इस जानकारी को results के genealogy chart की तरह organize करें तो theory कैसे जुड़ती है, यह एक नजर में दिखता है
- Mean value theorem के example में Rolle’s theorem, candidate lemmas, derivative sign का meaning, derivative की definition, maximum और minimum की definitions, closed interval की definition, least upper bound axiom, continuity की definition आदि जुड़ते हैं
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Definition-theorem outline बनाना
- हर major theorem से definitions तक पीछे trace करने पर समझ आता है कि कौन-सा result दूसरे result से पहले जरूरी हो जाता है
- कुछ definitions किसी खास theorem के prove होने से पहले meaningful होना मुश्किल है
- Vector space की dimension को नाम देने के लिए यह जानना जरूरी है कि जिस number की बात हो रही है वह unique है, और इसके लिए theorem चाहिए
- Definition-theorem outline ऐसा arrangement है जिसमें हर result को उसके proof में जरूरत पड़ने से पहले introduce किया जाता है
- इस outline में सभी definitions और theorems के exact statements, और हर theorem proof का sketch शामिल होना चाहिए
- Proof sketch दिखाता है कि कौन-से previous results इस्तेमाल हुए और वे कैसे combine हुए; calculation simplification या assumptions check करने जैसे routine steps आम तौर पर छोड़े जाते हैं
- ऐसा outline review शुरू करने का अच्छा तरीका है और बाद में reference के लिए भी useful material है
Proofs को कैसे समझें
- University level mathematics में बहुत सारे proofs follow करने पड़ते हैं, जो हाई स्कूल गणित से अलग है जहां proof नहीं होते थे या optional थे
- Proof follow करना unfamiliar और difficult task है, इसलिए लोकप्रिय नहीं हो सकता
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Theorem का statement पहले जानें
- Assumptions और conclusion को confuse करने पर यह पता नहीं चलता कि क्या assume कर सकते हैं और किस conclusion तक पहुंचना है
- Proof समझने का पहला step यह जानना है कि संबंधित theorem ठीक-ठीक क्या कहता है
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Proof की बड़ी outline पकड़ना
- पहले देखना चाहिए कि कौन-से previous results इस्तेमाल हुए हैं और proof की basic strategy क्या है
- पहली reading में details छोड़नी चाहिए ताकि overall direction न छूटे
- अधिकतर theorems implication form में होते हैं, और सबसे आसान proof structure है assumptions को accept करना और previous results को combine करके conclusion तक जाना
- Contrapositive proof, proof by contradiction, mathematical induction, और Zorn’s lemma जैसे choice axiom के एक form भी strategy के रूप में इस्तेमाल हो सकते हैं
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छोड़े गए detailed steps भरना
- Strategy समझने के बाद tactics पर focus करना चाहिए
- Undergraduate textbooks में proof explanations और उससे higher level के सभी proof explanations में कई routine steps छोड़े जाते हैं
- अगर expression simplify किया गया है, तो lines के बीच की calculation भरनी चाहिए
- अगर theorem cite करके apply किया गया है, तो जांचना चाहिए कि सभी assumptions सचमुच satisfy होते हैं
- अगर कोई हिस्सा reader पर छोड़ा गया है, तो उसकी details खुद भरनी चाहिए
- अंत में आपको पता होना चाहिए कि हर step पिछले step से क्यों follow करता है; यह जानना जरूरी नहीं कि वह proof कैसे सोचा गया था
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Proofs क्यों सीखें
- Mathematics majors के लिए जवाब साफ है, क्योंकि mathematics का बड़ा हिस्सा proofs से बना है
- Mathematics को apply करने वाले students के लिए भी proof जरूरी है
- दूसरे fields के applications math textbooks के application problems जैसे बिल्कुल नहीं होंगे, इसकी संभावना ज्यादा है
- Mathematics courses सभी known applications नहीं cover कर सकते, और कहा जाता है कि mathematics literature में हर 2 सप्ताह में लगभग 500 applied papers प्रकाशित होते हैं
- Theorem की assumptions जानना जरूरी है ताकि theorem को वहां गलत तरीके से apply न करें जहां वह काम नहीं करता
- जरूरत पड़ने पर failed assumption को bypass करने का तरीका देखने में proof जानना मददगार होता है
- Applied mathematics की बड़ी pitfalls में से एक है mathematical model की assumptions को convenience के लिए ignore करना
- Non-mathematicians जब applied mathematics करते हैं तो यह risk खास तौर पर होता है
- Mathematicians जब applied mathematics करते हैं तो वे reality से irrelevant model बनाने के trap में फंसने की अधिक संभावना रखते हैं
- कई applications दूसरे field की terminology में व्यक्त mathematical concepts की definitions पहचानने से बने होते हैं
- Proof definitions की subtle differences और unexpected equivalent forms को clearly दिखा सकता है
- Mathematics में proof validity का final test है
- Proof की logical process स्वीकार कर लेने पर बाद की observations या trend changes mathematical result की validity नहीं बदलते
- Mathematics में proof हट जाए तो गंभीर कमी रह जाती है, और उसे mathematics नहीं कहा जा सकता
Problem-solving techniques कैसे विकसित करें
- Mathematics course का लगभग एक-तिहाई से आधा हिस्सा techniques पर होता है
- Technique वह process है जो theorem को सिर्फ general form में रहने के बजाय specific situations में काम कराता है
- कुछ मामलों में proof explicit construction देता है, इसलिए उसे special cases के अनुसार follow करना होता है
- Integration techniques की तरह जब एक problem पर कई approaches और कई tricks लागू हो सकती हैं, तो judgment चाहिए
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Theorems और examples पहले पढ़ें
- Problem solving को course की बाकी content से unrelated process की तरह treat करने पर learning और मुश्किल हो जाती है
- Problems अक्सर पहले के major theorem proofs में दिए गए pattern को follow करते हैं
- General pattern पहले से जानना trial-and-error से खोजने की तुलना में आसान है
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पर्याप्त problems हल करके technique सीखें
- किसी single technique को दिमाग में पक्का बैठाने के लिए पर्याप्त number of problems solve करने चाहिए
- Education की final responsibility student पर होती है, इसलिए अगर submitted assignments से ज्यादा problems चाहिए तो खुद practice करनी चाहिए
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एक ही problem को कई तरीकों से हल करें
- एक technique की practice करते समय यह सोचना आसान है कि problem का केवल एक ही approach है
- कोई approach आसान और दूसरा complex हो सकता है, लेकिन कई बार multiple solutions लगभग समान रूप से अच्छी तरह काम करते हैं
- Complex approach कई steps और multiple techniques की जरूरत वाले problem solving का अभ्यास बन जाता है
-
Random problem set बनाएं
- कई techniques सीखते समय कठिनाई यह है कि solution शुरू करने से पहले तय करना पड़ता है कि कौन-सी technique इस्तेमाल करनी है
- Textbook problems आम तौर पर अभी-अभी सीखी गई technique इस्तेमाल करवाने के लिए grouped होते हैं, जिससे यह कठिनाई और बढ़ सकती है
- हर problem set से 2–3 problems चुनकर 3×5 cards पर लिखें और shuffle करें; इससे यह तय करने की practice के लिए problem set बन सकता है कि कौन-सी technique इस्तेमाल करनी है
अंतिम study habits
- Mathematical statements में redundancy बहुत कम होती है, और mathematics बहुत cumulative subject है
- एक बार introduce किया गया concept बहुत कम ही repeat होता है, और बाद में मान लिया जाता है कि वह पहले से आता है
- Problems हल करने से पहले किताब पढ़ने के लिए पर्याप्त समय रखना चाहिए
- अधिकांश students class में complete और readable notes लेने जितना तेज नहीं लिख पाते
- Class के तुरंत बाद notes फिर से देखकर, definitions और theorems को साफ-साफ लिखी हुई clean final copy बनाना उपयोगी है
- यह process उन हिस्सों को पहचानने में भी मदद करती है जिन्हें आप नहीं समझे, ताकि समय रहते professor से पूछ सकें
- पीछे नहीं छूटना चाहिए
- Mathematics precision, clear thinking habits और practice मांगता है
- Exam से ठीक पहले cramming न केवल desired exam result नहीं दिलाता, बल्कि understanding के बजाय memorization से mathematics करने की खराब habit को मजबूत करता है
- आखिरी समय की memorization की तुलना में पर्याप्त नींद और clear mind ज्यादा मदद करते हैं
1 टिप्पणियां
Hacker News पर राय
मैं गणित में PhD हूँ और कई पेपर भी प्रकाशित कर चुका हूँ, लेकिन मेरी सिफारिश बस एक meta principle है: गणित का आनंद लेना चाहिए
यह Benjamin Finegold की उस बात जैसा है कि chess का रहस्य हर चाल का आनंद लेने में है। व्यक्तिगत रूप से मुझे गणित में कभी कठिनाई नहीं हुई, और मुझे लगता है इसकी वजह यह थी कि मुझे symbols लिखना, नई theories सीखना और खुद बनाकर देखना सचमुच बहुत पसंद था
हर कोई शुरू से गणित का आनंद नहीं लेता, लेकिन मुझे लगता है कि उनमें से कम-से-कम आधे लोगों ने गणित का आनंद लेने का कोई साफ रास्ता नहीं पाया होता। हाई स्कूल का गणित आम तौर पर एक शानदार कलात्मक और तार्किक खोज के रूप में नहीं पढ़ाया जाता
इसलिए अच्छा होगा कि किसी ऐसे mentor से मिलें जो पहले ही वह रास्ता खोज चुका हो, और उससे कहें कि वह आपको गणित का आनंद लेना दिखाए। मैंने सच में ऐसे बहुत से छात्रों को पढ़ाया है जो गणित से नफरत करते थे और उसे कठिन मानते थे, और कुछ बार के बाद अक्सर उनकी आँखों में “यह तो काफी cool है?” वाली चमक दिखती थी
logic, study methods और उबाऊ productivity techniques लागू करने से पहले, पहले आनंद लेने का तरीका खोजना चाहिए
वे गणित को कड़वी दवा खाने या जटिल और कठोर skills की training जैसा देखते हैं, इसलिए उनका पढ़ाने का तरीका भी अनाड़ी और authoritarian होता है, जिससे छात्र passive या rebellious हो जाते हैं
हाल ही में Canada की Manitoba सरकार ने नियम बदलकर गणित शिक्षकों के लिए university math courses करना आवश्यक नहीं रहने दिया, और मुझे लगता है कि university education departments जिस तरह इसे जोर देकर आगे बढ़ा रहे हैं, वह दिखाता है कि गणित शिक्षक गणित से कितनी नफरत करते हैं
बहुत से लोग किसी चीज को पसंद करने और उसमें अच्छे होने से अच्छा महसूस होने को गड्डमड्ड कर देते हैं। इसलिए जब कोई field अब naturally solve नहीं होती, तो वे बाद में major बदलकर उस जगह चले जाते हैं जहाँ उनकी strengths काम आती हैं
समस्या बहुत जल्दी हार मान लेने की है, और इसे रोकने के लिए शुरुआत में confidence बनाना महत्वपूर्ण है। अगर खुद को लगता है कि आप नहीं कर सकते, तो आनंद लेना लगभग असंभव है, इसलिए basic mastery ही आनंद और बाद की सफलता का पहला कदम बनती है
मैं PhD नहीं हूँ, लेकिन छोटे छात्रों को काफी समय से math tutoring कर रहा हूँ, और गणित मजेदार और अद्भुत है—यह भावना विकसित करने के नए तरीके हमेशा खोजता रहता हूँ
कई छात्रों के लिए गणित लगभग अर्थहीन पीड़ा की तरह गहराई से बैठा होता है, और कमी या शर्म की भावना से भी बहुत मजबूती से जुड़ा होता है, इसलिए यह आसान नहीं है
आखिर मैं खुद को गणित का आनंद लेने के लिए कैसे तैयार कर सकता हूँ?
undergraduate में सभी math courses के लिए मेरा राज problem solving था
textbook के हर chapter के अंत के सारे problems हल किए, और library में दूसरी textbooks खोजकर उन किताबों के chapter-end problems भी सारे हल किए
graduate school में इसे और आगे बढ़ाया: textbook के हर chapter को फिर से लिखा और proofs के बीच के steps भरे। जहाँ author ने “therefore …” या “obviously …” कहकर छोड़ दिया था, वे हिस्से भी सब भरे
20 साल बाद बिना context के पढ़ने पर आज के मुझे वे बिल्कुल समझ नहीं आते
basic definitions का repetitive practice किया और spaced repetition से review किया, और Cornell note-taking method lecture के दौरान整理 करने और review के लिए सुविधाजनक था
जिन problems को हल नहीं कर पाया या हल किया, क्यों अटका, क्या काम आया—इन सबका thinking journal रखा, और यह metacognition नए problems पर transfer करने में उपयोगी रही
एक-दूसरे को बहुत समझाने वाले study groups भी बहुत मददगार रहे
मुझे नहीं लगता कि humans के लिए यह optimal strategy है। हमें ऐसी math resources बनानी चाहिए जो students को analytical और conceptual तरीके से सीखने में मदद करें
जैसे biology सीखने का तरीका होता है
पूछने के लिए कुछ न हो, तब भी उस समय homework करें और दूसरे लोगों के सवाल सुनें
न सिर्फ आप अधिक सीखेंगे, बल्कि TA आपकी मेहनत देखेगा, जिससे partial credit या grade boundary पर आपके पक्ष में देखने की संभावना भी बढ़ेगी
उदाहरण के लिए CLRS के सभी problems हल करना मुझे असंभव लगता है। professor ने universal hashing का एक problem दिया था, और सही proof की key insight पाने में ही कई घंटे लग गए
इतने सारे competing priorities होने पर, सचमुच प्रतिभाशाली कुछ लोगों को छोड़कर बाकी सब कैसे सभी problems हल कर पाएँगे, इसकी कल्पना नहीं कर सकता
school से university में जाते समय सबसे पहले जिस चीज की आदत डालनी होती है, वह है पूरी तरह भटक जाना और defeated महसूस करना
high school के अंत तक मैं सब कुछ solve कर सकता था, IB exam में भी बहुत समय बच जाता था, और formal curriculum के problems में कोई ऐसा देखा नहीं था जिसे मैं महीनों से हल न कर पाया होऊँ
university में पहुँचा तो ऐसे problems मिले जिनका अभी सुने lecture और problem sheet से क्या संबंध है, यह भी समझ नहीं आता था। feeling यह थी: “मैंने यह lecture सुना है, और उस information से यह problem solve करना चाहिए, लेकिन problem खुद क्या कह रहा है, मुझे समझ नहीं आ रहा”
learning ठीक उसी frustrate कर देने वाली सिर पटकने की process में होती है। पढ़ते रहें, और पढ़ें, बेकार derivations से notes भरते रहें, तो आखिरकार shape बनने लगती है
university में material इतना विशाल होता है कि सीमित समय में कोई आपको सब कुछ समझा नहीं सकता। student को core ideas पकड़ने होते हैं, और बाकी खुद समय लगाकर भरना होता है
मेरी university में semester से पहले एक math review course था, और वह natural numbers की addition से शुरू हुआ। दो दिनों में school में 13 साल में सीखी सारी चीजें repeat हो गईं
यह expectations को बेरहमी से reset करने वाली process थी, लेकिन इसने सबको साफ बता दिया कि अब यह school नहीं है, और एक अलग तरह के काम और concentration की जरूरत है
संबंधित लिंक:
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - मार्च 2021, 73 टिप्पणियाँ
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - फ़रवरी 2018, 148 टिप्पणियाँ
बोनस: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - मई 2020, 31 टिप्पणियाँ
Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - जनवरी 2019, 227 टिप्पणियाँ
Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - मार्च 2018, 211 टिप्पणियाँ
दिलचस्प बात यह है कि यह guide कहती है कि सहज समझ स्कूल-स्तर की गणित के लिए तो ठीक है, लेकिन विश्वविद्यालय-स्तर के लिए नहीं
वहीं David Bessis अपनी हाल की किताब “Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity” में दावा करते हैं कि intuition हर स्तर की गणितीय समझ का “secret” है
इससे क्या निष्कर्ष निकालना चाहिए, मुझे नहीं पता, लेकिन अपने पुराने विश्वविद्यालय-गणित के अनुभव के आधार पर कहूँ तो intuition किसी विषय की समझ विकसित करने का शक्तिशाली tool था
जब कोई high-school student high-school math का प्रश्न देखता है, तो वह अपने पूरे K-12 math अनुभव के आधार पर समाधान की intuition खींचता है। Undergraduate math में जाते ही मौजूदा अनुभव अब पर्याप्त नहीं रहता, इसलिए मुश्किल होती है
अधिक abstract समस्याएँ और कहीं अधिक rigor चाहिए होता है, और समस्याएँ भी अक्सर high-school math की तुलना में Bloom's taxonomy [1] में ऊँचे स्तर पर काम करती हैं। औसत high-school student के लिए यह लगभग अनुभवहीन क्षेत्र होता है, इसलिए intuition अच्छी तरह नहीं बनती
अनुभव जमा होने पर undergraduate के आख़िरी वर्षों, graduate school और उसके बाद intuition फिर लौट आती है, लेकिन वह मूलतः अलग किस्म की intuition होती है। High school में जहाँ visual/geometric intuition ज़्यादा होती है, वहीं higher mathematics में यह abstraction और समस्या पर हमला करने के tools के बारे में intuition बन जाती है
यह किसी programmer के किसी problem को देखकर “यहाँ hash map चाहिए, और तब यह problem trivial हो जाती है” कहने से अलग नहीं है
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
क्योंकि रोज़मर्रा की ज़िंदगी में ज्यामितीय वस्तुओं या 2D calculus curves जैसी चीज़ों का कुछ sense होता है
विश्वविद्यालय स्तर पर objects ज़्यादा abstract होते हैं, इसलिए everyday intuition अब लागू नहीं भी हो सकती। एक नई तरह की intuition बन सकती है, लेकिन इसके लिए formal procedures और calculations पर बहुत समय लगाना, उस समय पर पीछे मुड़कर सोचना, और intuition निकालने वाली नई metaphors सक्रिय रूप से बनाना ज़रूरी है
उदाहरण के लिए, मुझे अब भी याद है कि एक professor ने complex plane में holomorphic functions के local गुण सिद्ध करने पर वे गुण global behavior के लिए भी सही कैसे हो जाते हैं, यह समझाने के लिए Cat's Cradle की Ice-9 metaphor इस्तेमाल की थी
मतलब यह नहीं कि इसकी ज़रूरत नहीं है, बल्कि यह कि यह sufficient condition नहीं है
Tao के शब्दों में कहें तो, technical ability को पर्याप्त रूप से विकसित करने के बाद post-rigorous stage में intuition का मूल्य कहीं अधिक बढ़ जाता है
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
Bessis असल में ऐसे उदाहरण भी देते हैं जहाँ intuition और techniques एक-दूसरे को अच्छी तरह complement करती हैं
Gian-Carlo Rota की The Lost Cafe से लिया गया Sitzfleisch उद्धरण प्रभावशाली है
जर्मन शब्द Sitzfleisch का मतलब है desk के सामने अनगिनत घंटे बिताकर कठिन काम पूरा करने की क्षमता, और कहा जाता है कि mathematicians इसे सफलता का बेहतर मापदंड मानते हैं, बजाय उन आकर्षक talent definitions के जिन्हें psychologists कभी-कभी पेश करते हैं
लेकिन Stan Ulam Sitzfleisch के बिना भी टिके रहे। encephalitis के बाद, वे अपनी सुरक्षित बची imagination से ideas निकालते थे और technical support के लिए दूसरों के Sitzfleisch पर निर्भर रहने लगे
उनकी insights की सुंदरता और उनके suggestions की संभावनाओं की वजह से युवा collaborators खुशी-खुशी अपना समय उधार देते थे, और कभी-कभी उसके waste हो जाने का जोखिम भी उठाते थे
स्रोत यहाँ मिला उद्धरण है: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php
मेरे मामले में, जब मैंने सभी प्रमाण खुद करने की कोशिश की, तब लगा कि मैं बिल्कुल नए स्तर पर पहुंच गया हूं
पहले मैं किसी विषय को कुछ बार पढ़ता था, फिर परिभाषाओं और प्रमाणों को एक-एक करके देखते हुए पहले कथन को याद/समझने की कोशिश करता, और उसके बाद खुद प्रमाण करने की कोशिश करता था। ऐसा करने पर लेख में कही गई बातें अप्रत्यक्ष रूप से लगभग सब हासिल हो जाती थीं
दिलचस्प बात यह है कि ऐसा करने के बाद, पहले जटिल लगने वाले ज्यादातर अभ्यास प्रश्न सीधे हल हो जाने वाले प्रश्नों में बदल गए। यह लगभग ऐसा चीट-की जैसा लगा जिसमें अभ्यास प्रश्न हल करने की जरूरत ही नहीं पड़ती थी
विश्वविद्यालय में अलग-अलग स्तर पढ़ाते समय मैं हर साल पूछता था कि क्या किसी ने घर पर theorem का proof याद करके/सोचकर निकालने की कोशिश की है, लेकिन कोई नहीं होता था। जब मैं कहता कि ऐसा करना चाहिए, तो वे हमेशा हैरान हो जाते थे
इस लेख में गणित पढ़ने का meta हिस्सा गायब है
आप कैसे सीखते हैं, इस पर रचनात्मक आत्म-चिंतन विश्वविद्यालय के मध्य वर्षों के आसपास सच में फल देना शुरू करता है
परंपराओं के साथ आपका संबंध, तकनीकों के साथ संबंध जितना ही महत्वपूर्ण हो जाता है। किसी चीज़ के “पूरे” को समझना हो, तो यह भी समझना होगा कि अभी जो प्रस्तुति आप देख रहे हैं, वह किन biases से बनी है। शायद आप उन biases को हटाना चाहेंगे
चाहे आप गणित को बदलना चाहते हों या बस सीखना चाहते हों, बात वही है। दूसरों की इच्छा के अनुसार चलने वाला passive रवैया निराशा की ओर ले जाता है
HN पर देखकर मैंने MathAcademy.com पर signup किया, और हालिया अनुभव ने बहुत सुखद ढंग से चौंकाया
अब 50s में हूं और 35 साल पहले की high-school math फिर से सीखना चाहता था, इसलिए Foundations series तेजी से की। अभी Foundations 3 के लगभग आधे तक पहुंचा हूं, और 9 हफ्तों तक रोज 2 घंटे करके करीब 9000 XP जुटा चुका हूं
2025 में धीमी गति से university-level के 1–3 courses करने की योजना है
self-learner के तौर पर यह मेरे सीखने के तरीके के साथ अच्छी तरह फिट हुआ। यह enjoyable, measurable, difficulty-adjusted है, “wall” या “unmet dependency” से टकराए बिना चलता है, और जिन सवालों को मैं हल नहीं कर पाया उनकी explanations भी thorough हैं
सबसे बड़ी समझ यह रही कि review·memorization के लिए बहुत सारे notes छोड़े बिना भी सीखा जा सकता है। experience और spaced repetition काफी थे। Christmas break यह देखने की कसौटी होगा कि सीखाई सच में पक्की हुई है या नहीं
9 हफ्तों में 9000 XP—speed impressive है
“पीछे मत रहो” वाला वाक्य बहुत गहराई से लगा
मैं उन आलसी math undergrads में से था जो first year के कुछ topics में जूझे, लेकिन न मदद मांगी, न पर्याप्त समय लगाया, और आखिरकार कभी recover नहीं कर पाए
मुझे लगता है teaching भी कई जगह बहुत खराब थी। “बस भरोसा करो” कहकर आगे बढ़ जाना, या “यह obvious है, बाकी तुम लोग पूरा कर लेना” कहना—18 साल के student के लिए ईमानदारी से कहूं तो सबसे खराब है
“Analysis 1” में 30% मिलने के बाद भी अगले semester सीधे “Analysis 2” में धकेल देना और उम्मीद करना कि student खुद संभल जाएगा—मेरे हिसाब से यह कोई ठीक system नहीं है
विश्वविद्यालय में गणित करते हुए समय सचमुच कष्टदायक था, और शायद मुझे engineering या computer science जैसी अधिक applied चीज़ करनी चाहिए थी
किसी ने कहा था, “अगर school में biology पसंद है तो university में psychology करो, chemistry पसंद है तो biology, physics पसंद है तो chemistry, math पसंद है तो physics, philosophy पसंद है तो math करो,” और मुझे वह सुन लेना चाहिए था
हालांकि पूरी तरह mature adult बनने के बाद, बकवास time limits और grades के दबाव के बिना, आप कभी भी गणित पर वापस लौट सकते हैं
मुझे लगता है गणित time pressure के लिए ठीक नहीं बैठता। गणित का मतलब ideas के साथ लंबे समय तक रहना, उनसे खेलना, risk लेना, और बेवकूफी भरे guesses भी लगाना है। मूल रूप से यह खेल है, और time pressure किसी की मदद नहीं करता
अगर interest था तो आप कभी भी वापस जा सकते हैं, और चाहें तो classes फिर से ले सकते हैं। self-learners के लिए अच्छी books और साथ सीखने वाली communities भी बहुत हैं
लेकिन अगर आप चीज़ों की तह तक जाकर सब कुछ समझना और science के fundamental questions सुलझाना चाहते हैं, तो शायद आप इसे उलटना चाहेंगे
अगर biology पसंद थी, तो life processes electrochemical processes हैं इसलिए chemistry पढ़ें; अगर chemistry पसंद थी, तो molecules और atoms, formation और reactions physical processes हैं इसलिए physics पढ़ें—इसी तरह