गणित की कठोरता पर कुछ बातें: गणित को इतना कठोर क्यों होना चाहिए?

• क्या गणित में कठोरता कभी-कभी इतनी स्वाभाविक बातों को भी बेवजह जटिल बना देने जैसी नहीं लगती?

-> कठोरता के पीछे ठोस कारण होते हैं.

• "कूदे बिना रस्सी कूदना" समस्या को सिद्ध करना.

• किसी समतल सतह के मूलबिंदु पर एक ऊँचा खंभा गड़ा हुआ है. समतल फर्श पर अनंत तक फैली हुई और बिना टूटी हुई एक रस्सी के दोनों सिरे स्थिर हैं. रस्सी सतह से चिपकी हुई है, इसलिए वह केवल फर्श के भीतर ही फैल सकती है; उसे ऊपर की दिशा में खींचा नहीं जा सकता.

• इस स्थिति में क्या रस्सी को खंभे के दूसरी ओर ले जाया जा सकता है?

• सहज रूप से सोचें तो भी समझ में आता है कि रस्सी को खंभे के दूसरी ओर नहीं ले जाया जा सकता. क्योंकि वह मूलबिंदु से होकर नहीं गुजर सकती. (यानी बिना कूदे रस्सी कूदना संभव नहीं है)

• ऐसी रस्सी-पार कराने की समस्या को गणितीय रूप से कैसे सिद्ध करें? : complex analysis की contour integration का उपयोग करके.

"homotopy invariance of contour integration प्रमेय के अनुसार, यदि एक holomorphic complex function f:U->C हो, तो लगातार रूपांतरण संबंध में मौजूद दो रस्सियों के entlang f का समाकलन करने पर परिणाम समान होगा; इसलिए समतल को complex plane के एक उपसमुच्चय के रूप में मानकर, function f को complex number z के लिए परिभाषित करते हुए..." -> अंततः निष्कर्ष निकलता है कि रस्सी को पार नहीं कराया जा सकता.

-> क्या इस तरह का गणितीय प्रमाण "आसान बात को ज़बरदस्ती घुमा-फिराकर कठोर दिखाने" जैसा नहीं है?

• अगर इस रस्सी-पार समस्या को असली पृथ्वी पर करके देखें तो क्या होगा? मैदान में एक खंभा गाड़कर, अगर रस्सी को खंभे की दूसरी ओर खींचें तो?

• रस्सी पृथ्वी का एक चक्कर लगाकर खंभे की दूसरी ओर जा सकती है.

• पृथ्वी पर रस्सी को पार कराना संभव है, क्योंकि पृथ्वी समतल नहीं बल्कि गोलाकार गोला है.

• इस रस्सी वाले खेल का प्रमाण जटिल होने का कारण पूरे समतल के अंतर्निहित गुणों से जुड़ा है.

• "मूलबिंदु को पार नहीं किया जा सकता, इसलिए रस्सी को पार कराना असंभव है" इस दावे को भले ही गणितीय रूप में परिष्कृत कर लिया जाए, लेकिन यदि उस तर्क के किसी हिस्से में समतल के विशिष्ट topological गुणों (जो समतल और गोले में भेद कर सकें) का ठीक से उपयोग नहीं हुआ, तो वह तर्क गणितीय बाधा से बच निकलने जैसा हो जाता है, और तर्क में छलांग आ जाती है.

[roxie]

माफ़ कीजिए, यह सवाल मुख्य विषय से अलग है, लेकिन Hongcha Net कैसी साइट है? यह कम्युनिटी मैंने पहली बार देखी है, इसलिए जिज्ञासा है.

[gguimoon]

कम्युनिटी का माहौल समझना हो तो मैं पहले सिफारिश बोर्ड और AMA बोर्ड देखने की सलाह दूँगा। टाइमलाइन बोर्ड में सदस्यों द्वारा साझा की जाने वाली छोटी पोस्ट, फ़ोटो और वीडियो देखने का अलग ही मज़ा है। मैं 2016 से यहाँ आ रहा हूँ, और दूसरी कम्युनिटियों की तुलना में यह कम शोर-शराबे वाली, और जहाँ संचालक की आत्म-नियमन क्षमता अब भी असरदार है, ऐसी एक 'व्यक्तिगत साइट' है।

[budlebee]

मैंने भी वेब सर्फिंग करते हुए इस कम्युनिटी को पाया था, इसलिए विस्तार से नहीं जानता... लेकिन खोजने पर Namuwiki में लिखा है कि यह pgr21 के ऑपरेटरों द्वारा बनाई गई साइट है।

[xguru]

मुझे यह iPhone Volrago ऐप में होने की वजह से पता चला, और वहाँ तरह-तरह की पोस्टें आती हैं, इसलिए मैं कभी-कभी जाकर देख लेता हूँ