तर्क
तर्क क्या है
- तर्क संभाव्य चीज़ों का विज्ञान है और अन्य सभी विज्ञानों की नींव है।
- यदि विज्ञान यह समझाता है कि ब्रह्मांड कैसे काम करता है, तो तर्क उस व्याख्या का वह हिस्सा है जो किसी भी ब्रह्मांड पर लागू हो सकता है।
- तर्क उन नियमों का अध्ययन करता है जिनसे एक तथ्य को जानकर यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि कोई दूसरा तथ्य सत्य है।
तर्क और गणित
- तर्क समुच्चय सिद्धांत और श्रेणी सिद्धांत के समान है, और गणितीय सिद्धांत तर्क में अतिरिक्त परिभाषाएँ जोड़कर बनते हैं।
- समुच्चय सिद्धांत को तर्क के मानक स्वयंसिद्धों में एक मूलभूत संबंध जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।
मूल प्रतिज्ञप्तियाँ
- चूँकि तर्क संभाव्य चीज़ों का विज्ञान है, इसलिए आरंभिक प्रतिज्ञप्तियों के एक ऐसे समुच्चय की आवश्यकता होती है जिन्हें सत्य या असत्य के रूप में स्वीकार किया जाता है।
- इन प्रतिज्ञप्तियों को "आधार", "मूल प्रतिज्ञप्ति" या "परमाणु प्रतिज्ञप्ति" कहा जाता है।
प्रतिज्ञप्तियों की संरचना
- तर्क का केंद्र संरचना की अवधारणा है, और कई प्रतिज्ञप्तियों को logical operators का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है।
- logical operators में "और", "या", "अतः" आदि शामिल हैं।
मूल प्रतिज्ञप्ति और संयुक्त प्रतिज्ञप्ति की समतुल्यता
- कई आधारों से बनी प्रतिज्ञप्ति मूल प्रतिज्ञप्ति से अलग नहीं होती और उसी तरह संरचित होती है।
मोडस पोनेन्स
- मोडस पोनेन्स तर्क के सबसे पुराने नियमों में से एक है, जो दर्शाता है कि यदि A सत्य है और A से B निष्पन्न होता है, तो B भी सत्य है।
स्वयं-स्पष्ट सत्य
- स्वयं-स्पष्ट सत्य वे प्रतिज्ञप्तियाँ हैं जो हमेशा सत्य होती हैं, और उनका विपरीत हमेशा असत्य होने वाला विरोधाभास है।
- स्वयं-स्पष्ट सत्य का उपयोग स्वयंसिद्ध स्कीमा/अनुमिति नियमों की नींव के रूप में किया जाता है।
तर्क तंत्र
- स्वयंसिद्ध स्कीमा/अनुमिति नियमों का उपयोग करके नई प्रतिज्ञप्तियाँ उत्पन्न की जा सकती हैं।
- तर्क तंत्र ऐसे स्कीमा/नियमों के एक छोटे संग्रह से बना होता है।
निष्कर्ष
- तर्क के मुख्य घटकों (स्वयंसिद्ध, अनुमिति नियम) को समझने के लिए उन्हें किसी विशिष्ट व्याख्या के माध्यम से सिद्ध करना आवश्यक है।
शास्त्रीय तर्क: truth-functional व्याख्या
- शास्त्रीय तर्क प्लेटो के रूपों के सिद्धांत पर आधारित है, और हर प्रतिज्ञप्ति या तो सत्य होती है या असत्य।
- logical operators को ऐसे functions के रूप में व्यक्त किया जाता है जो Boolean values को input लेकर दूसरी Boolean values लौटाते हैं।
अंतःप्रज्ञावादी तर्क: BHK व्याख्या
- अंतःप्रज्ञावादी तर्क को प्रमाण के निर्माण के रूप में देखा जाता है, और यह इस द्विभाजन को अस्वीकार करता है कि हर प्रतिज्ञप्ति या तो सत्य है या असत्य।
- BHK व्याख्या में किसी प्रतिज्ञप्ति का सत्य होना यह दर्शाता है कि उसके लिए कोई प्रमाण मौजूद है।
तर्क की श्रेणी के रूप में व्याख्या
- BHK व्याख्या एक उच्च-स्तरीय दृष्टिकोण प्रदान करती है जिसके आधार पर तर्क की व्याख्या श्रेणी सिद्धांत के माध्यम से की जा सकती है।
- Curry-Howard समरूपता तर्क और programming languages के बीच समानता को समझाती है।
GN⁺ का सार
- तर्क गणित और विज्ञान का एक मूलभूत हिस्सा है और विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
- शास्त्रीय तर्क और अंतःप्रज्ञावादी तर्क की दार्शनिक पृष्ठभूमियाँ अलग हैं, और उनकी व्याख्या के अनुसार अलग परिणाम उत्पन्न हो सकते हैं।
- तर्क तंत्र स्वयंसिद्धों और अनुमिति नियमों के माध्यम से नई प्रतिज्ञप्तियाँ उत्पन्न करने का एक शक्तिशाली उपकरण है।
- तर्क की व्याख्या को श्रेणी सिद्धांत से जोड़ा जा सकता है, जो programming languages के साथ उसकी समानता के कारण और भी रोचक बन जाता है।
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