नई गणित रचने की भौतिकी की क्षमता

• गणित लंबे समय से भौतिकी की भाषा के रूप में इस्तेमाल होता आया है, लेकिन अब भौतिकी की intuition भी गणित की कठिन समस्याओं और नई structures को खोलने के स्रोत के रूप में काम कर रही है
• भौतिक विज्ञानी कठोर proof की तुलना में तेज़ exploration से कम बंधे होते हैं, इसलिए वे ऐसे नए concepts और connections पहले खोज सकते हैं जिन्हें गणितज्ञ बाद में verify करते हैं
• string theory ने Calabi-Yau manifolds, K3 surface और M-theory के ज़रिए algebraic geometry, differential topology, group theory और topology के बीच अप्रत्याशित संबंध बनाए हैं
• छोड़ी जा चुकी भौतिकी theories भी गणित में लंबे समय तक बनी रह सकती हैं; Lord Kelvin की vortex theory गायब हो गई, लेकिन उसका गणित knot theory के विकास और DNA जैसे उलझे molecules को समझने तक पहुँचा
• Langlands program, Riemann hypothesis और Birch and Swinnerton-Dyer conjecture जैसी बड़ी समस्याओं में, भौतिकी और गणित की सीमाएँ जितनी कम होंगी, नए breakthroughs की संभावना उतनी बढ़ेगी

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गणित के भौतिकी की मदद करने वाले प्रवाह का उलट जाना

• Albert Einstein ने 1915 में general relativity में इस बात को गणित की “सच्ची जीत” माना कि आधी सदी से भी अधिक पहले का pure math space-time structure को ठीक-ठीक समझाता है
• गणित मूल रूप से surveying, calculation और physical world को समझने के लिए बनाया गया था, और Mesopotamia के Sumerians ने वस्तुओं और संपत्ति की गिनती के लिए multiplication tables वाली clay tablets छोड़ीं
• बाद में सरकार और commerce की मदद करने वाला tool रहा गणित अत्यधिक abstract क्षेत्रों तक फैल गया, और भौतिकी की बड़ी breakthroughs को लगातार सहारा देता रहा
• हाल के समय में दिशा उलट गई है, और भौतिकी के नियम और patterns गणित के लंबे समय से अटके क्षेत्रों को आगे बढ़ा रहे हैं

भौतिक विज्ञानी गणितीय भूभाग को कैसे देखते हैं

• Timothy Gowers मानते हैं कि भौतिक विज्ञानी गणितज्ञों की तुलना में कठोर proof से कम बंधे होते हैं, इसलिए वे mathematical landscape को अधिक तेज़ी से explore कर सकते हैं
• अगर गणितज्ञ किसी छोटे क्षेत्र को गहराई से नापते हैं, तो भौतिक विज्ञानी बड़े unexplored क्षेत्र को तेज़ी से scan करते हुए शक्तिशाली concepts या relationships पहले खोज सकते हैं
• इसके बाद गणितज्ञ उस खोज पर लौटकर उसे prove या disprove करने की कोशिश करते हैं
• यह प्रवाह लंबे समय से दोहराया जाता रहा है
  • Archimedes ने लिखा था कि mechanics के नियमों ने महत्वपूर्ण mathematical discoveries को जन्म दिया
  • Isaac Newton और Gottfried Wilhelm Leibniz ने गिरती वस्तुओं की गति को समझने की कोशिश में calculus विकसित किया

20वीं सदी के मध्य की दूरी और Michael Atiyah का जोड़ना

• 20वीं सदी के मध्य में भौतिकी से नया गणित निकलने का प्रवाह लगभग सूख गया था, और गणितज्ञों व भौतिक विज्ञानियों, दोनों ने एक-दूसरे के क्षेत्रों में ज़्यादा रुचि नहीं ली
• गणित में Bourbaki group ने गणित को जितना संभव हो उतना precise बनाने और कई क्षेत्रों को शुरुआत से फिर से निर्मित करने की कोशिश की
• भौतिकी में Standard Model जैसे ideas विकसित हुए, लेकिन कई भौतिक विज्ञानियों के लिए गणित एक सुविधाजनक tool था और Bourbaki-style rigorous mathematical view में रुचि कम थी
• Michael Atiyah ने 1970 के दशक के मध्य से theoretical physics को नए ideas का सबसे promising स्रोत माना और दोनों क्षेत्रों की interaction को बढ़ावा दिया
  • भौतिक विज्ञानियों द्वारा उठाई गई mathematical problems पर काम किया
  • physical ideas से pure math results prove किए
  • भौतिक विज्ञानियों को आधुनिक गणित के वे महत्वपूर्ण हिस्से समझाए जिनसे वे परिचित नहीं थे

string theory द्वारा बनाए गए mathematical connections

• Edward Witten 1977 में Atiyah से मिलने के बाद लंबे समय के collaborator बने और बाद में string theory के pioneer बने
• string theory यह idea है कि universe के basic building blocks Standard Model के particles नहीं, बल्कि छोटी 1-dimensional vibrating strings हैं
• भौतिकी में यह अभी “theory of everything” नहीं बन पाई है, लेकिन algebraic geometry और differential topology जैसे abstract math क्षेत्रों पर इसका बड़ा प्रभाव पड़ा है
• Witten और अन्य string theorists ने ऐसे precise conjectures बनाए जिन्हें गणितज्ञों ने बाद में prove किया

• Calabi-Yau manifolds और enumerative geometry

  • 1991 में Philip Candelas, Xenia de la Ossa और उनके सहयोगियों ने string theory को enumerative geometry की एक पुरानी problem पर लागू किया
  • enumerative geometry गणित की वह शाखा है जो geometric problems के solutions की संख्या गिनती है
  • यह ऐसे सवालों से जुड़ी है जैसे plane पर दो points से गुजरने वाली line एक होती है, और दिए गए तीन circles को touch करने वाले circles आठ होते हैं
  • उन्होंने string theory tools से Calabi-Yau manifold के भीतर कुछ खास curves की संख्या गिनने की problem पर काम किया
  • परिणाम ने उन symplectic geometry और complex geometry को जोड़ा जिनका गणितज्ञ दशकों से अलग-अलग अध्ययन कर रहे थे
  • जब दो असंबंधित माने गए क्षेत्र जुड़ते हैं, तो एक तरफ़ के tools से दूसरी तरफ़ की problems हल की जा सकती हैं, इसलिए गणित में इसे गहरा result माना जाता है

• M-theory और duality

  • Witten ने 1995 में प्रस्ताव रखा कि 10 dimensions मांगने वाली पाँच string theories दरअसल एक 11-dimensional concept, M-theory, के अलग-अलग पहलू हैं
  • M-theory अभी proven नहीं है, लेकिन अलग-अलग theories के बीच correspondence को track करने की प्रक्रिया से आश्चर्यजनक mathematical discoveries निकली हैं
  • Yang-Hui He मानते हैं कि string theory अभूतपूर्व तरीके से गणितज्ञों को नई structures देती है

K3 surface और अप्रत्याशित mathematical structure

• Yang-Hui He और Federico Carta ने सबसे सरल Calabi-Yau manifold, K3 surface, का अध्ययन करते हुए एक नया संबंध खोजा
• यह संबंध topology में shapes को classify करने के लिए इस्तेमाल होने वाले homotopy groups और symmetry group Matthieu 24 के बीच है
• pure math के अलग-अलग क्षेत्रों, यानी topology और group theory, के बीच भी अप्रत्याशित connection सामने आया
• He मानते हैं कि गणितज्ञों के अध्ययन के लिए patterns और structures अनगिनत हैं, लेकिन वास्तविकता से निकलने वाली चीज़ें किसी स्तर पर intuition रखने योग्य objects होती हैं
• Nigel Hitchin भी मानते हैं कि mathematical research vacuum में काम नहीं करती, और नए ideas को किसी sense of reality या किसी व्यक्ति के sense of reality के आसपास condense होना पड़ता है

जब “खराब” भौतिकी अच्छा गणित पैदा करती है

• भौतिकी गणित को अधिक मजबूत motivation और exploration focus दे सकती है
• अगर यह intuition और plausible endpoint हो कि real world को कैसे काम करना चाहिए, तो गणितज्ञ problem में ज़्यादा तेज़ी से आगे बढ़ सकते हैं
• इस framework में छोड़ी जा चुकी physical theories भी अच्छा गणित बना सकती हैं
• William Thomson, यानी Lord Kelvin, की vortex theory atoms को जटिल रूप से बंधे rotating rings के रूप में देखती थी और हर knot को एक chemical element से जोड़ती थी
• electron की खोज के बाद यह theory छोड़ दी गई, लेकिन उसका गणित knot theory के विकास तक पहुँचा
  • knot theory pure math का एक समृद्ध research field बन गई
  • fluid dynamics और DNA जैसे tangled molecules को समझने में भी इसके अप्रत्याशित applications हैं

मानव मस्तिष्क, physical world और mathematical beauty

• Atiyah ने भौतिकी और गणित के संबंध को मानव मस्तिष्क के evolution से जोड़ा
• मनुष्य लंबे evolution का परिणाम हैं, और शक्तिशाली मस्तिष्क physical world में survival और success के लिए लाभकारी था
• इससे यह व्याख्या निकलती है कि मानव मस्तिष्क physical problem-solving के लिए evolved हुआ, और इसके लिए उसे उपयुक्त प्रकार का गणित विकसित करना पड़ा
• Atiyah की सह-भागीदारी वाले 2014 के brain-imaging study ने निष्कर्ष निकाला कि mathematical beauty का अनुभव मस्तिष्क के उन्हीं क्षेत्रों को stimulate करता है जिन्हें सुंदर music, art और poetry stimulate करते हैं
• reality के अध्ययन से निकलने वाला गणित वह प्रकार का गणित हो सकता है जिसे मानव मस्तिष्क पसंद करता है

क्या भौतिक नियम भी mathematical theorems की तरह अनिवार्य हैं

• Daniele Molinini ने 2023 के paper में Eugene Wigner के 1960 essay “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” के जवाब में “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics” पर चर्चा की
• उनका जवाब है कि कुछ physical laws mathematical theorems की तरह irrefutable हो सकते हैं
• आम तौर पर philosophers mathematical truths को necessary truths मानते हैं, जो सभी possible worlds में true होनी चाहिए, और प्रकृति के बारे में empirical facts को contingent truths मानते हैं, जो अलग हो सकती हैं
• Molinini मानते हैं कि conservation principles necessary physical laws के उम्मीदवार हो सकते हैं
  • भौतिकी में किसी system की कुछ properties, जैसे energy या momentum, नहीं बदलतीं
  • ढलान से नीचे जाता cyclist gravitational potential energy को kinetic energy में बदलता है, लेकिन व्यक्ति और bicycle की total energy वही रहती है
• अगर conservation necessary है, तो यह समझा सकता है कि Archimedes ने mechanical considerations के माध्यम से geometric proof की truth का सफलतापूर्वक अनुमान कैसे लगाया

universe के mathematical होने वाले दृष्टिकोण की सीमाएँ

• Galileo ने 17वीं सदी की शुरुआत में जिस विचार को व्यक्त किया और कई गणितज्ञों ने जिसका समर्थन किया, वह यह है कि universe mathematics की language में लिखा है
• इस विचार की ancient origins Pythagoras और उनके followers तक जाती हैं
• Max Tegmark की mathematical universe hypothesis और भी extreme है
  • universe केवल mathematics से describe नहीं होता, बल्कि mathematics से बना है
  • हमारा universe अनंत parallel universes में से एक है, और सभी mathematical possibilities कहीं न कहीं realized हैं
• Mark Colyvan मानते हैं कि empirical science और mathematics के बीच intimate connection है, और इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि world स्वयं किसी तरीके से mathematical है
• हालांकि known physics का mathematics पूरे mathematics का बेहद छोटा हिस्सा है, इसलिए सिर्फ यह दृष्टिकोण यह पूरी तरह नहीं समझा पाता कि physics से निकला mathematics असाधारण रूप से इतना rich क्यों है

mapping से समझाना मुश्किल reverse direction

• Molinini mathematics की applicability को समझाने के लोकप्रिय philosophical तरीके mapping को चुनौती देते हैं
• mapping वह तरीका है जिसमें mass या distance जैसे physical concepts को Newton के law of gravitation equations जैसे mathematical objects से correspond कराया जाता है, और calculation results को फिर physical properties से correspond कराया जाता है
• अगर इस प्रक्रिया को उलटकर यह समझाने की कोशिश की जाए कि physics से mathematics कैसे निकलता है, तो mapping ठीक से काम नहीं करती
• philosophers अब तक इस बात पर केंद्रित रहे हैं कि mathematics empirical science पर क्यों लागू हो सकता है, लेकिन अब यह भी महत्वपूर्ण सवाल है कि physics mathematics में क्यों प्रभावी है

और करीब आएंगी भौतिकी और गणित

• Yang-Hui He मानते हैं कि modern physics गणितज्ञों को कई नए tools और अप्रत्याशित clues देती है, और pure math की बड़ी problems हल करने के लिए दोनों क्षेत्रों को और निकट सहयोग करना चाहिए
• Langlands program ऐसा ही एक क्षेत्र है
  • Robert Langlands ने 1960 के दशक में इसकी कल्पना की थी और इसे “mathematics की grand unified theory” कहा जाता है
  • इसकी एक शाखा, geometric Langlands, हाल में 5 papers और 800 pages के proof से solved बताई जाती है
  • उस proof के core का एक हिस्सा string theory की नींव में से एक conformal field theory से आई insights पर निर्भर करता है
• गणितज्ञ Riemann hypothesis और Birch and Swinnerton-Dyer conjecture में भी प्रगति की कोशिशों में पहले से physics का इस्तेमाल कर रहे हैं
• He मानते हैं कि दोनों क्षेत्रों का alliance ऐसी विशाल problems को खोलने में key हो सकता है
• भौतिकी और गणित फिर से Newton और Gauss के समय की तरह एक-दूसरे के करीब आ रहे हैं, और कुछ अधिक exotic और sophisticated mathematical tools शायद अभी invent भी नहीं हुए हैं

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Hacker News की राय

• एक physicist रात में घर जाते समय streetlight के नीचे जमीन देख रहे अपने mathematician सहकर्मी को देखता है और पूछता है, “क्या हुआ?” mathematician जवाब देता है, “चाबी गिर गई।” physicist मदद करने के लिए पूछता है, “कहाँ के आसपास?” तो mathematician दूसरी तरफ इशारा करके कहता है, “वहाँ।” physicist कहता है, “तो वहाँ क्यों नहीं ढूँढ रहे?” mathematician जवाब देता है, “क्योंकि यहाँ ज्यादा रोशनी है।”
  खुलकर कहूँ तो, मैं mathematician हूँ

  • एक और mathematician joke: interviewer पूछता है, “आप office में हैं, corridor में आग लग गई है, खिड़की के बाहर emergency staircase है लेकिन खिड़की stuck है इसलिए आप पहुँच नहीं सकते। मेज पर हथौड़ा है। आप क्या करेंगे?” physicist जवाब देता है, “हथौड़े से खिड़की तोड़कर emergency staircase से निकल जाऊँगा।”
    interviewer पूछता है, “इस बार वही स्थिति है, लेकिन हथौड़ा फर्श पर है। आप क्या करेंगे?” mathematician जवाब देता है, “हथौड़े को फर्श से मेज पर रख दूँगा और इसे पहले से हल की गई समस्या में reduce कर दूँगा।”
  • Physics department जब महंगा नया research equipment खरीदना चाहता है, तो chancellor खर्च पर नाराज़ होकर कहता है, “आप mathematicians जैसे क्यों नहीं हो सकते? उन्हें बस कागज, pencil और eraser चाहिए। Philosophers जैसे भी हो सकते हैं—सिर्फ कागज और pencil से काम चल जाता है।”
    इस लेख से जुड़ा joke यह है कि mathematician तीन बांहों वाले व्यक्ति के लिए coat की topology design करने में समय लगाता है, और physicist ऐसे व्यक्ति को ढूँढ निकालता है।
    मेरा पसंदीदा joke यह है कि mathematician का बेटा पहली बार school गया, तो teacher ने पूछा, “कौन जानता है 1+2 कितना होता है?” बच्चा खड़ा होकर बोला, “कितना होता है, यह तो नहीं जानता, लेकिन natural numbers के monoid में addition commutative law को satisfy करता है, इसलिए यह 2+1 के बराबर है।”
  • Software developer को लगेगा कि सबसे पहले यह पता लगाना ज्यादा जरूरी है कि चाबी गिरी कैसे। और यह पता चलने के बाद नई key generate कर लेना ही ज्यादा efficient है।
    खुलकर कहूँ तो, मैं software developer हूँ
  • दरअसल यह मूल रूप से mathematician के बारे में नहीं, बल्कि Mulla Nasruddin के बारे में सुनाया जाने वाला बहुत पुराना Persian joke का variant है[1]
    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
  • physicist: “लेकिन इससे तुम जवाब के जरा भी करीब नहीं पहुँचते।” mathematician: “अभी नहीं, लेकिन अगर हम यहाँ काफी देर इंतजार करें, तो कोई गुजरते हुए चाबी गिराएगा, और जब वह चाबी मिल जाएगी, तो यह prove हो जाएगा कि lighting conditions optimal होने पर खोई हुई चाबी खोजी जा सकती है।”
    physicist चाबी गिरा देता है। mathematician: “Eureka!”

• Hitchin की यह बात कि “mathematical research vacuum में काम नहीं करती” मुद्दे के काफी करीब लगती है। सिर्फ physics ही interesting mathematics को drive नहीं करती, और यह रिश्ता हाल का भी नहीं है।
  मेरे विनम्र विचार में mathematics ultimate domain-specific language है। यह किसी चीज को model करने का tool है, और अक्सर वह model बाद में अपने आप में भी interesting हो जाता है।
  जब आप नए objects, जैसे reality के नए concepts, को model करने की कोशिश करते हैं, तो नए तरीकों से interesting models बनते हैं या existing models को नए context में रखा जाता है, और इसलिए reorganization, condensation और generalization की जरूरत पड़ती है; इसी से field आगे बढ़ती है।

  • G.H. Hardy शायद इससे असहमत होते।
    https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
  • mathematics का इतिहास पढ़ें तो यह explanation बहुत टिकती नहीं। काफी mathematics बस किसी के numbers के साथ तरह-तरह से experiment करने से बनी, और सैकड़ों साल बाद जाकर physical sciences में उसका उपयोग मिला।
  • मोटे तौर पर सहमत हूँ। mathematics एक अत्यंत technical और rigorous language जैसी है, लेकिन दूसरी languages की तरह इससे आप अपनी इच्छा का object describe कर सकते हैं।
    यह सोचना आसान है कि mathematics underlying terrain को ही describe करती है, लेकिन असल में यह उस terrain के बारे में हमारे साझा model पर काम करती है। इसलिए जब हम दूसरी चीजों पर विचार करते हैं, mathematics भी उसके पीछे चलती है।

• University के दिनों में एक physics lecturer ने चलते-चलते कहा था कि physics और mathematics का विभाजन 20वीं सदी का idea है। 19वीं सदी या उससे पहले ऐसा division नहीं था, और 21वीं सदी में लगता है यह फिर गायब हो रहा है।

  • “19वीं सदी में ऐसा division नहीं था” का मतलब यह है कि उस समय लोग पूरी तरह physics पर focused थे, और mathematics कभी-कभी useful tool थी। Physics करना ही असली लक्ष्य था, और observation truth का final judge था।
    आजकल यह division धुंधला हो रहा है तो बिलकुल उलटे कारण से। लोग सोचते हैं कि solid mathematics से conceived कोई भी चीज true होनी चाहिए, और observation पीछे की सीट पर चला गया है।
  • समझ नहीं आया कि इसका मतलब क्या है। Physics आखिरकार empirical science है। कौन-सी theory दुनिया को सबसे अच्छी तरह explain करती है, यह experiment तय करता है।
    mathematics पर ऐसी कोई requirement नहीं है और उसे natural phenomena को model करना भी जरूरी नहीं। वह physics lecturer Platonist जैसा लगता है।
  • Physics, जैसा field हम आज जानते हैं, 17वीं सदी से पहले लगभग मौजूद ही नहीं था। bodies की motion, astronomy, fluid mechanics, electromagnetism, optics आदि या तो अलग-अलग मौजूद थे या थे ही नहीं।
    1600s के उत्तरार्ध में calculus के fundamental development ने इन topics को एक ही research और analysis method के तहत जोड़ना संभव बनाया, और उसे ही हम आज physics कहते हैं।
    modern mathematics का बड़ा हिस्सा भी calculus की genealogy से आता है, इसलिए modeled object और modeling tools के बीच की boundary स्वाभाविक रूप से धुंधली है, लेकिन इस पूरे period में distinction काफी मजबूत रूप से मौजूद था। उदाहरण के लिए probability या algebra को देखें, तो researchers अक्सर physics और mathematics दोनों pursue करते थे, लेकिन जानते थे कि ये दो topics अलग हैं।
  • यह असल में 20वीं सदी का नहीं बल्कि 19वीं सदी का idea है। 19वीं सदी में non-Euclidean geometry के discover या accept होने के साथ mathematics physics से, या physics mathematics से, मुक्त हो गई।
    21वीं सदी में यह division गायब नहीं हो सकता। क्योंकि mathematics अब physical world से बंधी नहीं है। Mathematics axioms और theorems से theorems generate करने का काम है, चाहे वे physical world पर लागू हों या नहीं।
    Physics में इस्तेमाल होने वाली mathematics, possible mathematics के पूरे set का बहुत छोटा हिस्सा भर है।
  • “Mathematics physics का हिस्सा है। Physics experimental science है और natural science का हिस्सा है। Mathematics physics का वह हिस्सा है जिसमें experiments सस्ते होते हैं।”
    — V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)

• Users से एक शब्द भी बात किए बिना innovative software product बनाकर देखिए, समझ आ जाएगा कि physics नई mathematics बनाने में अच्छी क्यों है।

  • क्या आप किसी mathematical theory की value applications की संख्या से आंकते हैं, या theory की अपनी intrinsic beauty से?

• भौतिकी machine learning के लिए भी बेहतरीन है, लेकिन उसका approach काफ़ी counterintuitive हो सकता है। उदाहरण के लिए, trees/graphs में latent variables को model करने वाली message passing और belief propagation आम तौर पर खिड़की/बरसात के मौसम की marginal probability वाली analogy से पढ़ाई जाती हैं, और Bayes/statistics equations को marginalization chain rule के जरिए subcomponents में तोड़ा जाता है
  इसके उलट, भौतिक विज्ञानी इसे Ising model और magnetic spins से पढ़ाने की ओर झुकते हैं, जो बिल्कुल अलग analogy है
  नए generative machine learning models भी differential equations या Boltzmann distribution-आधारित approaches का बहुत उपयोग करते हैं, और state-space models या energy-based models की तरह statistical formulations लगभग पूरी तरह statistical physics/statistical mechanics से उधार लेकर neural networks और automatic differentiation systems में लगा दी जाती हैं
  शायद सबसे अच्छा उदाहरण nuclear-related researchers द्वारा बनाया गया Metropolis-Hastings algorithm है
  https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...

  • एक ऐसा उदाहरण जिससे कई लोग परिचित होंगे, आज कई AI image generators में इस्तेमाल होने वाला Stable Diffusion है। Random noise से image तक जाने की प्रक्रिया और gas particles के random distribution से particles के concentrated volume तक जाने की प्रक्रिया के बीच एक analogy है
    https://arxiv.org/abs/1503.03585
  • एक और उदाहरण Ising model पर आधारित Nakano-Amari-Hopfield model है। Hopfield खुद भी physics में trained थे
  • Modern machine learning में ऐसी techniques का इस्तेमाल कहाँ होता है? मेरी समझ के मुताबिक energy-based models काफ़ी rare हैं

• मेरे physics professors में से एक ने कहा था, “गणित उद्देश्यहीन भौतिकी है”
  वे कभी काफ़ी सफल physicist रहे थे, इसलिए शायद मैं biased हूँ

• मैं physics या mathematics genius नहीं हूँ, लेकिन मुझे लगता है कि दोनों का रिश्ता virtuous cycle जैसा ज़्यादा है
  मुझे लगता है मैंने पढ़ा था कि 20वीं सदी physics और mathematics के मेल की वजह से revolutionary थी। Quaternions relativity के लिए अहम हैं, और discrete mathematics quantum mechanics और Standard Model में जगह-जगह बिछी हुई है। U(1) electromagnetic force को, SU(2) weak force को, और SU(3) strong nuclear force को explain करता है। खासकर weak force को mediate करने वाले तीन bosons का mass सीधे Higgs mechanism की theorization तक ले गया, और आखिरकार experimentally भी confirm हुआ
  20वीं सदी की बड़ी उपलब्धियों में से एक यह थी कि सभी finite groups को provable तरीके से खोज लिया गया, और ऐसे groups physics में लगातार सामने आते रहते हैं
  लेख कहता है कि string theory नई mathematics तक ले गई, और यह वाकई दिलचस्प है। “curled-up dimensions” के लिए experimental evidence न होने की वजह से मैं string theory को लेकर skeptical हूँ और वह patchwork जैसी लगती है, लेकिन यह भी दिलचस्प है कि अगर string theory को सही मानें तो physics और mathematics दोनों में उपयोगी results निकले

• क्या पता है कि क्या physics दूसरे fields की तुलना में नई mathematics बेहतर बनाती है? उदाहरण के लिए, computers ने भी बहुत नई mathematics बनाई है, और statistics तो medicine, social sciences और business के external pressure से पूरी तरह आगे बढ़ी
  finance और economics ने भी modeling और probability के आसपास बहुत mathematics बनाई, और ऐसे कई और उदाहरण भी हैं

• Arithmetic खुद physical conservation का परिणाम है। अगर आपके पास 4 acorns का एक bundle और 3 acorns का एक bundle है, और आप उन्हें बिना एक भी गिराए मिलाते हैं, तो आपके पास 7 acorns का bundle होना चाहिए
  Space और causality की हमारी गहरी physical understanding के कारण simple arithmetic ज़्यादातर, शायद सभी vertebrates को intuitively true लगती है
  अगर किसी squirrel को मिलाने के बाद सिर्फ 6 acorns मिले, तो quantitative difference के लिए causal explanation होना चाहिए। किसी और squirrel ने पुराने pile से एक चुरा लिया होगा, या वह किसी hole में गिर गया होगा

• “beer brewing नई statistics बनाने में बेतुकी हद तक अच्छा है” भी चाहिए