6174: Kaprekar's Constant के रूप में ज्ञात एक प्राकृतिक संख्या

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3 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-01-17 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • 6174 6173 और 6175 के बीच की एक प्राकृतिक संख्या है, और गणितीय रूप से Kaprekar's Constant के रूप में वर्गीकृत की जाती है
  • इसका अभाज्य गुणनखंडन 2 × 3² × 7³ है, और यह एक 7-smooth number है जिसमें सभी अभाज्य गुणनखंड 7 या उससे कम हैं
  • 6174 को 18³ + 18² + 18¹ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसके अंकों का योग भी 18 है
  • इसके अभाज्य गुणनखंडों को पुनरावृत्ति सहित वर्ग करके जोड़ने पर 169 = 13² मिलता है, जो फिर से एक पूर्ण वर्ग है
  • Numberphile वीडियो और Perl, Python, C उदाहरण कोड लिंक किए गए हैं, जिनसे Kaprekar's Constant की गणना के उदाहरण देखे जा सकते हैं

6174 की मूल परिभाषा

  • 6174 6173 के बाद और 6175 से पहले आने वाली एक प्राकृतिक संख्या है
  • इसका cardinal रूप “six thousand one hundred seventy-four” है, और ordinal रूप 6174th है
  • इसका अभाज्य गुणनखंडन 2 × 3² × 7³ है
  • इसके भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174

विभिन्न संख्या प्रणालियों में अभिव्यक्ति

  • द्विआधारी: 1100000011110₂
  • त्रिआधारी: 22110200₃
  • षट्-आधारी: 44330₆
  • अष्टाधारी: 14036₈
  • द्वादशाधारी: 36A6₁₂
  • षोडशाधारी: 181E₁₆
  • यूनानी अंकों में इसका निरूपण ,ϚΡΟΔ´ है, और रोमन अंकों में V MCLXXIV या VI CLXXIV है

गणितीय गुण

  • 6174 Kaprekar's Constant है
  • यह एक 7-smooth number है, यानी इसके अभाज्य गुणनखंडों में 7 से बड़ा कोई संख्या नहीं है
  • 18 की शुरुआती तीन घातों के योग से 6174 बनाया जा सकता है
    • 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
    • 6 + 1 + 7 + 4 = 18, इसलिए इसके अंकों का योग भी 18 है
  • इसके अभाज्य गुणनखंडों के वर्गों का योग एक पूर्ण वर्ग बनता है
    • 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-01-17
Hacker News की राय

  • यह डबल-एंट्री खाताबही में गलती खोजने के लिए इस्तेमाल होने वाली एक standard manual accounting trick से साफ़ तौर पर जुड़ा लगता है। पहले यह जांचते हैं कि गलती की रकम 9 से विभाज्य है या नहीं; अगर है, तो माना जाता है कि कहीं दो या अधिक अंकों की अदला-बदली हुई है
    वजह इस तरह साबित की जा सकती है: किसी भी अंक x, y के लिए सही मान 10x + y है, और उलटा हुआ मान x + 10y है। अंतर (10x - x) + (y - 10y) है, जो 9x - 9y तक घटता है, और आखिर में 9(x - y) के रूप में factor हो जाता है

    • सही। इसमें दो तत्व हैं, और लगता है यह पहला है। बाईं और दाईं ओर का हर अंकों का योग 18 पर converge करता है
      समीकरण a - rev_a = b के दोनों पक्षों के अंकों के योग बार-बार करने पर एक-दूसरे के करीब आते जाते हैं। कभी-कभी वे समान दूरी पर बने रहते हैं, लेकिन और दूर नहीं जाते। और वह convergence केवल 18 पर होती है
      उदाहरण:
      5200 (योग 7) - 0025 = 5175 (योग 18, अंतर 11)
      7551 (योग 18) - 1557 = 5994 (योग 27, अंतर 9)
      9954 (योग 27) - 4599 = 5355 (योग 18, अंतर 9)
      5553 (योग 18) - 3555 = 1998 (योग 27, अंतर 9)
      9981 (योग 27) - 1899 = 8082 (योग 18, अंतर 9)
      8820 (योग 18) - 0288 = 8532 (योग 18, अंतर 0)
      8532 (योग 18) - 2358 = 6174 (योग 18, अंतर 0)
      7641 (योग 18) - 1467 = 6174 (योग 18, अंतर 0)
      यह पहला clue लगता है। दोनों ओर के अंक तभी बराबर हो सकते हैं जब दोनों 18 हों, और दोनों योग धीरे-धीरे करीब आते हैं और अंततः बराबर होने चाहिए; वह बिंदु 18 ही होना चाहिए। गहराई में जाएँ तो यह classic अंकों के योग mod 9 नियम का कोई variant लगता है
      इसके बाद, जब दोनों तरफ़ अंकों का योग 18 हो जाता है, तो वहाँ से 6174 पर converge होना चाहिए
      यानी पहले अंकों का योग हमेशा दोनों तरफ़ बराबर होने की ओर converge करता है, और यह convergence हमेशा तब होती है जब equation के दोनों पक्षों के अंकों का योग 18 हो। यह property classic mod 9 rule से साबित की जा सकती है, ऐसा लगता है, लेकिन थोड़ा काम लगेगा
      उसके बाद दूसरी property काम करती है: इस equation के दोनों पक्षों पर अंकों का योग 18 रखने वाली सभी चार-अंकीय संख्याएँ 6174 पर converge करती हैं। यह संख्याओं का और सीमित set है। ऊपर 18 तक convergence को अलग से देखा जा सकता है, इसलिए केवल उन संख्याओं पर विचार करना होगा जो a - a_rev = b रूप की हों और जिनमें a और b दोनों के अंकों का योग 18 हो
    • स्पष्ट है वाला wording बिल्कुल वैसा नहीं था। काफ़ी मेहनत से सोचना पड़ा
    • सही मान 10x + y क्यों है?

  • मुझे बिल्कुल नहीं पता कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, लेकिन हाल में HN पर देखी चीज़ों में यह सबसे cool है
    मैं math nerd से बहुत दूर हूँ और स्कूल में इससे जितना हो सके बचता था, लेकिन ऐसी चीज़ें सच में दिलचस्प और अजीब हैं। आखिर किसी ने यह कैसे और किस वजह से खोज निकाला होगा? इस संख्या की properties अपने-आप में काफ़ी रोचक हैं, लेकिन खोज की प्रक्रिया ही सचमुच विचित्र है

    • Lockhart का Lament पढ़कर देखें। हो सकता है आपको वास्तव में गणित पसंद हो, लेकिन स्कूल में गणित सिखाने का तरीका खराब रहा हो
    • इसी तरह, स्कूल के समय मैं Lychrel numbers में उलझ गया था। कोई संख्या x लें, उसके अंकों को उलटकर y बनाएं, फिर x और y को जोड़ें और दोहराएं
      अंततः यह प्रक्रिया ऐसी palindrome संख्या तक पहुँचती है जो अंकों को उलटने पर भी समान रहती है। लेकिन 196 जैसी संख्याएँ कभी palindrome बनाती हुई नहीं दिखतीं। यह सच है या palindrome इतना बड़ा है कि computer अभी तक उसे खोज नहीं पाए, यह कोई नहीं जानता

  • संबंधित लेख:
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=2625832 - जून 2011 (64 comments)
    6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=1625606 - अगस्त 2010 (1 comment)
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=480200 - फ़रवरी 2009 (41 comments)

  • भारतीय गणितज्ञ से जुड़ी एक और दिलचस्प चार-अंकीय संख्या 1729 है: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)

  • कमाल है। क्या इस तरह की property वाले किसी चार-अंकीय constant के मौजूद होने की वजह पर कोई informal intuition है? intuitively तो लगता है कि इस graph में कई cycles होने चाहिए

    • इसे कम आश्चर्यजनक बनाने वाली बात यह है कि बहुत-सी संख्याएँ एक ही result पर map होती हैं। उदाहरण के लिए, अंकों के एक ही समूह की सभी permutations ऐसा करती हैं
      जांचने पर पाया कि सभी चार-अंकीय संख्याओं पर यह प्रक्रिया लागू करने पर केवल 55 अलग-अलग results मिलते हैं, और 0000 को छोड़ दें तो 54। इसलिए बहुत सारे cycles बनने की जगह कम हो जाती है
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar%27s_routine देखें
      मोटे तौर पर देखने पर कुछ patterns हैं। उदाहरण के लिए जिन bases में दो-अंकीय Kaprekar number होता है, उनमें अंकों का योग base-1 बनता है। इसमें कोई number-theoretic explanation लगती है
    • लेख के पहले reference में solution है
      https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
    • graph छोटा है। ऐसे ही graphs में—जैसे 2 digits या 5 digits के लिए यह algorithm, या base 9 या base 11 में 3–4 digit संख्याओं के cases—कई cycles होते हैं: https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar's_routine#Kaprekar's_...
    • क्या यह दूसरी bases में भी काम करेगा? high-school calculus में भी fail होने वाले व्यक्ति के तौर पर, मैं कल्पना करता हूँ कि यह decimal system की उपज होगा

  • 10 साल से भी पहले San Francisco के Exploratorium में देखा एक बेलनाकार डिवाइस याद आ गया। शायद उससे भी पहले Scientific American के Mathematical Recreations या Computer Recreations कॉलम में भी इसका ज़िक्र हुआ था
    लगता है एक बड़ा क्षैतिज सिलिंडर था जिस पर संख्याएँ लिखी थीं, और शायद कोई रिंग या किसी तरह का cursor जैसा कुछ था। उसे घुमाने पर कोई गणितीय operation होता था, और इस 6174 की तरह शुरुआती स्थिति चाहे जो हो, कुछ बार दोहराने पर वह एक ही संख्या पर converge करता दिखता था
    काश याद आ जाए कि वह क्या था

    • समझ गया कि कौन-सा exhibit है। मेरी जानकारी में वह अब भी वहीं है। आख़िरी बार गए हुए करीब 1 साल हो गया
    • “शायद आप San Francisco Exploratorium की Kaprekar Machine की बात कर रहे हैं। यह चार अंकों की संख्याओं पर गणितीय operation के ज़रिए Kaprekar procedure और 6174 तक convergence दिखाने वाला interactive exhibit है।” (ChatGPT 3.5)

  • Kaprekar का मूल paper ढूँढने की कोशिश की, लेकिन असफल रहा। किसी के पास PDF है?

    • हाँ, मुझे भी नहीं मिल रहा
      थोड़ा अलग विषय है, लेकिन सोचता हूँ कि सिर्फ़ इतना दिलचस्प न माने जाने की वजह से कितनी research हवा में गायब हो गई होगी

  • 6174 केवल decimal में गिनने पर ही खास है। यह HackerNews है, तो सभी लोग hexadecimal इस्तेमाल करते होंगे। अफ़सोस, https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php के मुताबिक hexadecimal में कोई सरल Kaprekar constant नहीं है

  • 5 अंकों में यह 98532 है। मज़ेदार है

    • 5 अंकों में 6174 जैसी कोई संख्या नहीं है, सिर्फ़ cycles हैं। वह संख्या उनमें से एक का हिस्सा है:
      74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
      63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
      53955 -> 59994 -> repeat
      https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php

  • लेख में कहा गया है कि यह सभी संख्याओं पर काम करता है और केवल repdigit अपवाद हैं, लेकिन क्या यह सभी palindrome संख्याओं पर भी fail नहीं होगा?

    • यह प्रक्रिया केवल digits को उलटने की नहीं है। palindrome हो तो वैसा ही रहेगा, लेकिन पहले digits को sort किया जाता है और फिर उलटा जाता है, इसलिए palindrome भी बदलता है
    • 1221, 2211 बनता है, इसलिए अंतर 0 होने से बच जाता है