Lemniscate Constant(ϖ): π का डार्क ट्विन

 (mathstodon.xyz)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-12-25 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • ϖ(varpi) एक ऐसा constant है जो ∞ आकार की lemniscate और परिवर्तित त्रिकोणमितीय फलनों sl, cl से उसी तरह जुड़ा है जैसे π वृत्त और त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़ा होता है
  • lemniscate, Cassini oval का एक विशेष मामला है, जिसमें दो बिंदुओं तक की दूरी का गुणनफल स्थिर रहता है, और इसे ध्रुवीय निर्देशांकों में r² = cos2θ से व्यक्त किया जाता है
  • जैसे unit circle की परिधि 2π होती है, वैसे ही इस lemniscate की परिधि 2ϖ होती है, और ϖ ≈ 2.62205755... को 1 ट्रिलियन से अधिक अंकों तक गणना किया जा चुका है
  • sl और cl, sin और cos के अनुरूप lemniscatic elliptic functions हैं, और इनके लिए sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1 जैसी परिवर्तित identity मिलती है
  • ϖ का संबंध Gaussian elliptic curve और arithmetic-geometric mean से भी है, तथा AGM(1, √2) = π/ϖ वाला अनुपात Gauss constant कहलाता है

π से मिलता-जुलता constant ϖ

  • ϖ को π का “evil twin” कहा जा सकता है, क्योंकि इसके पास π जैसी कई विशेषताएँ और सूत्र हैं
  • जैसे π वृत्त और sin, cos से जुड़ा है, वैसे ही ϖ ∞ आकार की वक्र lemniscate और फलनों sl, cl से जुड़ा है
  • ϖ को lemniscate constant कहा जाता है
  • Unicode का ϖ चिह्न ग्रीक अक्षर pi का cursive रूप है, और इसे varpi या pomega भी कहा जाता है

समाकल रूप और उससे मिलते-जुलते गुणन सूत्र

  • π और ϖ की तुलना समाकल रूपों में भी समान ढंग से की जा सकती है
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • दोनों constants nested square root वाले गुणन सूत्रों से जुड़े हैं
    • π वाले सूत्र में 2/π व्यक्त होता है
    • ϖ वाले सूत्र में संरचना मिलती-जुलती रहती है, लेकिन कुछ पद भाग के रूप में बदल जाते हैं

lemniscate और परिधि

  • वे वक्र जिनमें दो बिंदुओं तक की दूरी का गुणनफल स्थिर रहता है, Cassini oval कहलाते हैं
  • उनमें ∞ आकार वाली विशेष वक्र lemniscate है, जिसका ϖ से सीधा संबंध है
  • इस lemniscate का ध्रुवीय समीकरण इस प्रकार है
    • r² = cos2θ
  • जैसे unit circle की परिधि 2π होती है, वैसे ही इस वक्र की परिधि 2ϖ होती है
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • इस संख्या की गणना 1 ट्रिलियन से अधिक अंकों तक की जा चुकी है

sl, cl फलन और परिवर्तित त्रिकोणमितीय फलन

  • जैसे वृत्त पर sin और cos को परिभाषित किया जा सकता है, वैसे ही lemniscate पर sl और cl नाम के फलनों को परिभाषित किया जा सकता है
  • सामान्य त्रिकोणमितीय identities में से कई के लिए sl और cl के अनुरूप परिवर्तित संस्करण मौजूद हैं
  • प्रमुख correspondence इस प्रकार है
    • सामान्य त्रिकोणमिति: sin²θ + cos²θ = 1
    • lemniscate फलन: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • sl और cl के ग्राफ Lemniscate elliptic functions में देखे जा सकते हैं

elliptic curve और Gauss constant

  • ϖ और इसके परिवर्तित त्रिकोणमितीय फलनों का संबंध Gaussian elliptic curve से है
  • complex plane को वर्गाकार lattice में बाँटने पर यह elliptic curve प्राप्त होती है
    • complex plane की कोई भी lattice एक elliptic curve और elliptic functions बनाती है
    • वर्ग का symmetry अन्य parallelogram की तुलना में अधिक होता है, इसलिए यह मामला खास तौर पर अच्छा उदाहरण है
  • Gauss ने पाया कि यह elliptic curve arithmetic-geometric mean से जुड़ी है
  • 1 और √2 का arithmetic-geometric mean π/ϖ है, और इस संख्या को Gauss constant कहा जाता है
  • संबंधित विवरण Lemniscate constant में है
  • इससे अधिक सामान्य श्रेणी ϖₙ भी मौजूद है
    • π है ϖ₂
    • ϖ है ϖ₄
    • ϖₙ का संबंध कुछ सममित hyperelliptic functions से माना जाता है
    • संबंधित लेख June 2022 diary entry में है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-12-25
Hacker News की राय

  • इस चर्चा की वजह से मुझे नया पसंदीदा map projection मिला: Peirce quincuncial projection
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • और भी कई map projections इस उपयोगी PDF “An Album of Map Projections” में हैं, और ऊपर वाला projection पेज 190 पर है
      ज़्यादा उत्सवी-सा उदाहरण चाहिए तो पेज 156 पर Berghaus star projection देखें
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • यह अधिकतम विस्तारित Penrose diagram जैसा काफ़ी दिखता है
    • लगता है मैंने Quake 3 mod में यही projection field of view को नाटकीय रूप से बढ़ाने के लिए इस्तेमाल होते देखा है

  • उससे बचाने के लिए आप भाग्यशाली four-leaf clover ताबीज़ भी इस्तेमाल कर सकते हैं। इसका polar graph r=cos(2theta) है
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    इसकी परिधि को constant 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221 से भी define किया जा सकता है
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • “इस ∞ आकार की curve को 'leminscate' कहते हैं, और ϖ को 'lemniscate constant' कहा जाता है। अगले लेख में leminiscate दिखाऊंगा” वाली लाइन confusing लगी, इसलिए मैंने check किया; सही spelling lemniscate है

  • π उस circle से आता है जो एक point से दूरी के आधार पर define होता है, और ϖ Bernoulli की lemniscate से आता है, जो दो points से दूरी के आधार पर define होती है
    तो क्या तीन points से दूरी के आधार पर define होने वाली shape से भी कोई वैसा ही constant निकलता है?

    • हां। π circle की परिधि है, और ϖ lemniscate की परिधि है। तीन points इस्तेमाल करें तो तीन बूंद-जैसे lobes बनते हैं, और उनकी परिधि निकाली जा सकती है
      फिलहाल इसे trilemniscate कह लेते हैं ;)
      यहां एक 3D graph है। +Z से नीचे देखें तो XY plane और volume जहां मिलते हैं, वहां trilemniscate दिखती है। plane intersection को visualize करने के लिए product से 1 घटाया गया है, और तुलना के लिए 3-point version को बंद करके 2-point version चालू भी किया जा सकता है
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      दिलचस्प बात यह है कि 2 points और 3 points में lemniscate और trilemniscate के अंदर का area समान है। अगर points circle पर समान रूप से रखे गए हों, तो यह अधिक points के लिए भी सच है। हां, परिधि points बढ़ने पर अनंत की ओर जाती है
    • तीन points से दूरी का विचार distance functions या यहां तक कि measure theory तक जुड़कर जटिल हो जाता है
      दो points के बीच हमेशा उन्हें जोड़ने वाला shortest path होता है, इसलिए constant उसी तथ्य से जुड़ा है; लेकिन तीन points से आगे हमें सभी संभव triangle shapes से निपटना पड़ता है

  • “मैं इतना cultural relativist नहीं हूं कि मान लूं कोई civilization ∞ आकार को ◯ आकार से ज़्यादा महत्वपूर्ण मानती होगी” वाले हिस्से पर: ऐसे प्राणी हमारे जैसे “linear” प्राणी न होकर logarithmic प्राणी हो सकते हैं
    lemniscate geometric mean पर आधारित है, जो असल में multiplicative mean है, या log space में mean है। यह linear space के arithmetic mean के विपरीत है
    अगर हम linear प्राणी हैं जो intuitive addition में अच्छे लेकिन intuitive multiplication में कमजोर हैं, तो ऐसे प्राणी भी हो सकते हैं जो log space में रहते हों और जिनकी सोच multiplication पर आधारित हो। उनके लिए circle ही lemniscate होगा

    • इंसान दरअसल intuitive तौर पर log scale में सोचते हैं। जिन लोगों ने पश्चिमी शैली की शुरुआती arithmetic education नहीं ली, वे differences की बजाय ratios के आधार पर सोचने की प्रवृत्ति रखते हैं, और एक theory यह भी है कि यह evolutionary तौर पर ज़्यादा adaptive है
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • इंसानों में रोशनी की brightness, आवाज़ की loudness, संगीत के octave और relative pitch जैसी कई logarithmic responses होती हैं

  • professor ने जैसा बताया, π और उसके दुष्ट twin का ratio लगभग 1.198 है, जो sqrt(2) और 1 का arithmetic-geometric mean है
    geometric तरफ square root आता है, और square root महंगा होता है। इसलिए मैंने सोचा कि अगर arithmetic mean geometric mean पर converge करता है, तो arithmetic-geometric-harmonic mean inequality के हिसाब से उसे harmonic mean पर भी converge करना चाहिए, और harmonic mean में महंगे square root की ज़रूरत नहीं होगी
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    arithmetic mean-geometric mean convergence लगभग तुरंत हो जाता है, 2 steps काफ़ी हैं; लेकिन harmonic mean से Gauss constant के काम लायक convergence पाने के लिए करीब 15 steps चाहिए—यह काफ़ी रोचक है। square root जैसे महंगे operator को हटाया जा सकता है, लेकिन बदले में iteration count की cost देनी पड़ती है

    • निकाला गया c value, b value निकालने पर निर्भर करता है, इसलिए यह square root से बचने वाली recursion के रूप में perform नहीं हो रहा
      वही arithmetic-geometric mean sequence calculate करने के बाद, उस sequence पर एक खास weighted harmonic mean लिया जा रहा है; और क्योंकि original sequence converge करता है, यह भी converge करता है
      संदर्भ के लिए, intended arithmetic-harmonic mean दरअसल सिर्फ geometric mean है। arithmetic-geometric mean नहीं, बल्कि शुद्ध geometric mean है: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • दूसरे उल्लेखनीय constants और वे जहां दिखाई देते हैं: Euler–Mascheroni constant harmonic series और gamma function से जुड़े integrals और sums में, Catalan constant कुछ trigonometric series और lattice Green functions में, Feigenbaum constant logistic map और dynamical systems के chaos में, Khinchin constant simple continued fractions के partial quotients में, Glaisher–Kinkelin constant Barnes G-function के asymptotic expansion, combinatorial limits और कुछ product expansions में, Ramanujan constant elliptic curves के complex multiplication में, Omega constant Ωe^Ω=1, Lambert W function और x^x^x^...=2 में दिखाई देता है

    • x^x^x^... = 2 का क्या मतलब है, समझ नहीं आया। इसका solution sqrt(2) नहीं है क्या?
    • Ramanujan constant elliptic curve operations से कैसे जुड़ता है, इसका explanation चाहिए

  • ये twins नहीं हैं, यह तो साफ़ दिखता है। बस इतना कह सकते हैं कि π और ϖ अनंत भाइयों ϖₙ में से दो हैं

  • सिर्फ 2 क्यों? 3 points क्यों नहीं? N points से distances का product constant हो, ऐसी curves में क्या रोचक shapes मिल सकती हैं?
    higher dimensions में भी एक point हो तो sphere बनता है, लेकिन दो points पर कैसी shape होगी? क्या यह hourglass जैसी double droplet के ज़्यादा करीब होगी?

    • इसका generalization है। Twitter के Nazi bar बनने से पहले, मैंने pi जैसी संख्याओं को उनके अपने formula-bundles के साथ एक series के रूप में खोजने की चुनौती पोस्ट की थी, और @duetosymmetry ने उसे लेकर ϖₙ बनाए
    • 3 points के बारे में: एक point और दो points खास हैं। इन मामलों में translation और uniform scaling को छोड़ दें तो arrangement सिर्फ एक ही होता है
      लेकिन तीन points से शुरू होकर, similar triangles जितनी arrangements हो जाती हैं। हर triangle की similarity class से एक number मिल सकता है, पर यह उम्मीद नहीं करनी चाहिए कि सभी similarity classes में वही constant निकलेगा

  • “इस ∞ आकार की curve को 'leminscate' कहते हैं, और ϖ को 'lemniscate constant' कहा जाता है। अगले लेख में leminiscate दिखाऊंगा” में तीन spellings में से दो शायद गलत हैं