यादृच्छिक वास्तविक बहुपद का सबसे बड़ा मूल complex की तुलना में real होने की अधिक संभावना रखता है

 (mathoverflow.net)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-05-12 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें

क्या एक random polynomial का सबसे बड़ा मूल complex मूल की तुलना में real होने की अधिक संभावना रखता है?

  • real गुणांकों वाले random polynomial में real मूलों की संख्या complex मूलों की संख्या से बहुत कम होती है
    • हालांकि, यह मानते हुए कि गुणांक (-1, 1) सीमा के भीतर स्वतंत्र और uniform random हैं
    • n-डिग्री polynomial में real मूलों की संख्या asymptotically (2 log n) / π + o(1) होती है, और complex मूलों की संख्या लगभग n - (2 log n) / π होती है
  • polynomial का सबसे बड़ा (या सबसे छोटा) मूल वह मूल माना जाता है जिसका absolute value सबसे बड़ा (या सबसे छोटा) हो
  • भले ही real मूल complex मूलों की तुलना में exponentionally कम हों, experimental data के अनुसार:
    • सबसे बड़ा (या सबसे छोटा) मूल complex की तुलना में real होने की संभावना अधिक है
    • यह संभावना n के अनंत की ओर जाने पर घटकर लगभग 1/2 के करीब पहुंचती है
  • यह intuition के विरुद्ध है, क्योंकि real मूल complex मूलों की तुलना में बहुत कम होने के बावजूद, उनके सबसे बड़े और सबसे छोटे दोनों मूलों को शामिल करने की संभावना अधिक दिखती है

प्रश्न 1

  • इस bias का कारण क्या है?

प्रश्न 2

  • क्या n-डिग्री polynomial के सबसे बड़े (या सबसे छोटे) मूल के real होने की संभावना किसी सीमा पर अभिसरित होती है (और क्या n के अनंत की ओर जाने पर वह लगभग 1/2 के करीब होती है)?

GN⁺ की राय

  • अभी तक यह कि सबसे बड़े/सबसे छोटे मूल के real होने की संभावना 1/2 पर अभिसरित होती है, एक अप्रमाणित conjecture प्रतीत होती है। इसके लिए एक rigorous proof की आवश्यकता लगती है
  • यह ज्ञात है कि polynomial के मूल unit circle के आसपास कोणों में लगभग uniform रूप से वितरित होते हैं, और मूलों के बीच बहुत local repulsion होती है। लेकिन complex मूल unit circle के चारों ओर फैल सकते हैं, जबकि real मूलों के बीच repulsion के कारण real मूल या तो अधिक छोटे या अधिक बड़े होने की ओर धकेले जा सकते हैं
  • complex मूलों की संख्या की तुलना में real मूलों की संख्या भले ही केवल logarithmic रूप से बढ़ती हो, फिर भी real मूलों को पर्याप्त संख्या में माना जा सकता है
  • इस दृष्टिकोण से देखें तो सबसे छोटा मूल real होना उतना आश्चर्यजनक नहीं लगता
  • real गुणांकों वाले random polynomial के मूल-वितरण पर और गहन अध्ययन की आवश्यकता लगती है। खासकर सबसे बड़े/सबसे छोटे मूल के real होने की संभावना के limiting value पर rigorous proof की जरूरत है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-05-12
Hacker News राय

Hacker News टिप्पणी सारांश

यादृच्छिक गुणांकों वाले बहुपद के अधिकतम वास्तविक मूल की प्रायिकता पर चर्चा

  • अधिकतम वास्तविक मूल की प्रायिकता का संयोग और 1/phi के बीच होना चौंकाने वाला है
  • प्राइम संख्याएँ यादृच्छिक नहीं होतीं, बल्कि पिछली प्राइम संख्याओं से पुनरावर्ती रूप से उत्पन्न होती हैं, इसलिए उम्मीद है कि प्राकृतिक वृद्धि पैटर्न e और phi को प्रतिबिंबित करेगा
  • R में ऐसे संख्यात्मक प्रयोगों के लिए built-in support है 
    plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
  • यादृच्छिकता की परिभाषा और क्या विषम/सम degree पर विचार किया गया है, जैसे अतिरिक्त प्रश्न उठाए गए
  • यह अनुमान लगाया गया कि गुणांकों को scale करने पर अधिकतम गुणांक को छोड़कर बाकी सभी गुणांकों के लिए non-uniform distribution बनेगा

गणित सीखने पर सलाह का अनुरोध

  • विश्वविद्यालय में गणित का आनंद लिया था, लेकिन स्नातक होने के बाद 2 साल तक ज़्यादा नहीं किया, इसलिए फिर से सीखने की ज़रूरत है
  • Project Euler जैसे मज़ेदार विचार खोजने या पाठ्यपुस्तक के प्रश्नों को फिर से हल करने का सुझाव दिया गया

अंतर्ज्ञान से अलग परिणामों पर विचार

  • यदि complex plane पर मूलों को यादृच्छिक रूप से चुना जाए, तो real coefficients वाला बहुपद लगभग कभी नहीं मिलेगा, इसलिए यह सहज रूप से अधिक तर्कसंगत लगता है कि वास्तविक मूल अधिक मिलने की संभावना हो
  • reflection symmetry का उपयोग करके सहज दृष्टिकोण अपनाने की कोशिश और उसकी सीमाओं पर विचार
  • degree 5 या उससे अधिक के बहुपदों के लिए कोई सूत्र नहीं है, इसलिए वास्तविक और सम्मिश्र मूलों में अंतर करना कठिन है
  • यह सवाल उठाया गया कि यादृच्छिक बहुपद के गुणांक real हैं या complex
  • complex plane का आकार real line से बहुत बड़ा होने के कारण यह अपेक्षा थी कि वास्तविक मूल की प्रायिकता 0 के करीब होगी, और इसी के विपरीत यह परिणाम आश्चर्यजनक है