- 31 मई को जारी James Maynard और Larry Guth के प्रीप्रिंट ने Riemann hypothesis के एक खास अपवाद को खारिज किया है, जिससे प्राइम नंबरों के वितरण में छिपी संरचना खोजने वाली 165 साल पुरानी समस्या में दशकों बाद प्रगति हुई है
- मुख्य केंद्र Riemann zeta function के nontrivial zeros हैं, जो Gauss के प्राइम-गणना अनुमान और प्राइम नंबरों के वास्तविक वितरण के बीच की त्रुटि को समझने से सीधे जुड़े हैं
- कंप्यूटर 10 ट्रिलियन से अधिक zeros के लिए यह पुष्टि कर चुके हैं कि वे सभी real part 1/2 पर हैं, लेकिन गणितज्ञों को अनुभवजन्य सत्यापन नहीं बल्कि यह प्रमाण चाहिए कि कोई दूसरी स्थिति संभव ही नहीं है
- इस उपलब्धि ने 1940 में Albert Ingham के बाद से अपरिवर्तित 3/4 बिंदु पर zeros की संख्या की ऊपरी सीमा को घटाया है, और analytic number theory तथा harmonic analysis को जोड़कर लंबे समय से मौजूद बाधा को तोड़ा है
- Riemann hypothesis का पूर्ण प्रमाण अभी भी दूर है, लेकिन यह छोटे intervals में प्राइमों की संख्या का अनुमान लगाने और number theory की अन्य समस्याओं से निपटने के लिए नए tools दे सकता है
प्राइम नंबरों के वितरण को समझने वाली Riemann hypothesis
- हर natural number को prime numbers के गुणनफल में तोड़ा जा सकता है, जो केवल 1 और स्वयं से विभाजित होते हैं, और गणितज्ञ लंबे समय से यह समझना चाहते रहे हैं कि ये primes संख्या रेखा पर कैसे व्यवस्थित हैं
- पहली नज़र में primes काफी random लगते हैं, लेकिन माना जाता है कि इनके भीतर एक छिपी हुई संरचना है
- पिछले 165 वर्षों से उस संरचना की खोज के केंद्र में Riemann hypothesis रही है
- यदि यह सिद्ध हो जाए, तो यह primes को समझने के लिए Rosetta Stone जैसी भूमिका निभा सकती है
- इस पर Clay Mathematics Institute का 1 million dollar का इनाम रखा गया है
Gauss का अनुमान और zeta zeros
- 1700 के दशक के अंत में 16 वर्ष की आयु में Carl Friedrich Gauss ने देखा कि बड़े होते जाने पर primes दुर्लभ होते जाते हैं, और अनुमान लगाया कि X से कम या बराबर primes की संख्या लगभग X / ln X के अनुपात में बढ़ती है
- यह अनुमान वास्तविक prime count से बहुत अच्छी तरह मेल खाता है, जो इस curve के ऊपर-नीचे थोड़ा-थोड़ा oscillate करता है
- 1859 में Bernhard Riemann ने Riemann zeta function के माध्यम से Gauss की curve और primes के वास्तविक वितरण के बीच के अंतर को समझने की कोशिश की
- यह function ऐसे complex numbers को input के रूप में लेता है जिनमें real और imaginary दोनों components होते हैं
- वे zeta zeros जिन पर Riemann zeta function का मान 0 होता है, Gauss की curve के आसपास त्रुटि में होने वाले उतार-चढ़ाव का सीधा वर्णन करते हैं
Riemann hypothesis किस प्रकार की शर्त लगाती है
- Riemann hypothesis कहती है कि negative inputs से मिलने वाले कुछ trivial solutions को छोड़कर, सभी zeta zeros के input का real part 1/2 होना चाहिए
- यदि यह hypothesis सही है, तो prime count में उतार-चढ़ाव सीमित होंगे, यानी संख्या रेखा पर primes के बहुत बड़े गुच्छे या बहुत बड़े खाली अंतराल नहीं होंगे
- अब तक कंप्यूटर 10 ट्रिलियन से अधिक nontrivial zeta zeros की जाँच कर चुके हैं, और सभी ठीक real part 1/2 पर पाए गए हैं
- लेकिन केवल अनुभवजन्य सत्यापन पर्याप्त नहीं है
- Maynard का मानना है कि प्रमाण केवल यह नहीं बताता कि कुछ सही है, बल्कि यह भी समझाता है कि वह सही क्यों है, और primes से निपटने के लिए शक्तिशाली नए तरीके देता है
- Riemann hypothesis को सिद्ध करने का कोई सचमुच विश्वसनीय रास्ता अभी तक सामने नहीं आया है
इस परिणाम ने किस संकरे अंतर को निशाना बनाया
- क्योंकि गणितज्ञ पूरी Riemann hypothesis को सीधे सिद्ध नहीं कर पाए हैं, वे इस समस्या को उन क्षेत्रों को छोटा करते हुए बाँटते रहे हैं जहाँ zeta zeros हो ही नहीं सकते
- nontrivial zeta zeros पहले से ही 0 और 1 के बीच सीमित हैं
- साथ ही 1/2 के आसपास mirror symmetry भी है, इसलिए यदि 3/4 पर zeros को बाहर किया जाए, तो 1/4 पर zeros भी बाहर हो जाते हैं
- पुरानी तकनीकें 1/2 से 3/4 के बीच, या 3/4 से 1 के बीच बेहतर काम करती थीं, लेकिन यह संभावना बनी हुई थी कि कई zeros 3/4 पर छिपे हो सकते हैं
- 3/4 पर संभव zeros की संख्या की सबसे अच्छी ऊपरी सीमा 1940 में ब्रिटिश गणितज्ञ Albert Ingham ने दी थी, और उसके बाद कोई भी इसे बेहतर नहीं कर पाया था
Maynard और Guth का तरीका
- Maynard analytic number theory के विशेषज्ञ हैं, 2022 के Fields Medal विजेता गणितज्ञ हैं, और पिछले 10 वर्षों से हर शुक्रवार दोपहर इस समस्या पर बार-बार सोचते रहे थे, लेकिन सफलता नहीं मिली थी
- 2020 की American Mathematical Society बैठक में Maynard ने MIT के Larry Guth से मदद मांगी, जो harmonic analysis के विशेषज्ञ हैं
- harmonic analysis में ऐसे तरीके शामिल हैं जो physics की सोच से प्रेरित होकर ध्वनि को उसके घटक स्वरों में अलग करने जैसी विधियों से जुड़े हैं
- Guth ने भी कई वर्षों तक इस समस्या पर काम किया, और लगभग हार मानने ही वाले थे कि Maynard के साथ मिलकर उन्हें एक breakthrough मिला
- दोनों ने एक-दूसरे की गणितीय भाषाओं से रणनीतियाँ उधार लीं, देर रात ईमेल में विचारों का आदान-प्रदान किया, और एक असामान्य तरीके से Ingham की सीमा को तोड़ दिया
number theory के व्यापक क्षेत्र तक पहुँचने की संभावना
- Maksym Radziwill ने इस काम को zeta zeros की खोज में 50 वर्षों बाद आया पहला नया विचार बताया, और उनका मानना है कि लंबे समय से ठहरा हुआ यह क्षेत्र फिर से आगे बढ़ सकता है
- यह सुधरी हुई upper bound पूरी Riemann hypothesis के प्रमाण में लगभग कोई मदद नहीं करती, लेकिन number theory के व्यापक क्षेत्र पर इसका प्रभाव पड़ सकता है
- गणितज्ञ छोटे intervals में prime count का बेहतर अनुमान लगा सकते हैं
- Radziwill का मानना है कि यह नई रणनीति dynamical systems से जुड़े उनके पहले के काम को सरल बनाने में मदद कर सकती है
- यह Kakeya problem में भी सहायक हो सकती है
- Guth की रुचि इस विचार का उपयोग तरंगों की physics और संख्या-समुच्चयों के वितरण के बीच गहरे संबंधों की पड़ताल में करने में है
1 टिप्पणियां
Hacker News टिप्पणियाँ
यह मई में आई सामग्री है, और Quanta पर इससे बेहतर लेख पहले ही प्रकाशित हो चुका था और यहाँ भी उस पर चर्चा हो चुकी थी
https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-ne...
सिर्फ 6 टिप्पणियाँ हैं, और आखिरी टिप्पणी सबसे दिलचस्प है, क्योंकि वह Terence Tao की चर्चा तक जाती है: https://mathstodon.xyz/@tao/112557249982780815
Terence Tao ने James Maynard और Larry Guth की प्रस्तुतियों के लिंक भी दिए हैं: https://www.ias.edu/video/new-bounds-large-values-dirichlet-..., https://www.ias.edu/video/new-bounds-large-values-dirichlet-...
कल्पना कीजिए कि यह खोज अभाज्य संख्याओं पर किसी और बड़े breakthrough तक ले जाए, जिससे बड़े पूर्णांकों का prime factorization आसान हो जाए और RSA जैसे public-key cryptography सिस्टम रातोंरात बेअसर हो जाएँ
अगर consumer CPU पर भी कोई production-grade keys तोड़ सके, तो क्या industry के पास ऐसे हालात के लिए disaster recovery plan है? क्या बड़ी कंपनियाँ जल्दी से ऐसे दूसरे cryptographic systems पर स्विच कर पाएँगी जो अभी टूटे न हों? jailbreak developers, console modders, और “device freedom” वालों के लिए यह मानो स्वर्ग जैसा दिन होगा, लेकिन कुल असर विनाशकारी और अनुमान से परे लग सकता है
लगता है industry अचानक होने वाले number theory breakthrough को कोई संभावित घटना मानकर नहीं चलती
एक समय अमेरिका सरकार लंबी RSA keys के export पर रोक लगाती थी, और कभी दुनिया का बड़ा हिस्सा 128-bit RSA keys इस्तेमाल करता था, फिर Dixon method की वजह से जल्दबाज़ी में 512-bit keys पर जाना पड़ा। उसके बाद special number field sieve की वजह से 1024-bit पर, और फिर general number field sieve की वजह से 2048-bit पर भी जल्दी-जल्दी जाना पड़ा, और यह कोई बहुत पुरानी बात भी नहीं है
80s के RSA encryption hardware को देखें तो ऐसी मशीनें मिलती हैं जो 512-bit संभालने पर गर्व करती थीं। अब वे बेकार हैं
https://people.csail.mit.edu/rivest/pubs/pubs/Riv84.pdf
special/general number field sieve की complexity formulas में बस कुछ constants का फर्क है, और उन constants को देखकर यह मानना मुश्किल है कि वे कोई बुनियादी सीमा दर्शाते हैं। क्या उन constants को और घटाकर 2048-bit keys को भी बेकार करने का तरीका नहीं निकलेगा, यह मानना सच में कठिन नहीं है क्या?
“अगर RSA टूट जाए तो क्या होगा” यह पूछने की ज़रूरत नहीं है। जिसने यह कई बार होते देखा है, वह तुरंत कहेगा कि हम फिर से key size बढ़ाने में हड़बड़ा रहे होंगे और संभावित रूप से लीक हुए सारे data का audit कर रहे होंगे
लेकिन चिंता करने से पहले यह भी सोचना चाहिए कि RSA अब तक 47 साल की सक्रिय cryptanalysis झेल चुका है। इस दौरान कई algorithms इससे बेहतर बताकर प्रस्तावित किए गए, लेकिन उनमें से बहुत से कुछ ही समय बाद टूट भी गए
elliptic curve algorithms की ओर जाने का रुझान भी मुख्यतः इसलिए है क्योंकि computers के लिए encryption/decryption उन्हें ज्यादा आसानी से संभालना संभव बनाते हैं
अगर मुझे दाँव लगाना हो कि 10 साल बाद भी कौन-सा public-key algorithm बचा रहेगा, तो मैं व्यक्तिगत रूप से RSA पर दाँव लगाऊँगा
disaster recovery 1 मिनट का काम नहीं होगा, लेकिन अगर RSA/DH रातोंरात असुरक्षित भी हो जाए, तब भी ऐसा नहीं लगता कि सब कुछ वैसे ही खुला रह जाएगा। मेरी SSH keys में भी अभी कई तरीके मिले-जुले हैं
लगता है विनाशकारी scenarios के लिए तैयारी करने की क्षमता को बढ़ा-चढ़ाकर आँका जाता है, और बच निकलने की क्षमता को कम आँका जाता है
यह जोखिम उतना ही वास्तविक है जितना किसी बड़े solar storm से power grid का गिर जाना, और transformer manufacturing delays व कम stockpile की वजह से कई सालों तक पाषाण युग जैसी recovery झेलनी पड़ना; लेकिन उस नज़रिए से देखें तो यह इतना छोटा और सैद्धांतिक लगता है कि इस पर बहुत समय लगाना मुश्किल दिखता है
planning की बात करें तो सिर्फ ECC पर स्विच करना इतना आसान है या नहीं, यह स्पष्ट नहीं है। ECC में वास्तविक asymmetric encryption shared secret पर निर्भर करती है, और अगर मान लें कि RSA टूटने से exchange channel सुरक्षित नहीं रहा, तो यह RSA की तुलना में man-in-the-middle attacks के प्रति अधिक असुरक्षित हो सकता है। यह कोई आसान replacement नहीं लगता
अलग से यह भी संभव है कि RSA पहले ही टूट चुका हो, और उसका समाधान cryptanalysis agencies द्वारा गुप्त रखा गया हो। उनके लिए ऐसे breakthrough को छिपाए रखना बहुत आकर्षक होगा, और वे शायद “अचानक होने वाले number theory breakthrough” को दबाने का तरीका भी ढूँढ़ने की कोशिश करें
लोग अक्सर मानते हैं कि primes की संरचना जटिल है, लेकिन वास्तव में यह सिर्फ gap sizes की एक recursive संरचना है, जहाँ पहले के gaps के multiples पहुँच नहीं पाते।
इससे यह ज़रूरी नहीं हो जाता कि पिछले सभी gaps को ट्रैक किए बिना उन्हें “predict” करना आसान हो जाए, लेकिन मूल रूप से यह कोई अंतर्निहित रूप से जटिल संरचना नहीं है। दिलचस्प यह है कि इतनी सरल संरचना को पकड़ना इतना कठिन है। यह कुछ वैसा ही है जैसे 3n+1 sequence जटिलता पैदा करती है, या logistic map threshold पार करने पर जटिल हो जाता है
लेकिन यदि सिर्फ prime n दिया हो, तो अगला prime पाने के लिए nontrivial remainders फिर से गणना करने पड़ते हैं, इसलिए संख्या n का binary representation अकेले इतना पर्याप्त नहीं है कि उससे जल्दी बताया जा सके कि अगला prime क्या होगा। पहले कुछ reference points precompute करने पड़ते हैं। अंततः इसमें कुछ अतिरिक्त complexity तो है, लेकिन फिर भी यह काफ़ी सरल और लगभग self-evident है, और यह NP में आने वाली समस्या भी नहीं है
https://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_irreducibility
https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling
यह बात उत्साहजनक लगी कि “अपनी समर्पित शुक्रवार दोपहर की thinking session में वह पिछले 10 साल से बार-बार इस समस्या पर लौटते रहे, लेकिन कोई नतीजा नहीं निकला”
अगर Gauss curve और Riemann curve को किसी विशेष space में plot किया जाए, तो कुछ और भी जादुई-सा दिखता है
trivial zeros और nontrivial zeros की बात क्या है, यह देखने के लिए यह Wikipedia animation देखिए: [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_I...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_Im_1_to_51.ogg)
मूलतः मुझे लगता है कि यह संकेत देता है कि real और imaginary के बीच कोई और संबंध है, जो अभी खोजा नहीं गया है
और क्योंकि Riemann mathematics quantum mechanics में शामिल है, इसलिए इसका gravity theory खोजने पर भी असर हो सकता है
यह विचार कि primes gravity theory में शामिल हैं या हो सकते हैं, किसी अजीब science जैसा लगता है
“उन्होंने अंततः Ingham की boundary तोड़ने के लिए कुछ unconventional numbers रखे” — यह वाक्य दिलचस्प लगा
किसी दूसरे क्षेत्र की विधियाँ लाना unconventional क्यों माना जाए? engineering background से देखें तो यह तो काफ़ी आम बात है। harmonic analysis audio, waves, electrical analysis, statistics आदि कई क्षेत्रों का बुनियादी tool है, और उसके algorithms भी भीतर से pure mathematics ही हैं
अगर किसी basis system में recurring structure ढूँढनी हो, तो कई plotting techniques आज़माना और समस्या के लिए सबसे उपयुक्त तकनीक चुनना स्वाभाविक नहीं है क्या?
analytic number theory की पहली lecture का मुख्य विचार, और Riemann के 1859 के प्रसिद्ध paper का केंद्रीय विचार भी “harmonic analysis” ही कहा जा सकता है। Riemann इस क्षेत्र के pioneer थे, इसलिए यह संयोग भी नहीं है: https://old.reddit.com/r/math/comments/16bh3mi/what_is_the_b...
आज number theory की सबसे hot major stream भी मूलतः number fields पर “higher-dimensional” harmonic analysis ही है: https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_form, https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program. जिस one-dimensional case को Langlands program generalize करना चाहता है, वह https://en.wikipedia.org/wiki/Tate%27s_thesis है, जिसे “number fields पर Fourier analysis” भी कहा जाता है, और यह 20वीं सदी की number theory की सबसे महत्वपूर्ण ideas में से एक है
Guth-Maynard paper की bibliography में 1994 की यह किताब भी है: H. Montgomery, Ten Lectures On The Interface Between Analytic Number Theory And Harmonic Analysis, No. 84. American Mathematical Soc., 1994. 1994 में ही इस interface पर दस lectures की सामग्री मौजूद थी, और उस किताब के citation count को देखें तो इससे भी कहीं अधिक interface मौजूद रहा है। मैंने भी अपने आधे से ज़्यादा papers में इस किताब को cite किया है
चौंकाने वाली बात यह नहीं है कि harmonic analysis इस्तेमाल हुआ, बल्कि यह है कि इसे कहाँ और कैसे लागू किया गया। यही हिस्सा आम पाठकों तक पहुँचाना सच में लगभग असंभव है, इसलिए मैं article writer को दोष नहीं देना चाहूँगा
यह कुछ ऐसा सुनाई देता है जैसे कहना कि “connections बनना आश्चर्यजनक क्यों है”; breakthroughs अक्सर नए connections से आते हैं, और सिर्फ इसलिए कि ऐसे breakthroughs कभी-कभी आते हैं, इसका मतलब यह नहीं कि नया connection आश्चर्यजनक नहीं है
गणित में अक्सर बड़े breakthroughs तब आते हैं जब कोई व्यक्ति ऊपर-ऊपर असंबंधित दिखने वाले दो क्षेत्रों के बीच समानता देख लेता है, और एक क्षेत्र के ideas को दूसरे क्षेत्र में insight के रूप में इस्तेमाल करता है
कठिनाई यह है कि क्षेत्रों के बीच ऐसे connections आम तौर पर स्पष्ट नहीं होते। समानता देख पाने के लिए समझ में काफ़ी बड़ी छलांग लगानी पड़ सकती है
चाहें तो यह भी कहा जा सकता है कि गणित की हर खोज में किसी न किसी स्तर पर “unconventional move” शामिल होता है। आखिर orthodoxy वही है जो अब तक जाना गया है
“पहली नज़र में यह काफ़ी random लगता है। लेकिन वास्तव में माना जाता है कि primes के भीतर ऐसी छिपी हुई संरचना होती है” — यह पढ़कर जिज्ञासा होती है कि काल्पनिक prime pattern आखिर कैसी दिखेगी।
क्या किसी closed-form formula जैसी चीज़ की उम्मीद की जा रही है? अगर Riemann hypothesis सिद्ध हो जाए, तो distribution को समझने का अगला कदम क्या होगा? या क्या यह उम्मीद है कि वही proof अपने भीतर इस सवाल का जवाब भी समेटे होगा?
James Maynard की बात जब भी सुनता हूँ, यह विश्वास और पक्का होता है कि वह एक पीढ़ी में एक बार आने वाले genius हैं।
वह पहले ही prime theory में बहुत बड़ा योगदान दे चुके हैं, और अब ऐसा लगता है कि शायद मेरे जीवनकाल में Riemann hypothesis का proof भी देखने को मिल सकता है।
यह चित्र मैंने पहली बार देखा है, लेकिन इसमें इतनी डूबने वाली गुणवत्ता है कि जिज्ञासा हो रही है। primes को polar graph में प्लॉट करने पर जो pattern दिखाई देता है, क्या वह हाल की खोज है, या बहुत पहले से जाना जाता था और यहाँ बस illustration के रूप में इस्तेमाल हुआ है? इसका नाम और इतिहास जानने की इच्छा है।
[1] https://www.youtube.com/watch?v=iFuR97YcSLM
[2] https://www.youtube.com/watch?v=EK32jo7i5LQ
थोड़ा विषयांतर है, लेकिन यह पंक्ति मुझे automated theorem provers के उन पहलुओं की याद दिलाती है जिनके बारे में शायद हमने अभी ठीक से सोचना भी शुरू नहीं किया है।
“Rutgers University के गणितज्ञ Alex Kontorovich कहते हैं, ‘यह एक sensational breakthrough है। इस proof में इतने नए विचार भरे हुए हैं कि लोग आने वाले कई वर्षों तक इन्हें खंगालते रहेंगे।’”
किसी चीज़ का proof कई बार केवल rigor देने का साधन होने से ज़्यादा, उस वस्तु को देखने का नया दृष्टिकोण होने के कारण अधिक दिलचस्प होता है। सोच रहा हूँ कि automated mathematics में उस दिशा में कोई काम हुआ है क्या।