इस महान गणितज्ञ को अपनी समाधि-शिला पर 17-भुज क्यों चाहिए था
- गणितज्ञ Gauss ने गणित में अनेक महत्वपूर्ण उपलब्धियाँ छोड़ीं
- उनमें से एक यह थी कि वे अपनी समाधि-शिला पर "सम 17-भुज" खुदवाना चाहते थे
- 18 वर्ष की आयु में Gauss ने सम 17-भुज का उपयोग करके उस समस्या को हल किया था जिसने 2,000 वर्षों तक गणितज्ञों को परेशान किया था
प्राचीन यूनानी ज्यामिति
- प्राचीन यूनानी ज्यामिति में अत्यंत निपुण थे, और उनका ध्यान compass और straightedge से आकृतियाँ बनाने पर था
- compass दो बिंदुओं के आधार पर वृत्त खींचने का उपकरण है, और straightedge सीधी रेखा खींचने का उपकरण है
- इन उपकरणों से दूरी नापी नहीं जा सकती और न ही कोण मापे जा सकते हैं
- ऐसी आकृति-रचना Euclid की Elements से आई थी
- Euclid न्यूनतम मान्यताओं से पूरी ज्यामिति को व्युत्पन्न करना चाहते थे
आकृति-रचना के उदाहरण
- किसी दिए गए रेखाखंड का मध्यबिंदु कैसे खोजें
- compass का उपयोग करके दो बिंदुओं को केंद्र मानकर वृत्त खींचे जाते हैं
- जहाँ दोनों वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं, उन बिंदुओं को straightedge से जोड़ने पर मध्यबिंदु मिल सकता है
- यह रचना केवल रेखाखंड का द्विभाजन नहीं करती, बल्कि समकोण भी बनाती है
- कुछ और बिंदुओं को जोड़ने पर समभुज त्रिभुज बनाया जा सकता है
बाधाएँ
- सम बहुभुज वह आकृति है जिसमें सभी भुजाएँ और सभी कोण समान होते हैं
- Euclid ने समभुज त्रिभुज, वर्ग और सम पंचभुज बनाने की विधि खोज ली थी
- उन्होंने सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या दोगुनी करने की विधि भी खोज ली थी
- लेकिन सम सप्तभुज और सम 11-भुज का निर्माण नहीं किया जा सका
- यह समस्या 2,000 वर्षों तक अनसुलझी रही
18वीं सदी के गणित की राहत
- 1796 तक कोई नया सम बहुभुज नहीं खोजा गया था
- Gauss ने सम बहुभुज के निर्माण की समस्या को कुछ विशेष लंबाई वाले रेखाखंडों के निर्माण की समस्या में बदल दिया
- सम 17-भुज बनाने के लिए एक विशेष लंबाई वाला रेखाखंड बनाना आवश्यक है
- इस लंबाई को x = cos(2π/17) के रूप में व्यक्त किया जाता है
- compass और straightedge से वही लंबाइयाँ निर्मित की जा सकती हैं जिन्हें जोड़, घटाव, गुणा, भाग और वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जा सके
- Gauss ने सिद्ध किया कि सम 17-भुज का निर्माण संभव है
- Gauss ने यह भी पूरी तरह स्पष्ट कर दिया कि कौन-कौन से सम बहुभुज निर्मित किए जा सकते हैं
- उन्होंने सिद्ध किया कि सम सप्तभुज और सम 11-भुज का निर्माण संभव नहीं है
Gauss की विरासत
- Gauss अपनी समाधि-शिला पर सम 17-भुज खुदवाना चाहते थे
- लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं किया गया
- जर्मनी के Braunschweig में Gauss के स्मारक पर 17-नुकीला तारा उकेरा गया है
GN⁺ की संक्षिप्त प्रस्तुति
- Gauss ने 18 वर्ष की आयु में सम 17-भुज के माध्यम से 2,000 वर्षों से अनसुलझी समस्या का समाधान किया
- यह प्राचीन यूनानी ज्यामितीय आकृति-रचना और आधुनिक बीजगणित के बीच संबंध दिखाता है
- Gauss की उपलब्धि ने compass और straightedge से निर्मित की जा सकने वाली आकृतियों की सीमाएँ स्पष्ट कीं
- यह गणितीय जिज्ञासा जगाता है और ज्यामिति तथा बीजगणित के गहरे संबंध को समझने में मदद करता है
- समान कार्यक्षमता वाले प्रोजेक्ट्स में Wolfram Alpha और GeoGebra शामिल हैं
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