Gauss अपनी समाधि पर नियमित 17-भुज क्यों चाहते थे
(scientificamerican.com)- Johann Carl Friedrich Gauss ने 18 वर्ष की आयु में नियमित 17-भुज के निर्माण की संभावना सिद्ध कर, 2,000 से अधिक वर्षों से चले आ रहे प्राचीन ज्यामिति प्रश्न का निर्णायक उत्तर दिया
- इस प्रश्न की जड़ Euclid की कम्पास और सीधी रेखा खींचने वाली बिना निशान वाली पटरी से निर्माण परंपरा में थी, जहाँ मूल बात यह थी कि क्या केवल इन्हीं औज़ारों से किसी आकृति का वास्तविक निर्माण किया जा सकता है
- Euclid ने नियमित 3-भुज, 4-भुज, 5-भुज और उनके विस्तारित रूप बनाए थे, लेकिन नियमित 7-भुज और 11-भुज जैसी आकृतियाँ लंबे समय तक अनसुलझी रहीं
- Gauss ने आकृति को सीधे खींचने के बजाय, नियमित 17-भुज के लिए आवश्यक लंबाई cosine(2π/17) को अनुमत बीजीय संक्रियाओं से व्यक्त कर उसके निर्माण की संभावना सिद्ध की
- बाद में Pierre Wantzel के कठोर प्रमाण जुड़ने पर यह स्पष्ट रूप से अलग किया जा सका कि कौन-से नियमित बहुभुज निर्मित किए जा सकते हैं और कौन-से नहीं
वह आकृति जिसे Gauss अपनी समाधि पर छोड़ना चाहते थे
- Johann Carl Friedrich Gauss(1777–1855) ने अपनी अनेक गणितीय उपलब्धियों में भी नियमित 17-भुज के प्रमाण को विशेष गर्व की बात माना
- 18 वर्ष की आयु में Gauss ने इस आकृति के माध्यम से 2,000 से अधिक वर्षों से गणितज्ञों को रोक कर रखे एक शास्त्रीय प्रश्न को हल किया
- यह प्रश्न प्राचीन ज्यामिति, जो आकृतियों का वास्तविक निर्माण करना चाहती थी, और आधुनिक दृष्टिकोण, जो आकृतियों को नियंत्रित करने वाले समीकरणों का विश्लेषण करता है, के बीच सेतु का काम करता है
प्राचीन यूनानी कम्पास और पटरी निर्माण
- प्राचीन यूनानी ज्यामिति में निर्माण लगभग एक कठोर खेल जैसा था, जिसमें केवल बिना निशान वाली सीधी पटरी और कम्पास से आकृतियाँ बनाई जाती थीं
- कम्पास, दो बिंदु दिए जाने पर, एक बिंदु को केंद्र मानकर दूसरे बिंदु से गुजरने वाला वृत्त बनाता है, और पटरी दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा खींचने का औज़ार है
- इन दोनों औज़ारों पर कोई माप-चिह्न नहीं होते, इसलिए दूरी या कोण को सीधे नापा नहीं जा सकता
- ये नियम तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के Euclid की Elements से आए
- Euclid आकृतियों के अस्तित्व को मान लेने के बजाय, रेखा और वृत्त जैसी सरल सामग्रियों से उन्हें स्पष्ट रूप से निर्मित करना चाहते थे
रेखाखंड का समद्विभाजन और समबाहु त्रिभुज
- जब दो बिंदु A और B हों, तो A केंद्र और B से गुजरने वाला वृत्त, तथा B केंद्र और A से गुजरने वाला वृत्त खींचने पर दोनों वृत्त दो बिंदुओं पर मिलते हैं
- इन दोनों प्रतिच्छेदन बिंदुओं को पटरी से जोड़ने पर ऐसी रेखा बनती है जो मूल रेखाखंड AB का ठीक-ठीक समद्विभाजन करती है
- यही निर्माण दो रेखाओं के बीच समकोण भी बना सकता है, जो इतने सीमित औज़ारों के साथ कोई मामूली परिणाम नहीं है
- कुछ और बिंदुओं को जोड़ने पर ऐसा समबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण समान हों
- समबाहु त्रिभुज की हर भुजा समान आकार के वृत्तों की त्रिज्या होती है, इसलिए तीनों भुजाओं की लंबाई समान होती है
- यह Euclid Elements पुस्तक 1 के पहले प्रतिज्ञान से मेल खाता है
नियमित बहुभुज निर्माण में आई रुकावट
- कम्पास और पटरी से बनाए जा सकने वाले आकारों में नियमित बहुभुज का विशेष स्थान है
- बहुभुज सीधी भुजाओं से घिरी आकृति है, और नियमित बहुभुज वह है जिसमें सभी भुजाओं की लंबाई और सभी कोणों का मान समान हो
- कोई भी त्रिभुज बनाना आसान है, लेकिन नियमित त्रिभुज जैसे पूर्ण सममिति वाले नियमित बहुभुज अधिक सूक्ष्म निर्माण मांगते हैं
- Euclid को नियमित 3-भुज, नियमित 4-भुज और नियमित 5-भुज बनाने की विधि ज्ञात थी
- पहले से बने नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या दोगुनी की जा सकती थी
- नियमित 3-भुज को नियमित 6-भुज, नियमित 12-भुज आदि में बढ़ाया जा सकता है
- नियमित 4-भुज से नियमित 8-भुज, नियमित 16-भुज आदि बनते हैं
- नियमित 5-भुज से नियमित 10-भुज, नियमित 20-भुज आदि बनाए जा सकते हैं
- Euclid ने नियमित 3-भुज और नियमित 5-भुज को “गुणा” करके नियमित 15-भुज बनाने की विधि भी दिखाई
- लेकिन नियमित 7-भुज और 11-भुज को केवल कम्पास और पटरी से बनाया जा सकता है या नहीं, यह अज्ञात रहा, और यह खाली जगह 2,000 वर्षों तक बनी रही
Gauss का बीजीय मोड़
- 1796 तक कोई नया निर्मित किया जा सकने वाला नियमित बहुभुज नहीं जोड़ा गया था, लेकिन गणितज्ञ कम्पास और पटरी निर्माण को स्वयं अधिक गहराई से समझने लगे थे
- Gauss जानते थे कि नियमित बहुभुज के निर्माण को किसी विशेष लंबाई के रेखाखंड के निर्माण की समस्या में बदला जा सकता है
- नियमित 17-भुज बनाने के लिए त्रिज्या 1 वाले इकाई वृत्त पर एक बिंदु A लें, फिर परिधि पर ठीक 17वें हिस्से जितना आगे बढ़ा हुआ बिंदु B बनाना होता है
- यदि बिंदु B बनाया जा सके, तो वही काम पूरे वृत्त पर दोहराकर और बिंदुओं को पटरी से जोड़कर नियमित 17-भुज प्राप्त किया जा सकता है
- अंततः मुख्य बात यह है कि क्या एक निश्चित लंबाई x वाला रेखाखंड खींचा जा सकता है, और सूत्र के रूप में x = cosine(2π/17)
निर्मित की जा सकने वाली लंबाइयाँ और पाँच संक्रियाएँ
- Gauss के समय तक यह मानदंड ज्ञात था कि कौन-सी लंबाइयाँ कम्पास और पटरी से निर्मित की जा सकती हैं
- कोई लंबाई तभी ठीक-ठीक निर्मित की जा सकती है जब उसे पूर्णांकों पर केवल जोड़, घटाव, गुणा, भाग और वर्गमूल लगाकर व्यक्त किया जा सके
- उदाहरण के लिए √(99/5), 99 और 5 पर भाग तथा वर्गमूल लागू करके लिखा जाता है, इसलिए इसका निर्माण संभव है
- इसके विपरीत π और 2 का घनमूल केवल इन पाँच संक्रियाओं से व्यक्त नहीं किए जा सकते, इसलिए उनका निर्माण नहीं किया जा सकता
- प्राचीन यूनानी निर्माण-औज़ारों द्वारा अनुमत क्रियाएँ आधुनिक बीजगणित की स्वाभाविक संक्रियाओं से मेल खाती हैं
- ऐसा इसलिए है क्योंकि सीधी रेखा और वृत्त के समीकरण केवल इन पाँच प्रकार की संक्रियाओं का उपयोग करते हैं; यह वह दृष्टिकोण था जिसकी कल्पना बीजगणित-पूर्व युग के Euclid के लिए कठिन थी
नियमित 17-भुज का प्रमाण और वर्गीकरण
- Gauss ने वास्तव में नियमित 17-भुज को खींचा नहीं था
- इसके बजाय उन्होंने नियमित 17-भुज के लिए आवश्यक लंबाई cosine(2π/17) को कम्पास और पटरी द्वारा अनुमत पाँच बीजीय संक्रियाओं से व्यक्त किया, और इस तरह सिद्ध किया कि सिद्धांततः इस आकृति का निर्माण संभव है
- संबंधित व्यंजक जटिल है, और यह दिखाता है कि किशोरावस्था के Gauss ने इस समस्या पर काफी श्रम किया था
- इससे भी आगे बढ़कर Gauss ने यह भी निरूपित किया कि कौन-से नियमित बहुभुज निर्मित किए जा सकते हैं और कौन-से असंभव हैं
- 1837 में Pierre Wantzel ने एक कठोर प्रमाण दिया, जिसने दिखाया कि Gauss के वर्गीकरण में कोई मामला छूटा नहीं था
- परिणामस्वरूप नियमित 7-भुज और नियमित 11-भुज केवल कम्पास और पटरी से नहीं बनाए जा सकते, और इसी तरह असंभव आकृतियों की संख्या अनंत है
समाधि पर नहीं, पर स्मारक पर बचा निशान
- जीवनीकार G. Waldo Dunnington के अनुसार, Gauss को हजारों वर्ष पुराने प्रश्न को हल करने पर बहुत गर्व था, और उन्होंने एक मित्र से कहा था कि वे अपनी समाधि पर नियमित 17-भुज का चिह्न चाहते हैं
- वास्तविक समाधि पर नियमित 17-भुज अंकित नहीं है
- इसके बजाय Gauss के जन्मस्थान जर्मनी के Brunswick में बने स्मारक के पीछे 17 शीर्षों वाला एक तारा उकेरा गया है
- पत्थर तराशने वाले कारीगर ने तारे का आकार इसलिए चुना क्योंकि उसे लगा कि लोग नियमित 17-भुज और वृत्त में अंतर नहीं समझ पाएँगे
1 टिप्पणियां
Hacker News की राय
Gauss के 200 साल बाद गणित बहुत आगे बढ़ चुका है, फिर भी Euclidean तरीके से construct किए जा सकने वाले विषम भुजाओं वाले regular polygons में सैद्धांतिक रूप से सबसे बड़ा कौन-सा है, यह अब भी पता नहीं है
जिन्हें जिज्ञासा हो, उनके लिए जोड़ दूँ कि जवाब Fermat primes के गुणजों के संयोजनों में घट जाता है, और 3, 5, 17, 257, 65537 के बाद कोई Fermat prime मौजूद है या नहीं, यह किसी को नहीं पता। संदर्भ: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
इस proof पर YouTube की 2 वीडियो वाली एक बेहतरीन series है
constructible regular polygon समस्या और proof की रूपरेखा: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
proof की पूरी व्याख्या: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw
अंत में UC Berkeley के 17 Gauss Way पर Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) भवन के सामने भवन संख्या की जगह इस्तेमाल किया गया construction दिखता है
“पूर्णांकों पर जोड़, घटाव, गुणा, भाग और वर्गमूल लागू करके व्यक्त की जा सकने वाली लंबाइयाँ ही ठीक-ठीक construct की जा सकती हैं” वाला हिस्सा रोचक है
दृष्टिकोण यह है कि प्राचीन यूनान की straightedge और compass, आधुनिक algebra की स्वाभाविक operations +, –, ×, /, √ से ठीक-ठीक इसलिए मेल खाते हैं क्योंकि रेखाओं और वृत्तों के equations सिर्फ इन्हीं पाँच operations का इस्तेमाल करते हैं। संबंधित: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC
किसी को भी compass और straightedge construction कुछ बार खुद करके देखने की सलाह दूँगा। यह काफी संतोषजनक और ध्यान जैसा काम हो सकता है
Oliver Byrne ने Euclid के Elements का बेहद सुंदर रंगीन edition बनाया था, और उसे online देखा जा सकता है। pen, कागज, वृत्त बनाने के लिए धागा, और सीधी रेखा खींचने के लिए किताब का किनारा तैयार रखिए और Proposition 1 से शुरू करके जितना चाहें कीजिए: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
Byrne के Elements का physical facsimile edition भी है (ISBN:9783836577380)। मेरी shelf में जोड़ी गई चीज़ों में यह सबसे बेहतरीन में से एक है, और सचमुच खूबसूरत है
जिज्ञासा है कि Gauss की कब्र के पत्थर के पीछे सच में 17-कोणीय तारा है या नहीं। online कोई photo नहीं मिल पा रही
जिसे arguably अब तक के सबसे महान गणितज्ञों में गिना जा सकता है[2], उसने अपनी teenage उम्र में की गई उपलब्धि—2000 साल से ज्यादा समय से अनसुलझी समस्या के समाधान—को सम्मानित करने के लिए एक खास tribute चाहा था, लेकिन किसी ने आलस में वह नहीं किया। पूरी कहानी, पूरे construction के साथ, यहाँ अच्छी तरह cover की गई है: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
[1] photo: https://www.atlasobscura.com/places/grave-of-carl-friedrich-...
[2] मेरा vote Euler को है, लेकिन बहुत लोग Gauss को चुनते हैं
इसके बजाय उस तारे वाली एक statue है: https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...
यह result इसलिए रोचक है क्योंकि यह दिखाता है कि सैकड़ों वर्षों में विकसित हुई algebra फिर लौटकर Euclidean geometry को बेहतर बनाती है
background knowledge न होती तो शायद मुझे यह भी समझ नहीं आता कि यह समस्या रोचक क्यों है। motivation Langlands program से काफी मिलती-जुलती है
गणित के ज्यादातर लेख पढ़कर लग सकता है कि मध्यकालीन गणितज्ञों ने कोई योगदान ही नहीं दिया
अजीब बात है कि लेखक Euclid जैसे Greek गणितज्ञों के योगदान का ज़िक्र करना नहीं भूलते, लेकिन इस मामले में वे सीधे Renaissance के बाद के गणितज्ञों, जैसे मुख्य पात्र Gauss, पर पहुँच जाते हैं और लगभग एक हजार साल को सुविधाजनक और अनभिज्ञ तरीके से छोड़ देते हैं
उस बीच लगभग एक हजार वर्षों तक Indian और Middle Eastern गणितज्ञ आगे रहे, और Āryabhaṭa, Brahmagupta, Al-Khwarizmi जैसे लोगों ने आधुनिक गणितीय समझ में महत्वपूर्ण योगदान दिए
सचमुच रोचक है, और मैं Gauss के proof को बेहतर जानने वाले किसी व्यक्ति से पूछना चाहूँगा। pentagon straightedge और compass से construct क्यों किया जा सकता है, लेकिन heptagon या 11-gon क्यों नहीं? कुछ primes संभव और कुछ primes असंभव क्यों होते हैं?
17 के मामले में Gauss ने पता लगाया कि cos(360°/17) को सिर्फ बुनियादी operations से लिखा जा सकता है: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
बाद में उन्होंने साबित किया कि हर ऐसा n-भुज constructible है जहाँ $n=2^k*p_1…*p_r$ हो और p_i Fermat prime हो (ऐसा prime जो 2^(2^m)+1 के रूप में हो; अभी ज्ञात केवल 3, 5, 17, 257, 65537 हैं). इसका उलटा, यानी बाकी सभी n constructible नहीं हैं, यह कुछ साल बाद ही साबित हुआ. “Gauss-Wantzel theorem” खोजें. मैंने proof बस सरसरी तौर पर देखा है, लेकिन यह angle के cos को construct करने की अवधारणा को Galois theory से generalize करने जैसा लगता है. Edit: या https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon देखें
complex numbers में pentagon के vertices z^5-1=0 होते हैं. इसे (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0 में factorize किया जा सकता है, और मुश्किल हिस्सा z^4+z^3+z^2+z+1=0 को solve करना है
यह equation आगे factorize नहीं होती और degree 4 है. solutions में equation की degree से जुड़ी कोई property होती है, और उस property का 4 होना महत्वपूर्ण है
compass और straightedge से सिर्फ degree 2 equations, यानी square root लेने जैसी चीज़ें ही solve की जा सकती हैं. इसे repeat करने पर degree 4 equations के कुछ हिस्से solve किए जा सकते हैं. इसलिए कुछ tricks के बाद equation solve करके pentagon खींचा जा सकता है
17 के मामले में equation z^16+z^15+...+z+1=0 है. इसलिए property 16 है और square root कई बार इस्तेमाल करना पड़ता है. हर बार solution की property दोगुनी होती है और 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 तक जाती है. नीचे दिए formula में nested और repeated square roots बहुत दिखते हैं
7 के मामले में equation z^6+z^5+...+z+1=0 है. solution की property 6 है. square roots से property को सिर्फ दोगुना किया जा सकता है, इसलिए 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ... तक जाते हैं, लेकिन property 6 वाले solution तक कभी नहीं पहुँचा जा सकता
तकनीकी details और भी हैं. उदाहरण के लिए 17-gon बनाने के लिए degree 16 equation का कुछ हिस्सा solve किया जा सकता है, लेकिन हर degree 16 equation solve नहीं की जा सकती
आम दर्शक भी basics को अपेक्षाकृत समझ सकें, इसलिए वे आसान बातों पर भी समय देते हैं; इसलिए videos काफी लंबे हों तो हैरान न हों
[1]: https://youtube.com/@anotherroof
heptagon मुझे कभी इतनी समस्या जैसा नहीं लगा
बिल्कुल exact तो नहीं कर सकता, लेकिन जितनी accuracy चाहिए उतनी तक कर सकता हूँ. कम-से-कम compass और straightedge की precision limits से टकराने तक तो संभव है
1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768... है, इसलिए यह जल्दी ही human precision की सीमा तक पहुँच जाता है
आम तौर पर 1/(2^n - 1) को infinite sum, या अनंत तक करीब जाने वाली series के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. 1/(2^n - 1) = x के 1 से infinity तक जाने पर 1/(2 ^ (x * n)) का sum है. और arc length को powers of 2 fractions में बाँटने का तरीका सबको पता है
पूरे circle से शुरू करके पहला टुकड़ा लें, फिर दूसरे टुकड़े को फिर बाँटकर पहला टुकड़ा लें, इस तरह छोटे-छोटे टुकड़े जोड़ते रहें तो 1/7 के काफी करीब पहुँचा जा सकता है. उस length को compass से मापकर बाकी हिस्से को फिर बाँटें, और जब 6 और marks लगाने पर वे शुरुआती point से लगभग मिल जाएँ, इतना recurse कर लें तो चिंता की ज़रूरत नहीं रहती
फिर भी compass और straightedge से 1/4096 precision तक जाना भी मुझे हैरान करने वाला लगेगा, और 1/32768 तो कोई भी कभी नहीं कर पाएगा
दावा यह है कि Hilbert curve पूरे square को cover करती है; square में [real number, real number] रूप के सभी bounded points शामिल होते हैं. लेकिन recursive vertex generator के rational construction में हर coordinate pair के दो values में से एक अनिवार्य रूप से rational होना चाहिए. बस denominator 2 के अनंत integer exponent वाले रूप का होता है
भले ही यह [real number, rational number] + [rational number, real number] के पूरे set को cover करे, जो असल में करता भी नहीं है, तब भी यह पूरे [real number, real number] तक नहीं पहुँचता
व्यावहारिक रूप से plane का 100% curve पर नहीं है, और साथ ही plane का 100% curve से infinitesimal distance के भीतर है
मुझे यह कहना ज्यादा दिलचस्प लगता है कि पूरा plane उसके भीतर नहीं है, बजाय इसके कि पूरा उसके भीतर है. क्योंकि असल में वह भीतर नहीं है
अगर infinite series allow कर दें तो Taylor series से किसी भी चीज़ को approximate किया जा सकता है
radius के 2*sin(π/7) के बराबर line segment ढूँढना होता है. value 0.86777 है, और square करने पर 0.7530 आता है, जो 0.75, यानी 1 - (1/2)^2 के काफी करीब है
इसलिए अगर height radius की आधी और hypotenuse radius वाला triangle बनाएं, तो दूसरी side 0.8660 होगी. वास्तविक value से फर्क 0.001 से कम है, यानी जितनी accuracy से मैं ruler और compass से बना सकता हूँ, उससे कहीं ज्यादा accurate है