चार 2 से हर पूर्णांक बनाना

• केवल चार अंक 2 से लक्ष्य संख्या बनाने वाली पहेली में, जितनी अधिक गणितीय संक्रियाओं की अनुमति दी जाती है, व्यक्त की जा सकने वाली संख्याओं की सीमा उतनी ही ज्यादा बढ़ जाती है
• सिर्फ जोड़-घटाव-गुणा-भाग से 1 से 6 तक बनाया जा सकता है, और exponent, factorial, square root जोड़ने पर 18, 28, 256, 65536 जैसी वैल्यू भी व्यक्त की जा सकती हैं
• 22 को दो 2 से बनी notation मानना, Gamma function, integration, recurring decimals, combination operators और complex numbers तक की अनुमति देने पर solutions कहीं ज्यादा विविध हो जाते हैं
• Paul Dirac का general solution nested square roots और base-2 logarithm से किसी भी natural number n को बनाता है; n expression में इस्तेमाल होने वाला अंक नहीं, बल्कि square root दोहराने की संख्या है
• मूल general expression में अंक 2 केवल तीन बार आता है, लेकिन 2 को √(2+2) से बदलने पर यह ठीक चार 2 इस्तेमाल करने वाले रूप में बदल जाता है

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चार 2 वाली पहेली कैसे फैलती है

• नियम यह है कि ठीक चार अंक 2 और गणितीय operations का इस्तेमाल करके लक्ष्य natural number बनाया जाए
• प्राथमिक स्तर की basic arithmetic operations से ही छोटी संख्याएं तुरंत बनाई जा सकती हैं
  • 1 = (2+2)/(2+2)
  • 2 = 2/2 + 2/2
  • 3 = 2·2 - 2/2
  • 4 = 2+2+2-2
  • 5 = 2·2 + 2/2
  • 6 = 2·2·2 - 2
• exponents और factorials की अनुमति देने पर expression range काफी बढ़ जाती है
  • 18 = 2^(2^2) + 2
  • 28 = (2+2)! + 2 + 2
  • 256 = (2+2)^(2+2)
  • 65536 = 2^(2^(2^2))
• notation में 22 को दो 2 के रूप में देखने का तरीका भी इस्तेमाल किया जा सकता है
  • 26 = 22 + 2 + 2
  • 11 = 22 / √(2+2)
  • 444 = 222 · 2
• 7 को बनाना मुश्किल माना जाता है, लेकिन Gamma function की अनुमति दें तो 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2 बन जाता है
• और व्यापक tools इस्तेमाल करने पर Math StackExchange thread की तरह integration, recurring decimals और combination operators शामिल करने वाले solutions भी मिलते हैं
• complex numbers का इस्तेमाल करने वाला एक उदाहरण 12 = |2 + 2√(-2)|² है

Dirac का nested square roots वाला general solution

• 1920 के दशक के mathematicians भी इस पहेली का आनंद लेते थे, और Paul Dirac ने सभी संख्याओं के लिए general solution ढूंढा
• मुख्य विचार 2 पर square root को बार-बार लागू करना है
  • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
  • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
  • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
• square root को n बार लागू करने पर रूप √√...√2 = 2^(2^-n) हो जाता है
• इस पर base-2 logarithm दो बार लागू करने से -n मिलता है
  • log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
  • log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
• इसलिए general expression इस तरह है
  • n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • यहां square root n बार दोहराया गया है
• इस expression में अंक 2 केवल तीन बार इस्तेमाल होता है, इसलिए base के 2 में से एक को √(2+2) से बदलने पर ठीक चार 2 इस्तेमाल होते हैं
  • n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
• उदाहरण के लिए 7 को square root सात बार nest करके इस तरह व्यक्त किया जा सकता है
  • 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
• इस तरीके में n expression के अंदर सीधे दिखने वाला अंक नहीं, बल्कि square root दोहराने की संख्या गिनने वाली value है; बाकी काम जरूरत के हिसाब से square root symbols बनाना है

[GN⁺]

Hacker News की राय

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