प्रायिकता कलन का परिचय

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2 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2025-02-25 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें

प्रायिकता कलन का परिचय

0. परिचय

  • यह दस्तावेज़ प्रायिकता कलन का एक संक्षिप्त परिचय है। इसमें प्रायिकता सिद्धांत की जटिल औपचारिक संरचना की बजाय भौतिक अंतर्ज्ञान और Brownian motion की व्युत्पत्ति पर ज़ोर दिया गया है।
  • probability space, measure theory, filtering जैसी तकनीकी औपचारिकताओं से बचते हुए केवल अच्छी तरह परिभाषित उदाहरणों पर विचार किया गया है।
  • इसका उद्देश्य यह व्यापक रूप से दिखाना है कि प्रायिकता कलन भौतिक दुनिया में स्वाभाविक रूप से कैसे उत्पन्न होता है।
अनुप्रयोग
  • Brownian motion और Itô calculus उन्नत गणित के ऐसे उदाहरण हैं जिनका उपयोग वास्तविक दुनिया को मॉडल करने में किया जाता है।
  • भौतिकी: Einstein ने Brownian motion का उपयोग करके परमाणुओं के अस्तित्व को सिद्ध किया।
  • वित्त: option pricing प्रायिक अवकल समीकरणों पर निर्भर करती है।
  • जीवविज्ञान: random walk प्रजातियों के प्रसार या neurons की firing को मॉडल करता है।
  • machine learning में भी इसके अनुप्रयोग लगातार बढ़ रहे हैं।

1. प्रेरणा

  • Pascal का triangle binomial distribution को समझाने के लिए उपयोग किया जाता है।
  • यह स्वतंत्र trials में success और failure की संख्या को मॉडल करता है।
  • वास्तविक दुनिया में अक्सर continuous processes शामिल होते हैं, इसलिए calculus अधिक स्वाभाविक है।

2. असतत चरणों से सतत सीमा तक

  • यह जाँचता है कि जब binomial distribution सतत रूप में बदलती है तो उसका गणितीय अर्थ क्या होता है।
  • यह समझाता है कि असतत random walk सतत सीमा में normal distribution की ओर अभिसरित करती है।
  • central limit theorem के अनुसार, कई स्वतंत्र random variables का योग normal distribution के क़रीब पहुँचता है।

3. Brownian motion की परिभाषा (Wiener process)

  • Brownian motion सतत, यादृच्छिक होती है और इसका variance समय के अनुपात में बढ़ता है।
  • Brownian motion का गणितीय मॉडल वैश्विक रूप से अनुमान योग्य हो सकता है, लेकिन स्थानीय स्तर पर पूरी तरह अप्रत्याशित होता है।

4. Itô calculus

  • Brownian motion इतनी अनियमित होती है कि यह differentiable नहीं होती।
  • Itô calculus, Brownian motion की यादृच्छिकता को संभालने के लिए एक नई प्रणाली विकसित करता है।
  • Itô lemma यादृच्छिकता के लिए chain rule प्रदान करती है।

5. प्रायिक अवकल समीकरण

  • Itô calculus, stochastic differential equations को संभालने के लिए उपकरण प्रदान करती है।
  • stochastic differential equations, निर्धारक व्यवहार और stochastic noise को मिलाकर प्रणालियों का मॉडल बनाती हैं।

6. Stratonovich calculus

  • Stratonovich calculus, Itô calculus के second derivative term को हटाकर standard chain rule को बनाए रखती है।
  • यह भौतिक प्रणालियों या गणनाओं को सरल बनाने में उपयोगी है।

परिशिष्ट

A.0. आगे पढ़ें

  • ऐसे संसाधन जो stochastic differential equations का सहज परिचय और उन्हें हल करने के तरीके प्रदान करते हैं।

A.1. संकेतन

  • दस्तावेज़ में उपयोग किए गए संकेतन की सूची प्रदान की गई है।

संबंधित पढ़ाई

1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2025-02-25
Hacker News राय

  • Langevin Dynamics वह विधि है जो सिस्टम के damped momentum और momentum में डाले गए noise का उपयोग करती है। इसका उपयोग molecular dynamics simulation और Bayesian MCMC sampling में किया जा सकता है

    • AI के संदर्भ में जब Langevin Dynamics का उल्लेख होता है, तो momentum के उपयोग को अक्सर छोड़ दिया जाता है। इसकी वजह यह है कि AI में momentum का उपयोग करने वाला gradient descent व्यापक रूप से इस्तेमाल होता है
    • "stochastic" शब्द का मतलब है कि हर step पर gradient का approximation करने के लिए data का sub-sample इस्तेमाल किया जाता है। stochasticity के दोनों रूप एक साथ लागू किए जा सकते हैं
    • उन्नत undergraduate/graduate स्तर की गणितीय पृष्ठभूमि वाले पाठकों के लिए एक उपयोगी परिचय सामग्री है: लिंक

  • stochastic calculus इस सवाल से जुड़ा है कि क्या बहुत-सी संभावित घटनाओं के unfolding को computer से simulate करना चाहिए, या फिर dW का distribution जानने पर कोई अधिक elegant mathematical तरीका है जिससे महत्वपूर्ण final outputs और probability distributions निकाले जा सकें। यह लेख शानदार है, और ऐसा महसूस कराता है कि stochastic calculus पहली बार समझ में आना शुरू हुआ है

  • हाल में सामना किया गया एक उदाहरण है

    • मान लें कि आप एक "game" खेलते हैं। 0 और 1 के बीच एक random संख्या A निकाली जाती है (uniform distribution)। उसी distribution से दूसरी संख्या B निकाली जाती है। अगर A > B हो, तो B को फिर से निकाला जाता है (A वही रहता है)। औसतन कितनी बार draw करना होगा? (दूसरे शब्दों में, A की औसत "winning streak" कितनी है?)
    • उत्तर अनंत है। कारण यह है कि कभी-कभी A बहुत बड़ा होता है, इसलिए लाखों बार draw करना पड़ सकता है

  • HN पाठकों के लिए एक सवाल: चूहों के genes में DNA differences वाले लगभग 50 स्थानों (loci) को परिभाषित किया गया है जो mortality को नियंत्रित करते हैं। इनमें से अधिकांश में जटिल age-dependent "insurance" effects हैं। मृत्यु की आयु का पूर्वानुमान लगाना है

    • क्या stochastic calculus चूहों की life expectancy के लिए insurance prediction में उपयोगी approach हो सकता है?

  • finance क्षेत्र के लोगों के लिए यह सवाल है कि इसमें से कितना रोजमर्रा के काम में उपयोगी है

  • एक वाक्य की व्याख्या में मदद की मांग है

    • "Brownian motion और Itô calculus वास्तविक दुनिया को मॉडल करने में लागू होने वाली काफी उन्नत गणित का एक उल्लेखनीय उदाहरण हैं" इस वाक्य में "Itô calculare" का क्या मतलब है, इस पर एक राय है

  • Itô calculus के बारे में अपनी समझ साझा की गई है

    • Brownian motion ही वह एकमात्र random process है जिसे हम शुरुआत में समझते हैं
    • सौभाग्य से coordinates बदले जा सकते हैं

  • stochastic calculus पढ़ने की याद साझा की गई है

    • सामान्य statistics में standard deviation, "quadratic variation" से थोड़ा अलग है, यह बात नोट की गई थी। क्यों ऐसा है, यह देखने के लिए एक note छोड़ा था। शायद stochastic volatility इसकी वजह हो सकती है

  • यह अब भी चौंकाता है कि diffusion models कितनी तेजी से AI image generation का secret sauce बन गए हैं। लेकिन उनकी जड़ें stochastic calculus में गहराई से दबी हुई हैं

    • किसने सोचा था कि Brownian motion आखिरकार cat memes बनाने में मदद करेगा