लॉग का खोया हुआ कला — Charles Petzold की वेबबुक

 (lostartoflogarithms.com)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2025-03-14 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • Charles Petzold द्वारा लिखी जा रही यह वेबबुक लॉग के इतिहास और उपयोग के ज़रिए गुणा, घात, त्रिकोणमिति, संगीत और ग्राफ जैसे विषयों को आपस में जोड़कर दिखाती है
  • इसका केंद्रीय आधार गणना के औज़ार के रूप में लॉग और slide rule है, और इसमें केवल सिद्धांत ही नहीं बल्कि स्वयं गणना करने और औज़ार बनाने की प्रक्रिया भी शामिल है
  • अध्याय शीर्षकों के रंग से लेखन की स्थिति अलग-अलग दिखाई गई है, जिससे पाठक तुरंत समझ सकते हैं कि कौन-से अध्याय लगभग पूरे हो चुके हैं और कौन-से अभी बदल रहे हैं या शुरू भी नहीं हुए हैं
  • अभी इसका professional editing नहीं हुआ है, और पूरी रचना को पूरा करने का लक्ष्य 2027 के अंत तक रखा गया है
  • यह डेस्कटॉप और लैपटॉप पर पढ़ने के लिए सबसे उपयुक्त है, जबकि iPad Mini iOS 12.5.7 और फ़ोन पर डिस्प्ले संबंधी समस्याएँ आ सकती हैं

वेबबुक का दायरा और लेखन की स्थिति

  • The Lost Art of Logarithms Charles Petzold द्वारा लिखी जा रही एक वेबबुक है
  • यह लॉग को केवल एक गणितीय अवधारणा के रूप में नहीं, बल्कि गणना और विज्ञान के इतिहास में फैले एक औज़ार के रूप में देखती है
    • लॉग क्या है
    • लॉग की उपयोगिता, इतिहास और सार्वभौमिकता
    • समतल और गोलीय त्रिकोणमिति में लॉग के ऐतिहासिक उपयोग
    • slide rule का सिद्धांत और उसका वास्तविक उपयोग
  • अध्याय शीर्षकों के रंग से लेखन के वर्तमान चरण को दिखाया गया है
    • हरा: लगभग पूरा हो चुका है और बड़े बदलाव की उम्मीद नहीं है, लेकिन छोटे संपादन, सुधार और रूप-सज्जा अभी हो सकती है
    • लाल: अधूरा है और अभी परिवर्तन जारी है
    • काला: अभी शुरू नहीं हुआ है
  • अभी professional editing नहीं हुई है, और पूर्ण होने का अनुमानित समय 2027 के अंत है

देखने का वातावरण और सामग्री-सूची की संरचना

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2025-03-14
Hacker News की राय

  • प्राथमिक और माध्यमिक पाठ्यक्रमों में log जिस तरह सिखाया जाता है, उससे कहीं बेहतर समझ तब आई जब log के मूल motivation को follow किया
    Napier के सामने जो समस्या थी—बड़े astronomical observations के values की multiplication को आसान बनाने के लिए f(ab) = f(a) + f(b) जैसी function ढूँढना—और यह सोचना कि यह खास function families तक क्यों ले जाता है, इससे बेहतर समझ आता है कि log हर जगह क्यों दिखता है
    यह उसे exponential function के inverse function के रूप में सिखाने के तरीके से अलग है; असल में ऐसी चर्चा Euler से पहले तक नहीं थी
    मुझे लगता है गणित को इस तरह सीखना ज्यादा मजेदार है: मूल लेखक किस समस्या को हल करना चाह रहा था, और उस समय कौन-से tools उपलब्ध थे, यह follow करना

    • Toeplitz की लिखी "Calculus: The Genetic Approach" गणित को historical development के जरिए समझाने का तरीका है, और यह approach https://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_method के रूप में भी शायद ज्यादा व्यापक रूप से इस्तेमाल होती है
      Felix Klein ने भी कहा था कि “छोटे पैमाने पर सीखने वाले को स्वाभाविक और अनिवार्य रूप से उस विकास को दोहराना चाहिए जिससे विज्ञान बड़े पैमाने पर गुजरा है”
    • अगर आपको यह approach पसंद है, तो Kolmogorov की Mathematics: It's Content, Methods, and Meaning की जोरदार सिफारिश करता हूँ
      यह किताब इसी तरीके को गणित की कहीं ज्यादा अवधारणाओं पर लागू करती है, और इसका आकार भी करीब 1,000 pages है
      शायद मुझे भी इस किताब के बारे में यहीं से पता चला था, तो अब मैं इसे फिर आगे पहुँचा रहा हूँ
      यह approach Soviet-style dialectical materialism philosophy से भी जुड़ी थी, जो मानती थी कि सब कुछ भौतिक जरूरतों से पैदा होता है
      मुझे नहीं पता कि मैं उस पूरी philosophy से पूरी तरह सहमत हूँ या नहीं, लेकिन Kolmogorov की किताब सचमुच आँखें खोल देने वाली लगी
    • मुझे लगता है यह तरीका front and center होना चाहिए
      इसी भावना से मैं "magnitude notation"[0] का प्रस्ताव करता हूँ। “logarithm” शब्द advanced mathematics जैसा लगता है और लोगों को दूर कर देता है, जबकि असल में मूल concept गणित को आसान और मजेदार बनाता है
      https://saul.pw/mag
    • मैं अक्सर ऐसा सोचता हूँ
      लगता है math education Euler जैसे बहुत smart और abstract सोचने वाले लोगों को आकर्षित करने की तरफ झुकी होती है—यानी ऐसे लोग जो manipulation procedures से नहीं, intuition से समझेंगे
      बाकी लोगों के लिए मूल समस्या के भीतर कुछ समय तक तैरना पड़ता है, तभी रोशनी दिखती है
    • उलटे, log exponent का inverse function है वाली सीधी व्याख्या मुझे ज्यादा अच्छी लगती है
      10^2 * 10^3 = 10^5 अपने-आप समझ में आ जाता है, इसलिए यह ज्यादा intuitive है
      इसलिए log table इस्तेमाल करने पर addition समझ में आता है। लंबा लेख जरूरी नहीं था
      log लेकर 2 + 3 = 5 जोड़िए और फिर वापस power में बदलिए, तो 10^5 मिल जाता है

  • Timing अच्छी है। कल ही मैंने slide rule इस्तेमाल करना सीखा
    एक खरीदने लगा तो options इतने ज्यादा थे कि एक छोटे rabbit hole[0] में चला गया, और कुछ slide rules तो pure art pieces जैसे दिखे
    आजकल जब हर interface glass slab है, मैं analog tools के अप्रत्याशित फायदे फिर से खोज रहा हूँ
    हाल में coding project के शुरुआती draft बनाते समय pen और paper को editor की तरह इस्तेमाल करना मुझे अच्छा लग रहा है
    जानना चाहूँगा कि क्या आपके कोई खास पसंदीदा analog tools हैं
    [0]:https://sliderulemuseum.com/

    • Math lectures सुनते हुए कभी-कभी ऐसे analog tools खरीदने का सोचता हूँ
      Hacker News पर किसी ने जापानी abacus Soroban[1] में मेरी रुचि जगाई थी, और आज भी इसका इस्तेमाल बहुत तेज mental arithmetic train करने में होता है[2]
      1. https://en.wikipedia.org/wiki/Soroban
      2. https://www.youtube.com/watch?v=s6OmqXCsYt8
    • मेरे पास कई slide rules हैं और मैं उन्हें रोज इस्तेमाल करता हूँ
      खासकर kitchen में, जहाँ ratios अक्सर adjust करने पड़ते हैं, यह सबसे अच्छा tool है
      मनचाहे scale factor पर set कर दें, फिर जिस भी ratio की जरूरत हो उसे पलक झपकते पढ़ सकते हैं
      सच कहूँ तो हैरानी है कि यह kitchen का standard equipment नहीं है
    • Soroban. जापानी abacus है
      हर number का सिर्फ एक representation होता है, और + - * / व दूसरे calculations भी किए जा सकते हैं
      http://totton.idirect.com/
    • Pen/pencil और dot paper इस्तेमाल करता हूँ। बिल्कुल अलग brain space खुलता है
    • मूल फोटो में जो आदमी 1-meter slide rule पकड़े हुए है, वह कहाँ मिल सकता है?

  • यह दिलचस्प है कि log transformation लगाने पर data अक्सर normal distribution जैसा क्यों हो जाता है
    प्राकृतिक नियम आम तौर पर multiplicative form में होते हैं। जैसे F=ma, PV=nRT
    independent identically distributed random variables को multiply करने पर central limit theorem की वजह से log-normal distribution data बनता है। क्योंकि log scale में multiplication addition है, और central limit theorem non-identically distributed cases में भी कुछ हद तक robust है
    अगर data को कई influence factors के multiply हुए result के रूप में देखें, तो इसलिए log-normal distribution निकलता है

    • central limit theorem independent identically distributed variables की मांग नहीं करता
      बस वे independent हों, variance हो, और थोड़े higher order पर काफी weak conditions पूरी हों
      इसके अलावा variables आपस में काफी अलग भी हो सकते हैं
    • मोटे marker से log-log scale पर plot करें तो हर data linear होता है

  • लॉग से जुड़ा एक तथ्य है जिसका मैंने अक्सर इस्तेमाल किया है
    अगर X 0 और 1 के बीच uniform distribution वाला random variable है, तो –ln(X)/λ rate λ वाला exponential distribution रखता है
    उदाहरण के लिए weighted random sample निकालते समय या simulation में event time generate करते समय यह उपयोगी होता है

    • इसका generalization inverse transform sampling[0] कहलाता है
      किसी भी random variable X के cumulative distribution function F के लिए, यह तथ्य इस्तेमाल करता है कि random variable Y = F(X) standard uniform distribution[1] का पालन करता है
      हर cumulative distribution function unit interval पर monotonically increasing होता है, इसलिए inverse function संभव होता है[2]
      इसलिए ऊपर वाले समीकरण के दोनों पक्षों पर inverse cumulative distribution function लगाने से F^-1(Y) = X मिलता है, यानी distribution X जैसा होता है
      standard uniform distribution से sample निकालकर फिर inverse transform का इस्तेमाल करना किसी भी distribution से random numbers generate करने का सबसे आम तरीका है
      0. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling
      1. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Probability_integral_transfo...
      2. सभी cumulative distribution functions one-to-one नहीं होते, इसलिए generalized inverse function की जरूरत पड़ सकती है
    • इसे समझने के लिए कितनी गणित पढ़नी पड़ेगी?
    • cumulative distribution function या probability density function का इस्तेमाल किए बिना भी इसे समझने का तरीका है
      जब X exponential distribution variable हो और c constant हो, तो बड़े मान होने की शर्त लगाने पर X + c का distribution X जैसा ही होता है
      दूसरे शब्दों में, दोनों variables का tail distribution समान होता है। यह गुण exponential distribution में बिल्कुल सटीक रूप से लागू होता है, और आम तौर पर इसे memorylessness कहा जाता है
      इसी तरह, अगर U [0, 1] का uniform distribution है और c constant है, तो छोटे मान होने की शर्त लगाने पर cU का distribution U जैसा ही होता है
      अगर cU 0 के पास U की तरह distributed है, तो -ln(c U) infinity के पास -ln(U) की तरह distributed होगा
      लेकिन -ln(c U) = -ln(c) - ln(U) है, इसलिए -ln(U) का tail कोई constant जोड़ने पर भी नहीं बदलता। इसलिए यह exponential distribution ही होना चाहिए

  • कुछ projects में LMAX Disruptor इस्तेमाल करना शुरू किया है
    Disruptor की एक खास बात यह है कि queue size हमेशा 2 की power होना चाहिए
    मैं चाहता था कि कोई भी size हो, कम-से-कम पर्याप्त जगह सुनिश्चित हो जाए, और manual calculation नहीं करना चाहता था, इसलिए मैंने ऐसा लिखा
    var actualSize = Double.valueOf(Math.pow(2, Math.ceil(Math.log(approxSize) / Math.log(2)))).intValue();
    एक लाइन के लिए थोड़ा ज्यादा है, लेकिन सही exponent पाने के लिए बस basic log rules का इस्तेमाल किया है
    यह high school में सीखी हुई चीज है, लेकिन कुछ colleagues ने इसे ऐसा देखा जैसे कोई अभूतपूर्व रहस्यमय गणित इस्तेमाल हो रहा हो
    शायद वे logs को Big-O notation के बाहर इस्तेमाल नहीं करते

    • बेशक वैसे भी यह पर्याप्त रूप से काम करेगा, लेकिन मैं शायद इसे इस तरह लिखता
      var actualSize = Integer.highestOneBit(approxSize - 1) << 1;
      सिर्फ इसलिए कि सादे pow() और log() के नीचे छिपे डर से बचना चाहता हूं
      Integer.highestOneBit को “leftmost bit isolation”, “most significant 1” जैसे नामों से भी जाना जाता है, और efficient implementation के लिए यह लगभग primitive operation ही होना चाहिए
      यह least significant bit वाले x&-x से अलग है
      असल CPU instruction आम तौर पर Integer.numberOfLeadingZeros के ज्यादा करीब होता है, लेकिन वहां से बस bit shift करना होता है
    • size को हर बार 1 bit right shift करते हुए, value 0 होने तक गिनती करें, तो उस size के लिए 2 का exponent मिल सकता है

  • mental math के लिए कुछ logarithms याद करने की जोरदार सिफारिश करता हूं
    इससे एक अनपेक्षित क्षमता मिली
    शुरुआत में मैंने जो पोस्ट लिखी थी, वह यहां है: https://entropicthoughts.com/learning-some-logarithms

    • ब्लॉग अच्छा है
      दिलचस्प बात यह है कि memory decay खुद भी मूल रूप से logarithmic/exponential है
      spaced repetition से logs सीखना काफी meta है
    • उस पोस्ट के बाद 1 साल तक इसे सचमुच apply करके देखने पर क्या reflections रहे, यह जानना चाहूंगा
      साथ ही, वह ब्लॉग सच में मेरे पसंदीदा blogs में से एक है

  • logarithmic differentiation भी आश्चर्यजनक रूप से fundamental concept है
    (ln(f))' = f'/f
    function theory में हमेशा इस्तेमाल होता है, लेकिन लोग अक्सर यह नहीं पहचानते कि इसका logs से संबंध है
    जिन functions में logarithmic differentiation खूबसूरती से निकलता है, वे भी उम्मीद से कहीं ज्यादा दिलचस्प हैं
    प्रकृति में Gompertz function भरे पड़े हैं, और एक बार आदत हो जाए तो वे हर जगह दिखते हैं

  • पहले दिमाग में basic log approximation calculation कर पाने की practical value थी
    calculators न होने के दौर में तेज multiplication·division या powers इसी तरह निकाले जाते थे
    Feynman की "Surely You're Joking" में Los Alamos scientists के mental log calculation speed contest की कहानी है

  • logarithms के पिता John Napier, यानी ln का N, ने लगभग एक human calculator workshop चलाते हुए करीब 20 साल तक logarithm tables बनवाए
    यह celestial navigation के लिए बहुत महत्वपूर्ण था
    समुद्र को सुरक्षित रूप से पार करने का तरीका विकसित करने वाले व्यक्ति के लिए बड़ा इनाम रखा गया था, और इसी से pocket watch के आविष्कार तक बात पहुंची

    • ln का n “natural”, यानी “logarithm natural” नहीं है क्या?

  • Huffman compression के लिए मशहूर Huffman द्वारा पढ़ाई गई class में, मैंने addition और lookup tables से multiplication करने का तरीका सीखा
    exam में calculator इस्तेमाल नहीं कर सकते थे
    लेकिन मेरी सबसे पसंदीदा trick base conversion है: https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:...
    थोड़ी practice के बाद 2 की powers, 10 की powers, और e के बीच approximate base conversion दिमाग में किया जा सकता है