अपने ही भीतर से न गुजर सकने वाला पहला आकार खोजा गया

• गणितज्ञों ने पहली बार ऐसा 3-आयामी आकार खोजा है जो अपने ही भीतर से नहीं गुजर सकता, और यह खोज ज्यामिति के बारे में हमारी पुरानी सहज धारणाओं को चुनौती देती है
• अधिकांश बहुफलक Rupert passage कहलाने वाले एक खास rotation और translation संयोजन के जरिए अपने ही प्रतिरूप को अपने भीतर से गुजार सकते हैं, लेकिन इस बार यह पुष्टि हुई कि यह नया आकार किसी भी दिशा में ऐसा नहीं कर सकता
• शोधकर्ताओं ने algorithmic तरीके से सैकड़ों मिलियन बहुफलक बनाए और सत्यापित किए, और लगभग हर मामले में passage मिल गया, लेकिन बहुत कम अपवाद भी मौजूद थे
• दो गणितज्ञों ने YouTube वीडियो से प्रेरित होकर अपना algorithm विकसित किया, 2021 के एक पेपर में अनुमान लगाया कि एक खास बहुफलक से गुजरना असंभव हो सकता है, और इस शोध ने उस संभावना को और मजबूत किया
• इस खोज से ज्यामितीय symmetry और spatial search algorithm के शोध को नई दिशा मिलती है, और इसे गणितीय आकारों की बुनियादी सीमाओं को उजागर करने वाले उदाहरण के रूप में देखा जा रहा है

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Nopert आकार की दुर्लभता और खोज की प्रक्रिया

• शोधकर्ताओं ने पुष्टि की कि Nopert (ऐसा आकार जो अपने भीतर से नहीं गुजर सकता) के उम्मीदवार बेहद दुर्लभ हैं
  • Murphy ने 2023 से सैकड़ों मिलियन बहुफलक बनाकर उन पर प्रयोग किए
  • इनमें random बहुफलक, गोले पर vertices की व्यवस्था, symmetry वाली संरचनाएँ, और कुछ vertices को जानबूझकर बदलकर बनाए गए आकार शामिल थे
• उसके algorithm ने लगभग हर आकार में Rupert passage आसानी से खोज लिया, लेकिन कुछ आकारों में अंत तक कोई passage नहीं मिला
  • अभी यह स्पष्ट नहीं है कि ये अपवाद वास्तव में Nopert हैं, या केवल ऐसे मामले हैं जिनमें passage खोजना कठिन है
• इन नतीजों ने गणितज्ञों के बीच वास्तविक Nopert के अस्तित्व की संभावना को मजबूती से संकेत दिया
  • हालांकि अगस्त 2024 से पहले तक इसका पक्का सबूत नहीं था

“No Passage” — ऐसा आकार जिसमें passage मौजूद नहीं है

• Steininger (30) और Yurkevich (29) गणित ओलंपियाड के पुराने साथी, दोस्त और शोध साझेदार हैं, जो अकादमिक दुनिया छोड़ने के बाद भी अनसुलझी समस्याओं पर साथ काम करते रहे
  • एक इंटरव्यू में उन्होंने कहा, “3 घंटे पहले भी हम pizza खा रहे थे और लगभग सिर्फ गणित की ही बात कर रहे थे,” जो उनके जुनून को दिखाता है
• 5 साल पहले, दोनों एक YouTube वीडियो जिसमें एक cube दूसरे cube के भीतर से गुजरता है देखकर Rupert समस्या से मोहित हो गए
  • इसके बाद उन्होंने अपना Rupert passage खोजने वाला algorithm विकसित किया और उन्हें भरोसा हो गया कि कुछ आकारों में गुजरना असंभव है
• 2021 के एक पेपर में उन्होंने अनुमान लगाया कि rhombicosidodecahedron Rupert आकार नहीं हो सकता
  • इसे Murphy और Grimmer के हालिया शोध से पहले “न गुजर सकने वाले ठोस” की पहली परिकल्पना के रूप में देखा जाता है
• Steininger ने कहा, “यह वह शोध था जिसमें हमने पहली बार अनुमान लगाया कि ऐसा कोई ठोस हो सकता है जिसमें यह गुण न हो।”

Nopert के प्रमाण के लिए गणितीय शर्तें

• किसी आकार के Nopert होने को साबित करने के लिए यह दिखाना होगा कि हर संभव दिशा और rotation संयोजन में Rupert passage मौजूद नहीं है
  • हर दिशा को rotation angles के एक set के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
  • इन angle sets को उच्च-आयामी parameter space के एक point के रूप में दर्शाया जा सकता है
• इसलिए प्रमाण की प्रक्रिया अंततः पूरे parameter space में खोज कर passage की अनुपस्थिति की पुष्टि करने की समस्या बन जाती है
  • यह computational रूप से बहुत जटिल है, और पूर्ण प्रमाण के लिए अनंत दिशा-संयोजनों पर विचार करना पड़ता है
• अब तक के परिणाम कंप्यूटर खोज से संभव सीमित मामलों के सत्यापन पर आधारित हैं, और पूर्ण गणितीय प्रमाण अभी भी प्रगति पर है

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Hacker News टिप्पणियाँ

• सभी मामलों को टेस्ट नहीं किया जा सकता, इसलिए एक को चुनकर उसके आसपास की बहुत-सी संभावनाओं को खारिज करने का तरीका दिलचस्प है
  हाल ही में मैंने Rupert/Nopert विषय पर एक शानदार वीडियो देखा था, और इस शोध का समय उससे मेल खाता है, इसलिए यह एक मज़ेदार संयोग लगा
  • असल में इतना संयोग भी नहीं है। लेख में tom7 का ज़िक्र है, और उसके वीडियो के आख़िरी हिस्से में इसी पेपर का सीधे उल्लेख है। यानी tom7 भी इसी समस्या को सिद्ध करने की कोशिश कर रहा था
• शीर्षक कुछ हद तक भ्रामक है। खास तौर पर sphere जैसी दूसरी आकृतियों के बारे में यह बात बहुत पहले से ज्ञात थी, और इस बार नई बात यह है कि यह पहला polyhedron है जो अपने ही भीतर से नहीं गुजर सकता
  • अधिक सटीक रूप से कहें तो इसका मतलब convex polyhedron है। फिर भी शीर्षक पर की गई आपत्ति उचित है
  • sphere को polyhedron से approximate किया जा सकता है। आम तौर पर लगता है कि ऐसे polyhedra में Rupert गुण होगा, लेकिन इस बार का Nopert इस अर्थ में अलग है कि ऊपर और नीचे के समतलों के पास के vertices का vertical axis के सापेक्ष कोण अधिक उथला है।
    सोच रहा हूँ कि क्या T-आकार वाले tetromino को उसके अपने भीतर से गुज़ारा जा सकता है
  • एक गैर-विशेषज्ञ के नज़रिए से, शीर्षक को “बिना वक्रों वाली पहली आकृति मिली” जैसा लिखा जाता तो शायद अधिक स्पष्ट होता
  • मुझे समझ नहीं आता कि sphere अपने ही भीतर से क्यों नहीं गुजर सकता। छाया के रूप में project करने पर उसका आकार diameter जितना ही होता है, इसलिए यह संभव लगना चाहिए
• इसमें दो सपाट सतहें हैं, इसलिए इसे D&D dice की तरह इस्तेमाल नहीं किया जा सकता। मैं अब भी rhombicosidodecahedron का समर्थक हूँ
• लेख में दिए गए detail के स्तर ने प्रभावित किया। गणितीय बारीकियों में फँसे बिना भी शोध को वास्तव में समझने लायक पर्याप्त जानकारी थी
• मैं Prince Rupert को सिर्फ़ उनके नाम पर बने “Prince Rupert’s drops” से जानता था, लेकिन पता चला कि वे कई क्षेत्रों में सक्रिय व्यक्ति थे
  इसके बारे में Wikipedia पर देखा जा सकता है
• हैरानी है कि इस तरह के गुण के लिए अभी तक “anisotransient” जैसा कोई शब्द नहीं है
• अगर सिर्फ़ एक ऐसा उदाहरण ढूँढना भी इतना कठिन था, तो अगला नतीजा शायद यह होगा कि “लगभग सभी convex polyhedra अपने ही भीतर से नहीं गुजर सकते”
• क्या ज़रूरी है कि इसे सीधी रेखा में ही गुज़रना हो? घूमते हुए पार होने का मामला भी सोचा जा सकता है, जैसे block puzzle या सोफ़े को मोड़ पर घुमाकर निकालना
  लेख इसे सीधी रेखा में पार करने तक सीमित रखता है, और ज़्यादातर analysis भी shadow projection तकनीकों का उपयोग करता है, इसलिए मानक भी सीधी रेखा वाला है। लेकिन मूल शर्त तो बस “उसकी प्रति को उसके भीतर से गुज़ारना” थी, इसलिए मुझे लगता है कि rotation भी स्वीकार्य तरीका हो सकता है
  • लेकिन यह समस्या convex polyhedra तक सीमित है, इसलिए rotation से मदद मिलने की संभावना कम लगती है
• सोचता हूँ कि इस तरह के शोध पर समय क्यों लगाया जाता है। क्या यह सिर्फ़ जिज्ञासा है, या बाद में इसका कोई व्यावहारिक मूल्य भी निकलता है? यह कला के अधिक क़रीब लगता है
  • समस्या खुद शायद व्यावहारिक न हो, लेकिन इसे हल करने के लिए विकसित की गई तकनीकें दूसरे क्षेत्रों में काम आ सकती हैं।
    और सिर्फ़ शुद्ध जिज्ञासा के कारण शोध करना भी अपने आप में पूरी तरह मूल्यवान है
  • उदाहरण के लिए, दशकों तक matrix transforms और surface normals जैसी अमूर्त गणित का अध्ययन हुआ, और 1980 के दशक में वे computer graphics की मुख्य तकनीक बन गईं
  • कभी-कभी ऐसा शोध Velcro या self-locking mechanisms जैसे व्यावहारिक आविष्कारों तक भी पहुँचता है। अगर कोई इनके बीच संबंध खोज ले, तो वह दुनिया को थोड़ा-थोड़ा बदल सकता है
• आम नज़रिए से देखें तो Nopert उम्मीदवार धीरे-धीरे sphere के क़रीब जाती आकृतियाँ ही लगती हैं। sphere में तो Rupert tunnel हो नहीं सकता
  • सही है। faces बढ़ने के साथ वे दृश्य रूप से sphere के और क़रीब लगते हैं। लेकिन sphere का non-Rupert होना तो तुच्छ है; ज़्यादा दिलचस्प सवाल यह है कि क्या कोई convex polyhedron non-Rupert हो सकता है
  • सोचता हूँ कि faces जोड़ते जाने पर यह कब तक संभव रहता है। शायद यह अनंत तक संभव हो, या बीच-बीच में Nopert मिलते रहें। या फिर धीरे-धीरे Nopert इतने बढ़ जाएँ कि उन्हें ढूँढना मुश्किल हो जाए। मैं खुद इस पर प्रयोग करना चाहूँगा
  • लेकिन अहम बात यह है कि वे sphere नहीं हैं