Erdos 281 का समाधान ChatGPT 5.2 Pro से हुआ

 (twitter.com/neelsomani)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2026-01-19 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • Erdős #281 एक ऐसी समस्या है जो इस स्थिति को मानकर चलती है कि चाहे अनंत संख्या में congruences को कैसे भी चुना जाए, ऐसे पूर्णांक लगभग बचते ही नहीं जो उनमें से किसी भी congruence में न आते हों
  • सवाल यह है कि यदि यह स्थिति सच हो, तो क्या वास्तव में सभी अनंत congruences का उपयोग किए बिना भी केवल शुरुआती कुछ congruences से लगभग सभी पूर्णांकों को छांटा जा सकता है
  • Neel Somani ने GPT-5.2 Pro का उपयोग करके इस प्रश्न का एक समाधान प्रस्तुत किया, और कई गणितज्ञों ने तर्क के मुख्य चरणों पर केंद्रित होकर उसकी समीक्षा और परिष्कार किया
  • अलग-अलग पूर्णांकों की सीधे गणना करने के बजाय, पूर्णांकों के पूरे समुच्चय को एक space मानकर density और limit के गुणों से समस्या पर काम करने का तरीका अपनाया गया
  • यह भी सामने आया कि वही निष्कर्ष पहले से ज्ञात प्रमेयों के संयोजन से भी निकाला जा सकता है, और इस कड़ी पर लंबे समय तक ध्यान क्यों नहीं गया, इस पर भी चर्चा आगे बढ़ी

Erdős Problem #281 — चर्चा का मुख्य प्रमेय

  • Erdős #281 एक ऐसी समस्या है जिसमें अनंत संख्या में congruences दिए जाने पर यह स्थिति मानी जाती है कि उन congruences को चाहे जैसे चुना जाए, अंततः लगभग सभी पूर्णांक उनमें से किसी न किसी में शामिल हो जाते हैं
  • मान लिया गया है कि यदि सभी congruences लागू किए जाएँ, तो ऐसे पूर्णांक लगभग नहीं बचते जो किसी भी congruence में न आते हों
  • प्रश्न यह उठता है कि यदि यह गुण सही है, तो क्या वास्तव में अनंत संख्या में congruences को अंत तक उपयोग किए बिना भी केवल शुरुआती कुछ congruences से लगभग वही प्रभाव मिल सकता है
  • प्रश्न की संरचना यह है कि जो परिणाम अनंत चरण पर सही है, क्या वह अपने-आप सीमित चरण पर भी सुनिश्चित हो जाता है
  • सबसे खराब residual class चयन को हमेशा अनुमति देने वाली शर्त के तहत, क्या केवल सीमित संख्या की congruences पर्याप्त होंगी, यही मुख्य कठिनाई है

Neel Somani और GPT-5.2 Pro समाधान का दृष्टिकोण

  • अलग-अलग पूर्णांकों को एक-एक करके देखने के बजाय, पूरे पूर्णांक समुच्चय को एक space मानकर density की अवधारणा से समस्या को देखने का दृष्टिकोण
  • पहली k congruences से बचने वाले पूर्णांकों के समुच्चय को एक स्वतंत्र वस्तु की तरह परिभाषित करने का तरीका
  • k के बढ़ने पर यह समुच्चय लगातार छोटा होता जाता है, और अनंत चरण के परिणाम की ओर अभिसरित होता है—इस संरचना का उपयोग
  • इस मान्यता से कि सभी अनंत congruences से बचने वाले पूर्णांक लगभग नहीं हैं, यह तर्क निकाला जाता है कि सीमित चरण पर भी यह समुच्चय पर्याप्त रूप से छोटा होना ही चाहिए
  • limit, average और translation गुणों का उपयोग करके समग्र तर्क-प्रवाह बनाया गया

समीक्षा प्रक्रिया और चर्चा का विकास

  • प्रस्तुत समाधान में limit लेने के क्रम और average को संभालने की प्रक्रिया की वैधता पर गहन समीक्षा हुई
  • कुछ चरणों में अतिरिक्त व्याख्या और परिष्कार की आवश्यकता होने की बात सामने आई
  • कई गणितज्ञों ने सार्वजनिक रूप से तर्क की जांच की और चरण-दर-चरण उसके अर्थ को अधिक स्पष्ट किया
  • परिणामस्वरूप, तर्क की केंद्रीय संरचना बनी रही, लेकिन उसे अधिक स्पष्ट रूप में निखारा गया

शास्त्रीय प्रमेयों से संबंध

  • यह पुष्टि हुई कि वही निष्कर्ष पहले से ज्ञात प्रमेयों के संयोजन से भी निकाला जा सकता है
  • अनंत शर्तों के तहत density convergence को संभालने वाले परिणाम और सीमित शर्तों में worst case को समझाने वाले प्रमेय के मेल की बात सामने आई
  • इस संबंध से यह संरचना उजागर हुई कि अनंत चरण का गुण सीमित चरण में भी मजबूत रूप से प्रतिबिंबित होता है
  • इस पर भी चर्चा बढ़ी कि ऐसी कड़ी लंबे समय तक स्पष्ट रूप से व्यवस्थित क्यों नहीं की गई

यह मामला ध्यान क्यों खींच रहा है

  • यह एक ऐसा उदाहरण है जिसमें बहुत पहले रखी गई समस्या को AI-आधारित समाधान प्रस्ताव के कारण फिर से व्यापक ध्यान मिला
  • AI ने अकेले पूरी तरह तैयार उत्तर दिया, ऐसा नहीं; बल्कि उसने एक नए दृष्टिकोण से चर्चा को आगे बढ़ाया
  • इससे यह बात स्पष्ट हुई कि किसी समस्या को किस भाषा और किस ढांचे में रूपांतरित करके सोचा जाता है, उससे उसकी कठिनाई बहुत बदल सकती है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2026-01-19
Hacker News की राय
  • पहले कहा गया था कि इसका कोई समाधान नहीं है, लेकिन अब मौजूदा समाधान मिल गया है
    इसलिए LLM द्वारा बनाया गया प्रमाण Terence Tao के wiki section 2 में स्थानांतरित कर दिया गया है
    संबंधित चर्चा erdosproblems फ़ोरम पोस्ट में है
    • Tao की बात दिलचस्प है — नया प्रमाण मौजूदा साहित्य के प्रमाण से काफी अलग बताया गया है
      और भी अजीब बात यह है कि वह प्रमाण खुद Erdős के पेपर में था, फिर भी उन्होंने इसे अनसुलझी समस्या के रूप में छोड़ा था
    • लगता है ऐसे मॉडल ज्ञान के बिंदुओं को जोड़ने वाले प्राकृतिक भाषा सर्च इंजन की तरह काम करते हैं, जिन्हें इंसान जोड़ नहीं पाए
    • दरअसल यह मामला दिखाता है कि समस्या खुद इतनी महत्वपूर्ण नहीं थी
      समाधान पहले से मौजूद था और किसी को पता नहीं था, क्योंकि लोगों ने उस पर ध्यान नहीं दिया
      सिर्फ पुराने साहित्य में खोजकर उसे ‘नई प्रगति’ कहना शायद भ्रमित प्रगति हो सकता है
      शुद्ध गणित का बड़ा हिस्सा आखिरकार बौद्धिक पहेली-खेल जैसा महसूस होता है
  • Erdos समस्याओं की प्रकृति को लेकर जिज्ञासा थी — क्या ये वे कठिन समस्याएँ हैं जिनसे गणितज्ञ सालों तक जूझते रहे, या बस उपेक्षित समस्याएँ हैं
    Tao के wiki explanation के अनुसार,
    Erdos समस्याओं की कठिनाई बहुत अलग-अलग है, और उनमें कुछ को AI के लिए अनुकूल निम्न-कठिनाई वाली समस्याएँ माना जाता है
    • Erdos बेहद उत्पादक गणितज्ञ थे और bounty problems देना पसंद करते थे
      आसान समस्याएँ भी “ऐसी थीं जिन्हें सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ भी तुरंत हल नहीं कर पाते,” इसलिए वे AI की क्षमता मापने के लिए उपयुक्त हैं
      जैसे-जैसे AI आगे बढ़ेगा, वह और कठिन समस्याओं की ओर कठिनाई की सीढ़ी चढ़ेगा
    • बहुत चिंता की ज़रूरत नहीं है। Tao और लेखक, दोनों की Erdos समस्याओं में खास दिलचस्पी नहीं थी,
      और उन्हें यह भी पता नहीं था कि वह प्रमाण खुद Erdos के पेपर में मौजूद था
      फिर भी Fediverse और Twitter पर इसे LLM breakthrough कहकर उछाला जा रहा है
  • Tao द्वारा फ़ोरम में छोड़ी गई टिप्पणी के अनुसार,
    यह प्रभावशाली था कि LLM ने limit interchange या quantifier handling की गलतियों से बचाव किया
    उनका कहना था कि पिछली पीढ़ी के मॉडल ऐसे हिस्सों में गलती कर जाते
    और उन्होंने बताया कि इस नतीजे को wiki के section 1 में दर्ज किया गया था
    • बाद में किसी ने साहित्य और खंगाला, तो 1936 के Davenport और Erdos के पेपर में
      वही परिणाम पहले से सिद्ध पाया गया
      Tao ने टिप्पणी की, “नया प्रमाण मौजूदा प्रमाण से अलग है, लेकिन इसे section 2 में ले जाया जाएगा”
  • लगता है AI को पहले अपने दावों को ही साबित करना चाहिए
    ताज़ा मॉडल आत्मविश्वास से “100% perfect code” कहते हैं, लेकिन असल में crash हो जाते हैं
    z.ai पर भुगतान की कोशिश में भी त्रुटि आई, इसलिए खरीदना भी संभव नहीं हुआ
    LLM चौंकाने वाली तकनीक है, लेकिन साथ ही ज़रूरत से ज़्यादा बढ़ा-चढ़ाकर आंकी गई तकनीक भी है
    • AI के code को सत्यापित करने के लिए इंसानों की तरह test या evidence चाहिए
      logs या execution results जैसे प्रत्यक्ष प्रमाण ज़रूरी हैं
    • model और app में फ़र्क करना चाहिए
      model सिर्फ टेक्स्ट बनाता है, और app को उसका सत्यापन करना चाहिए
      लेकिन पूरी तरह सही टेक्स्ट generation अभी असंभव है
  • Tao की सीधी भागीदारी वाला erdosproblems forum thread मौजूद है
  • जिज्ञासा थी कि क्या यह प्रमाण सचमुच सत्यापित हुआ है
    क्योंकि LLM को अक्सर बहुत आत्मविश्वास से गलत जवाब देते देखा गया है
    OpenAI की memory policy और model access restrictions भी एक दिलचस्प विषय हैं
    • Tao ने खुद इसे approve किया है। उससे ज़्यादा पक्का सत्यापन शायद नहीं होगा
  • हाल में Harmonic के Aristotle द्वारा Erdős problem 728 को हल करने की पोस्ट आई थी
    इस बार कहा जा रहा है कि ChatGPT 5.2 ने 1 घंटे में जवाब दे दिया,
    लेकिन यह दोहराने योग्य है या नहीं, उसने ऐसा समाधान क्यों दिया, और असल में क्या सिद्ध किया गया — यह स्पष्ट नहीं है
    Tao का सत्यापन भरोसा देता है, लेकिन अंत में सवाल यही रहता है: “क्या मॉडल को शुद्ध गणित के लिए बेहतर तरीके से train किया गया है?”
    पिछला मामला और ChatGPT session link देखें
    • 49 दिन पहले भी #124 समस्या AI द्वारा सिद्ध किए जाने का मामला था
      संबंधित लिंक
    • यह उन कोशिशों की श्रृंखला में से एक है जहाँ LLM गणितीय समस्याओं के candidate proofs बनाते हैं,
      और फिर Lean जैसे formal proof systems से उनका सत्यापन किया जाता है
      Tao पहले प्रमाण की शुद्धता देखते हैं, फिर literature search से उसकी नवीनता जाँचते हैं
      अभी पूरी तरह नए प्रमाण लगभग नहीं हैं, लेकिन नई approaches सामने आ रही हैं
      यह मामला भी पहले नया प्रमाण लगा था, लेकिन आखिरकार यह Erdos को पहले से ज्ञात परिणाम निकला
  • Deepseek को वही prompt दिया गया तो उसने ChatGPT से कहीं तेज़ हल कर दिया
    दोनों प्रमाण Opus में डालने पर कहा गया कि उसने उनकी समतुल्यता की पुष्टि की
    • लेकिन इस पर आपत्ति आई कि “यह तो लगभग ऐसा है जैसे मुहर तुमने खुद लगा दी,”
      और अगर सूक्ष्म सत्यापन कमज़ोर हो तो पूरा प्रमाण ढह सकता है
    • गणितीय रूप से intersection density वाला हिस्सा पर्याप्त है या नहीं, इस पर भी सवाल उठाया गया
      उदाहरण के तौर पर (U_k) सेट लेकर संभावित counterexample का ज़िक्र किया गया
    • Kimi-k2 का reasoning block भी साझा किया गया
    • यह भी पूछा गया कि कहीं Deepseek ने मौजूदा समाधान रट तो नहीं रखा था
      संबंधित चर्चा के लिए यह टिप्पणी देखें
    • कुछ लोगों की राय थी कि Opus गणित के लिए उपयुक्त नहीं है
      ChatGPT या Gemini Pro की तुलना में इसकी गणितीय शुद्धता कम है
  • हैरानी की बात है कि LLM proofs का बड़ा हिस्सा गैर-विशेषज्ञों से आ रहा है
    इससे यह सवाल उठता है कि क्या कुछ पेशेवर गणितज्ञ AI का उपयोग कर रहे हैं लेकिन बता नहीं रहे
    • वास्तव में ज़्यादातर विशेषज्ञों को शायद लगता है कि “मेरे विशेषज्ञता-क्षेत्र में LLM बेवकूफ़ है”
    • ऐसा अनाम AI उपयोग जल्द सामान्य हो सकता है
      जैसे खेलों में doping race होती है, वैसे ही सब पीछे न रह जाएँ इसलिए इसका उपयोग करेंगे
      और AI का उपयोग नियमों का उल्लंघन भी नहीं है
    • व्यावहारिक रूप से संभव है कि विशेषज्ञ पहले ही कोशिश कर चुके हों,
      लेकिन LLM अभी तक वास्तविक प्रगति देने में सफल नहीं हुए हों
    • AI contribution को कैसे दर्ज किया जाए, इस पर सोच चल रही है
      निजी तौर पर acknowledgement की एक पंक्ति उचित लगती है
      गणित postdoc के रूप में GPT 5.2 का उपयोग करने पर लगा कि यह कम झूठ बोलता है और असफल होने पर ईमानदार रहता है
      जबकि Gemini 3 के बारे में कहा गया कि गलत होने पर यह काल्पनिक प्रमेय गढ़ने की प्रवृत्ति रखता है
  • जिज्ञासा है कि LLM द्वारा हल की गई Erdos समस्याएँ सिर्फ ऐसी आसान समस्याएँ हैं जिन्हें इंसानों ने छुआ नहीं,
    या फिर वे सच में मौलिक शोध उपलब्धियाँ हैं
    • Tao की wiki disclaimer के अनुसार,
      Erdos समस्याओं में कठिनाई का फैलाव बहुत बड़ा है, और AI द्वारा आसानी से हल की जा सकने वाली निम्न-कठिनाई समस्याओं का एक समूह मौजूद है
    • फिर भी LLM द्वारा ऐसी निम्न-कठिनाई समस्याओं को व्यवस्थित करना मूल्यवान है
      अगर कोई समस्या Erdos सूची में है, तो कम-से-कम यह संभव है कि किसी ने उसे कभी न कभी आज़माया हो