GPT-5.6 ने prompt के जरिए convex optimization में 30 साल की खाली जगह भरी

 (old.reddit.com)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 1 일 전 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • उपलब्ध कराया गया लेख GPT-5.6 या convex optimization के बारे में नहीं, बल्कि group theory के उस theorem पर है जो सभी finite simple groups को 18 infinite series और 26 sporadic groups में classify करता है
  • finite simple groups, prime numbers की तरह finite groups के बुनियादी building blocks हैं, लेकिन एक ही composition series वाले non-isomorphic groups मौजूद हो सकते हैं, इसलिए सिर्फ building blocks से original group uniquely निर्धारित नहीं होता
  • classification proof में लगभग 100 लोगों द्वारा 1955~2004 के बीच मुख्यतः प्रकाशित सैकड़ों papers और tens of thousands pages शामिल हैं; छूटा हुआ quasithin groups case Aschbacher और Smith ने 1,221 pages में prove किया, जिसके बाद 2004 में completion घोषित की गई
  • proof छोटे 2-rank groups को handle करने के बाद बाकी को component type और characteristic 2 type में बांटता है, और हर candidate simple group की existence और uniqueness verify करता है
  • अत्यधिक लंबे first-generation proof को simplify और integrate करने वाला second-generation proof लगातार publish हो रहा है, और यह classification graph isomorphism problem के theoretical algorithms तथा group theory और permutation group के कई results में इस्तेमाल होती है

finite simple groups का classification और भूमिका

  • finite simple groups का classification यह तय करता है कि isomorphism को छोड़कर हर finite simple group इनमें से एक है
    • prime order का cyclic group
    • order 5 या उससे अधिक वाला alternating group
    • Lie type simple groups की 16 infinite series
    • 26 sporadic groups
  • इन्हें मिलाने पर 18 infinite series और 26 exceptions बनते हैं
    • Tits group को strict Lie type group नहीं माना जाता, इसलिए कभी-कभी इसे sporadic group में रखा जाता है; इस convention में sporadic groups 27 हो जाते हैं
  • simple groups, Jordan–Hölder theorem द्वारा परिशोधित अर्थ में finite groups के basic building blocks हैं
    • integers के prime factorization के विपरीत, एक ही composition series से कई non-isomorphic groups निकल सकते हैं, इसलिए extension problem का solution unique नहीं होता
  • finite groups या finite groups की actions से जुड़े problems को simple groups की हर series और sporadic groups के अनुसार checking में reduce किया जा सकता है

proof का scale और completion

  • पूरा proof लगभग 100 लोगों द्वारा लिखे गए सैकड़ों papers और tens of thousands pages से बना है, जिनमें से अधिकांश 1955~2004 में प्रकाशित हुए
  • Daniel Gorenstein ने 1983 में classification की completion घोषित की थी, लेकिन quasithin groups proof के बारे में गलत जानकारी मिलने के कारण यह premature था
  • Michael Aschbacher और Stephen D. Smith ने छूटे हुए quasithin groups case को 1,221 pages में prove किया, जिसके बाद Aschbacher ने 2004 में completion घोषित की
  • 2008 में Mathieu group M22 के Schur multiplier calculation error की वजह से छूटे standard component cases को Harada और Solomon ने पूरा किया
  • Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon ने proof के simplified और corrected versions चरणबद्ध तरीके से publish किए

proof का बड़ा विभाजन

  • Gorenstein की दो volumes low rank और odd characteristic हिस्से का overview देती हैं, और Aschbacher, Lyons, Smith आदि ने बचे हुए characteristic 2 cases को तीसरी volume में handle किया
  • पूरी classification की structure यह है कि पहले छोटे 2-rank groups, component type groups, characteristic 2 type groups को handle किया जाता है, फिर हर candidate की existence और uniqueness verify की जाती है
  • sectional 2-rank 5 या उससे अधिक होने पर MacWilliams के result और balance theorem का उपयोग करके simple groups को component type या characteristic 2 type में बांटा जाता है
    • low 2-rank में signalizer functor theorem आदि के लिए जरूरी rank conditions पूरी नहीं होतीं, इसलिए यह विभाजन ज्यों का त्यों लागू नहीं किया जा सकता

छोटे 2-rank groups

  • 2-rank 0 वाले odd order groups Feit–Thompson theorem के अनुसार सभी solvable groups हैं
  • 2-rank 1 में Sylow 2-subgroup cyclic group या generalized quaternion group होता है
    • transfer map और Brauer–Suzuki theorem लागू करने पर order 2 के cyclic group को छोड़कर कोई simple group नहीं होता
  • 2-rank 2 में Sylow subgroup dihedral, semidihedral, wreath type या (U_3(4)) का Sylow 2-subgroup होना चाहिए
    • Gorenstein–Walter theorem पहले case में (L_2(q)) और (A_7) देता है
    • Alperin–Brauer–Gorenstein theorem अगले दो cases में (L_3(q)), (U_3(q)), (M_{11}) देता है
    • Lyons ने दिखाया कि आखिरी case की एकमात्र simple possibility (U_3(4)) है
  • sectional 2-rank 4 या उससे कम वाले groups Gorenstein–Harada theorem से classify होते हैं
  • खास तौर पर rank 2 या उससे कम की classification ordinary और modular character theory पर बहुत निर्भर करती है, जिसका अन्य classification areas में लगभग direct use नहीं होता

component type groups

  • किसी involution के centralizer (C) में अगर (C/O(C)) का component हो, तो उसे component type में classify किया जाता है
    • (O(C)), (C) का maximum odd order normal subgroup है
  • मुख्य objects odd characteristic के high-rank Lie type groups, alternating groups और कुछ sporadic groups हैं
  • B-theorem दिखाता है कि (C/O(C)) के सभी components, (C) के components की images हैं, जिससे involution के core द्वारा बनी बाधाएं हटती हैं
  • centralizer के component के रूप में आने वाले छोटे quasisimple groups को inductively already known मानकर, ज्ञात सभी finite simple groups के central extensions के लिए possible simple groups की जांच की जाती है
  • 26 sporadic groups और 16 Lie type series ही नहीं, बल्कि small fields, low ranks के exceptional behaviour और even/odd characteristic के differences को भी अलग से handle करना पड़ता है

characteristic 2 type groups

  • अगर हर 2-local subgroup (Y) का generalized Fitting subgroup (F^*(Y)) एक 2-group हो, तो वह characteristic 2 type है
  • ये मुख्यतः characteristic 2 वाले fields पर Lie type groups हैं, और इनमें कुछ alternating groups, sporadic groups और odd characteristic groups भी शामिल हैं
  • relevant rank, nontrivial 2-subgroup को normalize करने वाले odd abelian subgroups का maximum rank है
    • characteristic 2 के Lie type groups में यह अक्सर Cartan subalgebra के rank के बराबर होता है, लेकिन हमेशा नहीं
  • rank 1 के thin groups को Aschbacher ने, और rank 2 के quasithin groups को Aschbacher और Smith ने classify किया
  • rank 3 या उससे ऊपर के cases trichotomy theorem के अनुसार तीन classes में बंटते हैं
    • GF(2) type को मुख्यतः Timmesfeld ने classify किया
    • odd primes के लिए standard type को Gilman–Griess theorem और आगे के work ने handle किया
    • uniqueness type में Aschbacher के results के अनुसार कोई simple group नहीं है
  • general high-rank results अधिकतर characteristic 2 वाले fields पर rank 3 या 4 से ऊपर के Lie type groups पर आकर समाप्त होते हैं

existence और uniqueness

  • structural classification जब हर candidate को characterize कर देती है, तो यह भी अलग से prove करना पड़ता है कि उस characteristic को satisfy करने वाला simple group वास्तव में exists करता है और unique है या नहीं
  • Monster group की शुरुआती existence और uniqueness proof ही लगभग 200 pages की थी
  • Thompson और Bombieri द्वारा Ree group identification पूरी classification के सबसे कठिन parts में से एक था
  • कई sporadic groups की existence proofs और कुछ uniqueness proofs ने शुरुआत में computer calculations का उपयोग किया, लेकिन अधिकांश को बाद में छोटे hand proofs से replace कर दिया गया

Gorenstein का 16-step program

  • Gorenstein ने 1972 में classification पूरी करने के लिए program announce किया, और final classification ने broadly इसी outline का पालन किया
    1. low 2-rank groups
    2. 2-layer की semisimplicity
    3. odd characteristic का standard type
    4. Aschbacher के classical involution theorem के जरिए odd type groups की classification
    5. quasistandard type
    6. central involutions
    7. alternating groups की classification
    8. कुछ sporadic groups
    9. Aschbacher द्वारा 1978 में classify किए गए thin groups
    10. odd prime (p) के लिए strongly (p)-embedded subgroups वाले groups
    11. odd primes के लिए McBride द्वारा 1982 में solve किया गया signalizer functor method
    12. Aschbacher द्वारा handle किए गए characteristic (p) type groups
    13. 2004 में Aschbacher और Smith द्वारा complete किए गए quasithin groups
    14. low 2-local 3-rank groups
    15. standard type वाले 3-element centralizers
    16. Gilman–Griess theorem का उपयोग करके characteristic 2 type simple groups की classification

ऐतिहासिक विकास

  • 1832 में Galois ने normal subgroups introduce किए और (A_n) तथा (PSL_2(\mathbf F_p)) simple groups खोजे, और Cayley ने 1854 में abstract groups define किए
  • Mathieu ने 1861~1873 में पहले sporadic simple groups, यानी पांच Mathieu groups introduce किए, और Hölder ने 1892 में finite simple groups की classification को task के रूप में रखा
  • 20वीं सदी के पहले भाग में Sylow theorems, character theory, modular characters, Fitting subgroups और finite fields पर classical groups ने foundation बनाया
  • 1955 में Brauer–Fowler theorem ने दिखाया कि दिए गए involution centralizer वाले finite simple groups की संख्या finite होती है, जिससे centralizer-based approach को बढ़ावा मिला
  • Chevalley, Steinberg, Suzuki, Ree ने 1955~1961 के दौरान कई नई Lie type simple groups series introduce कीं
  • Feit और Thompson ने 1963 में odd order theorem prove किया, और 1960~1970 के दशक में Sylow 2-subgroup structures और involutions का उपयोग करने वाले कई classification theorems complete हुए
  • 1966 में Janko group J1 की discovery के बाद कई sporadic groups खोजे गए, और Janko ने 1976 में आखिरी खोजे गए sporadic group J4 को introduce किया
  • 1973 में baby monster और monster की discovery ने Thompson group और Harada–Norton group की discovery तक पहुंचाया
  • 1974 में Gorenstein–Harada theorem ने बचे हुए simple groups को component type और characteristic 2 type में split किया
  • 1977 के classical involution theorem के बाद अधिकांश simple groups को handle कर पाना संभव हुआ, और classification completion करीब मानी जाने लगी
  • 1981 में Bombieri ने Ree group characterization complete किया, और 1982 में Griess ने Monster group को hand construction से बनाया
  • 1983 में trichotomy theorem ने characteristic 2 type high-rank groups को तीन subcases में बांटा, लेकिन उसी साल की completion announcement में quasithin groups की gap बाकी थी
  • 1985 में Atlas of Finite Groups ने 93 finite simple groups की basic information शामिल की
  • 2012 में Gonthier और collaborators ने उस समय Coq रहे Rocq का उपयोग करके Feit–Thompson theorem का computer-verified version publish किया

second-generation और third-generation proofs

  • लगभग 1985 तक के proofs को first generation कहा जाता है, और extreme length के कारण एक simpler second-generation classification proof पर काम शुरू हुआ
  • 2023 तक Gorenstein, Lyons, Solomon और Inna Capdeboscq आदि ने 10 volumes publish किए
    • Solomon ने 2012 में अनुमान लगाया था कि लगभग 5 और volumes की जरूरत होगी, लेकिन progress धीमी मानी
    • नए proof का अनुमान लगभग 5,000 pages था, लेकिन volume 9 और Aschbacher–Smith की writings को शामिल करने पर यह length पहले ही पहुंच चुकी थी और additional volumes तैयार हो रही थीं
  • simplification इसलिए संभव है क्योंकि final classification list पहले से known है, इसलिए required scope के हिसाब से techniques चुनी जा सकती हैं
    • first generation में sporadic groups की संख्या तक known नहीं थी, और कुछ Janko groups proof process के दौरान discover हुए
    • independent special-case theorems को एक organized proof में integrate करके case handling को तब तक defer किया जा सकता है जब तक stronger assumptions apply न हों
    • repeated series identification को नए case splits से हटाया जा सकता है
    • finite group theory का experience और नई techniques भी accumulate हुईं
  • downside यह है कि पहले के comparatively short individual theorems अब पूरी classification पर dependent हो जाते हैं
  • Aschbacher ने Meierfrankenfeld, Stellmacher, Stroth आदि के work को third-generation program कहा, और amalgam methods से characteristic 2 के सभी groups को uniformly handle करना इसके goals में से एक है

short proof मुश्किल क्यों है

  • 26 sporadic groups की वजह से कोई भी proof कई special cases शामिल करने की संभावना रखता है, और Dynkin diagram द्वारा compact Lie group classification जैसी साफ और unified parameterization ज्ञात नहीं है
  • group जिस geometric object पर action करता है उसे construct करके फिर उसे classify करने का प्रस्ताव भी था
    • actual classification BN-pair जैसी geometric structures खोजती है, लेकिन यह simple group structure के लंबे analysis के बाद ही संभव होता है
  • representation theory उन low-rank cases में अच्छी तरह काम करती है जहां subgroups को बहुत precisely control किया जा सकता है
    • high-rank में representation theory के जरिए classification simplify करने में सफलता नहीं मिली

classification से उपयोग हुए results

  • 1982 में bounded-degree graph isomorphism problem के polynomial-time decision result सहित उस समय के best theoretical algorithm developments में इसका उपयोग हुआ
  • Schreier conjecture, signalizer functor theorem, B conjecture और सभी groups के लिए Schur–Zassenhaus theorem में इसका इस्तेमाल हुआ
    • अंतिम result के लिए पूरी classification नहीं, केवल Feit–Thompson theorem चाहिए
  • finite set पर nontrivial transitive permutation group में prime power order वाला fixed-point-free element मौजूद होता है
  • 2-transitive permutation groups और rank 3 permutation groups की classification, Sims conjecture और (x^n=1) के solutions की संख्या पर Frobenius conjecture में भी इसका उपयोग होता है
  • non-abelian finite simple groups को commuting graph से characterize किया जाता है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 1 일 전
Hacker News की राय

  • मैं इस क्षेत्र के बारे में थोड़ा जानता हूं, और यह conjecture OpenAI द्वारा हाल ही में prove किए गए cycle double cover conjecture की तुलना में कुछ हद तक niche है, लेकिन यह निश्चित रूप से एक वास्तविक योगदान है।
    यह convex Lipschitz functions के optimization problem को solve करने में लगने वाले समय से जुड़ा है, और spherical domain की restriction मौलिक नहीं है क्योंकि bounded domain में variables बदले जा सकते हैं। Time complexity की upper bound algorithm के running time से आसानी से दिखाई जा सकती है, लेकिन meaningful lower bound prove करना कहीं ज्यादा कठिन है क्योंकि उसे सभी algorithms पर constraint लगाना पड़ता है।
    लगता है कि इस proof ने दिखाया है कि lower-bound time complexity 30 साल पुराने मौजूदा algorithm की complexity के बराबर है, और इस class of functions में problem solve करने के लिए Ω(d²) function evaluations की जरूरत होती है। अगर gradient oracle हो, तो function evaluations d बार करके gradient approximate किया जा सकता है, इसलिए संभवतः minimum evaluation count d है, लेकिन इसे rigorously prove करना कितना कठिन है, इस पर मुझे भरोसा नहीं है।

    • Convex और bounded Lipschitz functions का optimization आधुनिक statistical learning models के अधिकांश हिस्से की नींव भी है।

  • मैं सोचता हूं कि क्या math research में भी कम difficulty वाले problems solve करके training ली जाती है, फिर medium difficulty से होते हुए unsolved problems की ओर बढ़ा जाता है। Software development में junior developer के साथ होने वाले बदलावों से इसकी तुलना कैसे होगी, इसमें भी दिलचस्पी है।

    • यहां AI junior लोगों के लिए seniors की तुलना में खास तौर पर ज्यादा खतरा नहीं है। ज्यादा जोखिम उन लोगों को है जिन्होंने applied computer science नहीं, बल्कि TDD, DRY, SOLID जैसे standardized prescriptions ही सीखे हैं।
      कोई बेहतरीन senior भी हो सकता है जिसे नहीं पता कि L1 cache miss क्या होता है, और मौजूदा AI models ऐसी knowledge जानते हैं, लेकिन इंसान के control के बिना उसे सही तरीके से apply करने में संघर्ष करते हैं। Energy industry में, context के हिसाब से debug-time safety की तुलना में runtime safety को प्राथमिकता देनी चाहिए, फिर भी AI इसका सही judgment नहीं कर पाता। अगर कोई young, कम experience वाला developer मिले जिसे वास्तव में computer science आती हो, तो वह सस्ता होगा, इसलिए उसे hire करने की संभावना बल्कि ज्यादा है।
      यह सिर्फ software की बात नहीं है। मैं employees के AI agents पर deploy करने के लिए enterprise AI app बना रहा हूं, और पता चला कि team में केवल वही core expert खतरे में नहीं है जिससे सभी सलाह लेते हैं। यहां तक कि अच्छा काम करने वाले लोग भी अक्सर AI से पीछे रह जाते हैं। आगे यह society के लिए बहुत बड़ी challenge होगी, और AI domain experts को भी replace कर सकता है। चार महीने पहले तक मैं कहता कि AI सब hype है, लेकिन अपने बारे में सोचकर अब इसे दूर का भविष्य कहना मुश्किल है।
    • मैं mathematician के रूप में trained हूं, कुछ समय research की और अब private tutor के रूप में काम करता हूं; यह description broadly सही है, लेकिन एक और variable है।
      PhD पाने के लिए original research करनी होती है, इसलिए शुरुआत से ही unsolved problem पर काम करना पड़ता है। हालांकि उसका groundbreaking होना जरूरी नहीं; मेरी thesis सहित ज्यादातर PhD theses ऐसी होती हैं जिन्हें उसी subfield का senior researcher आसानी से बना सकता है। Junior researcher को research सौंपने का उद्देश्य काफी हद तक उसे आगे senior बनने के लिए train करना होता है, और output itself अक्सर खास नहीं होता—इस अर्थ में यह software development जैसा है।
      LLM proofs में प्रगति के trend को देखते हुए लगता है कि यह structure जल्द बदलना चाहिए। यह कैसा होना चाहिए, इसका मेरे पास अच्छा विचार नहीं है, इसलिए अच्छा है कि decision मेरे हाथ में नहीं है, और math community के भविष्य को लेकर मैं काफी चिंतित हूं।
    • मेरे मामले में, PhD से पहले या शुरुआती दौर में advisor ने ऐसे low-difficulty problems suggest किए, या लगभग दे ही दिए, जिनका मोटा-मोटा solution उन्हें पहले से पता था, और उम्मीद की कि मैं जरूरी mathematical tools सीखूं। बहुत से शानदार PhD students भी होते हैं और मैं कोई उत्कृष्ट researcher नहीं था, इसलिए पता नहीं यह पूरी तरह representative है या नहीं।
    • इस काम के लिए 10-page prompt चाहिए था, तो लगता है कि उसे लिखने जितना जानने वाला इंसान अभी भी चाहिए।
    • Math को programming की तुलना में automate करना बहुत आसान है। Math में यह पता नहीं होता कि proof तक पहुंचा जा सकता है या नहीं, इसलिए वहां पहुंचना ही कठिन हिस्सा है; लेकिन software problems में आम तौर पर पता होता है कि वे solve हो सकते हैं, इसलिए मुख्य बात होती है कैसे solve किया जाए।
      Software solutions में maintainability और planning चाहिए, और LLM इसमें कमजोर हैं। इसलिए मौजूदा standard libraries reuse करने के बजाय duplication और ad-hoc fixes से उलझा हुआ logic बनाने वाला LLM spaghetti code पैदा होता है।
      Grothendieck जैसे मामले को छोड़ दें, जो इस बात पर नाराज थे कि Deligne ने Weil conjectures को ‘सही तरीके’ से solve नहीं किया, तो इस बिंदु पर software और math fundamentally अलग हैं। Current long-term planning ability से handle किए जा सकने वाले बड़े problems काफी हैं, इसलिए AI के McDonald’s चलाने से पहले Fields Medal जीतने की संभावना ज्यादा है।

  • करीब से देखें तो author ने GPT-5.4 और GPT-5.5 के साथ इस problem पर 1 साल तक कोशिश की, वह सारी जानकारी Sol Pro prompt में डाली, और संभव है कि Sol Pro को previous conversation history तक direct access भी रहा हो। इसलिए दावा किया गया 148 minutes असल में 1 साल + 148 minutes है।
    इसके अलावा, problem solve करने में इस्तेमाल techniques भी prompt में शामिल लगती हैं: https://old.reddit.com/r/math/comments/1uxj3cy/after_openais...
    Author कहते हैं कि उन्होंने field जानने वाले व्यक्ति के मन में आने वाले ज्यादातर reasonable approaches prompt में डाले, और CDC prompt तथा ideas, clear problem definition और specifications Sol को देकर prompt लिखने में भी मदद ली। Final solution—affine functions के maximum से बनी function class—भी prompt में ही था।
    आखिरकार यह स्पष्ट नहीं है कि GPT-5.6 ने prompt भर से gap भरा, या author ने लगभग सारा काम खुद कर लिया और उत्साह में उसका credit GPT-5.6 को दे दिया।

  • Reddit पर correct किया गया कि यह काम Ultra नहीं बल्कि Sol Pro से किया गया था; सोच रहा हूं कि दोनों के difference को कैसे समझा जाए।
    मेरी समझ में ChatGPT Pro कई LLMs को parallel में चलाकर best answer चुनने वाले multi-agent system जैसा है, जबकि Ultra Claude-Code UltraCode की तरह है, जहां main agent dynamic JavaScript workflow बनाकर कई agents और adversarial verifiers को deterministically coordinate करता है। क्या यह broadly सही है, और क्या इसे support करने वाले sources हैं?

    • Codex का Ultra सिर्फ multi-agent system चलाने का तरीका है, और Pro 5.5 जैसे अन्य Pro models जैसा है।

  • मुझे याद है कि Mochizuki द्वारा पेश किया गया abc conjecture का proof https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Claimed_proofs इस आधार पर खारिज कर दिया गया था कि इंसानों के लिए उसे समझना बेहद मुश्किल है। सोचता/सोचती हूँ, क्या ऐसे proof ही LLM के लिए आदर्श target नहीं हैं

    • इसे इसलिए नहीं खारिज किया गया कि यह समझना मुश्किल था, बल्कि इसलिए कि यह गलत था; और सबसे उदार नजरिए से भी यह अधूरा proof था
    • हाल ही में इसे formalize कर रही research team ने घोषणा की कि उन्हें ठीक उसी हिस्से में proof gap मिला है, जिसकी ओर दूसरे mathematicians ने इशारा किया था। अगर कोई शक बाकी था, तो अब वह खत्म हो गया है; proof गलत है
      फिर भी LLM में दोनों तरह से बड़ी संभावना है: जल्दी पढ़कर gaps खोजने वाली informal verification में भी, और वास्तव में formalization की कोशिश करने वाली formal verification में भी
    • मैं यह भी देखना चाहूँगा/चाहूँगी कि LLM finite simple groups की classification के लिए formal proof बनाए

  • यह हैरान करने वाली बात है कि intelligence अब सस्ती, efficient और आम हो गई है। इंसानी skills का बड़ा हिस्सा अर्थहीन हो रहा है, इसलिए हमें अपनी ऊर्जा core values और principles पर फिर से केंद्रित करनी चाहिए

    • अगर यह सचमुच आम होती, तो यह पोस्ट और चर्चा ही पैदा नहीं होती। इसमें हजारों dollars तो नहीं लगे, लेकिन यह free भी नहीं है, इसलिए सस्ता है या नहीं, यह नजरिए पर निर्भर करता है
      efficiency को कैसे मापा जाए, यह भी स्पष्ट नहीं है। इस काम के संभव होने तक लगे विशाल infrastructure और training costs को नजरअंदाज करके सिर्फ एक session और उसके result के आधार पर इसे efficient कहना मुश्किल है। AI output इंसानी skills को अर्थहीन भी नहीं बनाता, और क्या हम सोचने का काम AI को सौंपकर अपनी cognitive abilities खो रहे हैं—यही तो इस समय की बहस का core है
      कुल मिलाकर यह capabilities का impressive demonstration है, लेकिन मैं इसे उससे आगे बढ़ाकर नहीं पढ़ूँगा/पढ़ूँगी
    • ‘वर्तमान को समझने वाली intelligence’ और ‘जैसा होना चाहिए उसे समझने वाली values और principles’ के बीच मजबूत distinction रखना Descartes से Kant तक early modern European philosophy की खासियत है, और David Hume ने इसे प्रभावशाली रूप दिया था
      लेकिन इस distinction को बनाए रखने से ऐसी समस्याएँ पैदा होती हैं जिन्हें पार करना कठिन है। दुनिया को समझने वाले conceptual systems में हमेशा values घुली होती हैं, और historical conditions से बाहर कोई view from nowhere या value system नहीं होता। values को intelligence के बाहर से impose करना होगा—यह frame अंततः AI alignment और superintelligence जैसी एक तरह की quasi-theology में dead end पर पहुँचता है
      facts और values, intelligence और ethics को कड़ाई से अलग करने के बजाय, humans या LLMs के जरिए विरासत में मिली wisdom को critically accept और expand करने पर ध्यान देना बेहतर है
    • LLMs में concrete और abstract spatial reasoning अभी भी कमजोर है। academia ने कम से कम एक सदी तक ऐसी reasoning को कम आंका है, लेकिन यह technology और industry की बुनियाद है, और कई लोग मानते हैं कि science और mathematics के लिए भी महत्वपूर्ण है
      हालांकि LLMs अंततः या तो सीधे spatial reasoning सीख लेंगे या उसे करने वाले models के interface बनेंगे, इसकी संभावना ज्यादा है; इसलिए मूल point valid है
    • अब कोई भी armchair mathematician बन सकता है। बस AI को ideas दें और AI-based pruning heuristics के साथ breadth-first search करवाएँ
    • intelligence अकेले बहुत उपयोगी नहीं है। जब यह wisdom, restraint, empathy जैसे elements के साथ जुड़ती है, तभी विशाल potential बनाती है; इसलिए हमने इसे महत्व दिया है, लेकिन intelligence alone की value सीमित है

  • आखिरकार यह साबित करता है कि information ही power है। किस दिशा में जाना है—यानी subgradient—अगर न पता हो, तो calculation अंतहीन चलती रहती है

  • AI से advanced math problems हल करके देखा, तो problem पर जबरदस्त scale की brute force लगाई जा सकी। जब mathematical logic को brute-force किया जा सकेगा, तब दिलचस्प progress दिखेगी

  • यह अभी peer review से नहीं गुजरा है

  • यह दिलचस्प है कि कुछ महीने पहले तक बहुत से लोग दावे से कहते थे कि AI द्वारा हल किए गए ‘unsolved’ math problems में किसी की दिलचस्पी नहीं है