- 7–8 साल के 7 बच्चों के साथ करीब 7 महीने तक चलाए गए Math Circle में यह साफ दिखा कि बड़ों को जिन विषयों के रोचक होने की उम्मीद थी और जिन विषयों में बच्चे सचमुच डूबे, उनके बीच बड़ा फर्क था
- SET, fold-and-cut puzzles, tessellation, flexagon, ruler और compass construction जैसी visual और hands-on activities उम्मीद जितनी असरदार नहीं रहीं, जबकि liar puzzles जैसी कहानी वाली समस्याओं पर बच्चों की प्रतिक्रिया बहुत मजबूत रही
- सिर्फ geometric shapes या number patterns से रुचि जल्दी ठंडी पड़ गई, लेकिन “झूठा कौन है?” जैसी शक और clues वाली स्थितियों में बच्चे cases और contradictions पर सोचते हुए proof की समझ विकसित करने लगे
- Seven Bridges समस्या कहानी से शुरू हुई, लेकिन जब बच्चों ने खुद “सबसे छोटी असंभव bridge problem” खोजने की कोशिश की, तो उन्होंने problem simplification और complexity को वापस बढ़ाने का अनुभव किया
- गणित को खुद बोलने देने वाला तरीका उन groups के लिए ठीक हो सकता है जिनमें पहले से रुचि हो, लेकिन जिन बच्चों में पहले से लगाव नहीं है, उनके लिए engaging story framing ज्यादा जरूरी है
7 महीने के Math Circle में दिखा रुचि का फर्क
- participants 7 बच्चे थे, लड़के और लड़कियां, जिनकी उम्र 7 से 8 साल की ओर बढ़ रही थी; करीब 7 महीने तक Math Circle चलाने के बाद पीछे मुड़कर देखा गया कि क्या असरदार रहा
- बड़ों की नजर में आकर्षक लगने वाले math topics और जिन topics पर बच्चे वास्तव में ध्यान देते थे, उनके बीच बड़ा अंतर था
उम्मीद के उलट कम असरदार रहीं activities
- नीचे की activities के बारे में उम्मीद थी कि बच्चे इन्हें पसंद करेंगे, लेकिन असल में वे लगभग नाकाम रहीं
- The game SET
- Fold-and-cut puzzles
- Geometry snacks
- Cutting a Mobius strip
- Tessellations: Tooti Tooti
- Prime Climb
- flexagons बनाना
- ruler और compass construction
- geometry पर प्रतिक्रिया खास तौर पर अच्छी नहीं रही, और arbitrary shapes के area या shaded regions से जुड़ी समस्याओं को दिलचस्प कहानी में लपेटना मुश्किल था
- tessellations बच्चों को सुंदर नहीं लगे, और fold-and-cut व flexagon activities में कागज को पर्याप्त सफाई से काटने और मोड़ने की hand skills की कमी से निराशा बढ़ी
उम्मीद से अलग सफल रहे विषय
- कुछ activities ऐसी थीं जिनके बारे में उम्मीद थी कि बच्चे पसंद नहीं करेंगे, लेकिन असल में उन पर बहुत अच्छी प्रतिक्रिया मिली
- Knights and Knaves puzzles, और blue-eyed islanders जैसे propositional logic topics
- round-robin format में sports matches का schedule खुद बनाना और पूरे tournament का delay time घटाने की समस्या
- शुरुआत में इसे football tournament के रूप में सेट किया गया था, लेकिन football सबसे ज्यादा पसंद करने वाला बच्चा उस हफ्ते नहीं आया, इसलिए यह dance competition में बदल गया और ज्यादा मजेदार हो गया
- Seven Bridges समस्या और सबसे छोटी “असंभव” bridge problem खोजना
- penalty kick में success और failure की संख्या से तय करना कि कौन बेहतर है
- Pascal’s triangle जैसे patterns खुद बनाना
- कुछ activities बच्चों को उम्मीद के मुताबिक पसंद आईं
- Function Machine game: black box की तरह query की जा सकने वाली function को पहचानने का game
- Nim के variants
- The Turing Tumble
- असली cookies और unequal toppings के साथ fair cake cutting
- Prisoner’s dilemma और Chicken जैसे game theory games
- 1 glass और 5 glass वाली recipes के आधार पर 3 लोगों के लिए mocktail बनाना
- यह fractions की practice थी, और measurement units ounce के 1/4 हिस्सों में थे
कहानी की संरचना से बनी भागीदारी
- 2019 में लिखे Attention spans for math and stories में बच्चों को activity में शामिल करने और group में welcome महसूस कराने के लिए storytelling इस्तेमाल करने का अनुभव बताया गया था
- Math Circle से जुड़ा literature पढ़ते हुए “math should speak for itself” वाली सोच अपनाई, और कुछ sessions में storytelling ने अच्छी तरह काम नहीं किया
- उस तरीके में facilitator “क्या हम perfect shape बना सकते हैं?” जैसे खुले mystery से शुरू करता है, फिर participants के खुद सवाल पूछने और explore करने तक चुपचाप इंतजार करता है
- यह approach बड़े students या उन students के लिए ठीक हो सकती है जिनकी math में पहले से कुछ रुचि हो
- साथ वाला असली group typical upper-middle-class बच्चे थे जो football practice के बाद Math Circle में आते थे, और boring लगने पर शरारत करते या wrestling जैसी play-fight करने लगते थे
- बच्चों ने “Among Us” नहीं खेला था, लेकिन वे लगातार किसी न किसी चीज को “sus” कहते थे
- number patterns में भी वे ज्यादा रुचि नहीं दिखाते थे, जब तक उन्हें ज्यादा engaging format में न लपेटा जाए
Knights and Knaves ने proof की समझ कैसे बोई
- “दो लोगों में से एक सड़ा हुआ झूठा है, और उनकी बातों में मौजूद clues के आधार पर पता लगाना है कि झूठा कौन है” वाली setup बहुत असरदार रही
- पहला Knights and Knaves puzzle Alice और Bob की बातें कागज पर लिखकर plastic straws से चिपकाने और signboard की तरह उठाने के तरीके से किया गया
- Alice: Bob is a liar!
- Bob: Neither of us are liars
- बच्चों ने तुरंत बताया कि कौन सबसे ज्यादा “sus” है, और शुरुआत में Bob पर आरोप लगाने वाली Alice उन्हें suspicious लगी
- discussion के दौरान उन्होंने समझा कि Alice और Bob की बातें एक-दूसरे से contradict करती हैं, इसलिए दोनों सच नहीं बोल सकते
- बच्चों को “contradiction” शब्द नहीं पता था, और वे इसे अक्सर “opposites” कहते थे
- possible cases सोचते हुए पहले उन्हें लगा कि 2 cases होंगे, फिर वे 4 तक पहुंचे
- दोनों झूठे
- Alice झूठी, Bob सच बोलने वाला
- Alice सच बोलने वाली, Bob झूठा
- दोनों सच बोलने वाले
- हर case जांचने के बाद वे इस निष्कर्ष पर सहमत हुए कि एकमात्र संभावना है: Alice सच बोलती है और Bob झूठ बोलता है
- जब अगले puzzle पर जाने लगे, तो बच्चों ने पूछा कि क्या उन्होंने पहला problem सही हल किया; “तुम्हें लगता है कि तुमने सही किया?” पूछने पर वे पूरी तरह confident नहीं दिखे
- इसके बाद सभी ने तब तक सोचते रहने का फैसला किया जब तक proof से certainty न मिल जाए, और बाद में एक बच्चे ने कहा, “नहीं, वह case तो हम पहले ही prove कर चुके हैं!”
Seven Bridges और flexagon में दिखा आगे का बदलाव
- Seven Bridges of Königsberg समस्या कहानी से शुरू हुई, लेकिन बच्चों ने जल्दी कहानी छोड़कर challenge पर ही focus कर लिया
- बाद के session में बच्चे इस समस्या को फिर करना चाहते थे, और “सबसे छोटी impossible bridge problem” खोजना चाहते थे
- वे original problem हल नहीं कर पाए, लेकिन problem को simplify करना, छोटा बनाना, और जिस point पर हल हो सके वहां से फिर complexity जोड़ना साफ दिखाई दिया
- flexagon बनाने की activity उन्हें पसंद नहीं आई, लेकिन session के अंत में gift के तौर पर हर face पर चमकीली और अलग-अलग पहचान वाली drawings वाला template-based hexaflexagon बनाकर दिया गया
- इस्तेमाल किया गया template था printed template
- कुछ हफ्तों बाद एक बच्चे के पिता ने बताया कि बच्चा उस hexaflexagon में डूबा हुआ है और उसने हाल ही में छठा face खोजा है
- flexagon की movement को भी Seven Bridges map की तरह map के रूप में बनाया जाए, तो पूरा configuration space ज्यादा साफ दिख सकता है
नया group शुरू करना हो तो जरूरी approach
- यह group भी समय के साथ math को math के लिए appreciate करने की दिशा में थोड़ा-थोड़ा अभ्यस्त हो रहा है
- अगर math के प्रति पहले से लगाव न रखने वाले नए बच्चों के group के साथ फिर शुरुआत करनी हो, तो problems को engaging stories में लपेटने के लिए ज्यादा intentional design की जरूरत होगी
1 टिप्पणियां
Hacker News की राय
ये बच्चे सचमुच बेहद भाग्यशाली हैं कि इतनी कम उम्र में उन्हें एक प्रेरित शिक्षक से ऐसे concepts और problems से रूबरू होने का मौका मिल रहा है
K-12 math teacher के रूप में काम करने वालों में भी शायद बहुत कम लोग ऐसा curriculum अच्छे से पढ़ा पाएंगे, और लेखक का blog देखकर लगता है कि उन्होंने यह बड़े पैसे लेकर नहीं, बल्कि मुफ्त में किया; उल्टा वे दूसरे parents को बच्चों को शामिल कराने के लिए मनाने की कोशिश कर रहे थे: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
math education में एक बड़ा privilege gap है जिसके बारे में math के बाहर के लोग ज्यादा नहीं जानते. जो student सिर्फ standard या accelerated curriculum follow करता है, वह math career के लिए आम तौर पर उस student की तुलना में कम तैयार होता है जिसे बचपन से ही tutoring, gifted school, या mathematician parents के जरिए ऐसे non-standard concepts का exposure मिला हो
standard curriculum college के second year तक लगभग रटकर calculation करने पर केंद्रित रहता है, फिर अचानक open problems और proofs पर shift हो जाता है, जबकि professional mathematicians की दुनिया creative तरीके से logic apply करने की क्षमता मांगती है. जिन students को बचपन से ऐसा exposure मिला होता है, उनके लिए यह transition कहीं आसान होता है, और वे papers, competition results जैसी math career assets भी जल्दी जुटा लेते हैं
दूसरे parents को शायद पता न हो, लेकिन OP एक बहुत मूल्यवान service दे रहे हैं, जो कुछ इलाकों में मिलना मुश्किल है और जिसके लिए कुछ parents बड़ी रकम देने को तैयार होंगे
मैं math में खराब नहीं था, लेकिन खास तौर पर precocious भी नहीं था, और middle school में school representative के रूप में regional math competitions में कुछ बार गया, पर कोई खास result नहीं आया. पीछे मुड़कर देखने पर थोड़ा अजीब लगता है कि preparation में मदद करने वाला कोई भी नहीं था
पिछले 1–2 साल में इस बात पर और सोचते हुए, मैंने अपने donations का बड़ा हिस्सा math circle जैसे programs की ओर shift कर दिया है. longtermism से पहले वाले effective altruism-style causes की तुलना में इसकी verifiability कम है, लेकिन मुझे लगता है कि ऐसी mathematical thinking बहुत valuable है और ऐसे programs के बिना आसानी से नहीं मिलती
France की एक कहानी याद आती है, जहां second-grade student से पूछा गया कि 2×3 कितना होता है, तो उसने multiplication की commutative property ही जानते हुए “3×2” जवाब दिया
अगर आप online math circle में parent या potential instructor के रूप में शामिल होना चाहते हैं, तो https://theglobalmathcircle.org देखें
इस लेख के लेखक Jeremy भी यहीं के training program से graduate हुए हैं
function machine game मैंने HN पर देखा था और बच्चे के 6 साल का होने पर आजमाया; उसे यह बहुत पसंद आया
जब बच्चे ने ज्यादा advanced math operations सीखे तो मैंने उन्हें tool box में जोड़ दिया, और roles बदलकर जब बच्चा मेरे queries का सही जवाब दे पाता था, तो समझ आता था कि उसने concept सीख लिया है
अगर ऐसी activities में रुचि जगी है, तो बहुत ज्यादा नहीं, पर कुछ similar paid options भी हैं
San Francisco में 7–11 साल के बच्चों के लिए after-school math team: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
SFUSD के कुछ schools में after-school math circles: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
elementary और middle school students के लिए weekly online competitive math sessions चलाने वाला remote 501(c)(3) nonprofit: https://mrmathonline.com/
अगर आप class और circle के बीच जैसा कुछ ढूंढ रहे हैं, तो Engaging Math Circles(https://emc.school) या Russian School of Math(RSM) भी देखने लायक हैं
math circles के बारे में और जानना हो तो यह resource है: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf
एक अलग बात के तौर पर, बच्चों के लिए Mammoth Math recommend कर सकता हूं
https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...
age group अलग है, लेकिन मैंने high school students में Bitcoin mining को विषय बनाकर interest जगाया था
cryptography seminar में blockchain lecture के बाद करीब 15 मिनट की activity थी
असली Bitcoin proof-of-work algorithm में hash का intermediate input बदलकर result को कई binary 0s से शुरू कराना होता है, यानी ऐसा
xढूंढना होता है जिससेsha256(sha256(a || x || b)) < Hहो. मैंने इसेx^2 % N < 10^Hतक simplify किया, calculators और computers का इस्तेमाल allow किया, औरNतथाHको freely बदलने दियाstudents ने काफी enjoy किया; मेरी समझ से इसकी वजह यह थी कि यह पुराने puzzles से ज्यादा topical था, वे एक-दूसरे से compete कर रहे थे, reward आधा random था इसलिए तेज या smart teams को advantage था, reward chocolate coins वाले “physical Bitcoin” थे, और brute force से भी लगभग जीता जा सकता था लेकिन खोजने लायक कई shortcuts मौजूद थे
straightedge और compass construction बच्चों की रुचि नहीं जगा पाया, यह अफसोस की बात है
अभी मैं Euclid के Elements के Hebrew अनुवाद को digitize कर रहा हूँ, इसलिए उम्मीद थी कि इसका लगभग art class जैसा भौतिक पहलू theoretical content से ज़्यादा दिलचस्प लगेगा, और numbers से स्वतंत्र होने की वजह से यह सामान्य math class से कम डरावना भी महसूस होगा
मुझे लगता है कि Euclid के Elements में ऐतिहासिक महत्व के अलावा educational value भी है, लेकिन ज़्यादातर बच्चों के लिए educational context में यह ज़्यादा मज़ेदार होगा—मेरी यह सोच शायद गलत भी हो सकती है
अगर कुछ बच्चे किसी खास sport में रुचि रखते हों, तो goals और misses की संख्या से यह तय करने वाली activity कि penalty kick कौन बेहतर मारता है, linear algebra सिखाने का अच्छा तरीका है. 'Who's #1? - The Science of Rating and Ranking' कई rating और ranking methods को विस्तार से कवर करती है, और मेरे data science master’s program की required readings में से एक थी
हालांकि पढ़ाई के लिए यह सबसे अच्छा है या नहीं, पता नहीं. आम तौर पर models के बिना खुद constructions करके material के साथ actively interact करना ही मुख्य बात होती है, लेकिन बच्चों के लिए असरदार rules अलग हो सकते हैं
बच्चों ने propositional logic में रुचि दिखाई, यह उलटे खुशी की बात है. क्योंकि यह consistent thinking की बुनियाद बन सकता है. लेखक की तरह मैंने भी सोचा था कि उन्हें hands-on activities ज़्यादा पसंद आएँगी
शुरुआत में straightedge और compass construction की original motivation क्या रही होगी? completeness, symmetry, constructibility जैसे विचार सभी काफी abstract हैं
https://www.euclidea.xyz/ मज़ेदार था, लेकिन मुझे Girih patterns बनाना भी मज़ेदार लगता है और मैं 8 साल का भी नहीं हूँ
बच्चों को Euclid मज़ेदार तरीके से दिखाने के लिए Euclidea नाम का game अच्छा था, ऐसा याद है: https://www.euclidea.xyz/
axiomatic aspect की वजह से नहीं, बल्कि “दो points से गुजरने वाली कितनी straight lines खींची जा सकती हैं? तुम्हारी मर्जी!” जैसे mathematical assumptions को हिला देने वाले सवालों और मज़ेदार diagrams की वजह से. Fano projective plane model और Poincaré disk model भी interesting थे, और animations व interactive software भी थे
फिर भी करीब एक हफ्ते बाद ऊब गया. अलग-अलग geometries और constructions को समर्पित कोई एक 2-hour session ठीक लगता है
Euclid के Elements-शैली की axiomatic geometry दिलचस्प है और high school curriculum के लिए ठीक हो सकती है. students के algebra सीखने से पहले, छोटे starting points से equations या proofs निकालने का sense ठीक से बनना मुश्किल है, और coordinate geometry कहीं ज़्यादा practical है. straightedge और compass से तो ऐसी चीज़ें भी हैं जो शुरू से ही construct नहीं की जा सकतीं
level progression, scoring system, और proofs solve करके नए “tools” unlock करने का तरीका बहुत अच्छा था
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...
समान उम्र के बच्चों को सिखाने वाली activity के रूप में, मैं उँगलियों से 1000 तक गिनना जोड़ना चाहूँगा
programmers के लिए यह natural बात है, लेकिन इसमें math education में मदद करने वाले key elements हैं
“क्या तुम उँगलियों से 1000 तक गिन सकते हो?” यह सवाल बच्चों को जादू या superpower जैसा लगता है, इसलिए उन्हें मज़ा आता है. शुरुआत में करीब 20 तक गिनकर दिखाता हूँ, और 4 व 6 को जल्दी से पार कर जाता हूँ. फिर उनसे कोई खास, दिखाई न देने वाली finger arrangement predict करने को कहता हूँ, और अगर वे fail हों तो फिर से दिखाता हूँ
pattern समझ लेने पर, मैं quiz पूछता हूँ कि सभी उँगलियाँ खुली हों तो संख्या कितनी होगी. आम तौर पर वे अटक जाते हैं, लेकिन hint देता हूँ: “अगर एक और उँगली हो और सिर्फ वही उँगली खुली हो, बाकी सब बंद हों, तो कितनी होगी? यहाँ से क्या कोई दूसरा number निकाल सकते हो?” तो समय लगने पर भी वे लगभग हमेशा solve कर लेते हैं
इसकी खूबसूरती यह है कि entry barrier कम है. बच्चे को 2 से multiply करना आना चाहिए और 1024 तक number names पता होने चाहिए. साथ ही यह multiple representations, goal के हिसाब से formalization, और आम लोगों की expectations से हटकर “superpower” पाने का एहसास सिखा सकता है
ऊपर की puzzle यह भी दिखाती है कि patterns ढूँढने पर problems बेहतर solve की जा सकती हैं. हर उँगली की value जोड़ने वाली brute-force approach के बजाय, hint की position desired position से सिर्फ एक step दूर है—इस reference point का इस्तेमाल किया जा सकता है. reference point math में बहुत महत्वपूर्ण concept है, और कई famous problem-solving methods की जड़ में है
और गहराई में जाएँ तो proofs और algorithm design पर भी बात की जा सकती है. algorithm को induction proof की तरह explain किया जा सकता है. starting step में palm user की ओर होती है और सभी fingers folded होती हैं, फिर right से शुरू करके सबसे right finger को increment करते हैं. n-th step में right end से शुरू करके अगर finger folded है तो उसे open करते हैं, और अगर open है तो उसे fold करके अगली right finger को उसी condition के साथ recursively increment करते हैं
किसी भी “game” में बच्चे को जो सबसे ज़्यादा पसंद हो, उसी को केंद्र में रखना अच्छा रहा. अगर एक game में वह मुश्किल महसूस करे, तो बच्चे के अच्छे वाले किसी दूसरे game का इस्तेमाल करके कठिन game सिखाएँ. आखिरकार math एक language है और बहुत-सी चीज़ों को फिर से express किया जा सकता है
मुझे लगता है कि मुश्किलों में से एक यह है कि बहुत से लोग math को अत्यधिक rigid चीज़ के रूप में internalize कर लेते हैं. अगर “यही सही तरीका है” के रूप में पढ़ाया जाए और दूसरे methods को स्वीकार न किया जाए, तो concepts को generalize करने की क्षमता घटती है. word problems इसे solve करने की कोशिश करती हैं, लेकिन यह इंसानों के बजाय machines को सिखाने के तरीके के करीब brute-force approach जैसा महसूस होता है
इसके साथ यह बात भी जुड़ती है कि कम उम्र में अक्सर ऐसे लोगों से math सीखी जाती है जिन्हें खुद math के लिए passion नहीं होता. वह उदासीनता teacher से student तक पहुँचती है. बहुत से लोगों को याद होगा कि math से प्यार करने वाले और उसकी creative side को बढ़ावा देने वाले teacher से संयोग से मिलना कितना refreshing था. मैं भी high school के second year में ऐसी class मिलने से पहले तक math में अच्छा था और advanced section में था, फिर भी उसे नापसंद करता था
पिछले साल मैंने अपनी बेटी के साथ उसकी पहली कक्षा की क्लास में SET सिखाया। शैक्षिक डिज़ाइन ज़्यादातर मैंने किया था, लेकिन बच्चे सीख पाए और उन्होंने रुचि भी दिखाई
यह math circle वाला माहौल नहीं था, बल्कि पूरी क्लास की lesson थी; यह देखना दिलचस्प होगा कि फर्क क्या था
इस game से काफी सारा गणित भी किया जा सकता है। सरल modular arithmetic से शुरू करके गुणों को 0, 1, 2 में abstract करने की अवधारणा तक जाया जा सकता है। थोड़ा आगे बढ़कर group theory और यह कि game
Z3^4, यानीZ3के चार copies, के बराबर है—ऐसी बातें भी की जा सकती हैंअगर group theory में रुचि दिखे, तो दूसरे groups को दर्शाने वाले मिलते-जुलते card games print करके इस्तेमाल किए जा सकते हैं, और group axioms, game किस तरह group को दर्शाता है, और यह क्यों तार्किक है—इन पर बात की जा सकती है
programming का भी हल्का परिचय कराया जा सकता है। set की परिभाषा में सभी
iके लिएsum c_i = 0वाली invariant property का उपयोग करके समझाया जा सकता है कि computer को यह game कैसे सिखाएँगे। card background color जैसी विशेषताएँ जोड़कर या घटाकर game की length को भी आसानी से generalize किया जा सकता हैकुल मिलाकर, यह game बेहतरीन है
कुछ games के बाद वह हमारी ही तरह तेज़ी से sets ढूँढने लगा, लेकिन ध्यान भटकने या थकान के हिसाब से उसकी skill और रुचि बदलती रही
अगर अकेले खेलने वाला Set game चाहिए, तो इसका एक अच्छा open source version है: https://playset.netlify.app/
यहाँ ‘AI’ randomly solutions ढूँढता है। easy mode में यह हर 2 सेकंड में दिख रहे cards में से दो cards randomly चुनता है और देखता है कि set पूरा करने के लिए ज़रूरी card screen पर मौजूद है या नहीं
अगर बच्चा पहली बार Set से परिचित हो रहा हो, तो delay time को लगभग 5 सेकंड पर adjust करना अच्छा हो सकता है। बेशक, Set लोगों के साथ मुकाबला करके खेलना ज़्यादा मज़ेदार है