3 से 7 साल तक के बच्चों की गणित शिक्षा
(thepsmiths.com)- Alexander Zvonkin की Math from Three to Seven प्री-स्कूल बच्चों के math circle के रिकॉर्ड के ज़रिए दिखाती है कि छोटे बच्चे भी स्कूल-टाइप exercise problems के बजाय वास्तविक problems को लंबे समय तक पकड़कर explore कर सकते हैं
- रूस और सोवियत गणित संस्कृति के math circles परीक्षा की तैयारी से ज़्यादा ऐसे informal communities के करीब हैं, जहाँ अलग-अलग स्तर के प्रतिभागी कठिन problems पर साथ बैठकर चर्चा करते हैं
- स्कूल math और competition math की exercise ऐसी training होती है जिसमें छोटी और अपेक्षित solution होती है, जबकि circle का problem ऐसा exploration है जहाँ solvability, ज़रूरी techniques और लगने वाला समय guaranteed नहीं होते
- Zvonkin ने 3–4 साल के बच्चों को वही combinatorial structure beads, coloring, taxi routes, matchboxes और balls के रूप में कई महीनों के अंतराल पर बार-बार दिया, ताकि बच्चे connections खुद खोजें
- दूसरी बेटी Evgenia के उम्र-समूह में वही method काम नहीं आई, जिससे पता चला कि हर बच्चे की aptitude और interest अलग होते हैं और educational records व techniques को जस-का-तस reuse करना मुश्किल है
सोवियत गणित की ताकत और math circles
- Cold War के दौरान सोवियत संघ ने अमेरिका से छोटी आबादी, कम GDP और कम efficient economic system के बावजूद सैन्य और तकनीकी मामलों में लंबे समय तक लगभग समान स्तर बनाए रखा
- 1990–2000 के दशक में अमेरिका के chess, math competitions, Wall Street, Silicon Valley और Ivy League के math departments में रूसी मूल के immigrants का technical fields में disproportionate presence दिखता रहा
- यहूदी आबादी का अनुपात, सोवियत संघ की relative poverty और human capital allocation, तथा रूसी संस्कृति के “maximalism” जैसी hypotheses भी उठाई जाती हैं, लेकिन सोवियत mathematicians और scientists के interviews में बार-बार आने वाला तत्व mathematical circles है
- Math circle एक practice है जो Russian Empire के समय से भी पहले शुरू होकर पूरे सोवियत संघ में फैली; यह math पसंद करने वाले teenagers और adults का नियमित रूप से मिलकर लंबे समय तक सोचने और बात करने वाला informal group है
- Sports team की तरह इसकी अपनी internal culture, intense immersion और सक्षम या प्रसिद्ध “coach” हो सकता है
- League या teams के बीच competition की बजाय, यह neighborhood music ensemble के improvisation की तरह साथ मिलकर math problems हल करने के तरीके के करीब है
- Members की skill levels अलग-अलग हो सकती हैं
exercise और problem का अंतर
- School math और अमेरिका की कुछ competition math मुख्य रूप से exercises से बनी होती हैं
- exercise वह question है जिसे educational purpose के लिए किसी व्यक्ति ने बनाया होता है
- एक तेज student आम तौर पर इसे 5 मिनट में हल कर सकता है; यह textbook के current unit से संबंधित होता है और माना जा सकता है कि इसके लिए कोई तय technique है
- Setter की intention, options eliminate करना और pattern matching से answer को reverse-engineer किया जा सकता है
- Math circle के केंद्र में साथ मिलकर हल किया जाने वाला problem होता है
- problem वह interesting question है जो किसी के सचमुच कुछ करने की कोशिश से पैदा होता है
- Participants या coach,甚至 कोई भी व्यक्ति, इसे हल न कर पाए ऐसा हो सकता है
- हल हो भी जाए तो इसमें weeks या months लग सकते हैं, और ज़रूरी technique स्पष्ट न हो या कोई अज्ञात technique चाहिए हो सकती है
- Coach कभी-कभी participants की क्षमता से थोड़ा कठिन problems चुनता है, लेकिन कभी-कभी पूरी group ऐसे problem पर लगती है जिसका answer किसी को पता नहीं होता
- ऐसा experience दिखाता है कि brilliant लोग भी problems के सामने अटक और हार सकते हैं, और कठिन चीज़ों को पसंद करने वाली culture बनाता है
- थकान होने पर past के famous problems और mathematicians की stories सामने आती हैं, और math भी shared stories और inside jokes वाली एक culture की तरह काम करता है
Zvonkin का प्री-स्कूल बच्चों वाला math circle
- Math from Three to Seven math circle को प्री-स्कूल बच्चों पर लागू करने का रिकॉर्ड है
- Coach की भूमिका में Alexander Zvonkin एक professional mathematician हैं, और उन्होंने अपने बेटे Dmitry और पड़ोस के बच्चों के लिए circle शुरू किया
- ज्यादातर बच्चे 3–4 साल के थे
- Piaget के experiments के अनुसार उस उम्र में number और volume से जुड़े कुछ cognitive modules अभी विकसित नहीं हुए होते
- Zvonkin developmental psychology research जानते थे, और बच्चों की number sense की कमी को set size और correspondence जैसे गहरे ideas से जोड़ते थे
- किताब किसी polished educational theory book से ज़्यादा लगभग unedited diary जैसी है
- शानदार puzzle ideas थे, लेकिन बच्चों के चिल्लाने या उल्टी करने जैसी failures बार-बार हुईं
- 4 साल के circle में successes और failures दोनों दर्ज हैं
- शुरुआती लक्ष्य school math की reverse-programming जैसा था
- Zvonkin को यह पसंद नहीं था कि schools math को पालन किए जाने वाले formulas के collection की तरह पेश करते हैं
- तय format में answer न लिखने या “अभी नहीं सीखनी चाहिए” वाली technique इस्तेमाल करने के कारण marks काटने के तरीके का उन्होंने strongly विरोध किया
- हालांकि बाद में Moscow public school में experimental math curriculum पढ़ाने के बाद उन्होंने teachers और administrators की constraints को अधिक समझा
एक combinatorics problem को कई रूपों में दोहराना
- Circle शुरू होने के लगभग 1 साल बाद, Zvonkin ने बच्चों को पहला असली problem दिया
- यह combinatorics problem था: 5 objects में से order को ignore करते हुए 2 चुनने के कितने तरीके हैं
- Zvonkin के अनुसार यह topic कभी high school students को पढ़ाया जाता था, लेकिन बहुत कठिन होने के कारण हटा दिया गया
- वे चाहते थे कि प्री-स्कूल बच्चे लगभग बिना hints के इसे खुद समझें
- तरीका यह था कि कई महीनों तक उसी problem को अलग-अलग disguised forms में बार-बार दिया जाए
- चूँकि बच्चों के पास अभी formal और symbolic reasoning tools नहीं थे, इसलिए approach tactile और concrete forms से की गई
- पहला रूप beads problem था
- बच्चों से 2 red beads और 3 blue beads से possible chains बनाने को कहा गया
- Chain को 180 degrees घुमाने पर उसे same माना जाए या different, इस पर discussion हुई
- Zvonkin ने जवाब दिया कि rules तय किए जा सकते हैं, और ऐसा करने पर एक problem दो problems में बँट जाती है
- फिर पाँच circles वाले paper दिए गए और उनमें से केवल दो को color करने के तरीके खोजने को कहा गया
- बच्चों को पिछले beads problem से similarity का हल्का एहसास हुआ, लेकिन वे अभी स्पष्ट connection नहीं बना पाए
- कुछ और महीनों बाद उन्होंने 4x3 grid को city map बताया और पूछा कि taxi bottom-left से top-right तक बिना पीछे लौटे कितने routes से जा सकती है
- Zvonkin ने hint दी कि route में right move को red circle और upward move को blue circle से दिखाएँ, ताकि बच्चे इसे beads problem से जोड़ सकें
- बच्चों ने दिखने में अलग problems में समान structure वाली isomorphism खोजी
- अंत में पाँच खाली matchboxes और दो balls रखे गए, और पूछा गया कि balls को boxes में रखने के अलग-अलग तरीके क्या हैं
- बच्चों ने जल्दी पहचान लिया कि यह beads problem जैसा ही है
- इन सभी problems का answer 10 है, लेकिन यह कैसे prove किया जाए कि इससे ज़्यादा नहीं हैं, और original set 4 या 6 हो तो answer कैसे बदलेगा—ये अलग पहाड़ बने रहे
बच्चे की सोच और education methods की सीमाएँ
- बच्चे को “छोटा adult” मानने वाली homunculus theory गलत premise है
- बच्चा adult से केवल कम smart और कम जानकार नहीं होता, बल्कि उसकी intelligence adult से अलग position पर होती है
- छोटे बच्चे अधिक concrete तरीके से सोचते हैं; symbolic या propositional reasoning न कर पाने को overall thinking ability कम मानना ठीक नहीं
- Zvonkin ने बच्चों और adults, दोनों के साथ प्रभावी रूप से जिस method का इस्तेमाल किया, वह repetition और spacing है
- उसी problem को कई बार, लंबे intervals पर, हर बार अलग angle से दोबारा पेश करना
- यह focused thinking और diffuse thinking के बीच interaction का इस्तेमाल करने वाला तरीका है
- लेखक जोड़ते हैं कि उन्होंने इसी तरीके से 5–6 साल के बच्चे को समझाया कि Pascal’s triangle की किसी row का sum 2 की powers क्यों होता है
- किताब की आखिरी सीख यह है कि वही method हमेशा reproduce नहीं होती
- Zvonkin ने पहले circle के 4 सालों में successes और failures दर्ज किए, और अपनी दूसरी बेटी Evgenia के age group के बच्चों के साथ दूसरा circle शुरू किया
- उन्हें लगा कि अब वे जानते हैं कि क्या काम करता है और क्या नहीं, लेकिन दूसरे group की aptitude और interests अलग थे, इसलिए पुराने notes लगभग बेकार साबित हुए
- लगभग 1 साल बाद उन्होंने छोड़ दिया और diary अचानक खत्म हो जाती है
- यह experience कई बच्चों वाले parents के universal experience को extreme रूप में दिखाता है
- एक ही तरीके से पालने पर भी बच्चों के बीच differences बहुत जल्दी दिखने लगते हैं
- Parents के actions इस बात पर केवल peripheral influence डाल सकते हैं कि बच्चा कैसा व्यक्ति बनेगा
- Education और parenting बच्चे को program करने का काम नहीं, बल्कि यह देखने की प्रक्रिया के करीब है कि नया being क्या बनेगा
- साथ ही parents थोड़ा बोझ कम कर सकते हैं और books, movies, sports, hiking, thinking जैसी mutual enjoyable activities साथ कर सकते हैं
- कुछ मामलों में वह activity problem से जूझने वाली कठिन सोच हो सकती है
1 टिप्पणियां
Hacker News की टिप्पणियां
लेख उम्मीद से ज्यादा दिलचस्प और अच्छी तरह लिखा गया है, इसलिए सिर्फ यहां की टिप्पणियां न देखें, मूल लेख भी पढ़ना अच्छा रहेगा
मुझे पक्का नहीं कि “नीरस स्कूल एक्सरसाइज” को गैर-जरूरी बताया जा रहा है, या यह कि वे जरूरी हैं लेकिन पर्याप्त नहीं
मेरा किशोरावस्था की ओर बढ़ता बच्चा पहले गणित पसंद करता था और गणित की समस्याओं पर बात करना भी एन्जॉय करता था, लेकिन अब स्कूल की एक्सरसाइज से ऊबता है और लगता है रुचि खो रहा है, इसलिए सोच रहा हूं कि क्या उस चिंगारी को फिर से जलाने का कोई तरीका है
अच्छे शिक्षकों ने सिर्फ “क्या” नहीं, बल्कि कैसे और क्यों दिखाया; unit circle पर 10-10 डिग्री घूमते हुए right triangle के opposite/hypotenuse ratio को graph पर plot करके sine function को आंखों के सामने बनते देखना जादू जैसा था
एक और शिक्षक ने कागज से डिब्बा बनवाया, फिर उसका volume calculate करवाया, और उसी कागज के area से maximum volume देने वाले डिब्बे के dimensions calculus से निकालकर दिखाए; तब पहली बार लगा कि गणित समय की बर्बादी नहीं, उपयोगी है
YouTube का 3Blue1Brown भी अच्छा है, लेकिन थोड़ा लंबा और कठिन हो सकता है; Numberphile में छोटे वीडियो ज्यादा हैं और वे छोटे-छोटे proofs दिखाते हैं, इसलिए अच्छा है
Martin Gardner या Ian Stewart की किताबों जैसी रोचक गणित कथाएं या puzzle books भी ठीक हैं, और बच्चे से अपनी मर्जी की चीज करवाने की कोशिश करने से ज्यादा मददगार यह है कि माता-पिता खुद गणित में रुचि रखते दिखें
यहां के स्कूलों की समस्या मुझे यह लगती है कि वे बच्चे की रुचि से ज्यादा marks पर focus करते हैं। दबाव बहुत ज्यादा हो तो मजा खत्म हो जाता है
खासकर “अभी नहीं सीखनी चाहिए वाली technique” इस्तेमाल करने पर marks काटना सचमुच खराब है; repetition जरूरी हो सकती है, लेकिन अगर बच्चे को लगे कि उसकी skill बढ़ रही है, तो रुचि बनी रह सकती है
कुछ हद तक कठिन repetition हो तब भी subject खुद दिलचस्प लगे, इसके लिए पर्याप्त material देना चाहिए; और सवालों के जवाब दे सकने वाले रुचि रखने वाले माता-पिता हों तो बहुत मदद मिलती है
8th grade से पहले तक गणित boring था, लेकिन वजह नहीं पता थी; फिर administrative गलती से pre-algebra के बजाय algebra class में चला गया और तब समझ आया
एक महीने के revision में एक साल का syllabus compress करके catch up करना पड़ा, पहली बार मेहनत करनी पड़ी और average C मिला, लेकिन बाद में जब speed फिर धीमी हुई तो समझ आया कि मुझे गणित खुद पसंद था, पर सबको साथ रखने के लिए धीमी चलने वाली class नापसंद थी
curiosity के पीछे चलते हुए इधर-उधर चीजें बनाईं, तो trigonometry, linear algebra और statistics के काफी उपयोगी हिस्से “discover” किए, और उस समय बनी intuition ने बाद में college maths में निश्चित रूप से मदद की
Axiom Maths UK में math circle की अवधारणा लाने की कोशिश कर रहा है, और schools को अपने circles चलाने के लिए support और resources देता है
इसे ऐसी team चला रही है जिसे math education का गहरा अनुभव है, जैसे King’s Maths School के founding head; यह school UK के सबसे अच्छा performance करने वाले state sixth forms में से एक है
https://axiommaths.com/how-we-work/
https://nrich.maths.org/about-nrich
Simon Singh का https://parallel.org.uk/ भी है, लेकिन वह लगभग 10+ उम्र के लिए है
Rozhkovskaya की किताब में बहुत अच्छी activities हैं https://www.amazon.co.uk/gp/product/1470416956
लेख में जिस Zvonkin की किताब की बात है, उसमें classes के पूरी तरह बिगड़ जाने की कहानियां या देर रात कागज के टुकड़े काटने जैसे ईमानदार वर्णन motivation के लिए अच्छे हैं, लेकिन वास्तविक teaching material के रूप में इस्तेमाल करना काफी मुश्किल लगता है
मुख्य cultural difference यह है कि America में math और physics से ज्यादा law और business को ऊंचा माना जाता है
smart बच्चे का लक्ष्य अब भी Harvard Law School होता है, और MIT लक्ष्य तब बनता है जब वह बहुत अच्छा हो और सचमुच उसी चीज में डूबा हो
France में Napoleon द्वारा बनाए गए engineering school Polytechnique में जाना top track माना जाता है, इसलिए culture बच्चों को math learning की ओर धकेलता है
अगर बच्चे में math aptitude भी नहीं और taste भी नहीं, तो क्या उसे ENA की ओर धकेलते हैं, ऐसा लगता है
math education में सबसे बड़ी समस्या यह है कि theory सीखने के बाद वास्तविक problems हल करने के लिए plan बनाना कैसे है, इस पर वापस नहीं आते
उदाहरण के लिए, integration solve करने की कई techniques सीखने पर भी, problem सामने आए तो कौन-सा tool इस्तेमाल करना है, यह तय करने की practical strategy साथ में नहीं बनाते
इसलिए छात्रों के लिए math problems से जुड़ी मुख्य भावना confidence नहीं, बल्कि fear बन जाती है। हर problem ऐसी लगती है जैसे “होगी या फिर कई घंटे भटककर भी जवाब नहीं मिलेगा?”
अगर basic integration techniques को कैसे apply करना है, यह teacher को formula-wise situations में साफ-साफ बैठाकर बताना ही पड़े, तो मुझे लगता है कि सही से सीखा ही नहीं गया
u-substitution जैसे बड़े tricks को छोड़कर, किसी specific mechanical integration procedure को सीधे सिखाने का तरीका मेरे लिए असहज learning style रहा होता
जब बच्चा तीन साल का था, तब मुझे यह शानदार किताब मिली। लेखक ने कई बार चेतावनी दी थी कि यह “guide नहीं, journal” है, फिर भी मैंने वैसा ही कुछ करने की कोशिश में इसे पढ़ना शुरू किया
अफ़सोस, किताब की वजह से नहीं बल्कि दूसरी चीज़ों में ध्यान बंट जाने के कारण मैं इसे अंत तक नहीं पढ़ पाया, और अब बच्चा पहले ही सात साल से ऊपर का हो चुका है
फिर भी जितना थोड़ा पढ़ा, वह सच में बहुत आनंददायक था
दूसरे math circle curricula कम प्रेरक हों, फिर भी उन्हें follow करना काफी आसान है
मुझे लगता है कि Soviet Union में कुछ भी बेहतर था, यह बुनियादी धारणा ही गलत है
वे GDP का कहीं बड़ा हिस्सा military और space पर झोंकते थे, और Russia में जीवन दयनीय था
tanks, nuclear weapons, rockets थे, लेकिन ऐसी कंपनियां नहीं थीं जिन्होंने लोगों की जिंदगी बेहतर बनाई हो; इसी ने Cold War को जारी रखा और अंततः वह ढह गया
अगर बुनियादी धारणा गलत हो, तो कहीं भी clues ढूंढने से फायदा नहीं
यह 6 साल और 10 साल पहले भी कुछ comments के साथ पोस्ट हो चुका है
https://hn.algolia.com/?q=Math+from+Three+to+Seven
यह किताब और इसकी पृष्ठभूमि वाली संस्कृति काफी प्रभावशाली है, इसलिए जिन लोगों ने “enrichment” activities की हैं, उन्होंने शायद किताब की कई activities पहले ही देखी होंगी
सबसे प्रसिद्ध उदाहरण शायद Scratch JR / code.org की introductory programming को कागज और pencil से करने जैसा हो सकता है
Math from Three to Seven: The Story of a Mathematical Circle for Preschoolers [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=17018583 - May 2018 (20 comments)
Math from Three to Seven: Chapters One and Three [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=8811334 - Dec 2014 (21 comments)
Soviet Union सच में दुनिया का सबसे ज्यादा किताबें पढ़ने वाला देश था
1966 के एक global survey के अनुसार Soviet नागरिक किताबें, अखबार और magazines औसतन करीब 11 घंटे प्रति सप्ताह पढ़ते थे, जो Britain, North America और France के लोगों से लगभग दोगुना था
scientific talent विकसित करने के उद्देश्य से देखें तो novels पढ़ना TV देखने जितना ही मददगार हो सकता है
कभी-कभी पुराने street interviews की तुलना आज के street interviews से करें तो पूरी तरह अलग दिखता है
80s के आखिर में collapse के दौर के bars में working-class drunk लोग भी आज के लोगों से ज्यादा articulate और intellectually sharp लगते हैं
Putin की वजह से हो, immigration की वजह से हो, या capitalism की वजह से—मुझे लगता है कि आम जनता में गंभीर regression हुआ है
लेख का अंतिम हिस्सा बाकी सामग्री को काफी हद तक काट देता है
दूसरे math circle में बच्चे अलग थे, उनकी aptitudes और interests भी अलग थे, इसलिए पुराने notes पूरी तरह बेकार हो गए, और शुरू में आजमाई गई सारी classes fail हो गईं
communist समाज में पले-बढ़े Zvonkin मानव स्वभाव की पूर्ण plasticity में विश्वास करते थे, और लगता है कि बहुत कम उम्र से ही differences दिखने लगे तो वे काफी shocked हुए
lines के बीच से लगता है कि बच्चों का पहला group काफी lucky था, दूसरा group पढ़ाने में कहीं ज्यादा कठिन था, और करीब एक साल बाद उन्होंने हार मान ली, जिससे journal अचानक खत्म हो जाता है
“सिर्फ इसलिए marks काटने वाला सामान्य teacher कि जवाब तय format में नहीं लिखा गया”—हमारे बच्चों के math teacher बिल्कुल ऐसे ही हैं, और यह बेहद frustrating है
लेकिन असल में वे हर तय method को जबरन इस्तेमाल करवाते हैं, भले ही वह assignment से बिल्कुल मेल न खाता हो
उस problem के लिए निर्धारित method से हटे तो वह गलत है, और अपना कोई modified method बनाना allowed नहीं है
आखिरकार लगता है teachers ने यह तो सीख लिया कि बच्चों को अलग-अलग methods इस्तेमाल करने चाहिए, लेकिन यह नहीं सीखा कि ऐसा क्यों करना चाहिए