परिचय
- 2021 की शरद ऋतु में, Malors Espinosa ने ऐसा गणितीय प्रश्न बनाना चाहा जिसे हाई स्कूल के छात्र सिद्ध कर सकें।
- उन्होंने सिद्ध किया कि Menger sponge नामक एक फ्रैक्टल के भीतर सभी गाँठें पाई जा सकती हैं।
Menger sponge
- Menger sponge एक घन से क्रमशः छोटे-छोटे घनों को हटाकर बनाया जाता है।
- यह फ्रैक्टल अनंत पुनरावृत्ति के साथ अपने आयतन को 0 तक घटा देता है, जबकि उसका सतह क्षेत्रफल अनंत तक बढ़ जाता है।
गाँठें और फ्रैक्टल
- Menger ने सिद्ध किया था कि सभी वक्र इस sponge में समाहित किए जा सकते हैं, लेकिन क्या सभी गाँठें भी इसमें समा सकती हैं, यह सिद्ध नहीं हुआ था।
- Malors और तीन हाई स्कूल छात्रों ने सिद्ध किया कि सभी गाँठें Menger sponge में समाहित की जा सकती हैं।
गाँठों को देखने का नया तरीका
- गाँठों को arc presentation नामक एक विशेष diagram के रूप में व्यक्त किया गया।
- उन्होंने Menger sponge की सतहों पर arc presentation की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ रखकर गाँठों को 3D में विस्तारित करने का तरीका खोजा।
गाँठों से मापन
- छात्रों ने सिद्ध किया कि trefoil knot सहित सभी "pretzel" गाँठों को Menger sponge के tetrahedral संस्करण में समाहित किया जा सकता है।
- यह शोध फ्रैक्टल की जटिलता को मापने का एक नया तरीका प्रस्तुत कर सकता है।
निष्कर्ष
- यह शोध फ्रैक्टल और knot theory पर नई अंतर्दृष्टि देता है और गणितीय सत्य में योगदान करने वाला एक सार्थक कार्य है।
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