किशोर गणितज्ञों ने एक अद्भुत fractal के भीतर सभी knots खोज निकाले

• टोरंटो विश्वविद्यालय के ग्रेजुएट छात्र Malors Espinosa ऐसे शोध प्रश्न की तलाश में थे जिस पर हाई स्कूल के छात्र भी proof देने की कोशिश कर सकें, तभी उन्होंने पूछा कि क्या सभी knots को Menger sponge के भीतर रखा जा सकता है
• Menger sponge एक fractal है जो एक घन को बार-बार खोखला करके बनता है, और Karl Menger ने 1926 में सिद्ध किया था कि यह संरचना सभी curves को समाहित करने वाली universal curve है
• Joshua Broden, Noah Nazareth, Niko Voth ने knots को arc presentation के रूप में grid पर रखा और Cantor set coordinates की मदद से sponge के holes से बचने का तरीका बनाया
• कई महीनों तक हर हफ्ते Zoom मीटिंग्स के बाद, इन तीन छात्रों ने सिद्ध किया कि सभी knots को Menger sponge के भीतर रखा जा सकता है, और उनका पेपर arXiv पर प्रकाशित है
• tetrahedral version में उन्होंने यह भी दिखाया कि trefoil knot और उससे व्यापक pretzel knot family तक को रखा जा सकता है, लेकिन क्या इसे सभी knots तक बढ़ाया जा सकता है, यह अभी भी खुला प्रश्न है

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हाई स्कूल छात्रों के लिए शोध समस्या से शुरू हुआ knot-fractal theorem

• 2021 की शरद ऋतु में, Malors Espinosa ऐसे गणितीय प्रश्न खोज रहे थे जिन्हें हाई स्कूल के छात्र खुद सिद्ध कर सकें और जिनकी शोध-गत महत्ता भी हो
• वे स्थानीय हाई स्कूल छात्रों के लिए ग्रीष्मकालीन workshop में गणितीय शोध के बुनियादी विचार और proofs लिखने के तरीके सिखाते रहे थे, और कुछ छात्र ऐसे प्रश्नों के लिए तैयार थे जिनके उत्तर पहले से मौजूद नहीं थे
• chaos theory की एक textbook में Menger sponge को फिर से देखने के बाद, उनका सवाल इस fractal और knot theory को जोड़ने की दिशा में गया

Menger sponge और universal curve

• Menger sponge एक घन को Rubik’s cube की तरह बाँटकर बनाया जाता है, फिर बीच वाले छोटे घन और छह faces के बीच वाले छोटे घनों को हटाया जाता है, और बचे हुए 20 घनों पर यही प्रक्रिया अनंत बार दोहराई जाती है
• जैसे-जैसे यह दोहराव आगे बढ़ता है, holes की संख्या ज्यामितीय दर से बढ़ती है, और अनंत पुनरावृत्ति के बाद उसका volume 0 हो जाता है जबकि surface area अनंत हो जाता है
• Karl Menger ने 1926 में इस sponge को परिभाषित करते हुए सिद्ध किया कि कोई भी curve deform होकर sponge पर कहीं न कहीं बिना self-intersection के रखा जा सकता है
  • साधारण रेखाएँ और वृत्त
  • पेड़ या snowflake जैसी दिखने वाली संरचनाएँ
  • fractal dust जैसी curves
• इसी गुण के कारण Menger ने इस sponge को universal curve कहा

क्या वृत्त के समतुल्य सभी knots भी इसके भीतर आ सकते हैं

• Malors का प्रश्न इस बात से शुरू हुआ कि Menger का theorem homeomorphic curves के बीच अंतर नहीं करता
• गणितीय knot एक बंद loop होता है, जो किसी उलझी और बंधी हुई डोरी के दोनों सिरों को जोड़कर बनाया जाता है, और उस पर चल रही चींटी के नज़रिए से वह वृत्त की तरह अपने शुरुआती बिंदु पर लौट आता है
• इस अर्थ में सभी knots वृत्त के homeomorphic हैं, लेकिन Menger का proof केवल यह सुनिश्चित करता है कि वृत्त sponge के भीतर रखा जा सकता है
• लक्ष्य यह दिखाना था कि knot की loops और entanglement को बनाए रखते हुए हर knot को Menger sponge के भीतर पाया जा सकता है

arc presentation से knots को grid पर रखना

• तीन छात्रों Joshua Broden, Noah Nazareth, Niko Voth ने knots को समतल grid पर arc presentation के रूप में व्यक्त करके समस्या पर काम किया
• arc presentation knot strands के एक-दूसरे के आगे-पीछे गुजरने की जानकारी को grid पर बिंदुओं की व्यवस्था में बदल देता है, और हर row तथा column में ठीक दो बिंदु होते हैं
• इन बिंदुओं को horizontal और vertical रेखाओं से जोड़ा जाता है, और जब दो segments एक-दूसरे को काटते हैं, तो vertical segment को horizontal segment के आगे दिखाया जाता है
• हर knot को इस तरह के grid representation में दिखाया जा सकता है, जिससे उसके महत्वपूर्ण गुणों का अध्ययन आसान हो जाता है

Cantor set coordinates से sponge के holes से बचना

• छात्रों ने यह विचार अपनाया कि arc presentation की horizontal रेखाओं को Menger sponge की एक face पर और vertical रेखाओं को उसकी विपरीत face पर रखा जाए
• सबसे कठिन हिस्सा यह सुनिश्चित करना था कि arc presentation के हर corner से दोनों faces को sponge के भीतर जोड़ते समय रास्ता holes में न गिर जाए
• इसके लिए उन्होंने एक-आयामी fractal Cantor set का उपयोग किया
  • एक रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बाँटकर बीच का एक-तिहाई हिस्सा हटा दिया जाता है
  • फिर बचे हुए दोनों रेखाखंडों पर यही प्रक्रिया अनंत बार दोहराई जाती है
  • परिणामस्वरूप बिखरे हुए बिंदुओं का एक समुच्चय बचता है
• यदि Menger sponge और Cantor set को हटाने की समान संख्या वाली अवस्थाओं के रूप में देखा जाए, तो sponge की face पर वे बिंदु जिनके दोनों coordinates Cantor set में हैं, वहाँ holes नहीं होने चाहिए
• sponge की दोहरावदार संरचना के कारण ऐसे बिंदुओं के ठीक पीछे भी holes नहीं होने चाहिए, इसलिए knot sponge की सामग्री से बाहर निकले बिना वहाँ से गुजर सकता है

सभी knots को Menger sponge के भीतर रखने का proof

• बचा हुआ काम यह दिखाना था कि किसी भी knot के arc presentation को compress या stretch करके उसके सभी corners को Cantor set coordinates के अनुरूप बनाया जा सकता है
• ऐसा compress और stretch arc presentation की समग्र संरचना को नहीं बदलता, इसलिए उससे व्यक्त किया जाने वाला knot भी नहीं बदलता
• Broden, Nazareth, Voth ने सिद्ध किया कि किसी भी arc presentation को इस तरह deform किया जा सकता है कि vertical और horizontal रेखाओं के intersections Cantor set के भीतर आ जाएँ
• इस परिणाम ने यह भी सुनिश्चित किया कि अधिक संख्या में corners को भी Cantor set के अनुरूप बनाया जा सकता है, और अंततः दिए गए knot को Menger sponge के किसी न किसी पुनरावृत्ति चरण के भीतर रखा जा सकता है
• इन तीन छात्रों ने दिखाया कि सभी knots को Menger sponge के भीतर रखा जा सकता है

tetrahedral sponge तक विस्तारित समस्या

• मूल प्रश्न हल करने के बाद, छात्रों ने जाँच शुरू की कि क्या सभी knots को tetrahedral version के Menger sponge में भी रखा जा सकता है
• इस मामले में आमने-सामने की faces का उपयोग करने वाली पुरानी विधि अब काम नहीं करती, इसलिए समस्या और कठिन हो जाती है
• Malors को एक समय लगा था कि trefoil knot को tetrahedron के भीतर नहीं रखा जा सकता, लेकिन तीनों छात्रों ने इससे असहमति जताई और एक नई arrangement method खोज निकाली
• बाद में उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि trefoil से संबंधित अधिक सामान्य knot family, यानी पूरी pretzel knot family, के लिए भी यही संभव है
• क्या अन्य प्रकार के knots को tetrahedral sponge के भीतर रखा जा सकता है, यह अभी भी एक खुला प्रश्न है

knots के जरिए fractal complexity को देखने की संभावना

• Malors का मानना है कि छात्रों की यह विधि fractals की complexity को अधिक व्यापक रूप से मापने का तरीका बन सकती है
• सभी fractals हर प्रकार के knots को समाहित नहीं कर सकते, इसलिए कौन-से knots किसी fractal में आ सकते हैं और कौन-से नहीं, यह उसकी संरचना को समझने का एक मानदंड बन सकता है
• 2014 में गणित प्रेमियों ने MegaMenger नाम की एक वैश्विक परियोजना के तहत visiting cards का उपयोग करके 200-pound का एक सीमित Menger sponge बनाया था
• Allison Moore का मानना है कि यह परिणाम भौतिक सामग्रियों से बनने वाली नई mathematical art की दिशा में जा सकता है
• तीनों छात्र अब हाई स्कूल से स्नातक हो चुके हैं, और केवल Broden ही कॉलेज की पढ़ाई के साथ tetrahedron समस्या पर काम जारी रखे हुए हैं, जबकि तीनों ही गणित में करियर पर विचार कर रहे हैं

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Hacker News की राय

• knot theory पर आधारित एक browser puzzle है; खेलते हुए मैंने क्या सीखा, पता नहीं, लेकिन मज़ेदार था
  https://brainteaser.top/knot/index.html

  • किसी वजह से https://www.jasondavies.com/planarity/ याद आ गया

• Quanta सच में एक शानदार magazine लगता है। इस बार पहली बार पता चला

  • इनके कुछ अच्छे podcasts भी हैं, और व्यक्तिगत रूप से मुझे Joy of Wh(y) काफी पसंद है

• “हर knot, circle के साथ homeomorphic होता है” की व्याख्या यहाँ है
  https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...

  • यह सही नहीं है। knot कोई topological space नहीं, बल्कि एक embedding है, यानी K:S^1 -> S^3, और अधिक सामान्य रूप में S^n -> S^n+2। इसलिए homeomorphic की अवधारणा सीधे लागू नहीं होती
    मूल लेख जिस ओर इशारा कर रहा है, वह यह है कि image तक सीमित करने पर circle से उसके image तक जाने वाला homeomorphism बन जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह circle की embedding है
    अगर इसे topological spaces के बीच map के रूप में देखें, और चूँकि आम तौर पर smooth category या piecewise-linear category में चुना जाता है इसलिए और constraints आते हैं, तो “isomorphism” की सबसे स्वाभाविक निकट व्याख्या homeomorphism की जोड़ी f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 है, जो Kf=gK को संतुष्ट करती है। यानी यह natural transformation या commutative square के बराबर है
    इससे लगभग वही मिल जाता है जो चाहिए, लेकिन homeomorphism से space की orientation या knot की orientation पलट सकती है, और यह physical knot phenomena से मेल नहीं खाता। इसलिए space को orientation देनी पड़ती है, और इसके लिए piecewise-linear/smooth category में जाना पड़ता है या homotopy/isotopy का उपयोग करना पड़ता है
  • सहज रूप से, circle और knot में हर एक पर एक starting point चुनें, और कल्पना करें कि दोनों पर अलग-अलग speeds से चलते हुए आप उसी समय starting point पर वापस आ जाते हैं
    असल में knot, circle से उस map की image, यानी knot तक जाने वाला continuous bijective map है। लिंक किए गए जवाब में भी यही कहा गया है
    संशोधन: article दोबारा देखने पर पता चला कि चींटी वाली analogy के साथ यह सहज व्याख्या पहले से ही शामिल थी

• Quanta मुझे सच में बहुत पसंद है। काश इसका print edition होता

  • सहमत। मैं print subscription के लिए खुशी-खुशी पैसे दूँगा, और पास के high school को एक अतिरिक्त प्रति donate भी कर सकता हूँ
    हालांकि आजकल teenagers शायद library न जाते हों, इसलिए magazine को toilets, corridors और cafes में फैलाना पड़ सकता है
  • MIT का Leonardo याद आता है। दूसरे साल में जिन चीज़ों में मैं कुछ समय के लिए डूब गया था, उनमें से एक था: https://direct.mit.edu/leon
  • इसके उलट, animations वगैरह जोड़ पाने की वजह से मैं modern media को ज़्यादा पसंद करता हूँ

• “Menger sponge का tetrahedral version” आम तौर पर Sierpiński tetrahedron के नाम से ज़्यादा जाना जाता है, और यह Sierpiński triangle का 3D version है

• समझ नहीं आता कि fractal का इस्तेमाल ही क्यों किया। क्या साधारण 3D grid नहीं चलती? सही resolution वाली grid भी वही भूमिका नहीं निभाती?
  या वे यह दिखाना चाहते थे कि इस तरह सीमित 3D grid के subset के अंदर भी सब कुछ किया जा सकता है?

  • 3D grid वाला result अच्छी तरह जाना जाता है, और शायद लगभग obvious भी कहा जा सकता है। एक dimension में 2 layers छोड़कर बाकी हटाई जा सकती हैं
    जैसा आपने कहा, Menger sponge 3D grid का subset है, इसलिए students को holes से बचकर जाने वाली construction ढूँढनी थी। व्यक्तिगत रूप से result मुझे चौंकाने वाला नहीं लगा, लेकिन अच्छा है
    हालांकि article में सच में शानदार हिस्सा आख़िर का open problem है। क्या हर knot को Sierpiński tetrahedron के अंदर embed किया जा सकता है?

• proof का elementary और समझने में आसान होना अच्छा है। यह लगभग Pythagorean theorem के proofs की याद दिलाता है, फिर भी लगता है कि यह काफी meaningful हो सकता है

• बहुत शानदार। काश उन्होंने इसी तरह की visualization से यह भी दिखाया होता कि Sierpiński gasket में इसे कैसे solve किया गया