हर गणितज्ञ के पास केवल कुछ ही ट्रिक्स होती हैं (2020)

• परस्पर commutable मैट्रिसेस को एक साथ diagonalize किया जा सकता है के सिद्धांत को केंद्र में रखते हुए, विभिन्न भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण का तरीका भौतिक दृष्टिकोण से समझाया गया है
• Translational symmetry वाले सिस्टम में Fourier transform का उपयोग करके wave equation, heat equation आदि कई भौतिक घटनाओं के समाधान किए जाते हैं
• Discrete translational symmetry वाली crystal structure में Bloch-Floquet theory के ज़रिये energy band structure समझाया जाता है और conductor तथा insulator के बीच का अंतर स्पष्ट होता है
• Rotational symmetry होने पर हाइड्रोजन परमाणु की eigenvalue समस्या को rotation operator diagonalize करके हल किया जाता है, और SO(3) representation को periodic table के electron shell structure से जोड़ा जाता है
• SU(3) symmetry के माध्यम से जटिल particle physics में particle classification को व्यवस्थित किया जाता है, जहाँ symmetry representations particles की organized structure दिखाती हैं

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ऑपरेटर और diagonalization का मूल सिद्धांत

• मुख्य गणितीय तथ्य यह है कि "दो commuting मैट्रिसेस को एक साथ diagonalize किया जा सकता है"
  • एक ऑपरेटर के eigenvector ज्ञात होने पर, दूसरे ऑपरेटर का diagonalization कहीं अधिक सरल हो जाता है
  • भौतिकी में अक्सर यह मान लिया जाता है कि अधिकांश मैट्रिसेस diagonalizable हैं

1) ट्रांसलेशनल इनवेरिएंट सिस्टम

• ट्रांसलेशनल ऑपरेटर का eigenvector रूप ( e^{ikx} ) होता है, इसलिए Fourier transform का उपयोग करना स्वाभाविक लगता है
  • यह method light, acoustics, free electron और homogeneous medium की heat equation आदि में wave equations को हल करने में लागू होती है

2) डिस्क्रीट ट्रांसलेशनल सिमेट्री और Bloch-Floquet theory

• क्रिस्टल संरचना बनाने वाले ठोस में atoms की व्यवस्था में discrete translational symmetry होती है
  • ऑपरेटर ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) के eigenvector के रूप में ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) ) लिया जाता है
  • इससे Bloch-Floquet theory निकलती है और spectrum band structure में विभाजित होता है
  • यह सिद्धांत condensed matter physics में conductor और insulator के अंतर को समझाने वाला प्रमुख मॉडल है

3) घूर्णन सिमेट्री और हाइड्रोजन परमाणु

• Rotational invariance वाले सिस्टम में पहले rotation operator को diagonalize करना पड़ता है
  • इसके द्वारा हाइड्रोजन परमाणु के eigenvalue और eigenvector निकाले जाते हैं
  • हाइड्रोजन परमाणु का eigen-space घूर्णन के प्रति stable होता है, और यह SO(3) का finite-dimensional representation देता है
  • SO(3) की irreducible representations की dimensions 1, 3, 5, … हैं, और electron spin जोड़ने पर ये periodic table के shells (2, 6, 10, 14, …) से मेल खाती हैं

4) SU(3) सिमेट्री और particle physics

• particle physics भले ही जटिल हो, लेकिन उसकी नींव में SU(3) symmetry मौजूद है
  • SU(3) representations पर विचार करने पर विभिन्न particles अधिक संगठित और व्यवस्थित वर्गीकरण में आते हैं
  • इसी से particles की “zoology” जैसी विभाजित सूची एक व्यवस्थित रूप में सामने आती है

अतिरिक्त उल्लेख

• मूल पोस्ट में उपर्युक्त चार उदाहरणों के अलावा 39 अतिरिक्त टिप्पणियाँ मौजूद हैं, लेकिन मुख्य पाठ में इनकी कोई विशिष्ट सामग्री प्रस्तुत नहीं की गई है

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Hacker News राय

• मेरे पिता गणितज्ञ नहीं बल्कि engineer थे, और हर non-linear समस्या को Newton-Raphson से हल करते थे
  बचपन में HP85a पर BASIC में Newton-Raphson implement करते देखना मेरी पहली programming यादों में से एक है
  बाद में मैंने इसे HP calculator पर RPN में भी implement किया, और पिता के भयानक BASIC program debug भी किए
  उन्होंने numerical root finding की बस यही एक विधि और second derivative निकालने का तरीका सीखा था, और chemical process engineer के रूप में पूरी ज़िंदगी उसी का इस्तेमाल किया
  संदर्भ के लिए संबंधित दस्तावेज़ यहाँ देखा जा सकता है
  और पिता इस विश्वास के साथ जीते थे कि “एक दृढ़निश्चयी FORTRAN programmer किसी भी language में FORTRAN लिख सकता है”

  • जिन सबसे शानदार developers के साथ मैंने काम किया, उनमें से एक ने सिर्फ SVD(एकल मान अपघटन) से linear algebra की अनगिनत समस्याएँ हल कर दीं
    अगर ठीक से इस्तेमाल करना आता हो, तो SVD engineering computation में सचमुच बहुत ताकतवर tool है
  • मेरे पिता भी engineer थे और Fortran से प्यार करते थे
    एक बार मैंने उन्हें OOP समझाया, तो उन्होंने तुरंत उसे “बेकार” घोषित कर दिया और फिर कभी पीछे मुड़कर नहीं देखा
  • Newton-Raphson ऐसा algorithm है जो Knuth का कथन “मैंने इसे prove तो किया है, पर run नहीं किया” पूरी तरह महसूस करा देता है
    साधारण examples में यह बिल्कुल ठीक चलता है, लेकिन वास्तविक समस्याओं में कई बार बुरी तरह fail हो जाता है
  • यह कहावत याद आती है: “मैं उस व्यक्ति से नहीं डरता जिसने 1000 तरह की kicks का अभ्यास किया है।
    लेकिन मैं उससे डरता हूँ जिसने एक ही kick का 1000 बार अभ्यास किया है”
    ज़िंदगी भर Newton-Raphson इस्तेमाल करने वाले पिता के लिए यह बिल्कुल सटीक उपमा लगती है
  • Differential Evolution भी एक सरल technique है जिसे व्यापक रूप से लागू किया जा सकता है
    इसे implement करना भी आसान है, और wiki विवरण देखें तो काफ़ी दिलचस्प लगता है

• engineers के भी शायद अपने-अपने problem solving theme होते हैं
  एक सहकर्मी हमेशा सबसे simple hack ढूँढ लेता था, और दूसरा code से इतना प्रेम करता था कि सबसे elegant expression खोजता था
  एक पूर्व physicist हमेशा छोटे-छोटे mailing lists पढ़कर गहरी समझ बनाता था
  मैं किसी समस्या की संरचना को लंबे समय तक खोदता रहता हूँ, लेकिन अंत में समाधान से ज़्यादा उपयोगी वे tools निकले जो उस प्रक्रिया में मिले

  • एक और प्रकार भी होता है
    एक infra engineer था जो Reddit पर कुछ देखते ही तुरंत experiment कर देता था, और अब शायद उसकी net worth 50 million dollar के आसपास है
    एक और engineer ने हर technology को सीधे training session के ज़रिए सीखा और integrate किया
    और एक मशहूर engineer ऐसा था जो दुनिया के सबसे बेहतरीन comments लिखता था — समस्या, trade-offs, performance, और अधूरे हिस्सों तक को essay की तरह दर्ज करता था
    आखिरकार, सबसे बेहतरीन engineers में एक समान गुण था: “काम बनने तक कोशिश करते रहना”
  • मैं ज़्यादातर code या pipeline को trace करके समझता हूँ कि नतीजा कैसे आया
    खासकर जब result गलत हो, तब यह बहुत काम आता है
    मुझे लगता है “Go To Definition” feature सबसे ताकतवर tool है

• computer science की classes में मुझे लगा कि गणित में pattern recognition और tricks बहुत महत्वपूर्ण हैं
  अगर tricks न पता हों तो आगे बढ़ना मुश्किल होता है, और classes में भी इन्हें सीधे सिखाया बहुत कम जाता था
  professors मान लेते थे कि students यह पहले से जानते हैं, या अगर नहीं जानते तो उन्हें आलसी समझते थे

• Feynman ने अपनी आत्मकथा में कहा था कि वह इसलिए सफल हुए क्योंकि उनके पास दूसरों से अलग mathematical tricks थीं

  • दिलचस्प बात यह है कि उनकी अक्सर इस्तेमाल की जाने वाली integration technique Feynman’s trick दरअसल 250 साल पहले Euler ने बनाई थी
    इसका संबंधित विवरण यहाँ देखा जा सकता है
  • Feynman अपनी ही किताब बार-बार पढ़ते हुए कहते थे, “सब कुछ यहीं है”
    वह अपनी समझ को लगातार अपडेट करते रहते थे
  • उनकी ज़्यादातर tricks classical calculus की सीमा के भीतर थीं
    वे चमकदार नहीं थीं, लेकिन उस सीमित क्षेत्र पर उनकी पूरी पकड़ थी

• कॉलेज के दिनों में, एक professor जब problem समझा रहे होते और मैं ऊँघ रहा होता, तो वे मेरा नाम पुकारते थे
  मैं आधी नींद में “Chinese Remainder Theorem” जवाब देता था, और 90% संभावना होती थी कि वह सही निकलता
  यह algebra class थी, और वहाँ यह सचमुच इतना बार काम कर जाता था

• एक बार lecture के दौरान professor खुद समस्या हल नहीं कर पाए
  थोड़ी देर रुके, अपने office गए और notes लेकर लौटे, जिनमें सिर्फ एक पंक्ति लिखी थी — “trick का इस्तेमाल करो”

• किसी ने Tricki.org का परिचय कराया, और वह math problem solving techniques wiki काफ़ी दिलचस्प लगी
  अब उसका maintenance नहीं होता, लेकिन फिर भी वह देखने लायक है

  • किसी ने जवाब दिया कि बताने के लिए धन्यवाद। यह सचमुच एक अच्छा resource था

• programmers के लिए graph thinking बहुत उपयोगी है
  कुछ लोग SAT को भी एक अच्छा trick मानते हैं, लेकिन मैंने खुद इसे कभी इस्तेमाल नहीं किया

  • SAT, SMT, ILP, MILP जैसी techniques का भी साथ में ज़िक्र हुआ

• applied mathematics में एक मज़ाक है — “हम Taco Bell की तरह हैं। वही छह ingredients मिलाकर अलग menu बना देते हैं”
  मेरे पास भी कुछ techniques हैं जिन्हें मैं बार-बार इस्तेमाल करता हूँ
  आखिरकार, दुनिया को चलाने वाले ideas बहुत कम हैं, और एक professor ने तो यहाँ तक कहा था कि “पिछले कई दशकों में असली innovation सिर्फ compressed sensing थी”

• compiler का मुश्किल हिस्सा parser है
  कोई मौजूदा parser ढूँढो और उसे उस language के web template के रूप में output करने दो
  database queries को inverted index में बदलना बेहतर होता है,
  और सबसे बढ़कर data locality पर बहुत सावधानी से विचार करना चाहिए