- 350,757 बार सिक्का उछालने के डेटा से DHM भौतिक मॉडल को समर्थन मिलता है कि इंसानों द्वारा उछाला गया सिक्का, भले ही पूरी तरह 50:50 जैसा दिखे, फिर भी शुरुआत में ऊपर की ओर रही सतह पर दोबारा गिरने की संभावना थोड़ी अधिक होती है
- Diaconis, Holmes, Montgomery का 2007 मॉडल मानता है कि इंसानी उछाल में पैदा होने वाली हल्की precession और wobble की वजह से सिक्का हवा में अपनी शुरुआती सतह को अधिक समय तक ऊपर रखता है
- प्रयोग में उसी सतह पर गिरने की संभावना 0.508 थी, और 95% confidence interval [0.506, 0.509] तथा Bayes factor 2359 ने इस same-side bias को मजबूत समर्थन दिया
- जब शुरुआती सतह को random रखा गया, तब Pr(heads)=0.500 पाया गया, जिससे स्पष्ट होता है कि heads-tails bias और same-side bias को अलग-अलग समझना चाहिए
- bias का आकार व्यक्ति-दर-व्यक्ति अलग था, और जो लोग अधिक बार उछालते थे उनमें यह घटने की प्रवृत्ति दिखी, जिससे संकेत मिलता है कि उछालने की शैली और अभ्यास परिणाम पर छोटा भौतिक असर डाल सकते हैं
350,757 उछालों से DHM मॉडल की पुष्टि
- सिक्का उछालना probability और statistics में एक प्रतिनिधि random event के रूप में इस्तेमाल होता है, लेकिन भौतिक रूप से यह Newtonian mechanics का पालन करने वाली एक deterministic प्रक्रिया है
- सिक्का उछालने का मानक मॉडल मानता है कि परिणाम की randomness, शुरुआती स्थिति, सिक्के की बनावट, ऊपर की ओर लगाए गए बल, angular momentum जैसी initial conditions में छोटे बदलावों से आती है
- इस मानक मॉडल में निष्पक्ष सिक्के के heads पर गिरने की संभावना 50% होती है, यानी heads-tails bias नहीं होता
- DHM मॉडल इसमें इंसानी उछाल के दौरान उत्पन्न होने वाली हल्की precession या wobble को जोड़ता है
- यदि उड़ान के दौरान rotation axis की दिशा बदलती है, तो सिक्का शुरुआत में ऊपर रही सतह को हवा में अधिक देर तक ऊपर रखता है
- नतीजतन, शुरुआत वाली सतह पर गिरने की संभावना 50% से थोड़ा अधिक हो जाती है
- Diaconis आदि ने इंसानी सामान्य उछाल के अवलोकन के आधार पर same-side landing probability लगभग 51% होने का अनुमान लगाया था
same-side bias और heads-tails bias
- यह डेटा कुल 350,757 सिक्का उछालों से बना है, जो पहले के बड़े पैमाने के coin-toss records से कहीं बड़ा है
- same-side landing के नतीजे DHM मॉडल की सटीक भविष्यवाणी का मजबूत समर्थन करते हैं
-
Pr(same side)=0.508
- 95% confidence interval [0.506, 0.509] है
- same-side bias के लिए Bayes factor 2359 है
- सिक्के का शुरुआत में ऊपर रही सतह पर दोबारा गिरने का रुझान 50% से थोड़ा, लेकिन लगातार, अधिक पाया गया
-
Pr(heads)=0.500
- 95% confidence interval [0.498, 0.502] है
- heads-tails bias के लिए Bayes factor 0.182 है
- heads-tails bias नहीं होने का परिणाम सिक्के के प्रकार के अनुसार बदलता नहीं दिखा
- same-side bias सभी लोगों में एक जैसा नहीं था, और व्यक्तियों के बीच अंतर बड़ा था
- एक ही व्यक्ति में भी अधिक सिक्के उछालने पर same-side bias घटता हुआ दिखा
- यह इस संभावना से मेल खाता है कि अभ्यास का संबंध कम wobble वाले उछाल से हो सकता है
-
वे माप जिन्हें पिछले प्रयोगों ने छोड़ दिया था
- पहले भी बड़े पैमाने पर coin-toss experiments हुए थे, लेकिन अधिकांश में यह दर्ज नहीं किया गया कि सिक्का शुरुआती सतह वाली ही सतह पर गिरा या नहीं, इसलिए वे DHM मॉडल की जांच के लिए उपयुक्त नहीं थे
- ऐतिहासिक उदाहरणों में Count de Buffon ने 2,048 बार, Karl Pearson ने 24,000 बार, और John Kerrich ने 10,000 बार सिक्का उछाला था
- Janet Larwood और Priscilla Ku का 40,000 उछालों वाला प्रयोग एक अपवाद था, जिसमें शुरुआती सतह और परिणाम की तुलना की जा सकती थी
- Larwood ने हमेशा heads से शुरुआत की, और 20,000 में से 10,231 बार heads से heads पर समाप्त हुआ
- Ku ने हमेशा tails से शुरुआत की, और 20,000 में से 10,014 बार tails से tails पर समाप्त हुआ
- दोनों नतीजों को मिलाकर देखें तो dynamic bias के प्रमाण को अस्पष्ट स्तर का माना गया
निर्णय-निर्माण पर प्रभाव
- इंसान द्वारा उछाला गया निष्पक्ष सिक्का heads और tails में से किस पर गिरेगा, यह मोटे तौर पर 50:50 ही रहता है, लेकिन शुरुआत में ऊपर रही सतह पर खत्म होने की संभावना थोड़ी अधिक होती है
- high-stakes decision making में coin toss का उपयोग करते समय शुरुआती सतह को random रखना चाहिए, तभी इसे heads-tails bias के बिना इस्तेमाल किया जा सकता है
- same-side bias कुछ लोगों में अधिक बड़ा दिखाई देता है, इसलिए इंसानी उछालने की शैली स्वयं परिणाम पर छोटा भौतिक असर डाल सकती है
1 टिप्पणियां
Hacker News की राय
Von Neumann ने biased coin से निष्पक्ष नतीजा पाने का एक सुंदर तरीका समझाया था
सिक्के को दो बार उछालें, और अगर दोनों बार नतीजा समान हो तो फिर से शुरू करें
अगर दोनों नतीजे अलग-अलग हों, तो उस जोड़ी के पहले नतीजे को अंतिम नतीजे के तौर पर इस्तेमाल करें
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
सिक्का इस तरह biased था कि heads 20% और tails 80% आए, लेकिन Von Neumann method लगाने पर heads 50.035% और tails 49.965% निकले
study के मुताबिक, किस side को ऊपर रखकर शुरू किया जाता है, उससे bias चुना जा सकता है
उदाहरण के लिए, अगर tails चाहिए, तो पहली toss tails ऊपर रखकर शुरू करेगा; अगर पहला नतीजा tails हो तो दूसरी बार heads ऊपर रखकर शुरू करेगा; और अगर पहला नतीजा heads हो तो नतीजा रद्द कराने के लिए फिर heads आए ऐसा करने को heads ऊपर रखकर शुरू करेगा
मान लें bias को 75% बनाम 25% तक control किया जा सकता है, तो पहले नतीजे में tails आने की 75% संभावना के बाद heads आने की संभावना भी 75% होगी, इसलिए पहली दो tosses में मनचाहा नतीजा पाने की संभावना 56.25% हो जाएगी
सबसे खराब स्थिति यह है कि पहला नतीजा heads हो और उसके बाद फिर heads न ला पाए, इसलिए 25% × 25% = 6.25% संभावना से पहले round में हार होगी
आखिरकार पहली दो tosses में जीतने की संभावना 56.25%, हारने की 6.25%, और दोबारा कोशिश करने की 37.5% होगी, और कुल मिलाकर यह करीब 90% बनाम 10% पर converge करता लगेगा
“यह प्रक्रिया निष्पक्ष नतीजा इसलिए देती है क्योंकि अगर सिक्का हर toss पर अपना bias नहीं बदलता और दोनों tosses independent हैं, तो heads के बाद tails आने की संभावना और tails के बाद heads आने की संभावना समान होती है”
इसलिए हमेशा उसी side को ऊपर रखकर शुरू करना चाहिए
यह method मानता है कि toss करने वाला व्यक्ति bias पैदा नहीं कर सकता
ET Jaynes ने भी Probability Theory में लिखा था कि fair coin को ऐसे उछालना सीखना आसान है जिससे नतीजा पहले से तय किया जा सके, लेकिन थोड़ा खोजने पर भी यह ठीक-ठीक नहीं मिला कि उनका इशारा किस ओर था
करीब 1 साल पहले, मैंने यह पता लगाने का काम शुरू किया कि एक fair coin को उछालकर हाथ से पकड़ने पर उसके उसी side पर गिरने की संभावना कितनी होती है जो शुरुआत में ऊपर था
दोस्तों, collaborators और इंटरनेट के अजनबियों की मदद से हमने कुल 350,757 coin tosses इकट्ठे किए, और कई “Coin Tossing Marathon” किए: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
नतीजतन, हमें Diaconis, Holmes, Montgomery 2007 द्वारा predict किए गए “same-side” bias के मजबूत evidence मिले
अगर heads ऊपर रखकर शुरुआत करें, तो heads पर खत्म होने की संभावना ज्यादा होती है, और tails के लिए भी यही बात लागू होती है
sample में average estimate 50.8% था, confidence interval [50.6%, 50.9%] था
48 toss करने वालों के बीच भी same-side bias में काफी अंतर था, standard deviation 1.6% था, confidence interval [1.2%, 2.0%] था
यह अंतर toss करने वाले हर व्यक्ति की wobble की मात्रा अलग होने से समझाया जा सकता है
अगर आप coin toss के परिणामों पर 1 dollar के हिसाब से 1000 बार bet लगाएं और starting position जानते हों, तो औसतन 19 dollars कमा सकते हैं
यह optimal player के खिलाफ 6-deck blackjack में casino edge 5 dollars से ज्यादा है, और single-zero roulette के 27 dollars से कम है
manuscript arXiv पर है: https://arxiv.org/abs/2310.04153
public data, code और video records OSF पर हैं: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
calculate करने पर, अगर दिन में करीब 20 बार शांति से किया जाए, तो 19 dollars कमाने में weekend छोड़कर 10 हफ्ते लगेंगे, और तब तक लोग पक्का तरीका समझ जाएंगे
जल्दी पैसा कमाना हो तो strategy कई लोगों में फैलानी पड़ेगी, लेकिन ऐसा करने पर secret बाहर आ जाएगा
भले ही साथी पूरी तरह ईमानदार हों, अगर बहुत से लोग publicly वही strategy इस्तेमाल करने लगें, तो meaningful profit कमाने से पहले ही पकड़े जाने की संभावना ज्यादा है
फिर भी कल्पना करने के लिए यह मजेदार idea है, और paper के results व implementation में लगी मेहनत शानदार है
यहां coin toss काफी smooth है, और coin हवा में 1 foot से भी कम ऊपर जाता है
आम तौर पर coin toss से हम वह scene सोचते हैं जहां sports match से पहले coin तेजी से घूमते हुए ऊंचा जाता है, जमीन पर गिरता है, थोड़ा लुढ़कता है और फिर रुके हुए side को देखा जाता है
अगर experiment भी ऐसे किया गया होता, तो 50.8% same-side bias शायद 50% के कहीं ज्यादा करीब होता
black/red पर bet लगाने पर अगर 0 आता था, तो सभी bets उसी तरह अगले spin में carry over हो जाते थे
मेरी winning strategy थी कि मैं और मेरा दोस्त हमेशा opposite colors पर bet लगाते थे
इसके बजाय अगर coin को किसी hard surface पर गिराकर उछलने दिया जाए, तो bias खत्म हो जाएगा लगता है
कहा जा सकता है कि यह experiment “typical” coin toss को represent नहीं करता
औसतन हर participant ने coin 7000 से ज्यादा बार उछाला, और इतना करने पर बहुत से लोगों ने coin को ज्यादा comfortable और consistent तरीके से उछालना सीख लिया होगा
physical motion और force की variation कम होने पर coin के same orientation में land करने की संभावना बढ़ सकती है
बिना practice के toss करने वाले व्यक्ति के लिए भी यही result आएगा, ऐसा नहीं लगता
हां, coin गिराए बिना उछालकर हाथ से पकड़ने की skill जरूर बेहतर हुई, और अपने आप में इसके लिए भी practice चाहिए
मुझे पता है कि toss में wobble जोड़ने की एक technique होती है, लेकिन मैंने उसे नहीं सीखा और कैसे करते हैं यह भी नहीं जानता
यह मानना safe है कि यह कोई ऐसी technique नहीं है जिसे intuitively संयोग से खोज लिया जाए
अगर मकसद underlying bias देखना है, तो एक व्यक्ति का 7000 बार toss करना और 7000 लोगों का एक-एक बार toss करना काफी अलग है
इस bias के पैदा होने का mechanism सहज रूप से, या ऐसे कि elementary school का बच्चा भी समझ सके, समझाने का तरीका मैं अभी भी खोज रहा/रही हूँ
मूल paper समझाता है कि जब लोग आम तौर पर सिक्का उछालते हैं, तो वे थोड़ी-सी precession या डगमगाहट पैदा करते हैं, और इसकी वजह से उड़ान के दौरान सिक्के के rotation axis की दिशा बदलती है
Diaconis model के मुताबिक precession के कारण सिक्का हवा में शुरुआती face को ऊपर की ओर रखे हुए ज्यादा देर तक रहता है, इसलिए उसी face पर उतरने की संभावना ज्यादा हो जाती है जिस face से शुरुआत हुई थी
दूसरे coin-tossing experiment sites बताते हैं कि सामान्य रूप से उछाला गया सिक्का, हमारी कल्पना की तरह horizontal axis के चारों ओर नहीं घूमता, बल्कि 3D space में precess कर रही tilted axis के चारों ओर घूमता है, इसलिए initial conditions की एक तरह की “memory” बची रहती है
Diaconis paper में निर्णायक explanation है, लेकिन वह intuitive नहीं है
मैं जो सबसे अच्छी explanation दे सकता/सकती हूँ, वह यह है कि उछालते समय इंसान कुछ हद तक precession पैदा करता है, और precession होने पर angular momentum vector, heads से शुरू होने पर, heads वाली दिशा में ज्यादा देर तक रहता है, जिससे bias बनता है
elementary school वाले explanation के लिए coin toss animation में यह दिखाना अच्छा होगा कि angular momentum vector उड़ान के दौरान कौन-सा region sweep करता है, और यह कि heads की ओर रहने वाला समय थोड़ा ज्यादा लंबा होता है
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
लोग सच में इस तरह की training कर सकते हैं, और सामने वाले के लिए यह पहचानना बहुत मुश्किल होता है कि हवा में सिक्का घूम नहीं रहा, सिर्फ डगमगा रहा है
तब यह साफ होगा कि जो face शुरुआत में ऊपर था, पकड़े जाने पर भी वही ऊपर रहेगा
अगला कदम—यानी जो व्यक्ति fair toss करने की कोशिश कर रहा है वह भी कुछ precession पैदा करता है और यह rotation से अलग नहीं है—यह हिस्सा मेरे लिए भी बिल्कुल intuitive नहीं है
मैं हमेशा कहता/कहती रहा/रही हूँ कि coin toss का result starting state पर बहुत निर्भर करता है
heads, tails, heads, tails जैसी चलती sequence के बारे में सोचें: अगर heads से शुरुआत हुई है, तो tails की संख्या heads से ज्यादा नहीं हो सकती, और heads एक ज्यादा हो सकता है
मैंने खुद test नहीं किया है, लेकिन मेरा assumption है कि rotations जितने कम होंगे, यानी heads-tails sequence जितनी छोटी होगी, probability उतनी ज्यादा tilted होगी
यहाँ sequence का मतलब toss result नहीं, बल्कि rotation के दौरान ऊपर की ओर रहने वाले faces का क्रम है
[heads, tails] heads से शुरू हुई एक पूरी rotation है, और [tails, heads, tails, heads] tails से शुरू होकर heads पर खत्म होने वाली दो rotations हैं
coin toss का result इस sequence का आखिरी element है
heads से शुरू हुए सिक्के को उछालते ही हवा में तुरंत पकड़ लें, तो result जाहिर तौर पर heads होगा
लेकिन अगर सिक्के को रोकने का समय अपेक्षाकृत लंबा T है, तो probability को किसी sum की तरह देखा जा सकता है
उदाहरण के लिए time discretization को \Delta T = 10ms रखें, तो heads और tails के intervals का sum अलग होगा, और T infinity की ओर जाने पर P(H) और P(T) ज्यादा similar हो जाते हैं
वास्तविकता में हम uniformly distributed time तक wait नहीं करते, बल्कि आम तौर पर Gaussian distribution के करीब समय तक wait करते हैं, इसलिए sum के हर term को अलग weight मिलता है
उस distribution का variance और offset probability को heads या tails की ओर shift कर सकता है, और यह specific parameters पर काफी निर्भर करता है
उदाहरण के लिए अगर आप हमेशा 35ms बाद पकड़ें, तो हमेशा tails आ सकता है
सिक्का जब हाथ पर उछाले जाने का इंतजार कर रहा होता है, तब वह पहले से ही मौजूदा ऊपर वाले face interval के middle point पर होता है
heads-up से tails-up में transition तब होता है जब सिक्का vertical होता है
अगर समझ न आए, तो सिक्के को कई angles से पकड़कर “flatten” करने की कल्पना करें
angles के 50% किसी एक face से correspond करते हैं, लेकिन जिस पल सिक्का अभी-अभी उछलता है, वह already current face को represent करने वाले angle range का आधा पार कर चुका होता है
इसलिए सही sequence THTHTH नहीं, बल्कि THHTTHHTTHH के करीब है
बराबर intervals से देखें तो दोनों faces समान संख्या में दिखाई देते हैं, और odd intervals में देखें तो आधे cases में tails ज्यादा होते हैं और बाकी आधे में heads ज्यादा होते हैं
यह होना काफी मुश्किल लगता है, इसलिए अगर starting state heads है तो sequence tails-heads-tails-heads जैसी होगी
अगली बार जब coin toss से कुछ तय करना होगा, तो मुझे 350,757 games की best-of series मांगनी चाहिए
मैं हमेशा सिक्का पकड़ने के बाद उसे हाथ की पीठ पर पलटकर result दिखाता/दिखाती था/थी
तो शायद उसमें opposite-face bias होगा
coin toss में bias डालना हो तो क्या करना चाहिए?
paper देखने पर लगता है कि शुरुआत में जो face था उसी face पर उतरने की probability को 55% तक बनाना संभव है, और सबसे extreme participant लगभग इतना ही था
bias precession की वजह से पैदा होता है, इसलिए उछालते समय precession को जितना हो सके उतना ज्यादा कराना चाहिए लगता है
उंगली को सिक्के के center से जितना हो सके दूर रखना, और जितना हो सके ज्यादा force लगाना शायद अच्छा हो सकता है
आखिर में result reveal करते समय upper face को ऊपर की ओर रखते हुए पकड़ना चाहिए
कल्पना करें कि सिक्के को index finger और thumb के बीच heads ऊपर की ओर रखकर फंसाया है, और नीचे middle finger support दे रही है—यह सामान्य coin toss starting posture से बहुत अलग नहीं है
index finger से सिक्के के plane के अंदर उसे घुमाएँ, ताकि heads लगातार ऊपर की ओर रहे लेकिन head की picture ही घूमे
अब साथ-साथ thumb से सिक्के के lower edge के पास वाली जगह को flick करके उछालें, तो spin दे सकते हैं
सही मात्रा में spin देने पर सिक्का सच में flip नहीं होता, सिर्फ डगमगाता है, और इसलिए heads पर उतरता है
observer के लिए high speed पर flipping और wobbling में आंख से फर्क करना मुश्किल होता है, इसलिए उसे शायद समझ नहीं आएगा कि आपने क्या किया
इस case में छोटी spelling error sentence का meaning काफी धुंधला कर देती है
दिलचस्प है, लेकिन मेरी intuition नतीजे के उलट थी
मेरा मानना था कि उलटी साइड पर उतरने के लिए सिक्के को विषम संख्या में पलटना होगा, और उसी साइड पर उतरने के लिए सम संख्या में पलटना होगा
हर बार पलटने की संख्या के हिसाब से विषम और सम की गिनती बराबर हो सकती है या विषम एक ज्यादा हो सकता है, इसलिए मुझे लगा कि विषम बार पलटने की संभावना ज्यादा होगी
यहां और भी कई factors काम कर रहे हैं, और आखिर में केवल experiment ही model को validate करता है
देखना चाहूंगा कि TianqiP सिक्का कैसे उछालता है
इस user का heads ratio 0.601 [0.582, 0.619] के साथ काफी ऊंचा है
रणनीतिक रूप से इस्तेमाल करें तो यह कुछ dollars कमाने वाली skill है