Maxwell के समीकरणों के लिए सहज गाइड (2020)
(photonlines.substack.com)- 1865 में James Clerk Maxwell के शोधपत्र ने electromagnetic field के परिवर्तन को गणितीय रूप से संभाला और यह संबंध प्रस्तुत किया कि electromagnetic wave की प्रसार गति प्रकाश की गति के बराबर है
- मूल सिद्धांत को 20 equations और जटिल भौतिक भाषा के कारण 20 साल से अधिक समय तक व्यापक रूप से समझा नहीं जा सका, और Oliver Heaviside, Hertz, Lorentz, Einstein की पीढ़ियों से गुजरते हुए यह आज के 4 equations वाले रूप में व्यवस्थित हुआ
- electric field और magnetic field को किसी यांत्रिक उपकरण के रूप में नहीं, बल्कि space और time में फैले scalar field·vector field के रूप में पढ़ा जा सकता है, और divergence स्रोत·sink, curl घूर्णन को दर्शाता है
- ये चार equations संक्षेप में व्यक्त करती हैं कि charge, magnetic flux, समय के साथ बदलते field, और current मिलकर किस तरह का divergence और circulation बनाते हैं
- vacuum और charge-रहित space में electric field और magnetic field wave equation को संतुष्ट करते हैं और प्रकाश की गति से फैलने वाली एक electromagnetic wave में एकीकृत हो जाते हैं
Maxwell के सिद्धांत का महत्व देर से क्यों समझ में आया
- 1865 में James Clerk Maxwell ने Royal Society की Philosophical Transactions में “A dynamical theory of the electromagnetic field” प्रकाशित किया
- इस शोधपत्र ने electromagnetic field के परिवर्तन का वर्णन किया, और इस अर्थ में इसका भौतिकी में बड़ा महत्व था कि हमारे दैनिक अनुभव की अधिकांश बलें, गुरुत्वाकर्षण को छोड़कर, electromagnetic मूल की हैं
- Maxwell equations ने electromagnetic wave के अस्तित्व की भविष्यवाणी की, और इस तथ्य के माध्यम से कि उसकी गति प्रकाश की गति के बराबर है, electromagnetic wave और visible light को एक ही घटना से जोड़ा
- लेकिन Maxwell का काम तुरंत स्वीकार नहीं किया गया
- उसका मूल रूप आज परिचित 4 equations नहीं, बल्कि 20 equations था
- उस समय के physicists के लिए इसकी algebraic जटिलता बहुत अधिक थी, और mathematicians के लिए Maxwell की भौतिक व्याख्या की भाषा तक पहुँचना कठिन था
- उस समय की विश्वदृष्टि में field की तुलना में उसके नीचे किसी यांत्रिक “wheels and gears” जैसी संरचना को अधिक मूलभूत मानने की प्रवृत्ति थी
- Oliver Heaviside ने equations को सरल बनाया, और Hertz, Lorentz, Einstein की पीढ़ियों के बाद field equations और mathematical laws ब्रह्मांड की मूल व्याख्या के रूप में स्थापित हुए
field को पढ़ने की बुनियादी सहज समझ
- field को एक ऐसे function की तरह देखा जा सकता है जो पूरे space और time में काम करता है
- field को रोज़मर्रा के पदार्थ या यांत्रिक उपमा में पूरी तरह घटाना कठिन है
- exchange particles, virtual particles, spacetime curvature जैसी व्याख्याएँ भी अंततः mathematical abstraction के रूप में संभाली जा सकती हैं
- field को समझने का मूल interface यही सहज समझ है कि यह space और time में फैला हुआ mathematical function है
- scalar field space के किसी बिंदु को input लेकर एक संख्या output करता है
- पहाड़ पर चढ़ते समय ऊँचाई के अनुसार तापमान बदलने के उदाहरण में
T(x, y, z)किसी स्थान को तापमान मान से map करता है - यदि किसी metal plate के temperature distribution को time सहित
T(x, y, t)या वास्तविक रूप सेT(x, y, z, t)के रूप में लिया जाए, तो heat equation temperature field के परिवर्तन को model करती है
- पहाड़ पर चढ़ते समय ऊँचाई के अनुसार तापमान बदलने के उदाहरण में
- partial differential equations कई variables और उनके change rates के बीच संबंध को व्यक्त करती हैं
- metal plate का तापमान केवल position के अनुसार परिवर्तन
dT/dxही नहीं, बल्कि time के अनुसार परिवर्तनdT/dtभी साथ में देखना पड़ता है - हर derivative कुल परिवर्तन का केवल एक हिस्सा दिखाता है, इसलिए वह partial derivative होता है, और field के समयगत evolution को संभालने में उपयोग होता है
- metal plate का तापमान केवल position के अनुसार परिवर्तन
- vector field space के किसी बिंदु को input लेकर magnitude और direction वाला vector output करता है
- fluid velocity field में हर स्थान का vector fluid element की गति की दिशा और परिमाण को दर्शाता है
- gravitational field और magnetic field को भी vector field के रूप में model किया जा सकता है
- electromagnetic field में वास्तविक fluid नहीं बहता, लेकिन flux, source, sink जैसे fluid flow के शब्दों का रूपक के रूप में उपयोग किया जाता है
divergence और curl से equations की भाषा पढ़ना
- divergence यह दिखाता है कि किसी बिंदु के आसपास field स्रोत की तरह बाहर निकल रहा है या sink की तरह अंदर जा रहा है
- यदि किसी बिंदु के आसपास एक छोटा वृत्त खींचने पर बाहर जाने वाले arrows अधिक हों, तो वह positive divergence है
- यदि अंदर आने वाले arrows अधिक हों, तो वह negative divergence है
- यदि दोनों में से कोई नहीं, तो divergence 0 या लगभग 0 है
- electric field में positive charge को source और negative charge को sink की तरह देखा जा सकता है
- electric field के लिए Gauss का नियम कहता है कि किसी बिंदु पर electric field का divergence उस बिंदु की charge density के समानुपाती होता है
- curl यह दिखाता है कि किसी बिंदु के आसपास field कितना घूम रहा है
- counterclockwise rotation को positive curl और clockwise rotation को negative curl माना जा सकता है
- यदि किसी बिंदु पर एक काल्पनिक waterwheel रखी जाए, तो field उसे कितनी तेजी से घुमाएगा, यही curl के परिमाण की सहज समझ है
- 3D में curl एक vector के रूप में output होता है जो right-hand rule के अनुसार rotation direction दिखाता है
- Maxwell equations को differential form और integral form दोनों में लिखा जा सकता है
- differential form हर बिंदु पर divergence और curl के आधार पर electromagnetic field को व्यक्त करता है
- integral form बंद surface या बंद path से गुजरने वाले कुल flux और circulation के माध्यम से वही बात बताता है
- integral की शुरुआत वक्र के नीचे का क्षेत्रफल निकालने के लिए interval को छोटे-छोटे
Δxचौड़ाई वाले rectangles में बाँटकर उन्हें जोड़ने से होती हैΔxजितना 0 के करीब जाता है, area का approximation उतना ही सटीक होता है- Maxwell equations के integral form में बंद surface के छोटे area elements को जोड़कर कुल flux या circulation निकाला जाता है
Maxwell की चार equations क्या कहती हैं
- electric field के लिए Gauss का नियम divergence और flux की भाषा में बताता है कि charge electric field बनाता है
- differential form में electric field का divergence charge density के समानुपाती होता है
- integral form में किसी बंद surface से गुजरने वाला electric flux उस surface के भीतर मौजूद कुल charge के बराबर होता है
- electric field lines को positive charge से निकलकर negative charge में प्रवेश करते हुए खींचा जाता है
- electric field की strength point charge से दूर जाने पर inverse-square law के अनुसार
1/r²के रूप में कम होती है - vacuum permittivity
ε0वह constant है जो बताता है कि vacuum electric field lines को कितनी आसानी से गुजरने देता है
- magnetic field के लिए Gauss का नियम कहता है कि magnetic field का divergence हमेशा 0 होता है
- इसका अर्थ यह लिया जाता है कि magnetic field में charge के समकक्ष कोई magnetic monopole नहीं है
- किसी बंद surface से गुजरने वाला कुल magnetic flux हमेशा 0 होता है
- magnetic field lines, electric field lines की तरह, charge पर शुरू या खत्म नहीं होतीं, बल्कि हमेशा अपने आप में लौटती हुई closed loops बनाती हैं
- sphere, cube, torus जैसे किसी भी बंद surface में बाहर जाने वाला magnetic flux और अंदर आने वाला magnetic flux एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं
- Faraday का नियम कहता है कि समय के साथ बदलता magnetic field एक circulating electric field प्रेरित करता है
- यदि magnetic flux बढ़ता है, तो उसके परिवर्तन का विरोध करने वाली दिशा में circulating electric field बनता है
- यदि magnetic flux घटता है, तो विपरीत दिशा में circulating electric field बनता है
- परिवर्तन का विरोध करने वाली यह दिशा Lenz का नियम कहलाती है
- induced electric field, charge पर शुरू या खत्म होने वाले electric field से अलग, ऐसी field lines रखता है जो अपने आप में बंद loop बनाती हैं
- यह नियम बंद circuit में charge को चलाकर current उत्पन्न करने देता है, और generator तथा mechanical energy को electrical energy में बदलना संभव बनाता है
- Ampere-Maxwell का नियम कहता है कि current या समय के साथ बदलता electric field एक circulating magnetic field प्रेरित करता है
- बायाँ पद magnetic field के curl को दर्शाता है
- दायाँ पद current density और electric field के time derivative को शामिल करता है
- current को किसी cross-sectional area से गुजरने वाली charge flow rate के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसका अर्थ केवल wire के भीतर electrons की गति नहीं है
- current density
Jउस charge की मात्रा को दर्शाती है जो current की दिशा के लंबवत unit cross-sectional area से गुजरती है - बहता हुआ current न होने पर भी समय के साथ बदलता electric field magnetic field बना सकता है
- Ampere-Maxwell नियम का integral form बंद magnetic path के line integral को बंद surface से गुजरने वाले net current और electric flux की परिवर्तन दर के रूप में व्यक्त करता है
- जो current surface को एक दिशा में भेदता है, वह net current में योगदान देता है
- यदि वही current surface को दोनों दिशाओं में भेदे, तो net current 0 हो सकता है
- vacuum permittivity
ε0और vacuum permeabilityμ0के बीचε0 μ0 = 1/c²संबंध होता है, और Gaussian units में इन्हें ऐसे dimensional constants की तरह लिया जाता है जो गायब हो जाते हैं
electric field और magnetic field का एकीकरण
- electric field और magnetic field दो स्वतंत्र fields नहीं, बल्कि एक ही electromagnetic field के रूप में देखे जा सकते हैं
- electromagnetic wave में electric field vector, magnetic field vector, और propagation direction 3D में एक-दूसरे के साथ व्यवस्थित होते हैं
- electric field और magnetic field vectors एक-दूसरे के लंबवत होते हैं
- एक field में परिवर्तन दूसरे field को पूरक करने वाली संरचना रखता है
- magnetic field को relativistic effects सहित electric field के रूप में समझाया जा सकता है
- current बहाने वाली wire के पास यदि हम electrons के साथ चलने वाले reference frame में देखें, तो electrons स्थिर होते हैं, इसलिए magnetic force प्रकट नहीं होती
- special relativity के length contraction के कारण चल रहे ions गति की दिशा में संकुचित दिखते हैं और उनकी positive charge density अधिक हो जाती है
- इस reference frame में wire net positive charge वाली प्रतीत होती है, और electron electric attraction से wire की ओर खिंचता है
- वही घटना स्थिर observer के लिए magnetic force के रूप में, और electrons के साथ चलने वाले observer के लिए electric force के रूप में समझाई जाती है
- vacuum और charge-रहित space में Maxwell equations को सरल किया जा सकता है, और electric field तथा magnetic field wave equation को संतुष्ट करते हैं
1 / μ0 ε0 = c²होने के कारण electromagnetic wave प्रकाश की गति से फैलती है- Maxwell ने प्रकाश और magnetic phenomena को एक ही पदार्थ की अवस्थाएँ माना और प्रकाश को electromagnetic laws के अनुसार field के माध्यम से फैलने वाले electromagnetic disturbance से जोड़ा
- Feynman का मानना था कि Maxwell equations, charge conservation, Lorentz force law, laws of motion, और Newton के gravitational law को एक तालिका में रखकर 1905 तक ज्ञात classical physics के मूल नियमों का सार प्रस्तुत किया जा सकता है
1 टिप्पणियां
Hacker News की राय
काश physics degree पढ़ते समय ऐसी सामग्री होती। diagrams सुंदर हैं, और electromagnetics के लिए ज़रूरी vector calculus के core concepts पर सीधे चोट करते हैं
Jackson[1] को किसी rite of passage की तरह मुश्किल से पढ़ने की याद है, लेकिन अगली पीढ़ी को भी वही कष्ट झेलना पड़े, इसकी कोई वजह नहीं। लगता है web असल में ऐसी ही चीज़ों के लिए बना है
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...
अगर यह उपयोगी लगा हो तो कृपया share और subscribe करें। मैं Schrödinger equation, black holes, quantum mechanics जैसे जटिल topics को भी intuitive तरीके से guide करने की कोशिश कर रहा हूँ, और आखिरकार गणित और physics को कहीं ज़्यादा साफ़ और intuitive ढंग से समझाने वाली किताब भी लिखना चाहता हूँ। गणित समझने में कठिन नहीं होना चाहिए। सबसे बुनियादी स्तर पर यह बहुत सरल है, लेकिन इसे स्पष्ट और intuitive रूप में प्रस्तुत करना सचमुच कठिन है, यह मैं मानता हूँ। सामग्री का काफ़ी हिस्सा Grant Sanderson(3Blue1Brown) से प्रभावित है, और ज़्यादातर diagrams Vexlio से बनाए गए हैं: https://vexlio.com/
Jackson एक graduate-level electromagnetics textbook है, इसलिए वह mathematically कठिन लिखी गई किताब है। जब तक आप वह किताब पढ़ते हैं, तब तक आपको पहले ही 3–4 साल तक electromagnetics और उसके conceptual foundations पता होने चाहिए, और उसका लक्ष्य भी undergraduates को समझाना नहीं, बल्कि कठिन situations में equations solve कराना है। सोच रहा हूँ आपने undergraduate में क्या पढ़ा था
इसलिए कहा जाता है कि किसी topic पर सबसे अच्छी किताब “दूसरी पढ़ी हुई किताब” होती है। दूसरी बार देखने पर वह कहीं ज़्यादा intuitive लगती है
उस course का final exam अब तक देखे गए exam prompts में सबसे छोटा था: “Maxwell’s Equations derive करो”. Kraus की किताब संतोषजनक थी
education process के सबसे अच्छे हिस्सों में से एक था electromagnetics से होकर Maxwell equations की खूबसूरती तक पहुँचना
बाद में पता चला कि differential geometry से उन्हें और compact करने पर वह खूबसूरती और उभरती है
http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_t...
“Maxwell theory तभी सरल और elegant बनती है जब fields, यानी mathematical functions, को fundamental माना जाए, और electromagnetic stress तथा mechanical forces को उन fields का परिणाम समझा जाए। उल्टा नहीं।”
क्या fields वास्तव में मौजूद हैं—इस पर कई दिलचस्प discussions हैं, और यह बातचीत सदियों पीछे तक जाती है: https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl
fields पर चर्चा करते समय वे अक्सर telepathy से जुड़े “pseudo” science काम की ओर चले जाते हैं; उनमें मेरी पसंदीदा talks में से एक यह है: https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q
explanation सचमुच बेहतरीन है। सब कुछ सरल है लेकिन details से भरपूर, इसलिए इसे याद करने और समझने के लिए मेहनत और ध्यान के बिना काम नहीं चलेगा
इस तरह तर्कसंगत ढंग से समझाया गया है, इसलिए पूरी चीज़ बेहद आकर्षक लगती है। engineering के second year में मैंने इससे जूझकर समझने की कोशिश की थी, लेकिन उस समय आधा भी ठीक से नहीं समझ पाया। अगर ऐसी explanation होती, तो पढ़ाई कहीं ज़्यादा आनंददायक होती। शायद मैं textbooks और formulas के results समझने के लिए पर्याप्त smart नहीं था, और इसी वजह से subject से सचमुच मोहित होने का मौका चूक गया
मुझे ऐसे लेख पसंद हैं, लेकिन सब लोग geometric algebra से नहीं बल्कि vector algebra से शुरू करने की वही गलती करते हैं
3D space में vector algebra ठीक काम करता है, लेकिन 2D और 4D स्थितियों में पूरी तरह बिखर जाता है। पहले सहज लगता है, फिर एक बिंदु पर पूरी तरह टूट जाता है। इसी शैली के लेख देखें, लेकिन जहाँ उचित हो वहाँ bivector जैसी चीज़ों का इस्तेमाल हो, ताकि पूरा ढाँचा सिर्फ 3D space नहीं बल्कि 4D spacetime तक साफ़-सुथरे ढंग से generalize हो सके, तो अच्छा होगा
Vector calculus काफी intuitive और सीखने में आसान है, और engineering और physics की दुनिया में पूरी तरह जम चुका है। 100 साल बाद आज असली कामकाज में इस्तेमाल करने वाले लोग Maxwell equations की 4 equations को geometric algebra की 1 equation में बदलने के लिए notation नहीं बदलेंगे। Gibbs का vector calculus fluid dynamics और दूसरे engineering fields में भी इस्तेमाल होता है, और fluid dynamics researchers के बीच geometric algebra के फायदे गिनाने वाली कोई खास लहर भी मैंने मुश्किल से ही देखी है। कोई geometric product से Navier-Stokes equations लिखने वाले किसी अकेले researcher का उदाहरण ला सकता है, लेकिन उससे असल में क्या बदलता है, मुझे नहीं पता। पारंपरिक vector calculus वह भाषा है जिसे हर कोई बोलना जानता है, और geometric algebra वही बात कहने का बस एक और तरीका है; फिर बदलें क्यों, ऐसा लगता है
अगर इस तरह की चीज़ों को आम पाठकों के सामने रखने का कोई idea हो तो बताइए; मैं खुशी-खुशी अपना approach बदल दूँगा
सार यह है कि geometric algebra का geometric product mixed-grade differential form है, इसलिए काफी अजीब है। क्या इसे बस differential form की तरह नहीं सोचा जा सकता? Maxwell equations dF=0, d*F = J में बहुत खूबसूरती से summarize हो जाती हैं
हर vector calculus instructor को students को gradient, divergence, curl का सहज, यानी visual और physical meaning सिखाना चाहिए
Stokes theorem और Gauss theorem जैसे results के पीछे की intuition भी यही है। proof में रुचि न रखने वाले engineering students भी वह intuition समझ सकें, ऐसा होना चाहिए
Maxwell के मूल समीकरणों ने प्रकाश और बिजली को जोड़ा था। मूल 20 समीकरणों में 20 अज्ञात राशियाँ थीं, और उन्होंने quaternion-आधारित notation इस्तेमाल किया था, जिसे कोई समझ नहीं पाया था
Heaviside ने Maxwell के 20 समीकरणों को vector calculus में फिर से लिखकर 4 समीकरणों में बदल दिया, और मुझे लगता है कि इससे simplification में मदद तो मिली, लेकिन इसकी कीमत भी चुकानी पड़ी। आधुनिक दुनिया में भी बहुत कुछ अब तक समझाया नहीं गया है, खासकर व्यक्तिगत मानवीय अनुभवों से जुड़ी चीज़ों में। टैक्सी ड्राइवर के तौर पर काम करते हुए मुझे ऐसी चीज़ों की झलक पाने का मौका मिला, और ऐसे लोग मिले जिन्होंने मेरी जिज्ञासाओं को सुलझाया। electromagnetism और gravity के बीच कोई न कोई connection होना चाहिए, लेकिन हमने अभी तक उसे पता नहीं किया है। Bing CoPilot ने मेरे सवाल के जवाब में यह Wikipedia लेख quote किया, लेकिन यह मेरे स्तर से ऊपर है, इसलिए अच्छा होगा अगर कोई इसे खोलकर समझा दे: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism
Heaviside के बारे में एक अनमांगा trivia भी जोड़ दूँ, वे partial fraction decomposition को तेज़ करने वाली “cover-up” method बनाने वाले व्यक्ति भी थे[2]
[1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
[2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
उन्होंने quaternion को निश्चित रूप से हटा दिया था, लेकिन Maxwell भी quaternion का बहुत अधिक इस्तेमाल नहीं करते थे और हमेशा scalar part और vector part में बाँटते थे, इसलिए अंतर छोटा दिखता है। बड़ा अंतर यह है कि Maxwell ने scalar potential और vector potential के रूप में व्यक्त किया था, जो QED में अनिवार्य तरीका है। वहीं Heaviside ने इन्हें हटाकर केवल electric field और magnetic field छोड़ दिए। मैंने देखा कि Heaviside वाले 4 समीकरण निकालने के लिए Maxwell के 7 समीकरणों की ज़रूरत पड़ती है। अगर quaternion को गंभीरता से लिया जाए, तो natural units इस्तेमाल करके मशहूर 4 समीकरणों को सिर्फ 2 में लिखा जा सकता है:
∇E + dB/dt = -ρ
∇B - dE/dt = J
बस general relativity की कुछ formal विशेषताएँ electromagnetism में कही जाने वाली mathematical structure से मोटे तौर पर मेल खाती हैं, और साथ में यह caveat है कि दोनों theories के आधार में मौजूद symmetries अलग-अलग हैं
Terence Tao से जब पूछा गया कि अब तक कोई Riemann hypothesis साबित क्यों नहीं कर पाया, तो उन्होंने जवाब दिया था कि फिलहाल proof के लिए उपयुक्त tools नहीं हैं। मैं mathematician नहीं हूँ, लेकिन मुझे बहुत strongly लगता है कि quaternion Riemann hypothesis साबित करने के शक्तिशाली tools में से एक बन सकता है। sound waves जैसी दूसरी waves के विपरीत, electromagnetic waves में polarization की unique property होती है। electromagnetic-based phenomena को पूरी तरह और सही ढंग से model करने के लिए quaternion-based formulation और representation की ज़रूरत होती है। मौजूदा wireless modulation में से ज़्यादातर polarization का उपयोग नहीं करते, इसका एक कारण यह है कि microwave और wireless engineers में से अधिकतर quaternion से परिचित नहीं हैं। विडंबना यह है कि यह bias शुरुआती mathematicians और scientists के complex numbers के खिलाफ कड़े विरोध जैसा दिखता है, और आज OFDM जैसे ज़्यादातर modern wireless modulation complex numbers का इस्तेमाल करते हैं। geometric algebra और quaternion का इस्तेमाल करके Maxwell equations derive करने वाला लेख यहाँ है, और इसे एक elegant equation में summarize किया जा सकता है[1][2]
[1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
[2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
अगर ठीक लगे तो और बताइए। बात थोड़ी mystical भी हो तो हम सब दिखावा कर सकते हैं कि किसी ने नहीं पढ़ा
electric field और magnetic field की relativistic equivalence के बारे में यहाँ भी देखा जा सकता है:
https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...
Sussman और Wisdom ने classic SICP Scheme किताब की तर्ज़ पर Structure and Interpretation of Classical Mechanics नाम की किताब लिखी है, और मैं सोच रहा हूँ कि क्या electromagnetism के लिए भी किसी ने ऐसा ही approach आज़माया है
इसलिए Maxwell equations classical mechanics के बड़े ढाँचे में आने वाली theories में से एक हैं। चाहें तो कई experimental setups के लिए, जैसे field में charged particles के लिए, Lagrangian density या Hamiltonian लिखकर Maxwell equations derive की जा सकती हैं। इस तरह के कुछ papers भी हैं। SICM के formalism का इस्तेमाल न कर पाने की कोई वजह नहीं है। यह useful exercise है या नहीं, पता नहीं
शायद chapter 6 होगा
मैं स्क्रीन पर पैसे फेंक रहा हूँ, लेकिन कुछ भी नहीं हो रहा
इस लेख और इससे जुड़े विषयों पर वे ज़रूर एक किताब बना दें तो अच्छा होगा। लेखन वाकई बहुत अच्छा है।