जब गति बढ़ती है तो गतिज ऊर्जा रैखिक नहीं बल्कि वर्ग के अनुपात में क्यों बढ़ती है? (2011)
(physics.stackexchange.com)- गैर-घूर्णन वस्तु की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ सिर्फ़ कोई सूत्र याद करने की बात नहीं है, बल्कि यह सहज बोध का सवाल है कि $0\to1\ \mathrm{m/s}$ की तुलना में $1\to2\ \mathrm{m/s}$ तक त्वरित करने में अधिक ऊर्जा क्यों लगती है
- मुख्य व्याख्या Galilean invariance और ऊर्जा संरक्षण पर आधारित है: वही टक्कर अलग-अलग संदर्भ-तंत्रों में देखने पर $E(2v)=4E(v)$ मिलता है, जिससे गति के वर्ग पर निर्भरता सामने आती है
- संवेग $p=mv$ गति के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, लेकिन समान बल से रोकते समय 2 गुना गति वाली वस्तु के लिए समय और औसत गति दोनों 2 गुना होते हैं, इसलिए ब्रेकिंग दूरी और कार्य 4 गुना हो जाते हैं
- गिरने और ऊपर फेंकने के उदाहरण ऊँचाई, स्थितिज ऊर्जा और गति के संबंध को दिखाते हैं; 2m से गिराई गई गेंद की गति 1m से गिराई गई गेंद की तुलना में 2 गुना नहीं होती
- $\frac{1}{2}mv^2$ कम गति पर Newtonian mechanics का सन्निकटन है, जबकि विशेष सापेक्षता में $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$ होता है, जो केवल कम गति पर लगभग वही मान देता है
प्रश्न का मूल
- शास्त्रीय यांत्रिकी में गैर-घूर्णन वस्तु की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ से दी जाती है
- प्रश्न का केंद्र स्वयं सूत्र नहीं, बल्कि यह है कि यह गति के साथ रैखिक नहीं बल्कि वर्ग के अनुपात में क्यों बढ़ती है, और यह बात सहज बोध के विपरीत क्यों लगती है
- एक प्रतिनिधि उदाहरण है: $0\ \mathrm{m/s}$ से $1\ \mathrm{m/s}$ तक तेज़ करने की तुलना में $1\ \mathrm{m/s}$ से $2\ \mathrm{m/s}$ तक तेज़ करने में अधिक ऊर्जा क्यों चाहिए
Galilean invariance से वर्ग संबंध
- एक व्याख्या गतिज ऊर्जा को “द्रव्यमान $m$ की मिट्टी की गेंद, जो $v$ वेग से दीवार से टकराकर जितनी ऊष्मा पैदा करती है,” के रूप में लेती है
- यदि समान द्रव्यमान की दो मिट्टी की गेंदें साथ टकरें, तो ऊष्मा 2 गुना होगी, इसलिए ऊर्जा द्रव्यमान के समानुपाती है
- $E(m,v)=mE(v)$
- यदि समान द्रव्यमान $m$ की दो मिट्टी की गेंदें $v$ वेग से आमने-सामने टकराएँ, तो सममिति के कारण दोनों रुक जाती हैं और कुल ऊष्मा $2mE(v)$ होती है
- अब यदि इन्हीं में से एक गेंद के साथ चल रही ट्रेन के संदर्भ-तंत्र से वही घटना देखें, तो दृश्य बदल जाता है
- पहली गेंद शुरू में स्थिर है
- दूसरी गेंद $2v$ वेग से आती दिखती है
- टक्कर के बाद दोनों गेंदों का जुड़ा हुआ तंत्र $v$ वेग से चलता है
- इस संदर्भ-तंत्र में आरंभिक गतिज ऊर्जा $mE(2v)$ है, और टक्कर के बाद $2mE(v)$ ऊष्मा तथा $2mE(v)$ गतिज ऊर्जा बचती है
- ऊर्जा संरक्षण लगाने पर संबंध मिलता है
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- यानी वेग 2 गुना करने पर ऊर्जा 4 गुना होती है, इसलिए गतिज ऊर्जा वेग के वर्ग के समानुपाती है
संवेग और ऊर्जा का अंतर
- यह प्रश्न संवेग और ऊर्जा को अलग समझने में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है
- जो गतिशील राशि वेग के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, वह संवेग है
- $p=mv$
- संवेग में परिवर्तन आवेग के समानुपाती होता है
- $F\Delta t=\Delta p$
- यह न्यूटन के दूसरे नियम $F=ma$ से जुड़ता है
- यदि समान बल $F$ से वस्तु A और B को रोका जाए:
- A का वेग $v$ है
- B का वेग $2v$ है
- B का संवेग A से 2 गुना है
- समान बल से मंदन देने पर B को रुकने में A की तुलना में 2 गुना समय लगेगा
- B की आरंभिक और औसत गति भी 2 गुना है, इसलिए उसकी ब्रेकिंग दूरी $2 \times 2=4$ गुना होगी
- कार्य बल और दूरी का गुणनफल है, $W=Fs$, इसलिए समान बल पर यदि ब्रेकिंग दूरी 4 गुना है तो आवश्यक कार्य भी 4 गुना होगा
- गतिज ऊर्जा इसी कार्य का माप है, इसलिए 2 गुना वेग पर गतिज ऊर्जा 4 गुना होती है
गिरावट और गुरुत्व से सहज बोध
- प्रश्न को “गतिज ऊर्जा वेग के साथ रैखिक न होकर वर्ग के अनुपात में क्यों है” की जगह “वेग गतिज ऊर्जा के वर्गमूल की तरह क्यों बढ़ता है” के रूप में भी देखा जा सकता है
- यदि 1m ऊँचाई से गिराई गई गेंद ज़मीन पर $v$ वेग से पहुँचती है, तो 2m से गिराई गई गेंद का वेग $2v$ नहीं होगा
- दूसरे 1m हिस्से में गेंद पहले से चल रही होती है, इसलिए वह उस हिस्से को कम समय में पार करती है और अतिरिक्त वेग लेने के लिए समय भी कम मिलता है
- पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ऊँचाई के समानुपाती होती है, और गिरती वस्तु के लिए गिरने की ऊँचाई वेग के वर्ग के समानुपाती होती है
- ऊर्जा संरक्षण के लिए आवश्यक है कि गतिज ऊर्जा भी $v^2$ के समानुपाती हो
- ऊपर फेंकने का मामला भी यही निष्कर्ष देता है
- समान गुरुत्वीय मंदन पर यदि प्रारंभिक वेग 2 गुना हो, तो रुकने तक का समय भी 2 गुना होगा
- औसत वेग भी 2 गुना होगा
- प्राप्त ऊँचाई 4 गुना होगी
- स्थितिज ऊर्जा $mgh$ से जोड़ने पर, प्रारंभिक गतिज ऊर्जा रुकने के क्षण की स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है, और $\frac{1}{2}mv^2$ रूप मिलता है
कार्य-ऊर्जा प्रमेय और संरक्षित राशियाँ
- गणितीय रूप से गतिज ऊर्जा का रूप न्यूटन के दूसरे नियम और कार्य की परिभाषा से निकलता है
- न्यूटन का दूसरा नियम:
- $\sum \vec F=m\vec a$
- कार्य की परिभाषा:
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- पथ के along समाकलन करने पर संबंध मिलता है
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- इसलिए कार्य की परिभाषा सीधे वेग पर वर्ग निर्भरता से जुड़ती है
- संरक्षित बलों के लिए $\int d\vec s\cdot\vec F$ पथ पर नहीं, केवल सिरों पर निर्भर करता है और उसे potential function से व्यक्त किया जा सकता है
- यदि घर्षण जैसे असंरक्षित बल न हों, तो गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग अपरिवर्तित रहने वाली संरक्षित राशि बन जाता है
केवल “परिभाषा” पर्याप्त क्यों नहीं
- शास्त्रीय यांत्रिकी में गतिज ऊर्जा को $\frac{1}{2}mv^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, और जब भौतिक नियम समय के साथ अपरिवर्तित हों तो यह राशि तथा स्थिति-निर्भर पद का योग संरक्षित रहता है, इसलिए यह उपयोगी है
- गुरुत्व का नियम, Coulomb का नियम, Hooke का नियम जैसे मामलों में, जहाँ त्वरण स्थिति का फलन होता है और समय पर निर्भर नहीं होता, किसी एक स्थिति पर वेग जानकर दूसरी स्थिति का वेग ऊर्जा संरक्षण से निकाला जा सकता है
- लेकिन “क्योंकि इसे ऐसे परिभाषित किया गया है” इतना कहना यह नहीं बताता कि यह परिभाषा उपयोगी क्यों है
- कई व्याख्याएँ मानती हैं कि इसकी उपयोगिता संरक्षित राशि, सममिति, और Galilean invariance से जुड़ी है
Lagrangian और सममिति का दृष्टिकोण
- यदि स्थान की समरूपता, समय की समरूपता और स्थान की समदिशात्मकता मानी जाए, तो मुक्त कण का Lagrangian स्पष्ट रूप से न तो स्थिति पर और न ही समय पर निर्भर होना चाहिए
- यदि स्थान समदिशात्मक है, तो Lagrangian वेग सदिश की दिशा पर नहीं बल्कि वेग के परिमाण या उसकी घातों पर निर्भर करेगा
- मुक्त कण के Lagrangian को $\mathcal{L}=\alpha v^n$ मानकर, संवेग $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$ निकालें तो $p=\alpha nv^{n-1}$ मिलता है
- गैर-सापेक्षतावादी सीमा में संवेग का वेग के साथ रैखिक होना आवश्यक रखने पर $n=2$ मिलता है, इसलिए गतिज ऊर्जा $v^2$ के समानुपाती होती है
- संवेग का वेग के साथ रैखिक होना केवल गैर-सापेक्षतावादी सीमा में ही सही है
सापेक्षतावादी सीमा और स्केलर शर्त
- गतिज ऊर्जा हमेशा ठीक-ठीक $v^2$ के समानुपाती नहीं होती; विशेष सापेक्षता में यह सूत्र प्रयोग होता है
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- कम वेग पर यह सूत्र व्यावहारिक रूप से $\frac{1}{2}mv^2$ के बराबर हो जाता है
- यह तथ्य कि गतिज ऊर्जा एक स्केलर है जबकि वेग एक सदिश, रैखिक निर्भरता को ख़ारिज करने का एक कारण भी है
- यदि गतिज ऊर्जा वेग पर रैखिक निर्भर होती, तो $\mathbf{v}$ को $-\mathbf{v}$ से बदलने पर उसका मान बदल जाता और वह दिशा पर निर्भर हो जाती
- न्यूटनियन यांत्रिकी का $v^2$ पद और सापेक्षतावादी सुधार पद $v^4$, $v^6$ आदि इस शर्त को पूरा करते हैं कि गतिज ऊर्जा स्केलर हो और $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$ के प्रति अपरिवर्तित रहे
विचार-प्रयोग और रोज़मर्रा के उदाहरण
- स्प्रिंग और दो बक्सों वाला विचार-प्रयोग उस स्थिति का उपयोग करता है जहाँ संकुचित स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा दो वस्तुओं की गतिज ऊर्जा में बदलती है
- एक संदर्भ-तंत्र में स्प्रिंग एक बक्से को स्थिर कर देती है और दूसरे को $2v$ तक पहुँचा देती है, जबकि दूसरे संदर्भ-तंत्र में दोनों बक्से विपरीत दिशाओं में $v$-$v$ से चलते दिखते हैं
- यदि स्थितिज ऊर्जा Galilean transformation के तहत अपरिवर्तित रहे और गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के अनुसार जोड़ी जा सके, तो $KE(m,2v)=4KE(m,v)$ मिलता है
- कार टक्कर का उदाहरण यह बताकर समझाता है कि मंदन समय के पहले आधे हिस्से में वाहन कुल रुकने की दूरी का $3/4$ तय कर लेता है, इसलिए नुकसान समय से अधिक तय की गई दूरी के अनुपात में समझा जा सकता है
- स्प्रिंग को बार-बार इस्तेमाल कर एक गेंद का वेग $0,1,2,3,4$ तक बढ़ाने वाला विचार-प्रयोग दिखाता है कि गतिज ऊर्जा $0,1,4,9,16$ की तरह बढ़ती है
1 टिप्पणियां
Hacker News की रायें
स्थितिज ऊर्जा के रूपांतरण के तौर पर देखें तो समझना सबसे आसान है
20ft की सीढ़ी पर रखी गेंद में 10ft की सीढ़ी पर रखी गेंद की तुलना में 2 गुना स्थितिज ऊर्जा होती है, और जमीन से टकराते समय उतनी ही ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदल जाती है
लेकिन 2 गुना ऊँचाई से गिराई गई गेंद की टक्कर की गति 2 गुना से काफी कम होती है। गुरुत्वाकर्षण मुक्त-पतन में गति से स्वतंत्र होकर स्थिर त्वरण देने वाला बल है, और गति में वृद्धि “प्रति दूरी” नहीं बल्कि “प्रति समय” होती है
मान लें 10ft से गिरने के 1 सेकंड बाद गतिज ऊर्जा 10 और गति 100 हो गई। 20ft से गिराई गई गेंद भी पहले 10ft पार करने के क्षण पर बिल्कुल वैसी ही होगी: गतिज ऊर्जा 10, गति 100
मुख्य बात बचा हुआ 10ft का हिस्सा है। वह पहले से ही गति 100 के साथ इसमें प्रवेश करती है, इसलिए पहले 10ft की तुलना में इसे कम समय में पार करती है, और गुरुत्वाकर्षण जो अतिरिक्त गति जोड़ता है वह भी उतनी ही कम होती है। इसलिए समझ आता है कि संबंध रैखिक नहीं है
असल गणना या प्रयोग करके देखें तो, अगर किसी गेंद को दूसरी गेंद की तुलना में 2 गुना तेज़ गति से जमीन से टकराना हो, तो उसे 4 गुना ऊँचाई से गिरना होगा, और गतिज ऊर्जा भी 4 गुना होगी
सवाल खुद भी इस intuition से शुरू होता है कि गतिज ऊर्जा शायद गति के साथ रैखिक रूप से बढ़ेगी, लेकिन असल में वह intuition गलत है
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
लेकिन आखिरकार यह इस बात का भी मामला है कि हम किन units और quantities को मापने का फैसला करते हैं। उदाहरण के लिए अगर “Squenergy” को Sqoules में मापें और 1Sq² = 1J तय कर दें, तो squenergy अचानक गति के साथ रैखिक रूप से बढ़ने लगेगी
बेशक तब स्थितिज Squenergy sqrt(MgH) हो जाएगी, उसे जोड़ा नहीं जा सकेगा, वगैरह—बाकी चीज़ें जटिल हो जाएँगी
1ft से 10 बार गिराना, 10ft से एक बार गिराने जितना ऊर्जावान या विनाशकारी नहीं होता
मेरे लिए सबसे intuitive व्याख्या यह है: बल = समय के साथ संवेग में बदलाव, ऊर्जा = बल × दूरी
किसी गति v पर छोटी दूरी dx के दौरान छोटे संवेग बदलाव से कितनी ऊर्जा dissipate की जा सकती है, इसे देखें तो dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv बनता है
किसी दूरी तक बल लगाने के लिए वस्तु की गति को dv जितना बदलना पड़ता है, लेकिन उस दौरान तय की गई दूरी भी वर्तमान गति v पर निर्भर करती है। इसलिए कुल ऊर्जा सिर्फ गति के अनुपात में नहीं होती
गति के बदलाव को शुरुआती गति से 0 तक छोटे-छोटे dE के रूप में जोड़ दें तो गतिज ऊर्जा का सूत्र निकलता है
हालांकि यह intuition अंततः “बल = समय के साथ संवेग में बदलाव” से शुरू होती है। “बल”, “संवेग”, और “ऊर्जा” की परिभाषाएँ गणितीय रूप से स्पष्ट हैं और साझा वास्तविकता भी है, फिर भी वे चिढ़ाने वाली हद तक circular लग सकती हैं
“2 गुना तेज़” का मतलब संवेग 2 गुना है—यह बात अच्छी तरह महसूस होती है, लेकिन गतिज ऊर्जा संवेग × गति है, इसलिए ज्यादा abstract लगती है
एक छोटी कहानी है
नीली कार गति 70 पर चल रही है, और उसी मॉडल की लाल कार गति 100 पर पीछे से उसे पकड़ रही है। जब दोनों बराबर आती हैं, तो मोड़ के आगे दोनों lanes को रोकता हुआ एक अवरोध दिखता है, और दोनों कारें समान तीव्रता और मंदन से brake लगाती हैं
नीली कार अवरोध के ठीक पहले रुक जाती है। लाल कार ज्यादा तेज़ चल रही थी, इसलिए समान दर से brake लगाने पर भी रुक नहीं पाती। ऐसे में वह अवरोध से किस गति पर टकराएगी?
नीली कार ½mv² के हिसाब से करीब 70² = 4900 units ऊर्जा खोती है। लाल कार के पास शुरुआत में 100² = 10000 units गतिज ऊर्जा थी, और अगर वह भी उतने ही 4900 खो दे तो 5100 बचते हैं। इसलिए टक्कर की गति √5100 ≈ 71 होगी
Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
F1 कार braking के समय 4G निकाल पाती है, वजह यही है। Ken Block की आखिरी monster जैसी custom कार या Valkyre जैसी कारें active aerodynamic braking का और ज्यादा इस्तेमाल करती हैं
ऐसे basic hypothetical कार experiments के लिए BeamNG.drive काफी अच्छा physics simulator है। built-in tools खोलकर braking test खुद चला सकते हैं
दोनों कारें समान मंदन, यानी acceleration के आधार पर brake लगा सकती हैं, या समान तीव्रता, यानी गतिज ऊर्जा को heat में बदलने की दर के आधार पर brake लगा सकती हैं, लेकिन गति अलग होने के कारण दोनों values एक साथ समान नहीं हो सकतीं
ऊपर की गणना तीव्रता के आधार पर है, बल या acceleration के आधार पर नहीं। गतिज ऊर्जा के सूत्र के square की वजह से फर्क बढ़ा-चढ़ा दिखता है। बल के आधार पर गणना करें तो ज्यादा हल्का, रैखिक अंतर आता है
“समान दर से brake लगाया” कहना भी चालाकी है। आम तौर पर “दर” से बल या acceleration समझा जाता है, लेकिन यहाँ गतिज ऊर्जा को heat में बदलने की दर से गणना की जा रही है
ऊर्जा रूपांतरण की दर समान होने का मतलब है कि तेज़ कार पर वास्तविक braking force कहीं कम लग रहा है। जैसे कम गति से ढलान उतरते समय वही बल ठीक हो सकता है, लेकिन ऊँची गति पर वही बल लगाने से brakes पक जाते हैं—गणित वही है
मूलतः यह truck के ढलान उतरने वाली गणना है—जहाँ सीमा friction नहीं, बल्कि brakes कितनी heat निकाल सकते हैं—उसे कार रोकने की समस्या बनाकर एक trick question तैयार किया गया है
Ron Maimon ने पूरी तरह symmetry पर निर्भर एक तर्क लिखा। यह इस thread की कई standard explanations को bypass करने वाला तरीका है, और मेरी समझ में यह Noether theorem के simplified version जैसा है
एक side note के तौर पर, मेरी जानकारी में Ron Maimon का account इसलिए suspend हुआ था क्योंकि उन्होंने moderator election में वोट मांग रहे एक व्यक्ति के चरित्र पर सवाल उठाया था। उनका stance था कि अगर कोई elected role के लिए खड़ा है, तो उसके चरित्र पर चर्चा की जा सकती है
Stack Overflow परिवार की sites की सख्त policy थी कि सवाल की आलोचना करें, व्यक्ति की नहीं, और moderators ने उसी आधार पर उन्हें permanent ban कर दिया
मुझे याद है कि उस समय Ron ने लिखा था कि SO sites अपनी policies की वजह से corrupt हो गई हैं और जल्द ही value देना बंद कर देंगी। यह शायद 2000s के आखिर या 2010s की शुरुआत की बात थी; पीछे मुड़कर देखें तो यह काफी दूरदर्शी लगता है
अब इसमें AI द्वारा SE को पूरी तरह बेकार बना देने से पहले जितना हो सके पैसा निकालने की कोशिश वाले increasingly weird management decisions भी जुड़ गए हैं, लेकिन aggression और hostility शुरू से ही असहनीय स्तर की थी
StackOverflow पर कभी-कभी मैं बस 10 सेकंड के लिए कुछ देखने जाता था, लेकिन लोग एक-दूसरे से जिस तरह पेश आते थे वह इतना अविश्वसनीय लगता कि मैं कई बार comments को कुछ मिनट तक स्तब्ध होकर देखता रह जाता था
कई जवाब पढ़ने के बाद भी मुझे अभी तक कोई intuitive answer नहीं दिखा। 0 से 1 पर जाने की तुलना में 1 से 2 पर जाने के लिए इतनी ज्यादा energy क्यों चाहिए?
जब आप rest में हों, तो आप दीवार को धक्का देने जैसे तरीके से आसपास के environment का उपयोग करके speed पा सकते हैं
अगर आपके पास पहले से speed है, तो आसपास का environment आपके relative में उलटी दिशा में चलता हुआ माना जाएगा, इसलिए speed की हर अतिरिक्त unit पाने में ज्यादा effort लगता है
Premise बदलकर देखना मदद करता है
जिस object पर constant force लगती है, वह time के साथ quadratically बढ़ती दूरी तय करता है
Energy force × distance है। यह उसी intuition जैसा है कि किसी object को उठाने में लगने वाली energy उठाई गई height के proportional होती है
इसलिए constant force लगाने पर constant acceleration पैदा होता है, और उसके परिणामस्वरूप distance quadratically बढ़ती है
अगर आप मानते हैं कि energy force × distance है, तो इस situation में object को move कराने के लिए जरूरी energy भी quadratically बढ़ती है
यानी जब force F को 1 second तक लगाया जाता है, तो उस force द्वारा transfer की गई energy की मात्रा इस पर निर्भर करती है कि object पहले से कितनी तेजी से चल रहा है। पहले से तेज object पर force लगाने के लिए कहीं ज्यादा energy चाहिए। Intuition यह है कि पहले आपको moving object की speed तक पहुंचने के लिए energy खर्च करनी पड़ती है, और तभी आप force लगाना शुरू कर सकते हैं
इसे counterfactual assumption से समझा जा सकता है
मान लें कि kinetic energy speed |v| पर linearly depend करती है, E = m|v|। तब universe कैसा होगा?
Traditional Lagrangian L = 1/2 mv^2 - V(x) है। इस kinetic energy का उपयोग करें तो formula अलग होगा: L = m|v|ln|v|-V(x)
Corresponding equation of motion derive करने पर p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F मिलता है
इन formulas से कुछ बातें दिखती हैं। पहली, Galilean relativity टूट जाती है और boost invariance नहीं रहता। Universe में rest वाला कोई privileged reference frame, यानी ether, होना ही पड़ेगा और सारी dynamics को उसी frame के संदर्भ में समझना होगा
दूसरी, Newton's first law उस reference frame के संबंध में pathological interpretation ले लेता है। ma = |v|F है और अगर |v| = 0 हो, तो कोई भी force F लगाने पर भी a = 0 होगा। Ether के relative rest में पड़ा object किसी भी force के बावजूद move नहीं कर सकता
Ether के relative move कर रहा object external force न होने पर चलता रहेगा, और Newton's third law भी फिर भी true रहेगा, लेकिन ऐसा universe व्यावहारिक रूप से बेतुका है
Anthropic principle से देखें तो कहा जा सकता है कि ऐसे universe की dynamics इतनी pathological होगी कि वह life को allow नहीं करेगी, इसलिए हम उसे observe नहीं कर सकते
अगर StackExchange का तर्क है कि “Galilean relativity दिए जाने पर quadratic scaling law निकलता है”, तो यह तर्क उसका contrapositive है: “अगर quadratic scaling law नहीं है, तो relativity भी नहीं है”
Counterfactual का point Richard Feynman के “why” argument जैसा है https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
ऐसी dynamics के exist न कर पाने का कोई fundamental कारण नहीं है। हम explanation को बस उसी universe के बारे में, जिसमें हम रहते हैं, ज्यादा fundamental intuitions तक reduce कर सकते हैं—जैसे kinetic energy के scaling law से Galilean relativity तक। जब तक यह mathematical proof न हो कि alternative principle में ही contradiction है, अलग dynamics वाले alternative universes की कल्पना करना पूरी तरह valid है। बस वह हमारा universe नहीं है
चालाकी वाला जवाब: speed vector है, इसलिए negative हो सकती है, लेकिन kinetic energy scalar है, इसलिए positive होनी चाहिए। इसलिए minus sign हटाने के लिए v को square करना पड़ता है
अगर पूछें कि absolute value क्यों नहीं, तो nature ऐसी चीजें पसंद नहीं करती। शायद इसलिए कि 0 पर derivative defined नहीं होता। इसलिए square आता है
यह smooth parabolic bowl और अप्राकृतिक रूप से नुकीले cone tip का फर्क है। Standard deviation जैसी जगहों पर भी यह दिखता है
वैसे, मैं सोचता हूं कि complex-valued neural networks में activation function को sum(inputs)*conj(sum(inputs)) रखकर और threshold को sqrt(num_inputs) से normalize करके क्या यह सबसे universal हो सकता है। Incoherent inputs की absolute value average sqrt(N) होगी, और coherent inputs laser की तरह N होंगे। Squared amplitude uncorrelated group और correlated group के बीच N बनाम N^2 हो जाएगा
और 0 पर singularity को कैसे handle किया जाता है, यह उस interaction की structure के लिए बहुत महत्वपूर्ण है
Speed को 2x कर दें तो आप उतने ही time में 2x ज्यादा दूर जाते हैं। बात सिर्फ 2x faster होने की नहीं है; ये दोनों चीजें work को प्रभावित करती हैं
Michael Spivak की Physics for Mathematicians में classical mechanics की mathematics ऐसी form में क्यों है, इसे explain करने वाले कई arguments हैं, जैसे यहां के top-level answer में है