दिलचस्प संयोग या अपेक्षित संबंध: क्यों π² ≈ g

 (roitman.io)
1 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2024-08-11 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें

रहस्यमय समानता

  • π² और g लगभग समान क्यों हैं, इस सवाल पर चर्चा
  • π एक dimensionless संख्या है और g एक भौतिक राशि है
  • दोनों मान बिल्कुल समान नहीं हैं

इतना सरल नहीं है यह सवाल

  • g का मान m/s² इकाई में व्यक्त किया जाता है
  • किसी दूसरी इकाई में व्यक्त करने पर यह समानता गायब हो जाती है
  • मीटर और सेकंड की परिभाषा को समझना ज़रूरी है

मीटर की परिभाषा

  • मीटर वह दूरी है जो प्रकाश निर्वात में 1/299,792,458 सेकंड के दौरान तय करता है
  • इस परिभाषा में π शामिल नहीं है

मानकों का इतिहास

  • पहले लंबाई को मानव शरीर के अंगों के आधार पर मापा जाता था
  • standardization की ज़रूरत पैदा होने पर प्राकृतिक स्थिरांकों का उपयोग करने वाली परिभाषाएँ प्रस्तावित की गईं

मानकीकरण का सपना और गुरुत्वाकर्षण

  • 17वीं सदी में Christiaan Huygens ने pendulum की लंबाई के आधार पर मीटर की परिभाषा प्रस्तावित की
  • pendulum की लंबाई पृथ्वी पर स्थान के अनुसार बदलने की समस्या सामने आई

चौंकाने वाला समीकरण

  • pendulum की अवधि निकालने के सूत्र में π आता है
  • Huygens के pendulum parameters को रखने पर π² = g बनता है

फ़्रांसीसी क्रांति और मीटर में बदलाव

  • 1791 में French Academy of Sciences ने मीटर की परिभाषा बदल दी
  • इसे पेरिस meridian के 4 करोड़वें हिस्से के रूप में परिभाषित किया गया

असली मीटर

  • पेरिस meridian को वास्तव में मापकर मीटर को परिभाषित किया गया
  • पृथ्वी के चपटा होने को ध्यान में न रखने से थोड़ा सा त्रुटि हुई

निष्कर्ष

  • π² और g के बीच का अंतर लगभग 0.06 है
  • अगर मीटर की परिभाषा नहीं बदली गई होती, तो π² = g जैसा elegant समीकरण सही होता

# GN⁺ का सार

  • यह लेख π² और g के संबंध की पड़ताल करता है और ऐतिहासिक पृष्ठभूमि तथा वैज्ञानिक सिद्धांतों को समझाता है
  • इसमें मीटर की परिभाषा कई बार बदलने से उत्पन्न त्रुटि पर चर्चा की गई है
  • यह गणित और भौतिकी के रोचक संबंध को समझने में मदद करता है
  • मिलते-जुलते विषय के रूप में 'प्राकृतिक स्थिरांक और इकाइयों का इतिहास' की सिफारिश की गई है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2024-08-11
Hacker News की रायें

  • दिलचस्प है, लेकिन इस हिस्से पर सवाल उठाना चाहूंगा: “अगर इसे दूसरी units में व्यक्त करें तो जादू तुरंत गायब हो जाता है। इसलिए यह संयोग नहीं है”
    आम तौर पर यह संयोग का मजबूत संकेत होता है। अगर यह देखने के लिए कोई heuristic चाहिए कि कुछ संयोग नहीं है, तो सही कसौटी यही होगी कि “क्या units बदलने पर भी यह बना रहता है”
    हालांकि इस मामले में लगता है कि वह heuristic fail होने वाला एक असामान्य case है

    • जरूरी नहीं। astronomy पढ़ते समय मैंने सीखा था कि अगर 1 साल या एक दिन जैसी periodicity observe हो, तो वह आम तौर पर संयोग नहीं, बल्कि पृथ्वी की revolution या rotation को ठीक से correct न कर पाने का संकेत होता है
    • सही नहीं। पूरी equation अंततः meter की परिभाषा, अधिक सटीक कहें तो पुरानी परिभाषाओं में से एक, पर आ टिकती है
    • मुझे हैरानी है कि इतने लोग इस rebuttal से सहमत नहीं हैं। मैंने भी बिल्कुल यही सोचा था
      अगर π², g के ठीक बराबर होता, और दूसरी units में “जादू” गायब हो जाता, तब कहा जा सकता था “इसलिए यह संयोग नहीं है” और निष्कर्ष निकाला जा सकता था कि बात खुद units से जुड़ी है
      लेकिन π² बस g के लगभग बराबर है, और दूसरी units में जादू गायब हो जाता है, इसलिए article पढ़ने से पहले मैं इसे शायद संयोग ही मानता
    • सहमत। बाद में कहानी कैसे भी आगे बढ़े, ऊपर से देखने पर संयोग दिखाने के तुरंत बाद “इसलिए यह संयोग नहीं है” लिखना चौंकाने वाला है
    • सहमत। हालांकि “so” हटा दें तो विरोधाभास नहीं रहता। लेखक ने शायद इसे “अर्थात” के मतलब में नहीं, बल्कि अपेक्षाकृत अर्थहीन discourse marker की तरह इस्तेमाल किया हो

  • physicist के तौर पर यह समझ में आता है। π = 3, π² = 10, वही g है
    समझ नहीं आता सब इतने हैरान क्यों हैं
    अरे हां, और मुझे याद है कि 1 साल π*10e9 seconds था

    • computer scientist के तौर पर भी यह हैरान करने वाला नहीं है। आखिर numbers तो सिर्फ 0, 1, n तीन ही हैं
    • physicist के तौर पर? स्कूल में physics करते समय जब problems solve करते थे, तो answer हमेशा number और unit के साथ होता था। π² एक pure number है, इसलिए 10 हो सकता है, लेकिन g acceleration नाम की physical quantity है, इसलिए वह कभी सिर्फ 10 नहीं हो सकता; किसी unit में 10 होना पड़ेगा
    • मुझे लगा π और g का connection इसलिए है क्योंकि vacuum में accelerate करती गाय spherical होती है
    • π seconds एक nanocentury है। इसलिए 1 year = π*10^7 seconds
    • mechanical engineer के तौर पर confirm कर सकता हूं। e ≈ π ≈ 3 है

  • एक और “शानदार संयोग” यह है कि miles और kilometers conversion में 1.609344 constant आता है: kilometers = miles * 1.609344. इस 1.609344 को “km” constant कहें
    पता चला कि km, golden ratio (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... के बहुत करीब है। फर्क सिर्फ करीब 0.5% है (100 * (gr/km - 1) = 0.54%)! मूल लेखक के शब्दों में “अगर इसे दूसरी units में व्यक्त करें तो जादू तुरंत गायब हो जाता है। इसलिए यह संयोग नहीं है...” तो, हम्म... एक मिनट?
    एक और है। π(3.141592654...) लगभग 4 / sqrt(gr)(3.144605511...) के बराबर है, और बाद वाले को “almost pi” का “ap” कहें। यह π को golden ratio से जोड़ता है और फर्क सिर्फ 0.096% (100 * (pi/ap - 1)) है। निश्चित ही इसका कोई मतलब होगा?
    आखिर में मेरा सबसे पसंदीदा: 111111111^2 = 12345678987654321. यह ... हम्म ... रुको ...

    • mile, feet से जुड़ा है, और feet व gravity, golden ratio से जुड़ते हैं क्या? 6 feet कुछ 2π जैसा लगता है?
    • 1 year, π * 1e7 seconds के बहुत करीब है, और error 0.5% से कम है
    • ln(5) ~ 1.6094379 तो कहीं ज्यादा करीब है, और फर्क percent का 0.5% के आसपास है
    • सबसे अच्छा sum(1, 36) है

  • अगर meter की लंबाई seconds pendulum की लंबाई के रूप में define की गई होती, तो g ठीक π² होता। pendulum equation में:
    T = 2π√(L/g)
    T = 2 s, L = 1 m रखने पर:
    2 s = 2π√(1 m / g)
    g के लिए solve करें तो:
    g = π² m/s²
    यह gravity की strength कुछ भी हो, तब भी सही रहता, लेकिन उसके हिसाब से meter की लंबाई बदल गई होती
    [1]. वास्तव में 1790 में Talleyrand ने यह प्रस्ताव रखा था। कल्पना कीजिए उस दुनिया की जहां यह सच हो गया होता

    • article में बताया गया है कि Huygens ने 17वीं सदी में यह propose किया था, और वही derivation भी दिखाया है :)

  • इससे जुड़ी एक चीज मुझे पसंद है। Avogadro number और Boltzmann constant एक-दूसरे के reciprocal जैसे N ~ 1/k क्यों हैं? units match नहीं करतीं, इसलिए statement खुद में meaningful नहीं है, लेकिन MKS unit system में यह सच है
    दोनों को multiply करें तो gas constant मिलता है, जो लगभग 1 है। दोनों microscopic units से human-scale units में ले जाने वाले numbers हैं, और human scale पर अनुभव की जाने वाली gas को दर्शाने वाले gas constant में वे एक-दूसरे को cancel कर देते हैं

    • मजेदार बात यह है कि Avogadro constant असल में 1 के बराबर है। इसे Avogadro number को mole से multiply करके define किया जाता है, क्योंकि mole खुद Avogadro number के reciprocal के बराबर dimensionless quantity है
    • फिर भी क्या यह संयोग नहीं है? Nk=8.31, gas के 1 mole का pressurevolume/temperature है
      temperature range अपेक्षाकृत narrow है (100~1000), और अगर meter·second·kilogram को अलग तरह से define किया गया होता, तो P*V range 0.01~0.1 जैसी उस range से दूर न चली जाए, इसकी कोई वजह भी नहीं है

  • इसे इससे भी खराब ढंग से समझाना शायद मुश्किल होगा
    यह लेख किस तरह के पाठक के लिए है? जिन्हें physics नहीं आती, उनके लिए यह बहुत लंबी और उलझाऊ व्याख्या है। यह समझाना कि एक unit दूसरी unit पर निर्भर करती है, और metric system को खुद से फिर से बना सकने की क्षमता क्यों महत्वपूर्ण है, लंबाई के standard के लंबे इतिहास से कहीं ज़्यादा ज़रूरी है
    कई सवालों के जवाब भी नहीं दिए गए। second को किससे define किया गया था? क्या समय pendulum से नहीं मापा जाता? astronomical definition ज़्यादा भरोसेमंद क्यों थी?
    जिन्हें physics आती है, उनके लिए इसे कहीं छोटा और स्पष्ट लिखा जा सकता था। जैसे: “metre की सार्वभौमिक definition के लिए gravity जैसी प्रकृति में दिखने वाली constant चाहिए। किसी तय समय में वस्तु के गिरने की दूरी मापी जा सकती है, लेकिन pendulum इस्तेमाल करना आसान है। pendulum लगभग 2πsqrt(धागे की लंबाई/gravity) की period के साथ नियमित रूप से झूलता है। अगर gravity को π² मानें, तो square root के बाद π कट जाता है और T = 2*sqrt(Length) बनता है। 1 metre का pendulum आने-जाने में 2 second, और एक बार झूलने में 1 second लेता है, इसलिए उपयोगी है। उस समय घड़ियां काफी सटीक थीं, और second को astronomical observations से reproduce किया जा सकता था। इसलिए pendulum लेकर उसकी लंबाई इस तरह adjust की जा सकती थी कि वह ठीक हर 1 second में एक बार झूले, फिर उस धागे या छड़ से कुछ भी मापा जा सकता था। यह अच्छा लगा, इसलिए gravity constant को π²(9.87 m/s²) बनाने के लिए बदल दिया गया। metre को छोटा करने पर सब कुछ लंबा हो जाता है। बाद में पता चला कि पृथ्वी की सतह पर gravity बदलती है और perfect mathematical pendulum को reproduce करना मुश्किल है, इसलिए पृथ्वी के आकार पर आधारित astronomy-based definition अपनाई गई। उसमें भी समस्याएं थीं, इसलिए Paris में 1 metre की physical rod रखी गई। कुछ साल पहले से physicists ने Planck constant इस्तेमाल करना शुरू किया, जो मापी जा सकने वाली सबसे छोटी दूरी है।”

    • metre फिलहाल (2019 के बाद से) atomic clock के N cycles के दौरान vacuum में light द्वारा तय की गई दूरी के रूप में define होता है[1]। general relativity effects को ध्यान में रखना हो तो यह भी specify करना होगा कि पृथ्वी पर कहां मापा जा रहा है। क्योंकि gravity clock की speed को प्रभावित करती है
      अब speed of light कोई measured value नहीं, बल्कि defined value है। यह काफी गहरी बात है, क्योंकि हमारी unit system अब special relativity theory की validity पर आधारित है
      1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre

  • metre की definition के इतिहास से निकला शानदार twist और बढ़िया लेख था
    पढ़ते हुए Ramanujan जैसे mathematicians याद आए। वे लोग जो random numbers के साथ खेलते हुए connections खोजने में काफी समय लगाते थे। हालांकि इस मामले में लगता है लेखक को शुरू से इतिहास पता रहा होगा
    खैर, लगता है maths degree ने ऐसे number relationships की खोज के मज़े को कुछ हद तक मार दिया। बचपन में अजीब-सी doodles की तरह connections बनाना और ढूंढना अच्छा लगता था, लेकिन degree खत्म होते-होते मैं सीखे हुए ज़्यादा abstract basic elements के बीच connections के बारे में सोचना चाहने लगा
    फिर भी सफल mathematicians में आज भी कई लोग इसी तरह काम करते दिखते हैं। पहले कोई अजीब connection नोटिस करते हैं, फिर उसके पीछे की theory भरते हैं, और कभी-कभी इससे सचमुच दिलचस्प नतीजे निकल आते हैं

  • इसी संदर्भ में metric system की उत्पत्ति और पहली scientific conference पर Ken Alder की The Measure of All Things recommend करता हूं। यह हैरानी की बात है कि पढ़ने में बहुत engaging है
    https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...

  • यह content से बिल्कुल असंबंधित है, website के बारे में है
    site खोलने पर पूरी तरह टूट जाती है। जांच करने पर पाया कि अगर Stylus(CSS injection extension) किसी भी rule के साथ on हो, सिर्फ global rules हों तब भी, तो site इस्तेमाल लायक नहीं रहती। React framework से बनी होने के कारण यह सिर्फ अजीब नहीं दिखती, बल्कि पूरी तरह टूट जाती है
    मैंने ticket खोला और Stylus developer से जल्दी जवाब मिला; लगता है यह website और caseme.io से बनी सभी sites `` के अंदर injected nodes detect होने पर error throw करती हैं और टूट जाती हैं
    [1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803

    • अभी Stylus इस्तेमाल नहीं कर रहा, लेकिन मेरे यहां भी टूटी हुई है। ऐसा लगता है जैसे CSS बिल्कुल apply नहीं हो रही, बड़ा logo image और default font वाला text दिखता है। कौन-सा extension वजह है पता नहीं, लेकिन शायद Dark Reader होगा। फिर भी पढ़ा जा सकता था, इसलिए बड़ी दिक्कत नहीं थी

  • “अगर और कपड़ा खरीदना पड़े, तो गांव के सबसे लंबे आदमी को बुलाकर उसके cubit से कपड़ा नपवाया होगा” वाली strategy असली कपड़ा बेचने वालों पर चली होगी, इस पर बहुत शक है
    official weights and measures भले न रहे हों, पर वे बेवकूफ नहीं थे

    • आजकल की खुली shrinkflation देखकर यह comment मज़ेदार तरीके से ironic लगता है