a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) का दृश्य प्रमाण

• वर्गों के अंतर के सूत्र a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) को आरेख के ज़रिए समझाने वाला एक छोटा गणितीय नोट
• मुख्य बात यह है कि दो वर्गों के अंतर को योग और अंतर के गुणनफल के रूप में बदलने वाली गुणनखंडन पहचान यहाँ दिखाई गई है
• आरेख दिखाता है कि a^2 – b^2 का क्षेत्रफल (a + b)(a – b) के बराबर होने का correspondence कैसे बनता है
• Sophie Germain के कथन की तरह, यह इस बात पर ज़ोर देता है कि बीजगणित और ज्यामिति एक ही संबंध को अलग-अलग तरीकों से व्यक्त कर सकते हैं
• यह केवल सूत्र याद करने की बात नहीं है, बल्कि क्षेत्रफल के पुनर्विन्यास के ज़रिए इस पहचान को सहज रूप से समझा जा सकता है

---

वर्गों के अंतर को आरेख से देखना

• दृश्य सामग्री में a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) का दृश्य प्रमाण दिया गया है
• यहाँ जिस बात को सिद्ध किया जा रहा है, वह यह पहचान है कि वर्गों के अंतर को दो पदों के योग और अंतर के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है

बीजगणित और ज्यामिति का संबंध

• Sophie Germain ने कहा था, “बीजगणित लिखी हुई ज्यामिति से अधिक कुछ नहीं है, और ज्यामिति आरेखित बीजगणित से अधिक कुछ नहीं है।”
• यह उद्धरण इस संदर्भ में जोड़ा गया है कि सूत्र और आरेख एक ही संबंध को अलग-अलग तरीकों से दिखा सकते हैं

[GN⁺]

Hacker News की राय

• अगर आपको ऐसी चीज़ें पसंद हैं, तो सिर्फ़ visual proofs का एक संग्रह वाली किताब है https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr..., और Wikipedia पर भी इससे जुड़ा लेख है https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
  कुछ साल पहले मैंने अपने PhD advisor और एक सहकर्मी के साथ इनमें से कई को LaTeX में फिर से बनाया था https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor..., और Pi Day इवेंट में इन्हें पोस्टर के रूप में प्रिंट करके लगाने की योजना थी, लेकिन pandemic की वजह से इवेंट हो नहीं सका

  • यह काम सचमुच शानदार है। PDF में source या credits जोड़ने पर भी विचार किया जा सकता है
    लोग फ़ाइल डाउनलोड करने के बाद भूल जाएँ कि उन्होंने इसे कहाँ से लिया था, तब भी सही जगह credit दे पाना अच्छा होगा

• visual proofs देखते समय सावधान क्यों रहना चाहिए, इस पर यह वीडियो याद आता है: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
  इसमें यह “proof” भी है कि π ठीक 4 है। इस मामले में भी, जैसा नीचे किसी ने बताया है, एक असिद्ध assumption है, और कम-से-कम b < a मान लिया गया है

  • 9वीं कक्षा में मेरे geometry teacher ने ज़ोर देकर कहा था कि diagram में स्पष्ट रूप से न दी गई लंबाइयाँ और कोण कभी assume नहीं करने चाहिए
    खासकर यह नहीं मानना चाहिए कि diagram scale के हिसाब से बना है, और भले कोई quadrilateral square जैसा दिखे, अगर उसे square लिखा नहीं है या उसे square साबित करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं है, तो उसे unknown quadrilateral मानना चाहिए। उन्होंने कहा था कि exam में ऐसा न करने पर “problem के marks से भी ज़्यादा काटूँगा”, और सच में उन्होंने kite जैसा दिखने वाला figure दिया, लेकिन angle conditions ऐसी थीं जो kite में नहीं बल्कि parallelogram में ही संभव थीं, और जिन students ने उसे kite समझ लिया उन्हें extra negative marking मिली
  • उस proof की समस्या सिर्फ़ यह है कि वह assume करता है कि limit पर value infinity पर value के बराबर है
    pi(n) को N ∪ {inf} पर defined function मानें, और process के nवें step पर “pi” की value दें; pi(inf) को असली circle में value के रूप में define करें, तो यह बस ऐसा function बन जाता है जिसमें lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf) है। हर finite n के लिए value 4 है, और infinity पर 3.1415... है
    “infinity” का इस्तेमाल न करने के लिए इसे फिर से कहा जा सकता है, लेकिन इस तरह सोचना सबसे साफ़ है। यह t=0 पर 1 और बाकी जगह 0 होने वाले Kronecker delta function delta(t) से बहुत अलग नहीं है। lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t) है
  • b < a को without loss of generality assume किया जा सकता है
  • सही है, लेकिन वह perimeter adjustment को अनंत बार repeat करने पर निर्भर है। यहाँ कुछ boxes को rearrange करने में infinity शामिल नहीं है
  • अगर negative area वाले rectangle से आपको दिक्कत नहीं है, तो यह फिर भी valid है

• Pythagorean theorem का visual proof यहाँ है: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
  Pythagorean theorem मेरे लिए तुरंत intuitive नहीं है, इसलिए यह वाला मुझे कहीं ज़्यादा “useful” लगता है। Original post का proof a(b+c)=ab+ac से सीधे निकल आता है, इसलिए काफ़ी redundant लगता है। multiplication के distributive law की intuition बनाना math education में बहुत अहम है, लेकिन मुझे लगता है कि यह क्यों true है इसकी intuition geometry पर निर्भर किए बिना बेहतर बनती है

  • मैं कभी सचमुच convinced था कि अगर किसी line को 3 बराबर हिस्सों में बाँट दें, तो एक point से line खींचकर 60-degree angle को भी 20-20 degree में तीन हिस्सों में बाँटा जा सकता है, लेकिन असल में ऐसा नहीं था
  • वह visual proof पूरा नहीं लगता। यह भी prove करना होगा कि दाईं तरफ़ वाला quadrilateral square है
  • मुझे यह Pythagorean theorem से ज़्यादा redundant नहीं लगता। आखिर Pythagorean theorem भी inner product की definition से सीधे follows करता है, ऐसा कहा जा सकता है

• सावधान रहना चाहिए। visual “proofs” पर भरोसा करते-करते आप यह भी मान सकते हैं: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

  • वह तो धोखा देने के लिए बनाया गया लगता है
    अगर कोई problem पर सोचते हुए diagram बनाता, तो वह ऐसे diagram में दो angles को बराबर दिखाने का intention रखता, या फिर यह साफ़ दिखाता कि एक triangle 8/3 है और दूसरा 5/2, इसलिए slopes साफ़ तौर पर अलग हैं
    अच्छा visual proof असल algebra को symbols की जगह lines और shapes से बताता है, और result किसी मायने में फिर भी algebraic होना चाहिए। linked example या famous Pythagorean proof भी ऐसा ही है। अगर आप ruler निकालकर नापना शुरू कर दें, तो आप रास्ता भटक चुके हैं। सभी results visual नहीं बल्कि algebraic होने चाहिए, लेकिन उस algebra को letters की जगह pictures से express करना ठीक है
  • “मान सकते हैं” से क्या मतलब है, समझ नहीं आया। क्या आप imply कर रहे हैं कि दिया गया example true नहीं है? वह तो बिल्कुल true है
    देखने वाले के लिए शुरुआत में confusion हो सकती है। 3/8 और 2/5 के फर्क को पहचानना मुश्किल होता है और हम assume कर लेते हैं कि दोनों triangles की slope समान है। लेकिन वह visual proof सच में ईमानदारी से दिखाता है कि दोनों equal नहीं हैं

• similar approach squares से जुड़े mental math में भी useful है। जैसे 1005² को 1000² में 5×1000 के दो blocks जोड़कर और छोटा 5² block जोड़कर निकाला जा सकता है, इसलिए result 1,010,025 होता है
  उल्टा, 995² में 1000² से वही 5×1000 के दो blocks घटाकर 5² जोड़ते हैं, इसलिए 990,025 मिलता है

  • ऐसे square calculations के लिए एक और मज़ेदार trick भी है: https://blog.jgc.org/2010/03/squaring-two-digit-numbers-in-y...

• geometry में कमजोर और algebra में अच्छे इंसान के तौर पर, यह सचमुच हैरान करने वाला है। मुझे यह समझना शुरू भी नहीं हो रहा कि यह चित्र कैसे—यहां तक कि इन्हीं खास boxes के लिए भी—दिखाता है कि formula सही है
  लेकिन algebra को सही बनाने वाली multiplication की प्रासंगिकता बहुत साफ महसूस होती है। मेरा मतलब यह नहीं कि example खराब है या अच्छा, बल्कि यह कि लोग कितने अलग-अलग तरीके से सोचते हैं, यह हैरान करता है

  • बाईं तरफ के पहले चित्र में देखा जा सकता है कि बड़े square की चौड़ाई और ऊंचाई a है, इसलिए उसका area a×a, यानी a² है
    उसके अंदर का छोटा square चौड़ाई और ऊंचाई b वाला है, इसलिए उसका area b² है। मूल रूप से छोटे square को बड़े square से हटाया जा रहा है, इसलिए a² - b² मिलता है। दाईं तरफ के आखिरी चित्र में एक side की length (a-b) है और ऊपर वाली side (a+b) है, इसलिए area (a-b)(a+b) है। इसलिए a² - b² = (a + b)(a - b) होता है, और बीच के steps area को visually shift करने की प्रक्रिया दिखाते हैं
  • पांच चित्रों में किस point पर आपकी समझ टूटती है, यह जानना चाहूंगा
  • कौन-सा हिस्सा समझना मुश्किल है?

• वह तो बस यह दिखाता लगता है कि कुछ a और b मौजूद हैं जिनके लिए equality सही है। यह नहीं दिखाता कि यह सभी a और b के लिए सही है

  • positive होने की शर्त के अलावा, यह proof a, b पर कौन-सी constraints मांगता है?
  • सच में? a=0 या b=0 होने पर भी यह सही है

• Futility Closet का एक आकर्षक और दिलचस्प podcast हुआ करता था। उसकी याद आती है। फिर भी खुशी है कि वे अभी भी blog लिख रहे हैं

  • मैं वह podcast सचमुच मजे से सुनता था। उसका कोई ठीक-ठाक replacement अभी तक नहीं मिला

• Mathologer के कुछ YouTube videos मैं मजे से देखता हूं, उनमें अक्सर शानदार visual proofs होते हैं
  https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (Fermat का दो squares के योग वाला theorem)
  https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (Ptolemy theorem)
  https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (irrational numbers)

• https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html भी देखने लायक है
  इसमें कई शानदार visualizations हैं, जिनमें मेरा सबसे पसंदीदा Pythagorean theorem proof भी है
  https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...