दूसरे ब्रह्मांडों में π

 (azeemba.com)
2 पॉइंट द्वारा GN⁺ 2023-10-30 | 1 टिप्पणियां | WhatsApp पर शेयर करें
  • π वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात है, लेकिन “दूरी” को कैसे परिभाषित किया जाता है, इसके अनुसार समान त्रिज्या वाले वृत्त भी अलग आकार के हो सकते हैं और π का मान भी बदल सकता है
  • गणित में metric दूरी फलन के लिए 4 शर्तें तय करता है, और Euclidean दूरी के बाहर भी ज्यामिति, कलन और topology को कुछ संशोधनों के साथ संभालने देता है
  • Manhattan distance और maximal distance में वृत्त क्रमशः घुमाए हुए वर्ग और वर्ग की तरह दिखते हैं, और परिधि की गणना का परिणाम दोनों में π = 4 आता है
  • p-norm एक अनंत metric परिवार है जिसमें Manhattan, Euclidean और maximal distance शामिल हैं, और p=2 वाली सामान्य Euclidean दूरी का π=3.14159… इस परिवार में संभव न्यूनतम मान है
  • सभी metrics तक विस्तार करने पर π 3 और 4 के बीच होता है, और एक विशेष hexagonal metric में त्रिज्या 1 वाले वृत्त की परिधि 6 होने से π=3 हो जाता है

π का मान क्यों बदलता है

  • सामान्यतः π वृत्त की परिधि C और त्रिज्या r के संबंध C = 2πr में आता है
  • गणितीय रूप से वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से समान दूरी पर हों
  • इसलिए π वृत्त की परिधि और त्रिज्या मापने की दूरी की परिभाषा पर निर्भर करता है
  • समान “cost” वाले बिंदुओं का आकार हमेशा Euclidean वृत्त नहीं होता
    • वे बिंदु जहाँ केंद्र से समान समय तक दौड़कर पहुँचा जा सकता है, समय-आधारित दूरी का वृत्त हो सकते हैं
    • समान ईंधन में ड्राइव करके पहुँचे जा सकने वाले बिंदुओं को भी ईंधन-आधारित दूरी के वृत्त की तरह देखा जा सकता है
    • तेज हवा वाले दिन नौकायन करने पर समान प्रयास से पहुँचे जा सकने वाले बिंदु हवा की दिशा के अनुसार एक ओर झुका हुआ दीर्घवृत्त बन जाते हैं

कौन-सा distance function metric बनता है

  • गणित में metric दूरी फलन के रूप में मान्य होने की शर्तें तय करता है
  • metric को निम्न नियम पूरे करने होते हैं
    • किसी बिंदु से स्वयं तक की दूरी हमेशा 0 होती है
    • दो अलग बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा धनात्मक होती है
    • a से b तक की दूरी b से a तक की दूरी के बराबर होती है
    • a से c तक सीधे जाने की दूरी, a से b होकर c तक जाने की दूरी से अधिक नहीं होती
  • “नौकायन में लगने वाला प्रयास” metric बनना कठिन है
    • हवा के साथ जाने और विपरीत हवा के विरुद्ध जाने में प्रयास अलग होता है, इसलिए तीसरी शर्त पूरी नहीं होती
  • Euclidean दूरी d = sqrt(x² + y²) प्राचीन यूनानी ज्यामिति और Newton के कलन में प्रयुक्त पारंपरिक दूरी की परिभाषा है
  • 20वीं सदी की शुरुआत में गणितज्ञों ने समझा कि यदि कोई फलन इन मूल शर्तों को पूरा करता है तो उसे दूरी फलन की तरह इस्तेमाल किया जा सकता है, और कई गणितीय परिणामों को भी कुछ संशोधनों के साथ लागू किया जा सकता है

Manhattan distance में π

  • Manhattan distance ग्रिड वाले शहर में वह दूरी है जहाँ तिरछा नहीं चला जा सकता और x-दिशा तथा y-दिशा की चालों को जोड़ा जाता है
  • दूरी का सूत्र d = x + y के रूप में व्यक्त किया जाता है
  • उदाहरण के लिए यदि दो शहरों की जनसंख्या-परिवर्तन भविष्यवाणी की त्रुटि को x-अक्ष और y-अक्ष पर रखें, तो कुल त्रुटि 1,000 लोगों वाली जगहें एक “वृत्त” बनाती हैं
  • इस metric में वृत्त 45 डिग्री घुमाए हुए वर्ग जैसा दिखता है
  • यदि त्रिज्या 1,000 हो, तो प्रत्येक भुजा की Manhattan दूरी 2,000 होती है और 4 भुजाओं की परिधि 8,000 होती है
  • 8,000 = 2π(1,000) होने से इस दूरी प्रणाली में π=4 होता है

maximal distance में π

  • maximal distance वह metric है जिसमें x और y में से बड़े मान को दूरी माना जाता है
  • दूरी का सूत्र d = max(x, y) के रूप में व्यक्त किया जाता है
  • यह उन स्थितियों से जुड़ा है जहाँ कई काम समानांतर करने पर कुल समय सबसे अधिक समय लेने वाले कार्य से तय होता है
  • उदाहरण के लिए किसी cooking competition में दो सामग्रियों को समानांतर तैयार किया जाए, और दोनों को 55 से 65 मिनट के बीच पूरा होना हो
  • इस दूरी प्रणाली का वृत्त वर्ग के आकार का होता है
  • जब त्रिज्या 5 हो, तो प्रत्येक भुजा की दूरी 10 होती है और 4 भुजाओं की परिधि 40 होती है
  • 40 = 2π(5) होने से maximal distance में भी π=4 होता है

p-norm परिवार में π

  • p-norm metric d = (x^p + y^p)^(1/p) से परिभाषित एक अनंत metric परिवार है
  • p का मान 1 या उससे अधिक हो सकता है
  • p-norm ऊपर की दूरी प्रणालियों का सामान्यीकरण करता है
    • p=1 होने पर Manhattan distance
    • p=2 होने पर Euclidean distance
    • p=∞ होने पर maximal distance
  • p के मान के अनुसार “वृत्त” का आकार भी बदलता है
  • सामान्य p मानों में परिधि को देखकर तुरंत निकालना कठिन होता है, इसलिए कंप्यूटर वृत्त की परिधि के साथ चलता हुआ तय की गई दूरी को ट्रैक करके इसका हिसाब लगा सकता है
  • मौजूदा शोधपत्र के अनुसार p-norm के अनुसार π के मान इस प्रकार हैं
    • p=1: π=4
    • p=1.1: π=3.757…
    • p=2: π=3.141…
    • p=2.25: π=3.155…
    • p=3: π=3.259…
    • p=11: π=3.757…
    • p=∞: π=4
  • यह शोधपत्र यह भी सिद्ध करता है कि पूरे p-norm परिवार में 3.14159… सबसे छोटा संभव π मान है

सभी metrics में π की सीमा

  • p-norm अनंत हैं, लेकिन p-norm न होने वाले metrics उससे भी अधिक हैं
  • Sahoo के शोधपत्र में सिद्ध किया गया है कि सभी metrics में π 3 और 4 के बीच रहता है
  • π=4 बनाने वाले metrics Manhattan distance और maximal distance में देखे जा सकते हैं
  • π=3 बनाने का एक उदाहरण StackExchange उत्तर में दिए गए hexagonal metric से मिलता है
  • उस दूरी का सूत्र इस प्रकार है
d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |
  • इस सूत्र में प्रयुक्त π, Euclidean त्रिकोणमिति से आने वाला सामान्य π है
  • इस metric का वृत्त षट्भुज बनता है
  • दूरी सूत्र से षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई निकालने पर हर भुजा 1 आती है और कुल परिधि 6 होती है
  • त्रिज्या 1 पर 6 = 2π(1) होने से इस metric में π=3 होता है

π-day की जगह π-month

  • 14 मार्च का π-day सामान्य π=3.14… के अनुसार तय है
  • चूँकि सभी metrics में π का मान 3 और 4 के बीच हो सकता है, इसलिए यदि हर तारीख के अनुरूप कोई metric खोज लिया जाए, तो पूरे मार्च को π-month की तरह मनाया जा सकता है

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1 टिप्पणियां

 
GN⁺ 2023-10-30
Hacker News की राय

  • गणित को “मान्यताओं से शुरू करके उनसे निकलने वाले संभव तार्किक निष्कर्ष खोजने का खेल” मानने वाली अभिव्यक्ति ने, जो विचार कुछ समय से मेरे मन में घूम रहा था, उसे वाकई बहुत अच्छी तरह व्यवस्थित कर दिया

    • Lean4 और mathlib के दिलचस्प होने की वजह भी यही है
      लोग जितने अधिक formally verified proofs को mathlib में जोड़ते जाते हैं, उतना ही उसके ऊपर और अधिक प्रमेयों को औपचारिक रूप से सिद्ध करना आसान होता जाता है
      बिल्कुल खाली स्थिति में साधारण प्रमाण भी फिर से लिखने और बारीक विवरण तय करने के कारण लगभग शुद्ध मेहनत जैसा लगता है, लेकिन mathlib में simp या linarith जैसे टूल बार-बार होने वाले भारी काम का बड़ा हिस्सा अपने आप संभाल लेते हैं
      यह snowball effect सचमुच दिलचस्प है, लेकिन जिसकी मुझे समझ है वह शायद पहले से ही उसमें शामिल हो, इसलिए सार्थक योगदान देना मुश्किल लग रहा है
    • गणित और तर्क को एक विशाल cellular automaton की तरह सोचना चकित करता है
      “axioms” ज़रूरी नहीं कि “truth” के अनुरूप हों; वे जटिलता पैदा करने वाली मनमानी बाधाओं के अधिक करीब हैं, और कभी-कभी उससे बना सिस्टम उपयोगी हो जाता है
    • गणित मानवता का सबसे पुराना, सबसे व्यापक और सबसे जटिल game है
      यह उपयोगी भी है और उसकी उपयोगिता को लेकर दार्शनिक रूप से बहुत कुछ खंगालने लायक भी, लेकिन मैं उसे खेल से अलग गुण मानता हूँ
      जैसे मज़े के लिए किसी cookbook को hexadecimal में बदल देना—भले उसका कोई उपयोग न हो, ज्ञान न बढ़े, बल्कि utility नकारात्मक ही क्यों न हो—फिर भी यह इस खेल के भीतर किया जा सकता है
      twin prime conjecture को सिद्ध करने की कोशिश करना इससे कहीं कठिन स्तर है, और यह खेल उम्र या कौशल की परवाह किए बिना खेला जा सकता है; इसे दिमाग में, कागज़ और पेंसिल से, या दुनिया के सबसे बड़े compute cluster तक किसी भी चीज़ के सहारे खेला जा सकता है
      तकनीकी रूप से बाकी सभी खेल भी इसी खेल के subset हैं, और चाहे सुंदर चित्र रंगने हों, atoms को टकराना हो, या जितना संभव हो उतनी बड़ी संख्याओं तक गिनना हो, हर कोई अपनी पसंद के तरीके से खेल सकता है
    • यही सिद्धांत programming पर भी लागू होता है
      किसी function को अपने arguments के बारे में जितना कम पता होता है, वह उतनी ही अधिक सामान्य रूप से इस्तेमाल की जा सकती है
    • इसका अच्छा उदाहरण axiom of choice का measure theory और probability theory पर प्रभाव है
      axiom of choice यह निहित करता है कि Lebesgue-measurable न होने वाले sets मौजूद हैं, लेकिन ऐसे non-measurable sets का कोई ठोस उदाहरण दिया नहीं जा सकता; केवल उनके अस्तित्व का प्रमाण दिया जा सकता है
      इसके उलट, axiom of determinacy को शामिल करने वाले वैकल्पिक सिद्धांत में real numbers के सभी subsets measurable हो जाते हैं
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
      https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

  • भले ही किसी दूसरे ब्रह्मांड की ज्यामिति में π अलग हो, फिर भी कोई महत्वपूर्ण स्थिरांक ऐसा होगा जिसका मान हमारे π जैसा ही होगा
    उदाहरण के लिए, श्रेणी x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... से परिभाषित फ़ंक्शन के शून्य पूर्णांक n के लिए nπ होते हैं, और यहाँ π हमारा π है
    exponential function में भी हमारा π आता है, और उसका period 2πi है

    • सही। और अधिक ठोस उदाहरण के तौर पर, नीचे दिए गए मान ज्यामिति से स्वतंत्र रूप से अब भी हमारे π से जुड़े रहते हैं
      श्रेणी 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) का योग π है: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
      श्रेणी (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) का योग π²/6 है: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
      इसलिए [1…N] से समान रूप से चुनी गई दो संख्याओं के परस्पर सहभाज्य होने की प्रायिकता, N बढ़ने पर 6/π² के करीब पहुँचती है
      गुणनफल 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… भी π है: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
      जब n बड़ा होता है, तब (n!/(√n (n/e)^n))²/2 बहुत धीरे-धीरे π के करीब पहुँचता है: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation उदाहरण: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
      इसके अलावा भी बहुत से गैर-ज्यामितीय परिणाम हैं: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
    • मुझे तो उल्टा लगता है
      मेरी समझ के अनुसार, यूरोपीय सभ्यता के मनुष्यों ने ऐतिहासिक रूप से complex exponential function को इस तरह परिभाषित किया कि उसका period 2πi हो, ताकि वह पहले से परिभाषित sin और cos के period से मेल खाए
      इसे किसी और period के साथ भी परिभाषित किया जा सकता था। उदाहरण के लिए, अगर “360 डिग्री” को 2π के बजाय 1 माना जाता, और sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0 के रूप में परिभाषित किया जाता, तो e^ix का period भी 1 परिभाषित किया जाता
      decimal system भी ऐसा ही है। ऐतिहासिक रूप से हमने दस उंगलियाँ होने के कारण decimal system इस्तेमाल किया है, लेकिन ऐसा कोई कारण नहीं कि aliens की भी दस उंगलियाँ हों
    • यह कहना बेहतर होगा कि π हर जगह वही संख्या 3.14... है
      बस, दूसरे ब्रह्मांड में वृत्त की लंबाई के सूत्र में π का उपयोग न भी हो सकता है
      Manhattan distance(L_1) में C = 8 R, Euclidean distance(L_2) में C = 2π R, और maximum distance(L_infinity) में C = 8 R होता है
    • अगर unit distance, जैसे 2 और 3 के बीच या 5 और 6 के बीच की दूरी, वहाँ के distance function से परिभाषित की जाए, तो क्या उनका π फिर से उभरकर आएगा, यह जानने की जिज्ञासा है
      यह number system में base बदलने जैसा लगता है

  • p-norm unit circle के लिए π-जैसे स्थिरांक को परिभाषित करने के कई तरीके हैं, और p != 2 पर वे एक-दूसरे से मेल न भी खाएँ
    अगर unit circle के area से π को परिभाषित किया जाए, तो बिल्कुल अलग मान मिलते हैं, और यह परिभाषा कुछ सुंदर गुणों को संतुष्ट करती है, जैसे कि यह p-circle के लिए natural trigonometric functions के एक सेट का period constant बनती है
    आगे बढ़कर, pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p... होता है
    दूसरी ओर, perimeter/arc length पर आधारित π की परिभाषा में एक दिलचस्प गुण है कि conjugate p, q के लिए pi(p) = pi(q)
    “Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” इस विषय पर एक मज़ेदार संदर्भ सामग्री है

    • मुझे जिज्ञासा है कि Hilbert space न होने की बात क्या ज्यामिति पर किसी अजीब तरह का असर डालती है
      शायद polarization identity छोड़नी पड़ेगी, और तब उसका parallelogram पर भी असर होगा, लेकिन ठीक-ठीक मुझे पता नहीं

  • pi = 3.14159… विश्लेषण और उसके विस्तार सांख्यिकी में भी आता है, इसलिए यह ज्यामिति से स्वतंत्र है
    किसी दूसरे ब्रह्मांड के एलियन भी इस मान को जानते होंगे, बस वृत्त के लिए उनके पास कोई अलग स्थिरांक होगा
    वैसे भी वे Greek अक्षर नहीं लिखेंगे, इसलिए अनुवाद की ज़रूरत पड़ेगी, और उनके 3.757… को “π” के रूप में मैप करने से 3.14159… को π मानना कम अजीब लगता है
    बेशक 3.14…(π), 6.28…(2π), 0.785…(π/4) में से किसे मूल स्थिरांक माना जाए, इस पर बहस हो सकती है, और एलियन कुछ और सोच सकते हैं
    लेख दूसरे ब्रह्मांड के वृत्त स्थिरांक को समझाने के लिए distance function की अवधारणा लाता है, लेकिन कोई भी मनमाना distance function linear scaling या translation invariance की गारंटी नहीं देता
    वृत्त स्थिरांक को अर्थपूर्ण ढंग से परिभाषित करने के लिए distance function से मजबूत मान्यताएँ चाहिए, जैसे normed vector space, और दिए गए उदाहरण भी वास्तव में साधारण metric spaces नहीं बल्कि normed vector spaces ही लगते हैं

    • पहला बिंदु चौंकाने वाला नहीं है
      हमारा π उस एकमात्र distance function से जुड़ा है जिसमें unit circle पूरी तरह सतत और differentiable है
      2-norm कई कारणों से बहुत विशेष है, और यह स्वाभाविक लगता है कि किसी बिंदु तक की दूरी और उन बिंदुओं द्वारा बने path पर किसी स्थिरांक के integral के परिणाम को जोड़ने वाला स्थिरांक दूसरे स्थिरांकों की तुलना में अधिक बार मिलता है
      अगर उस distance function का unit circle हर जगह continuity और differentiability नहीं रखता, तो कई दूसरी चीज़ें domino की तरह ढह सकती हैं
      point, distance, और path के बीच के संक्षिप्त संबंध में कुछ अनोखा रूप से केंद्रीय है
    • पहला बिंदु दिलचस्प है
      जैसा दूसरे comment में समझाया गया, π का मान 3.14159 केवल number theory से भी निकाला जा सकता है, लेकिन जादू की तरह यह उस भौतिक दुनिया को बनाने में बड़ी भूमिका निभाता है जिसे हम जानते हैं
      क्या किसी दूसरे ब्रह्मांड में अलग number theory हो सकती है, या number theory ब्रह्मांड से स्वतंत्र रूप से सत्य है? यह जानने की जिज्ञासा है कि कोई वैकल्पिक number theory आखिर कैसी दिखेगी
    • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
      Buzzfeed जैसा सुनाई नहीं देना चाहता, लेकिन table 3 काफ़ी समझ में आता है
    • सही है। उदाहरणों में भी वास्तव में 2pi को बार-बार इस्तेमाल किया जा रहा है

  • लगता है इस व्यक्ति को नौकायन की समझ नहीं है
    हवा के लंबवत चलने वाला beam reach पाल की lift की वजह से सबसे तेज़ श्रेणियों में आता है

    • मुझे अंदाज़ा था कि ऐसा point उठेगा
      HN की यही बात अच्छी लगती है कि इतने specific और सटीक, फिर भी गलत, एक अकेले रूपक की वजह से पूरे लेख को dismiss न करने वाली ऐसी बारीक टिप्पणियाँ मिलती हैं
    • मुझे नौकायन के बारे में बिल्कुल नहीं पता था, लेकिन इस comment की वजह से मैंने point of sail देखा, और यह आजीवन रहस्य खुल गया कि “पाल वाली नाव हवा के विपरीत प्रभावी प्रगति कैसे कर सकती है”
      यह सचमुच अद्भुत है, और नौकायन कमाल का विज्ञान है
    • यह भी दिलचस्प है कि ऐसा करते हुए hull speed पार करने पर नाव अपनी ही bow wave पर surf करने लगती है
    • beam reach ज़रूरी नहीं कि हमेशा सबसे तेज़ course हो
      यह नाव, पाल की efficiency, centerboard/keel की efficiency यानी lift/drag ratio पर निर्भर करता है, और आम तौर पर reach का कोई रूप सबसे तेज़ होने की संभावना ज़्यादा रखता है, लेकिन वह true wind direction के ठीक 90 डिग्री पर हो यह ज़रूरी नहीं
      यह wind speed, wave height, weight distribution आदि पर भी निर्भर करता है
    • सही मान्यताएँ रखी जाएँ तो वह “वृत्त” कैसा दिखेगा, यह जानने की उत्सुकता है

  • ये उदाहरण सभी मानते हैं कि underlying distance function Euclidean है
    अगर आधारभूत 2D distance function किसी मुड़े हुए 3D space का projection हो, तो वृत्त के केंद्र को खींचकर π को जितना चाहें उतना बड़ा बनाया जा सकता है

    • यहाँ “underlying distance function” जैसा कोई विचार नहीं है
      radius और circumference दोनों को उसी distance function से मापा जाता है जो परिभाषित है
      अगर Euclidean दूरी की तुलना में origin को खींचने वाला कोई distance function है, तो वह mapping सतत होनी चाहिए, और अंततः उस distance function में radius और circumference दोनों साथ-साथ बढ़ेंगे
      दरअसल मैंने एक लेख का लिंक दिया था जो साबित करता है कि हर distance function के लिए π का मान हमेशा 3 और 4 के बीच, सिरों सहित, रहता है, लेकिन लगता है वह traffic नहीं झेल पाया, इसलिए एक वैकल्पिक लिंक दे रहा हूँ: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
    • बात underlying distance function की नहीं, बल्कि space geometry के Euclidean माने जाने की है
      Non-Euclidean geometry में किसी वृत्त की circumference और diameter का अनुपात स्थिरांक नहीं होता, बल्कि diameter पर निर्भर करता है, इसलिए ऐसे मामलों में “π” को परिभाषित ही नहीं किया जा सकता
    • थोड़ा अलग विषय है, लेकिन π के बारे में मेरी लगभग सारी समझ उन 3D GIF models की वजह से आई जो मुझे स्कूल में कभी नहीं दिखाए गए
      ऐसी सामग्री को 3B1B से भी बहुत पहले learning curve के शुरुआती हिस्से में आना चाहिए

  • बचपन में मुझे ऐसे संबंधों की कल्पना करना पसंद था
    मैं सोचता था कि ब्रह्मांड बनाने वाला कोई ईश्वर था, और शायद मेरी तरह कोई ऊबा हुआ बच्चा स्कूल के assignment के लिए ब्रह्मांड बना रहा हो
    अगर उस ईश्वर ने π या e के knobs को rational numbers पर सेट किया होता, बेशक यह मानते हुए कि उसके ब्रह्मांड में knobs को बिल्कुल सही irrational values पर भी सेट किया जा सकता है, तो क्या हमारी ज़िंदगी आसान होती या कठिन? शायद आसान होती
    पृथ्वी से दिखने वाले पृथ्वी/चंद्रमा/सूर्य के apparent sizes कैसे होते? वह एक शानदार clue है, लेकिन अगर वह संयोग न होता तो शायद हम खगोलशास्त्र के बारे में और ज़्यादा जानते
    ब्रह्मांड की quantum-mechanical अजीबता या वे असंतुलन जिन्हें सचमुच dark matter की ज़रूरत पड़ती है, शायद सिर्फ़ किसी जल्दी में बनाए गए बच्चे के assignment के bugs हों, इसलिए शुरू से ही उनका कोई मतलब न बनता हो
    लेकिन जिसने मुझे सबसे ज़्यादा देर तक सोचने पर मजबूर किया, वह irrational numbers थे

  • अगर आपने HN की पोस्टों का प्रवाह ठीक से पढ़ा है, तो Terence Tao का measure theory primer छूट नहीं सकता
    https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
    लेकिन गंभीरता से, 260 पन्नों की measure theory की मुफ्त किताब कौन पढ़ेगा या सरसरी तौर पर देखेगा?
    https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

    • Tao के lecture notes बस पढ़ लेने या skim करने वाली चीज़ नहीं हैं
      मैंने विश्वविद्यालय में prerequisites छोड़ने के लिए उनसे measure theory खुद पढ़ी थी, और यह वास्तव में कठिन था
      लगभग हर दो पन्नों पर exercises आ जाती हैं, और यदि उन पर समय लगाकर काम न करें तो शायद सीखने को बहुत कम मिलेगा
      ऊपर से वे exercises कठिन भी हैं
    • मुझे समझ नहीं आता कि 260 पन्नों की किताब पढ़ना इतना अविश्वसनीय क्यों लगता है
      लोग हमेशा 260 पन्नों की किताबें पढ़ते हैं
      मैं इस किताब को नहीं पढ़ूँगा क्योंकि यह मेरी रुचि का क्षेत्र नहीं है, लेकिन मैं दूसरे विषयों पर 100 से ज़्यादा पन्नों की किताबें पढ़ने में व्यस्त हूँ

  • p-adic संख्याओं से बना एक दिलचस्प space है, और उस पर अगर एक सरल distance परिभाषित करें तो circle में अजीब गुण दिखाई देते हैं
    उदाहरण के लिए, diameter यानी किनारे के सबसे दूर बिंदुओं के बीच की दूरी और radius यानी किनारे से center तक की दूरी एक-दूसरे के बराबर हो जाती है
    disk के area और circumference में भी विचित्र बातें होती हैं, और open disk एक ही समय में closed भी हो सकती है
    वहाँ π के समकक्ष जो चीज़ है, वह पूरी तरह अजीब है
    दुर्भाग्य से, मुझे विवरण याद नहीं हैं। यह लगभग 2000 के आसपास गणित की कक्षा का एक अभ्यास प्रश्न था
    https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

  • नाव वाली उपमा खास तौर पर ठीक नहीं लगती
    यह हवा वाले दिन की sailboat की तुलना अप्रत्यक्ष रूप से बिना हवा वाले दिन की sailboat से करती है, लेकिन अगर हवा ही न हो तो शुरू से कोई circle भी नहीं होगा
    मैं नावों का विशेषज्ञ नहीं हूँ, लेकिन अगर हवा X knots की हो, तो नाव tailwind की दिशा में X knots तक जा सकती है, और लेख के दावे के विपरीत crosswind दिशा में X के कई गुना वेग से भी जा सकती है
    तब चित्र जैसा कोई ellipse तो बनेगा, लेकिन उसकी दिशा उलटी होगी
    और sailboat tacking और jibing से हवा “की ओर” भी आगे बढ़ सकती है