किसी पूर्णांक के दूसरे prime factor का median 37 क्यों है

• सभी प्राकृतिक संख्याओं में समान रूप से चुनना संभव नहीं है, इसलिए पहले 1 से N तक समान रूप से चयन करके फिर N → ∞ की सीमा देखने के तरीके से “random integer” को परिभाषित किया जाता है
• Those Fascinating Numbers में बताया गया है कि किसी random integer का दूसरा prime factor 37 से छोटा होने की probability लगभग 1/2 है, और इसे density calculation तथा प्रयोग से सत्यापित किया गया है
• छोटे prime अक्सर पूर्णांकों के छोटे prime factor के रूप में प्रकट होते हैं, इसलिए यह सहज लगता है कि 37 जैसी छोटी संख्या median हो सकती है
• De Koninck और Tenenbaum की विधि Sieve of Eratosthenes की तरह उन शर्तों को जोड़कर λ₂(p) की गणना करती है कि कौन-सी संख्याएँ किन primes से विभाजित होती हैं
• λ₂(p) को primes के अनुसार जोड़ने पर 37 पर cumulative density लगभग 0.5002 तक पहुँचती है, और N=10⁷ के लिए प्रत्यक्ष गणना से मिला 0.5002501 भी इसके बहुत करीब है

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37 संख्या कहाँ से आई

• Those Fascinating Numbers की प्रस्तावना में लिखा है कि 37 पूर्णांकों के दूसरे prime factor का median है
  • यानी, random रूप से चुने गए पूर्णांक का दूसरा prime factor 37 से छोटा होने की probability लगभग 1/2 है
• शुरुआत में 37 इतना छोटा लगता है कि इस पर विश्वास करना कठिन लगता है, लेकिन जब यह ध्यान में रखें कि छोटे primes पूर्णांकों के छोटे prime factor के रूप में बहुत बार आते हैं, तो यह बात युक्तिसंगत लगती है
  • उदाहरण के लिए, लगभग आधे पूर्णांकों का सबसे छोटा prime factor 2 होता है
• लक्ष्य यह है कि इस तथ्य को सीधे प्रयोग से जाँचा जाए और De Koninck तथा Tenenbaum के शोधपत्र के आधार पर निकाला जाए कि 37 क्यों आता है

“random integer” को परिभाषित करने का तरीका

• सभी प्राकृतिक संख्याओं पर uniform distribution मौजूद नहीं है, इसलिए पहले किसी बड़े N को स्थिर किया जाता है
• फिर 1 से N तक की संख्याओं में से एक को random चुना जाता है, और N → ∞ होने पर probability की limit देखी जाती है
• जब N छोटा हो, तब प्रत्येक पूर्णांक का दूसरा prime factor सीधे निकालकर median देखा जा सकता है
• N=10⁷ पर चलाने पर cumulative probability का approximation 0.5002501 मिलता है
  • ऑनलाइन SageCell में इस आकार का factorization बहुत समय ले सकता है और timeout हो सकता है, इसलिए local execution की आवश्यकता होती है

λ₂(p): p के दूसरे prime factor होने की density

• De Koninck और Tenenbaum का शोधपत्र Sur la loi de répartition du k-ième facteur premier d’un entier उन पूर्णांकों की density को, जिनका दूसरा prime factor p है, λ₂(p) कहता है
• गणना का मुख्य विचार Sieve of Eratosthenes जैसा है: किन संख्याओं को किन primes से विभाजित किया जा सकता है, इस जानकारी को जोड़कर density गिनी जाती है
• जिन संख्याओं का दूसरा prime factor 5 है, उनके सिर्फ दो ही रूप हो सकते हैं
  • 2^a 3^0 5^b ...: 2 और 5 के गुणज, लेकिन 3 के गुणज नहीं
  • 2^0 3^a 5^b ...: 3 और 5 के गुणज, लेकिन 2 के गुणज नहीं
• पहले मामले की density 1/2 × 2/3 × 1/5 = 1/15 है
• दूसरे मामले की density (1 - 1/2) × 1/3 × 1/5 = 1/30 है
• ये दोनों समुच्चय एक-दूसरे से नहीं टकराते, इसलिए इन्हें जोड़ा जा सकता है, और जिन पूर्णांकों का दूसरा prime factor 5 है उनकी density 1/10 बनती है

सामान्य prime p के लिए सूत्र

• p दूसरे सबसे छोटे prime factor के रूप में आने के लिए, p से छोटा कोई एक prime q मौजूद होना चाहिए, और q तथा p को छोड़कर p से छोटे बाकी सभी primes r मौजूद नहीं होने चाहिए
• इस शर्त को prime factorization के निम्न रूप में लिखा जा सकता है

[ p^b q^a \prod_{q \neq r \lt p} r^0 ]

• प्रत्येक q < p के लिए density निकालकर जोड़ने पर यह सूत्र मिलता है

[ \lambda_2(p) = \sum_{q \lt p} \frac{1}{p} \frac{1}{q} \prod_{q \neq r \lt p} \left ( 1 - \frac{1}{r} \right ) ]

• इसी अभिव्यक्ति को इस तरह भी लिखा जा सकता है

[ \lambda_2(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] \sum_{q \lt p} \frac{1}{q} \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} ]

37 के median बनने की गणना

• हमें जिस prime (p^) को खोजना है, वह वह बिंदु है जहाँ दूसरे prime factor के (p^) या उससे छोटे होने की densities का योग लगभग 1/2 हो जाता है

[ \lambda_2(2) + \lambda_2(3) + \lambda_2(5) + \ldots + \lambda_2(p^*) \approx \frac{1}{2} ]

• λ₂(p) को implement करके primes के अनुसार जोड़ने पर, 37 पर cumulative density लगभग 1/2 तक पहुँचती है
• गणना की गई वास्तविक अपेक्षित density लगभग 0.5002 है
• प्रत्यक्ष factorization-आधारित प्रयोग में N=10⁷ पर मिला मान 0.5002501 भी इसके बहुत करीब है

kवें prime factor तक विस्तार

• किसी संख्या का kवाँ prime factor p होने की density λₖ(p) का सामान्य सूत्र इस प्रकार है

[ \lambda_k(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] s_{k-1}(p) ]

• यहाँ (s_j(p) = \sum \frac{1}{m}) है, जहाँ योग उन m पर लिया जाता है जिनमें ठीक j prime factors हों और वे सभी prime factors p से छोटे हों
• kवें prime factor के median (p_k^*) के लिए asymptotic formula यह है

[ \log \log p_k^* = k - b + O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) ]

• यहाँ b का मान नीचे दिया गया है

[ b = \frac{1}{3} + \gamma - \sum_p \left( \log((1-1/p)^{-1}) - 1/p \right) ]

• (\gamma) Euler-Mascheroni Constant है

[GN⁺]

Hacker News की रायें

• इसका मतलब यह नहीं है कि यहाँ 37 अपने-आप में कोई खास दिलचस्प चीज़ है
  बल्कि दिलचस्प बात यह है कि यहाँ सीमित median का मौजूद होना ही है। अगर यह सही है, तो चूँकि median को list के किसी element के रूप में define किया गया है, वह मजबूरन कोई prime ही होगा। इस list में वह संयोग से 37 है; कोई और value भी हो सकती थी
  37 सचमुच दिलचस्प तब होता अगर definition को ढीला करके median को set के बाहर की value भी होने दिया जाता, फिर भी limit 37 पर ही converge करती। तब यह काफ़ी चौंकाने वाली बात होती

  • N → ∞ limit लेने पर list लगातार बड़ी होती जाती है। इसलिए 37 के आने की संख्या भी बढ़ती जाती है, और कुल values में asymptotically एक स्थिर अनुपात, लगभग 0.963%, घेरती है
    37 से छोटी values सिर्फ़ लगभग 49.061% हैं, और 37 से बड़ी values सिर्फ़ लगभग 49.975% हैं। किसी point के बाद even N के लिए 50% point के दोनों तरफ हमेशा दो 37 होंगे, इसलिए median कोई और value नहीं बल्कि ठीक 37 है। लंबी व्याख्या मैंने दूसरे comment में लिखी है [0]
    [0] https://news.ycombinator.com/item?id=38245162
  • क्या यह स्पष्ट है कि N से कम या बराबर integers के second prime factor का median किसी खास संख्या पर आ जाएगा? यह मानना भी उतना ही plausible नहीं कि यह median बढ़ता ही रहेगा?
  • मुझे जिज्ञासा है कि वह पहली संख्या कौन-सी है जिसके बारे में कोई दिलचस्प बात जोड़ी ही नहीं जा सकती
  • median बस एक खास percentile है, कोई जादुई रूप से विशेष value नहीं
    median का अस्तित्व संकेत देता है कि बाकी सभी percentiles की भी limit हो सकती है। आगे बढ़कर, किसी भी संख्या के लिए, उन integers का limiting ratio मौजूद हो सकता है जिनका second prime factor उस संख्या से बड़ा है, और 37 पर वह ratio संयोग से 0.5 है
  • यहाँ “यह list” से क्या मतलब है? लगता है आपने result को गलत समझा है

• लेख ने मेरे मन में सबसे पहले उठे सवाल, “आखिर इसे prove कैसे करते हैं?”, का जवाब इतनी साफ़ तरह समझाया—यह अच्छा लगा

• दिलचस्प है कि 37 optimal stopping problem / secretary problem में भी आता है

  • मुझे वह problem नहीं पता और खोजने का मन भी नहीं है, लेकिन शायद वजह 1/e ≈ 0.36787944 होना है, ऐसा अनुमान लगाया जा सकता है
  • यह भी कहा जाता है कि जब लोगों से 1 से 100 के बीच कोई random number सोचने को कहा जाता है, तो वे सबसे ज़्यादा 37 चुनते हैं

• संयोग से 37 पहला irregular prime भी है। इसका Fermat’s Last Theorem के कठिन होने से संबंध है
  https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime

• कहा गया कि “जिन numbers का second prime 2 है वे 0.000000000000000 हैं”, लेकिन क्या title में distinct शब्द साफ़-साफ़ न लिखे जाने पर भी वह सही है?

  • गणित पढ़ते समय terms की “सही” interpretation को अपने मन में पूरा करना एक अहम हिस्सा है। उचित level of detail आम तौर पर intended readers पर निर्भर करता है
    अंग्रेज़ी में notation को पूरी तरह explicit कर दें तो वह अक्सर बहुत verbose हो जाता है। अगर “second distinct prime” लिखा होता, तो कोई कह सकता था कि “second smallest” या “ascending order” भी लिखना चाहिए। Papers में ऐसे terms को आम तौर पर अधिक accurate, लेकिन पूरी तरह precise नहीं, mathematical notation के साथ formally define किया जाता है
    मैं nitpick नहीं कर रहा; मुद्दा यह है कि गणित में “अदृश्य” हिस्सों को इंसान से हर बार explicitly लिखवाने के बजाय infer करने देना theorem provers की usability को काफी बढ़ा देता है। Andrej Bauer का संबंधित talk अच्छा है: https://www.youtube.com/watch?v=wZSvuCJBaFU
  • अच्छा point है। repeated primes की अनुमति दें तो जिन numbers का second prime 2 है वे 4 के multiples होंगे। तब वे कुल का 1/4 होंगे
  • जिन numbers का second prime 2 है, वे aleph 0 हैं
  • 12 के divisors 1, 2, 3, 4, 6, 12 हैं, और 12 के prime factors 2 और 3 हैं

• जिज्ञासा है कि क्या इस result को cover करने वाली L-function या modular forms की तरफ कोई दिलचस्प theorem या result है
  इन दिनों सीख रहा हूँ और topic आकर्षक लग रहा है
  https://www.peakmath.org/quest-for-f1 वीडियो देखते हुए पता चला, और http://lmfdb.org भी explore करने लायक है

• मुझे लगता है यह fact 37 को काफी दिलचस्प बनाता है
  कम से कम 31 से तो निश्चित रूप से ज़्यादा दिलचस्प
  31 भी prime है इसलिए कुछ हद तक interesting है, लेकिन जैसा अभी सीखा, integers के second prime factor का median 37 जितना interesting नहीं है
  क्या कोई और ज़्यादा interesting integer candidate हो सकता है? और क्या ऐसा कोई number मौजूद है जिसे सबसे interesting integer कहा जा सके?

  • गणितज्ञ Zeroastrian—जो मानते हैं कि additive identity 0 को असली आधार और सबसे interesting integer के रूप में आशीर्वाद देती है—और Unitarian—जो multiplicative identity को महत्व देकर 1 का समर्थन करते हैं—के बीच भीषण संघर्ष में फँसे हुए हैं। इन दोनों camps की भिड़ंत में असंख्य आत्माएँ गायब हो चुकी हैं
  • “सबसे interesting integer” के लिए मेरे हिसाब से 664571016291591957042161991109590159107314773607 और 590488317782859198927092718316232684864014739572 हैं
    ये क्रमशः ASCII string “the most interesting” के big-endian और little-endian versions हैं
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Interesting_number_paradox
  • किसी prime की एक और खास property irregularity हो सकती है। अंदाज़ा लगाइए पहला irregular prime कौन-सा है: 37
    irregular primes कुल primes के करीब 41% हैं, फिर भी उनका पहला example इतना देर से आता है—यह दिलचस्प है। संदर्भ: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irregular_prime_number#:~:text=An%20odd%20prime%20number%20p,prime%20numbers%20are%20called%20regular
    सबसे interesting prime कौन-सा है, यह इस पर निर्भर करता है कि आप किस बात को अधिक interesting मानते हैं। second prime factor का median पसंद है तो 37 best है, और पहला irregular prime पसंद है तो भी 37 best है। आखिरकार यह viewpoint की बात है
    37 के अच्छा होने की एक और वजह यह है कि यह 7 पर खत्म होता है, इसलिए जब कोई number बोलने को कहता है तो यह “random जैसा” सुनाई देता है; और 27 से बेहतर है क्योंकि यह prime है। 7 बहुत कम है और 17 में bad luck का nuance है। हालांकि 37 भी काफी डरावना number है। सिर्फ़ prime होने से ही यह काफी irregular है, और ऊपर से irregular prime भी है
  • ऐतिहासिक रूप से मैं 60 चुनूँगा। अपने आकार के मुकाबले इसके divisors बहुत हैं (12), और उनमें 2, 3, 4, 5, 10 जैसे उपयोगी divisors बहुत हैं
    इसलिए time system और trigonometry शायद 60 पर आधारित हुए होंगे। 360 = 6*60 है, और 360 के 24 divisors हैं

• proof इतना simple है, यह देखकर हैरानी हुई। 37 मेरा नया favorite prime बन गया

• second prime factor के average value growth rate के बारे में जिज्ञासा है। लगता तो है कि यह infinitely बढ़ेगा, लेकिन शायद काफी धीरे बढ़े

• मैं जिंदगी भर इस number पर अटका रहा हूँ। जब भी घड़ी देखता हूँ, आगे वाली car की number plate देखता हूँ, तो लगता है 37 दिख रहा है
  Channel 37 जैसी कई random related चीज़ें भी हैं: https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_37