पूर्णांकों के दूसरे prime factor का median 37

गणितीय रूप से आकर्षक संख्या 37 के बारे में चौंकाने वाला तथ्य

• गणितज्ञ Chris Grossack ने Those Fascinating Numbers नामक किताब के ज़रिए संख्या 37 के बारे में एक चौंकाने वाला तथ्य खोजा।
• संख्या 37, पूर्णांकों के दूसरे prime factor का median है; यानी किसी random चुने गए पूर्णांक का दूसरा prime factor 37 से छोटा होने की प्रायिकता लगभग 1/2 है।
• यह बात शुरुआत में मानना मुश्किल लगता है, लेकिन अगर यह ध्यान रखें कि संख्याओं के सबसे छोटे prime factor के रूप में छोटे prime ज़्यादा बार दिखाई देते हैं, तो यह बात काफ़ी plausible लगती है।

Sage कोड से सत्यापन

• SageMath कोड लिखकर यह जाँचा गया कि random चुने गए पूर्णांक का दूसरा prime factor 37 से छोटा है या नहीं।
• प्रायिकता निकालने के लिए एक बड़ा संख्या N तय किया गया और 1 से N के बीच से random पूर्णांक चुनने का तरीका अपनाया गया।
• कोड चलाने पर वास्तव में median 37 ही निकला, और जिन पूर्णांकों का दूसरा prime factor 37 या उससे कम है उनका अनुपात लगभग 0.5015 आया।

गणितीय प्रमाण

• De Koninck और Tenenbaum के पेपर में Eratosthenes की sieve के अनुप्रयोग से यह बताया गया है कि जिन पूर्णांकों का दूसरा prime factor किसी विशेष prime p होता है, उनकी density कैसे निकाली जाए।
• इससे यह सिद्ध होता है कि जिन पूर्णांकों का दूसरा prime factor 37 है, उनकी density लगभग 0.5002 है।
• आगे बढ़कर, इस ब्लॉग पोस्ट के विचारों का उपयोग करके तीसरे prime factor का median निकालना, या kवें prime factor का median k के साथ कैसे बदलता है इसका asymptotic ढूँढना भी संभव है।

GN⁺ की राय

इस लेख की सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि संख्या 37 किसी random चुने गए पूर्णांक के दूसरे prime factor का median है — यह एक चौंकाने वाला तथ्य है — और इसे सिद्ध करने के लिए गणितीय तरीकों और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग को कैसे जोड़ा गया, यह लेख उसे दिखाता है। यह लेख गणित और कंप्यूटर विज्ञान के परस्पर संबंध का एक दिलचस्प उदाहरण पेश करता है, और बताता है कि जटिल गणितीय अवधारणाओं को समझने और सत्यापित करने में दोनों कैसे मदद कर सकते हैं। शुरुआती software engineers के लिए यह गणितीय तथ्यों को कोड में लागू करके जाँचने की प्रक्रिया के माध्यम से सीखने और प्रेरणा पाने का अवसर देता है।

[GN⁺]

Hacker News राय

• 37वें prime के बारे में रोचकता

  • 37 अपने-आप में कोई खास रोचक prime नहीं है; बल्कि यह तथ्य ज़्यादा दिलचस्प है कि prime की सूची का median मौजूद है।
  • क्योंकि median को prime की सूची का एक तत्व होना चाहिए, इसलिए वह कौन-सा prime होगा यह महज़ संयोग है।
  • अगर median सूची के बाहर का मान होता और फिर भी 37 पर अभिसरित करता, तो वह और भी ज़्यादा चौंकाने वाली बात होती।

• 37 की दूसरे prime numbers से तुलना

  • 37, किसी विशेष integer के दूसरे prime factor के median होने के कारण, 31 से ज़्यादा रोचक है।
  • दूसरे prime numbers की तुलना में अधिक रोचक integers के सुझाव या सबसे रोचक integer पर चर्चा।

• 37 के बारे में मज़ेदार तथ्य

  • ऐसे कमेंट जो बताते हैं कि 37 अब उनका नया पसंदीदा prime है।
  • ऐसे कमेंट जो कहते हैं कि इसे birthday card idea के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।

• लेख और proof पर प्रतिक्रियाएँ

  • लेख ने proof कैसे काम करता है, इसे साफ़-साफ़ समझाया—इसके लिए आभार व्यक्त करने वाले कमेंट।
  • proof की सरलता पर आश्चर्य जताने वाले कमेंट।

• prime prediction से जुड़े तकनीकी सवाल

  • यह पूछने वाला सवाल कि क्या किसी ने prime numbers की भविष्यवाणी के लिए Transformer network इस्तेमाल किया है।

• लेख के शीर्षक पर सवाल

  • यह सवाल कि क्या लेख का शीर्षक "non-repeating" को स्पष्ट रूप से उल्लेख किए बिना भी सही है।

• 37 का दूसरे गणितीय समस्याओं में आना

  • ऐसे कमेंट जो बताते हैं कि optimal stopping problem/secretary problem में भी 37 आता है।

• गणितीय notation पर सवाल

  • median kवें prime को दर्शाने वाले expression में इस्तेमाल किए गए log का base natural logarithm है या नहीं—इस पर सवाल।
  • अस्पष्टता से बचने के लिए ln इस्तेमाल करने का सुझाव।

• लेख का समग्र मूल्यांकन

  • ऐसे कमेंट जो इसे लंबे समय बाद पढ़े गए सबसे बेहतरीन लेखों में से एक बताते हैं।