अंत:स्थित वर्ग समस्या के ज़रिए topology सीखें [वीडियो]
(youtube.com)- 1911 में Toeplitz द्वारा उठाई गई अंत:स्थित वर्ग समस्या एक अनसुलझी समस्या है, जो पूछती है कि क्या हर बंद सतत वक्र पर किसी वर्ग के चारों शीर्ष अनिवार्य रूप से मौजूद होते हैं, और इसका अपेक्षाकृत आसान rectangle संस्करण topology से समझा जा सकता है
- rectangle तब बनता है जब दो बिंदु-युग्मों का midpoint और distance समान हो, इसलिए यदि वक्र पर मौजूद सभी बिंदु-युग्मों को 3-आयामी space के बिंदुओं पर भेजा जाए, तो self-intersection अंत:स्थित rectangle के अनुरूप होता है
- सभी unordered बिंदु-युग्म स्वाभाविक रूप से एक Möbius strip बनाते हैं, और किसी एक ही बिंदु को दो बार चुनने वाले युग्म उसकी boundary के रूप में उस plane पर स्थित होते हैं जहाँ मूल वक्र रखा है
- इस Möbius strip को plane के नीचे परावर्तित करके चिपकाने पर Klein bottle बनती है, और 3-आयामी space में बिना self-intersection के इसे व्यक्त न कर पाने का गुण rectangle के अस्तित्व के प्रमाण का मुख्य आधार बनता है
- वर्ग समस्या अधिक कठिन है क्योंकि इसमें बिंदु-युग्मों के angle तक का पता रखना पड़ता है, और 2020 में Joshua Andrew Lobb के smooth curves वाले परिणाम के बावजूद fractal जैसी rough curves अभी भी कठिन चुनौती बनी हुई हैं
अंत:स्थित वर्ग समस्या और अधिक आसान rectangle समस्या
- बंद सतत वक्र को बिना पेन उठाए खींची जा सकने वाली और फिर शुरुआती बिंदु पर लौट आने वाली एक loop की तरह देखा जा सकता है
- यदि वक्र पर मौजूद चार बिंदु किसी वर्ग के शीर्ष बनते हैं, तो वह वर्ग उस वक्र का अंत:स्थित वर्ग है
- क्या हर बंद सतत वक्र में अनिवार्य रूप से एक अंत:स्थित वर्ग होता है, यह 1911 में Toeplitz द्वारा उठाई गई एक अनसुलझी समस्या है, जिसे आम तौर पर inscribed square problem कहा जाता है
- इससे एक कदम आसान प्रश्न यह है कि क्या हर बंद loop में अनिवार्य रूप से एक अंत:स्थित rectangle होता है, और इसका प्रमाण Herbert Vaughan के विचार पर आधारित है
- ध्यान किसी ज्ञात application को खोजने पर नहीं, बल्कि एक शुद्ध puzzle को हल करते हुए यह दिखाने पर है कि problem solving की संरचना कैसे बनती है
rectangle को 3-आयामी mapping के self-intersection में बदलना
- चार बिंदुओं के rectangle बनाने की शर्त को इस शर्त में बदला जा सकता है कि दो line segment का midpoint और length समान हो
- यदि दो line segment का केंद्र समान हो और लंबाई समान हो, तो उनके चारों endpoints एक rectangle बनाते हैं
- वक्र पर मौजूद हर बिंदु-युग्म के लिए निम्न जानकारी दर्ज की जाती है
- बिंदु-युग्म के midpoint के x, y coordinates
- दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी d
- ये तीनों मान 3-आयामी space में एक बिंदु बन जाते हैं, और वक्र पर मौजूद सभी बिंदु-युग्मों से 3-आयामी space तक एक continuous mapping बनती है
- यदि दो अलग-अलग बिंदु-युग्म एक ही 3-आयामी बिंदु पर जाते हैं, तो उन दोनों युग्मों का midpoint और distance समान है, इसलिए वे एक अंत:स्थित rectangle बनाते हैं
- सभी संभावित output points मिलकर 3-आयामी space में एक जटिल surface बनाते हैं, और इस surface का self-intersection अंत:स्थित rectangle के अनुरूप होता है
- circle के मामले में कई बिंदु-युग्म dome की चोटी पर एक ही बिंदु पर इकट्ठा हो जाते हैं, और circle में अनंत संख्या में अंत:स्थित rectangle होते हैं
- ellipse की तरह दबाने पर कई intersections एक vertical line जैसे दिखाई देते हैं
- यहाँ self-intersection का मतलब केवल दिखने वाला आकार नहीं, बल्कि “दो अलग-अलग बिंदु-युग्मों का एक ही output पर जाना” है
बिंदु-युग्मों का space कैसे Möbius strip बनता है
- यदि loop के हर बिंदु को 0 से 1 तक का coordinate दिया जाए, तो 0 और 1 loop के उसी बिंदु को दर्शाते हैं, इसलिए दोनों सिरों को जोड़ना पड़ता है
- ordered बिंदु-युग्मों को unit square के एक बिंदु के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
- x-coordinate पहला बिंदु है
- y-coordinate दूसरा बिंदु है
- यदि दाएँ-बाएँ किनारों और ऊपर-नीचे किनारों को क्रमशः जोड़ा जाए, तो पूरी संरचना torus बनती है
- rectangle के प्रमाण में बिंदु-युग्मों का order महत्वपूर्ण नहीं है
- यदि a,b और b,a को अलग माना जाए, तो समान midpoint और समान distance की शर्त में निरर्थक दोहराव पैदा होता है
- इसलिए x,y और y,x को एक ही बिंदु-युग्म मानना चाहिए
- unit square को diagonal के आधार पर मोड़कर, और boundary identification के अनुसार काट-चिपकाने पर परिणाम Möbius strip होता है
- यह Möbius strip कोई मनमाना खिलौना-जैसा आकार नहीं, बल्कि loop पर मौजूद सभी unordered बिंदु-युग्मों को सतत रूप से व्यक्त करने वाला एक स्वाभाविक space है
- strip का हर बिंदु loop पर एक unordered बिंदु-युग्म से मेल खाता है
- loop पर हर unordered बिंदु-युग्म भी strip के एक बिंदु से मेल खाता है
- एक तरफ थोड़ा-सा हिलाने पर दूसरी तरफ भी केवल थोड़ा-सा परिवर्तन होता है, अचानक कोई jump नहीं आता
- diagonal x,x से आई लाल boundary उन सभी युग्मों का समूह है जिनमें एक ही बिंदु को दो बार चुना गया है, और पहले वाली 3-आयामी mapping में यह मूल loop वाले xy plane पर जाना चाहिए
प्रमाण में Klein bottle की भूमिका
- जब Möbius strip से 3-आयामी surface तक एक continuous mapping सोची जाती है, तो strip की boundary को उस plane पर होना चाहिए जहाँ मूल loop स्थित है
- शुरुआत में ऐसा लग सकता है कि “Möbius strip की boundary को plane पर रखते हुए उसे 3-आयामी space में बिना self-intersection के नहीं रखा जा सकता”, लेकिन यह कथन अपने-आप में सही नहीं है
- गणितज्ञ Asimov ने Möbius strip को 3-आयामी space में embed करने की ऐसी संरचना बनाई थी जिसमें उसकी boundary plane पर एक circle बनती है
- इस संरचना में strip का अंदरूनी भाग circle के ऊपर और नीचे दोनों ओर से गुजरता है
- loop के बिंदु-युग्मों से बना surface distance d को height की तरह इस्तेमाल करता है, इसलिए उसके सभी inner points xy plane के ऊपर होते हैं
- इसलिए ज़रूरी शर्त यह बनती है कि “ऐसी Möbius strip, जिसकी boundary plane पर हो और जिसका अंदरूनी भाग plane के ऊपर हो, उसे बिना self-intersection के embed नहीं किया जा सकता”
- इस surface को plane के नीचे परावर्तित करके फिर boundary के साथ मूल surface से चिपकाने पर, दो Möbius strips को जोड़कर बना एक बंद surface मिलता है
- दो Möbius strips की boundaries को जोड़कर बनी surface को Klein bottle माना जा सकता है
- Klein bottle एक प्रतिनिधि non-orientable surface है जिसमें अंदर और बाहर को साफ़ तौर पर अलग नहीं किया जा सकता
- 3-आयामी space में इसे बिना self-intersection के ठीक से व्यक्त नहीं किया जा सकता, जबकि ऊँचे dimensions में यह अधिक सहज रूप से मौजूद हो सकती है
- क्योंकि Klein bottle 3-आयामी space में self-intersection से नहीं बच सकती, इसलिए loop बिंदु-युग्मों से बना surface और उसका reflection भी self-intersection रखते ही होंगे
- यही self-intersection यह दर्शाता है कि दो अलग-अलग बिंदु-युग्मों का midpoint और distance समान है, और इसलिए एक अंत:स्थित rectangle मौजूद है
वर्ग समस्या, smoothness, और topology की भूमिका
- वर्ग प्राप्त करने के लिए केवल दो बिंदु-युग्मों का midpoint और length ही नहीं, बल्कि line segment के angle का भी पता रखना पड़ता है
- यदि दो line segment का midpoint और length समान हो, और उनके angle में 90 degree का अंतर हो, तो वे एक वर्ग बनाते हैं
- जानकारी चार मानों तक बढ़ जाती है, इसलिए 4-आयामी space में Möbius strip और Klein bottle के embedding पर विचार करना स्वाभाविक दिशा बनती है
- 2020 में Joshua Andrew Lobb ने smooth curves के लिए इस परिणाम का विस्तार किया
- smooth curves के लिए वर्ग का अस्तित्व पहले से ज्ञात था
- Lobb का परिणाम दिखाता है कि इस विशेष मामले में हर संभव aspect ratio वाले rectangles पाए जा सकते हैं
- इस चर्चा में एक विशेष 4-आयामी space के भीतर Möbius strip और Klein bottle के embedding दिखाई देते हैं
- smooth curves में हर बिंदु पर एक अच्छी तरह परिभाषित tangent होता है
- जब बिंदु-युग्म एक-दूसरे के करीब आते हैं, तो midpoint और distance साफ़ limit behavior दिखाते हैं
- angle को track करने पर भी, जैसे-जैसे दो बिंदु करीब आते हैं, line segment का angle उस बिंदु के tangent angle के करीब पहुँचता है
- fractal जैसी rough curves में angle का ऐसा limit behavior नहीं भी हो सकता है
- अंत:स्थित वर्ग समस्या कठिन इसलिए है क्योंकि इसमें सभी rough curves को भी शामिल करना पड़ता है
- topology में Möbius strip और Klein bottle जैसे आकार अपने-आप में केवल अजीब वस्तुएँ नहीं, बल्कि ऐसे logical tools हैं जिनसे यह तय किया जाता है कि सतत correspondence के तहत क्या संभव है और क्या असंभव
1 टिप्पणियां
Hacker News की राय
यह वीडियो वाकई बहुत अच्छा लगा। मैंने algebraic topology में PhD की है और topology भी काफी पढ़ी है, इसलिए सामग्री जानी-पहचानी थी, लेकिन पता नहीं मैं इन concepts को इतनी साफ़ तरह समझा पाता या topology की कठिन दुनिया को किसी “practical” समस्या से जोड़कर समझा पाता या नहीं।
PhD के बाद कई नौकरियों से गुज़रते हुए अब मैं AI में research software engineer के तौर पर काम कर रहा हूं। pure mathematics की अक्सर याद आती है, और academia छोड़ने का थोड़ा अफ़सोस भी होता है, लेकिन academic mathematics में वापस लौटना लगभग असंभव लगता है। 3B1B के वीडियो हमेशा याद दिलाते हैं कि mathematics सबके लिए खुली है, और university में mathematician के रूप में नौकरी न होने पर भी कोई mathematics का आनंद ले सकता है, सीख सकता है और नई खोजें कर सकता है
किसी खास field की research frontier पर बने रहने के लिए शायद professional mathematician के रूप में काम करना पड़ेगा, लेकिन उसके अलावा, क्योंकि mathematics की बुनियादें बदलती नहीं हैं, मुझे लगता है कि पर्याप्त रुचि और जुनून रखने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए यह accessible है
मुझे अपने पुराने majors भी याद आते हैं, और जवानी में university में बिताया समय भी
3B1B दिखाता है कि mathematics education में क्या संभव है। इस field का future देखने को लेकर उत्साहित हूं, लेकिन अफ़सोस है कि इस तरह का तरीका mathematics education में आने में शायद काफी समय लगेगा
साथ ही, हम सीखना चाहते हैं, इसलिए यह वीडियो देखते हैं और सीखते हैं। play button दबाते ही हम पहले से topic में immersed होते हैं। इसके उलट high school या college classes में ज़्यादातर लोग इसलिए नहीं सुनते कि वे सुनना चाहते हैं, बल्कि इसलिए कि उन्हें सुनना पड़ता है, और शुरुआती engagement नहीं होती। professor पीछे से तीसरी row में ऊंघना शुरू करने वाले student को वीडियो की तरह तुरंत पकड़ भी नहीं सकता।
जो लोग सीखना चाहते हैं, उनके लिए यह बहुत अच्छा काम करता है, लेकिन जो लोग वह content सीखना नहीं चाहते, उन्हें और पीछे छोड़ देने की संभावना भी है
आखिरकार, जिस मौजूदा education approach को अभी कमतर बताया जा रहा है, उससे मिलने वाली complexity और notation के बिना इतनी ज्यादा simplify की गई explanation बनाना मुश्किल है। हालांकि प्रतिभाशाली students के दिमाग में पहले से ऐसी तस्वीरें होती हैं और उनका intuition साफ़ होता है; कम परिचित या कम talented students को साथ लाने के लिए यह approach बहुत उचित है
अच्छा लगा कि इस problem पर फिर से बात की गई। कुछ साल पहले इसी topic पर original video ने मुझे तुरंत 3B1B का fan बना दिया था
बचपन से ही मुझे Möbius strip के बारे में पता था, और शुरुआती teenage में continuity वाले functions कहीं न कहीं से ज़रूर गुजरते हैं—इस तरह के existence proof का idea भी जानता था।
लेकिन मैंने कभी नहीं सोचा था कि Möbius strip किसी बेकार-सी रोचक चीज़ से ज़्यादा भी हो सकती है, और अब लगता है कि उसे इतनी हल्के में नज़रअंदाज़ करने के लिए मुझे उससे माफ़ी मांगनी चाहिए। इस proof में उसकी भूमिका हैरान करने वाली है और दिमाग को सुखद ढंग से गुदगुदाती है
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
बहुत बुनियादी चीज़ों से आगे मुझे mathematics बिल्कुल नहीं आती, लेकिन ऐसी सामग्री fascinating है, और समझने के लिए मुझे visuals चाहिए। सच में शानदार वीडियो है।
वीडियो में जब 2 dimensions को 3 dimensions में map करने का तरीका दिखाया गया, तो मेरा पहला thought था, “क्या यही 3 dimensions को 4 dimensions में map करने का तरीका होगा?” बाद में उसने 4 dimensions का ज़िक्र किया। यह न visualize होता है, न ठीक से समझ आता है
3 dimensions में भी हम “दो objects एक ही जगह और एक ही समय पर मौजूद नहीं हो सकते”, “parallel lines infinity पर मिलती हैं”, “parallel lines कभी नहीं मिलतीं” जैसे तरीकों से सोच सकते हैं। बस 3 dimensions में visualization और intuition होता है, इसलिए हर बार सब कुछ formally तोड़कर समझना नहीं पड़ता
Lobb का ज़िक्र देखकर खुशी हुई। कुछ साल पहले—नहीं, काफी समय पहले—मैंने Linear Algebra 1 Lobb से पढ़ी थी। वे शानदार professor थे, और जब हम कुछ समझ नहीं पाते थे तो उनके चेहरे पर आने वाला निराशा-भरा expression आज भी हंसी के साथ याद आता है
वीडियो के 4:15 से मुझे लगा कि कोई समस्या है। ऐसा लगा जैसे यह सीधे इस निष्कर्ष पर कूद रहा है कि हर midpoint के लिए सिर्फ एक ही दूरी होती है। लेकिन वह midpoint सीमा पर दो points चुनने का परिणाम है, और वही midpoint रखने वाले लेकिन अलग दूरी वाले दूसरे दो points भी आसानी से चुने जा सकते हैं
उस बिंदु को सीधे संबोधित नहीं किया गया, और अगले 2 मिनट तक वही बात मेरे दिमाग में घूमती रही। जब वीडियो उसी दिशा में आगे बढ़ता रहा लेकिन समझाया नहीं, तो मैंने वीडियो रोक दिया—शायद मैं कुछ miss कर रहा था, या ज़्यादा smart math viewers उस खुले सवाल को कुछ सेकंड में हल कर लेते होंगे, और मैं target audience बनने लायक गणितीय झुकाव नहीं रखता
मुझे लगता है कि अच्छा educational video उस प्रक्रिया का परिणाम होता है जिसमें test viewers ऐसे points उठाते हैं और वीडियो लगातार refine होता है, ताकि हर बात पर शक करने वाले व्यक्ति के लिए भी अंतिम वीडियो अच्छा बने
इसमें uniqueness की जरूरत नहीं है। उल्टा, inscribed rectangle खोजने की बात को उसी midpoint और उसी distance वाले दो pairs of points खोजने की बात में बदलना ही मुख्य point है, और जिस समय की आप बात कर रहे हैं उसके 1 मिनट 15 सेकंड बाद वह ठीक यही कहता है
लेकिन visually define करने पर आपकी तरह गलत समझना बहुत natural है। क्योंकि drawing ऐसी लगती है जैसे वह midpoint को input लेकर उस midpoint के corresponding distance return करने वाले function का graph हो, जबकि जैसा आपने point out किया, वह well-defined नहीं है। अगर इसे ऐसा समझें तो आगे का पूरा वीडियो रास्ता भटक जाता है। बाकी वीडियो इसी बात को समझाने में लगा है कि इस function का domain, unordered pair of points {A, B} के रूप में देखने पर Möbius strip बन जाता है
आखिरकार, अगर किसी proposition का 100% formal version न हो, तो कुछ लोग उसे intended meaning से अलग interpret करेंगे। इसका audience के smart होने से कोई लेना-देना नहीं। 3Blue1Brown भी यह जानता है और लगता है कि alternative formats experiment कर रहा है; यह वीडियो एक interactive blog post के रूप में भी उपलब्ध है, जिसमें function को साफ़ तौर पर “f(A, B) = (x, y, z)” लिखा गया है और variables भी explain किए गए हैं: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
“काफी बड़ी audience में, भले ही उसमें सिर्फ बहुत smart लोग हों, हर informal explanation की अलग-अलग interpretations निकलेंगी”—यही math education की मुख्य मुश्किल है। interactive जगहों पर आप lecture रोककर सवाल पूछ सकते हैं, लेकिन फिर formalism पर ज़्यादा ध्यान देने की incentive बनती है और visualization व intuition समझाने का समय कम हो सकता है
आपके specific सवाल का जवाब: उसने बिल्कुल भी यह assume नहीं किया कि हर midpoint के लिए सिर्फ एक distance है। उसने ऐसा कहा भी नहीं, और visualization ने भी ऐसा नहीं दिखाया
topology को देखने का एक और नजरिया John L. Kelley की General Topology, D. Van Nostrand, Princeton, 1955 में मिलता है
real numbers के set R में अगर x, y ∈ R और x < y हों, तो (x,y) = { z | x < z < y } एक open set है, और अगर x <= y हो, तो [x,y] = { z | x <= z <= y } एक closed set है। R का कोई subset अगर closed और bounded हो तो वह compact होता है, और यह Riemann integration जैसी चीज़ों में एक powerful property है
इस तरह की concepts real line और open/closed intervals से कहीं ज़्यादा general topological spaces तक extend होती हैं। शायद इसलिए किताब के title में “General” लगा है। university में math major के चौथे साल मैंने Kelley पढ़ी थी और professor को lecture भी दिया था, लेकिन अब topology की दूसरी definitions भी हैं
इस वीडियो की वजह से मुझे पता चला कि topology क्या है
इसे देखते हुए क्या किसी और को anxiety होती है? लगता है failure का डर या overachiever वाली बची-खुची anxiety अभी भी है
मेरे पास math में PhD है और academic pursuits से मैं काफी हद तक पीछे हट चुका हूं। degree के दौरान मुझे टिकाए रखने वाली चीज़ success या academic achievement की इच्छा नहीं, बल्कि journey से प्यार था। नौकरी मिलने के बाद कुछ समय तक math मेरे लिए dark और डरावनी चीज़ बन गई थी, और यह वीडियो ताज़ी हवा जैसा लगा
आशा है कि आपको कोई ऐसा आनंद का स्रोत मिले जिसमें आप खुद को झोंक सकें। ऐसी जड़ों से आप फल-फूल सकते हैं। यह जरूरी नहीं कि काम ही हो। सच कहूं तो मुझे लगता है anxiety की जड़ में risky job market है। मेरी जड़ मेरा career नहीं, बल्कि मेरा चुना हुआ परिवार है। ऐसी सुरक्षा हो तो मन ज़्यादा आसानी से भटक सकता है, और ऐसे open problems जैसे puzzles पर भी हाथ आज़मा सकता है। शुरुआत curiosity से होती है
एक बार एक conference में John H. Conway ने मुझसे स्वीकार किया था कि career के शुरुआती दौर में उन्हें भी बिल्कुल आपकी जैसी feelings हुई थीं
failure की बात करें तो, इस open problem पर approach करने का एक idea आया और मैंने उसे Koch snowflake पर लागू करने के लिए जल्दी-जल्दी code लिखा। लिखते-लिखते approach की एक साफ़ समस्या दिख गई, और बिना context वाला conclusion कहूं तो उस line का code लिखने से पहले ही मुझे division by zero मिल गया। क्योंकि successful होना जरूरी होने की कोई वजह नहीं थी, failure मजेदार था; और bug लिखने से पहले उसे पकड़ लेना हमेशा satisfying होता है