हर व्यक्ति गणितीय ढंग से सोच सकता है और उसका लाभ उठा सकता है
(quantamagazine.org)- गणितज्ञ David Bessis गणित को प्रतीकों के हेरफेर के रूप में नहीं, बल्कि intuition और logic के संवाद के रूप में देखते हैं, और लोग रोज़मर्रा की ज़िंदगी में पहले से ही इस तरह की सोच का इस्तेमाल करते हैं
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity गणितज्ञ के दिमाग़ में होने वाली प्रक्रिया के ज़रिये गणित को मानव के आंतरिक अनुभव से जोड़ती है
- Bill Thurston, Alexander Grothendieck और René Descartes के उदाहरण इस विचार का समर्थन करते हैं कि गणितीय क्षमता जन्मजात सार से अधिक intuition पर सवाल उठाने और उसे तराशने के अभ्यास के क़रीब है
- स्कूल का गणित logic और formalism पर ज़्यादा झुका होता है, लेकिन लोग अपने दिमाग़ में वृत्तों और संख्याओं को संभालते हुए पहले से ही अमूर्त संख्या-प्रणालियों को आत्मसात कर चुके होते हैं और गहरा गणित कर रहे होते हैं
- गणितीय सोच को विकसित करना केवल problem solving से आगे बढ़कर आनंद, स्पष्टता, आत्मविश्वास, रचनात्मकता और भावनात्मक जीवन में मदद देने वाली self-development technique बन सकता है
गणित दिखने वाले प्रतीकों से ज़्यादा अदृश्य प्रक्रिया के क़रीब है
- David Bessis गणित की ओर इसलिए आकर्षित हुए क्योंकि बहुत से लोग गणित से दूर क्यों रहते हैं, इसका कारण भी उसी से जुड़ा है
- संगीत सुना जा सकता है और चित्र देखे जा सकते हैं, लेकिन गणित ज़्यादातर एक आंतरिक प्रक्रिया है, इसलिए वह बाहर से दिखाई नहीं देती
- उन्हें इसी अदृश्य प्रक्रिया में जादू जैसा आकर्षण महसूस हुआ
- Bessis ने 1990 के दशक के आख़िर में Paris Diderot University में गणित में PhD की पढ़ाई की, और उसके बाद लगभग 10 साल तक geometric group theory पर शोध किया
- 2010 में उन्होंने शोध-आधारित गणित छोड़कर एक machine learning startup शुरू किया
- वे सिर्फ़ समस्याएँ हल करने पर नहीं रुके, बल्कि यह सवाल पूछते रहे कि गणितज्ञ वास्तव में कैसे सोचते और काम करते हैं
Mathematica के अनुसार गणितीय सोच
- Bessis ने 2022 में Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity प्रकाशित की
- यह समझाने की कोशिश है कि गणित करने वाले व्यक्ति के मस्तिष्क में क्या होता है
- साथ ही यह मानव के आंतरिक अनुभव पर भी बात करती है
- मूल फ़्रेंच पुस्तक का 2024 में अंग्रेज़ी में अनुवाद हुआ
- मुख्य बात यह है कि लोग बिना जाने भी लगातार गणित कर रहे होते हैं
- Bessis मानते हैं कि लोग अपनी गणितीय क्षमता को जितना समझते हैं, उससे कहीं ज़्यादा बढ़ा सकते हैं
- Bill Thurston और Alexander Grothendieck जैसे गणितज्ञों की क्षमता को भी सिर्फ़ जन्मजात प्रतिभा से समझाना मुश्किल है
- वे अपनी intuition पर लगातार सवाल उठाते और उसे अधिक परिष्कृत करते थे
- वे नए विचार बनाते, फिर logic और language की मदद से उनकी जाँच कर उन्हें बेहतर करते थे
intuition और logic के बीच आगे-पीछे आना-जाना
- Bessis के लिए गणित बाहरी रूपों और आंतरिक representations को एक-दूसरे से मिलाने की प्रक्रिया है
- आंतरिक representation intuition के बराबर है
- बाहरी representation तर्कपूर्ण और औपचारिक अभिव्यक्ति है
- formal systems अजीब और कठोर लग सकते हैं, लेकिन वे intuition को परखने, फिर से समायोजित करने और मज़बूत करने के औज़ार बनते हैं
- स्कूल का गणित इस पूरी प्रक्रिया के logic-आधारित हिस्से पर ज़्यादातर ज़ोर देता है
- Bessis के अनुसार अधिक महत्वपूर्ण तत्व intuition है
- गणित reason और instinct के बीच संवाद है
- यह language और abstraction के बीच संवाद भी है
- वे गणित की तुलना yoga या martial arts जैसी शारीरिक practice से करते हैं, जिसमें अभ्यास से सुधार होता है
- इसके लिए बच्चे जैसी अवस्था में जाना ज़रूरी है
- imagination और उस प्रक्रिया में होने वाली गलतियों को भी स्वीकार करना चाहिए
हर कोई पहले से गणित कर रहा है
- Bessis मानते हैं कि लोगों को अपने गणितीय प्रशिक्षण के प्रति सचेत होना चाहिए
- इंसान अपने दिमाग़ में एक वृत्त की कल्पना कर सकता है, उसे बड़ा या छोटा कर सकता है, या इधर-उधर हिला सकता है
- यह साधारण visualization जैसा लग सकता है, लेकिन यह वास्तव में abstract manipulation है
- “1 अरब में से 1 घटाएँ?” जैसे सवाल पर भी ज़्यादातर लोग तुरंत जवाब का अनुमान लगा लेते हैं
- उसे शब्दों में कहने के लिए सोचने की ज़रूरत पड़ सकती है, लेकिन परिणाम ख़ुद दिमाग़ में उभर आता है
- भले ही वह visual perception न हो, फिर भी परिणाम का एक मज़बूत एहसास होता है
- Bessis इसे गणितीय intuition मानते हैं
- यह क्षमता ऐतिहासिक रूप से कोई स्वाभाविक बात नहीं थी
- उनका कहना है कि 2,000 साल पहले Roman numerals इस्तेमाल करने वाले लोगों के लिए उसी सवाल का आसानी से जवाब देना मुश्किल रहा होगा
- आधुनिक लोगों के लिए आसान लगने वाला arithmetic दरअसल अमूर्त संख्या-प्रणाली को आत्मसात करने का परिणाम है
- जो गणित आसान दिखता है, वह भी वास्तव में गहरा गणित है, और मनुष्यों ने मानो इसे ख़ुद अपने भीतर wired कर लिया है
प्रतिभा सार से ज़्यादा एक अवस्था के क़रीब है
- Bessis यह नहीं नकारते कि कुछ लोग गणित में बहुत अच्छे होते हैं
- उनका कहना है कि 5 साल की उम्र में भी कुछ बच्चे प्रतिभाशाली गणितज्ञ जैसे दिख सकते हैं
- लेकिन वे इसे जन्मजात सार के रूप में नहीं देखते
- प्रतिभा कोई सार नहीं, बल्कि एक अवस्था है
- यह किसी विशेष काम को करते हुए निर्मित होने वाली अवस्था के अधिक क़रीब है
- गणित एक यात्रा है और इसका संबंध plasticity से है
- इसका मतलब यह नहीं कि गणित आसान है
- Bessis कहते हैं कि गणित कठिन है
- साथ ही उनका मानना है कि जीवन में आप जो भी करते हैं, वह बहुत कठिन होता है
- क्या वे Thurston की तरह गणित कर सकते हैं, इस सवाल का वे नकारात्मक उत्तर देते हैं
- Thurston ने विस्तार से लिखा है कि उन्होंने कम उम्र से ही हर दिन इस तरह की self-education का अभ्यास करने का निर्णय लिया था
- Bessis नहीं मानते कि वे उस स्तर तक पहुँच सकते हैं
- हाई स्कूल के छात्र गणित से दुखी होने के कारणों में से एक यह है कि वे मानते हैं कि इसके लिए ऐसी जन्मजात क्षमता चाहिए जो उनके पास नहीं है
- जबकि वास्तविक गणित, उनके अनुसार, उसी तरह की क्षमता पर निर्भर है जिसका उपयोग लोग रोज़मर्रा की intuition में करते हैं
गणितीय सोच कैसे विकसित करें
- जब intuition और वह बात जिसे reason सही मानता है, उनके बीच कोई असंगति दिखे, तो वही नई समझ का अवसर बनता है
- वहीं से आगे-पीछे की प्रक्रिया शुरू की जा सकती है
- देखें कि क्या आप अपनी intuition को शब्दों में व्यक्त कर सकते हैं
- जाँचें कि क्या उसे तर्कसंगत चर्चा के भीतर रखा जा सकता है
- अगर असंगति फिर भी बनी रहे, तो यह visualize करने की कोशिश करें कि ऐसा क्यों है
- इस प्रक्रिया को दोहराने पर imagination धीरे-धीरे पुनर्गठित होती है
- उनका मानना है कि धैर्य के साथ इसे जारी रखने पर instinct और reason एक-दूसरे के अनुरूप होने लगते हैं और व्यक्ति अधिक बुद्धिमान बन सकता है
- Bessis इस प्रक्रिया को गणितीय सोच कहते हैं
गणित self-development technique बन सकता है
- Bessis मानते हैं कि गणितीय सोच में सुधार करके आनंद, स्पष्टता और आत्मविश्वास पाया जा सकता है
- बच्चे यह प्रक्रिया लगातार करते रहते हैं, इसलिए वे तेज़ी से सीखते हैं
- दुनिया उन्हें समझ में नहीं आती, इसलिए उन्हें लगातार नई समझ बनानी पड़ती है
- उनका मानना है कि बच्चे पूरे दिन नई समझ हासिल करते हैं, इसलिए वे खुश रहते हैं
- वयस्कों के लिए यह सोचने का तरीका बहुत धीमा हो सकता है
- फिर भी अगर हार न मानी जाए, तो intuition से किया जा सकने वाला काम उम्मीद से कहीं आगे निकल सकता है
- Bessis अपनी किताब को सिर्फ़ गणितीय concepts सीखने वालों के लिए नहीं, बल्कि सभी creative लोगों के लिए जीवन-पाठ के रूप में देखते हैं
- वे इसे केवल self-help book कहने से आगे बढ़कर मानते हैं कि गणित स्वयं एक तरह की self-development technique है
ईमानदारी और रचनात्मकता का प्रशिक्षण
- गणितज्ञ को इस बारे में बहुत ईमानदार होना पड़ता है कि वह क्या नहीं समझता और क्या सोच रहा है
- यह ईमानदारी कई तरह के निर्णयों तक ले जाती है
- यह देखा जा सकता है कि कोई object ग़लत तरह से define किया गया है
- यह भी देखा जा सकता है कि कोई दूसरी definition किसी theory को अधिक सरल बना सकती है
- महत्वपूर्ण concepts और गैर-महत्वपूर्ण concepts में फ़र्क किया जा सकता है
- जो व्यक्ति वास्तव में महसूस करता है, उसे व्यक्त करना बहुत कठिन है और इसके लिए अभ्यास चाहिए
- गणित करते समय मानव की सोचने की प्रक्रिया बहुत शुद्ध रूप में सामने आती है
- गणित केवल समझने का काम नहीं, बल्कि बच्चे की तरह गहराई से, निष्कपट, स्पष्ट और स्वाभाविक ढंग से समझने का अभ्यास है
- Bessis के लिए गणित रचनात्मकता का प्रशिक्षण भी है और imagination के लिए एक आधार भी
- वे कहते हैं कि व्यक्तिगत कठिनाइयों को पार करने में गणितीय ढंग से सोचने की क्षमता ने उनकी मदद की, और भावनात्मक दृष्टि से भी वे मानते हैं कि हर किसी को गणित की ज़रूरत है
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मैं इस भावना से सहमत हूँ। जन्मजात गणितीय प्रतिभा और genius पर अटकी संस्कृति, कुछ सीखने के लिए ज़रूरी growth mindset के लिए नुकसानदेह लगती है।
वयस्क होने के बाद मैं अपनी गणित की क्षमता काफी मज़बूत कर रहा हूँ, और पहले सोचता था कि “अगर यह मुश्किल है, तो मैं अपनी सीमा पर पहुँच चुका हूँ और समय बर्बाद कर रहा हूँ।” लेकिन असल में यह लगभग उल्टा है; अगर कुछ आसान है, तो शायद वह चीज़ आप पहले से जानते हैं और तब समय बर्बाद हो सकता है।
किताब के लेखक ने बस वह गणित चुना जिसमें उनकी रुचि थी, और यह सिद्धांत असल में हर क्षेत्र पर लागू होता है। कुछ लोगों में जन्मजात प्रतिभा दिखती जरूर है, लेकिन अधिकतर यह किसी एक विषय पर hyperfocus करने की क्षमता के करीब है—चाहे वह गणित हो, Star Trek हो, डायनासोर हों, या 1980 के दशक के पुराने console games।
बच्चों को यह समझाना कि उनके कुछ peers बस “जन्मजात प्रतिभाशाली” हैं, उन्हें कोशिश जारी रखने की इच्छा से दूर करता है। बच्चों को जो सिखाना चाहिए वह है सीखने का तरीका; बात कुछ ऐसी होनी चाहिए: “अगर आप गणित सिखाते हैं तो वे गणित सीखते हैं, लेकिन अगर आप सीखना सिखाते हैं तो वे कुछ भी सीख सकते हैं।”
यह सही है कि गणित में मेहनत लगती है, और समझ ठीक से बैठने के लिए कुछ पूर्व-ज्ञान भी चाहिए। लेकिन “X को पाठक के अभ्यास के लिए छोड़ते हैं” जैसा रवैया, बिना किसी वजह के पाठक की जिंदगी मुश्किल बनाने का आनंद लेने वाली मानसिकता है।
जिस “ivory tower” की अक्सर बात होती है, उसमें tower वाला तत्व self-promotion और self-defense mechanism की तरह भी काम करता है। क्योंकि वह यह विचार बेचता है कि “हमारी भूमिका अनिवार्य है, और जो भी कुछ जानना चाहता है उसे लक्ष्य तक पहुँचने के लिए हमारे माध्यम से ही जाना होगा।”
उदाहरण के लिए linear algebra दशकों पुराना विषय है, फिर भी beginner से advanced तक के lecture materials अक्सर जरूरत से ज्यादा गूढ़ और decode करने में कठिन रहे हैं। लेकिन जैसे ही machine learning क्षेत्र उभरा, dimension reduction और subspace decomposition जैसे advanced topics को भी साफ और मामूली-सी बात की तरह समझाने वाली सामग्री अचानक बढ़ गई। बदला सिर्फ यह था कि विषय को संभालने वाले लोगों का प्रकार बदल गया।
मैंने psychology students को गणित पढ़ाया है, और कुछ मामलों में वे सचमुच समझ नहीं पाते थे। मुझे याद है कि “square root क्या होता है?” वाले सवाल पर department head निराश हो गए थे। यह नहीं कहा जा सकता कि सबमें क्षमता थी और बस “teacher की गलती” थी; मुश्किल महसूस करने वाले छात्रों और आसानी से कर लेने वाले छात्रों के बीच का फर्क भी समझाना होगा।
संगीत में भी यही है। conservatory के छात्र बहुत मेहनत से पढ़ते हैं, फिर भी कुछ ज्यादा अच्छे होते हैं और बहुत थोड़े सच में चमकते हैं। “हर कोई Rachmaninov बजा सकता है” कहना भरोसेमंद नहीं लगता। जब तक गणितीय क्षमता का मानक काफी नीचे न रखा गया हो या पुख्ता आधार न हो, “हर कोई कर सकता है” वाली बात बकवास जैसी लगती है।
रोज़मर्रा का काम आसान skills को बनाए भी रखता है, लेकिन अगर कोई skill कुछ समय से इस्तेमाल नहीं की गई है, तो उसे दूसरे skills के साथ कठिन तरीके से combine करने से पहले आसान repetition कर लेना भी बुरा नहीं है।
मैं लेखक की किताब Mathematica पढ़ रहा हूँ और यह सचमुच अच्छी है। सिर्फ इस लेख के शीर्षक से किताब की खूबियाँ ठीक से सामने नहीं आतीं
लेखक दिखाते हैं कि गणितीय क्षमता ज्ञान-प्रतिभा से ज़्यादा sports talent जैसी है। उनका तर्क है कि लोगों को अपने दिमाग में घुमाए गए shapes, slot machine, origami जैसी चीज़ों के जरिए mathematical objects को manipulate करना सीखना पड़ता है। यह एक तरह का imagination sport जैसा है
इसी वजह से मैं MathAcademy.com पर basic maths काफी दोबारा सीख रहा हूँ, और यह बहुत मज़ेदार भी है और stress वाला भी। अब ऐसा लगता है जैसे polynomials के साथ Tetris effect होने लगा है
Flow में आने पर हर function की अपनी shape और vibe लगती है। साफ-सुथरा छोटा box function, बड़ा और बदसूरत गुस्सैल sea urchin जैसा function, कुछ न करने वाला बेकार छोटा circle जैसा function दिखता है, और बाद में हटाने के लिए note बन जाता है। Data जिस तरह flow करता है, उससे पूरा graph कुछ हद तक जुड़ा हुआ दिखने लगता है
यह भी जानना चाहता हूँ कि MathAcademy ठीक है या नहीं। मैं करीब एक महीने के लिए इस्तेमाल करने की सोच रहा हूँ, लेकिन आपने “stress” कहा वह typo था या नहीं, समझ नहीं आया
Mathematica को मैंने local library में order कर रखा है, और कभी arrival SMS आए तब तक उसे भूलकर रह सकता हूँ। यह confirm करने के लिए धन्यवाद कि इसे पढ़ना worthwhile है
अगर किताब इस मामले में बेहतर है तो पढ़ना चाहूँगा, और अगर उसमें stories और फालतू बातें ज़्यादा हैं तो skip करना चाहूँगा। असल में किताब से आपको क्या मिल रहा है, और वह कितनी practical और लागू करने लायक लगती है, यह जानना चाहता हूँ
गणित कठिन इसलिए लगता है क्योंकि लोगों के लिए लंबे manipulation process को दिमाग में पकड़े रखना मुश्किल होता है। खासकर जब सैकड़ों steps में धीरे-धीरे बदलने वाली बड़ी object को manipulate करना हो; और यह लोगों की कमी नहीं, बल्कि human mind के काम करने का स्वाभाविक तरीका है
गणित को basic axioms और manipulation rules, और उन rules से axioms को कैसे आगे बढ़ाया जाता है, इस तरह सिखाना ज़्यादा सही है। एक समय में एक valid change करना सीखना होता है, और जाहिर है इसमें बहुत paper work और patience चाहिए। गणित truths और rules से नए truths और rules बनाने का काम है
मैं अपने बच्चे को इसी तरह सिखा रहा हूँ और वह अक्सर प्रतिक्रिया देता है, “बस इतना ही? यह तो सिर्फ मेहनत वाला paper work है?” आजकल हम इसी तरीके और LLM की मदद से algorithms और data structures सीख रहे हैं। Basic conditions से शुरू करके build up करने पर algorithms, जो नए inventions के क्षेत्र जैसे लगते थे, खुद किए गए manual steps से naturally निकलते हैं, और फिर उन्हें program में बदला जाता है
फालतू चीज़ें हटा दें तो गणित में सिर्फ patience और paper work बचता है
मेरा मानना है कि गणित में जल्दबाज़ी में किया गया formalization ही मुख्य वजह है कि लोग गणित से कटे हुए और gaslighted महसूस करते हैं। concepts को symbols और उनके manipulation तक घटाना बाद की बात होनी चाहिए; शुरुआत से ही उसे ऐसे पेश करना गलत है
लोगों को पहले आसान natural language में बात करनी चाहिए। जो गणितज्ञ कहते हैं कि “English पर्याप्त precise नहीं है”, उनसे कहने का मन करता है कि दफा हो जाओ। दौड़ने से पहले चलना सीखना पड़ता है
प्रेरणा देने वाले examples गणितीय methods से पहले आने चाहिए, और formulas व proofs पेज 1 पर नहीं, appendix में होने चाहिए। यहां English से मतलब natural language है
STEM से सटे क्षेत्रों में काम न करने वाले लोगों को simple algebra और geometry, थोड़े बहुत finance-related concepts और formulas के अलावा ज्यादा कुछ इस्तेमाल नहीं करना पड़ता। geometry मुख्यतः craft hobbies या home repair projects में ही काम आती है
इसी तरह रहा तो मुझे नहीं लगता कि मरने तक integration करने की कोई वजह मिलेगी। इसलिए फिर से गणित करने की कोशिश भी करूं तो वास्तविक जरूरत motivation नहीं बनती। कोई application न होने से जो चीज़ boring नहीं लगती, वह मनोरंजक math problems भर हैं; उनमें भी लगता है कि किताब पढ़ना या कुछ और करना बेहतर होगा
बहुत से students को, कम से कम मुझे, high school geometry में proofs और high school physics में real applications देखने पर पहली बार गणित में रुचि हुई। यह कि गणित एक truth से दूसरी truth तक जाकर नई truth खोजने का तरीका हो सकता है, किसी revelation जैसा लगा
अफसोस कि कई students उससे पहले ही अंतहीन math drills की ऊब के कारण बाहर हो जाते हैं। knowledge में gaps बन जाएं तो उन्हें भरे बिना आगे बढ़ना मुश्किल हो जाता है। कई students के लिए बात fractions पर खत्म हो जाती है, दूसरों के लिए algebra पर, और college जाने वालों के लिए calculus पर
केवल math majors और कुछ engineering, science व computer science majors ही university के “standard math course” से आगे जाते हैं और उसके बाद आने वाली सचमुच दिलचस्प चीज़ों को जान पाते हैं
आधुनिक गणित का दोष यह है कि वह meta language इतनी well-defined नहीं है कि उसे contradictions के बिना संभालने के लिए software की एक tower की जरूरत न पड़े। इसे सब S-expressions में फिर से लिखना, और sequential computation के तहत proof के लिए term-rewriting system लगाना, accessibility बढ़ाने की एक शानदार पहली पहल है
अगर आप यह देखना चाहते हैं कि गणित किस बारे में नहीं बल्कि कैसे बात करता है, तो stamp collecting करिए
graduate level तक गणित पढ़ चुके व्यक्ति के तौर पर, high school math और अधिकांश subjects मुझे सचमुच boring लगे। primary-secondary education में जो चीज़ गायब थी वह context है, और इसलिए वह boring हो जाती है। गणित आसान इसलिए था कि मैं कोई खास अच्छा था, ऐसा नहीं; बल्कि इसलिए कि वह formulas को blindly follow करने और basic logic apply करने के स्तर की थी
primary-secondary level की अधिकांश गणित basic logic ही है; ऐसे में उस स्तर की education पाए व्यक्ति का “मैं गणित में कमजोर हूं” या “मुझे गणित समझ नहीं आती” कहना, बहुत basic logic और reasoning ability की कमी का संकेत बन जाता है
गणित को केवल applications से नहीं, बल्कि context के भीतर पढ़ाया जाना चाहिए। reasoning और exploration का अनुभव समृद्ध बनाना चाहिए, applications भी शामिल होनी चाहिए, लेकिन उसे सिर्फ applications तक बांधकर नहीं रखना चाहिए। कभी-कभी किसी मनमाने application criterion से बंधे बिना बस सीखना और सोचना चाहिए
नई textbooks मुझे पसंद नहीं क्योंकि वे instant gratification पर बहुत ज्यादा tuned हैं। वे यह नहीं दिखातीं कि solution कैसे build up होता है, सीधे problem solve करने का तरीका बता देती हैं। बाद में थोड़ा सा working principle समझा भी दें, तो भी order मुझे पूरी तरह उल्टा लगता है। खुद सोचने, अंत में चीजें कैसे मिलेंगी इसका अनुमान लगाने, और बीच-बीच में “aha” moments पाने का मौका छीन लेती हैं
यह तरीका गणित को symbol manipulation तक घटाने की प्रवृत्ति भी बढ़ाता है। अगर पहले paragraph में formula दे दिया जाए, तो उसके बाद की सारी explanation उसी formula से बंध जाती है। mathematical notation तब सबसे अच्छी होती है जब वह पहले से कुछ हद तक समझे हुए concept को solidify करने का formalization tool और memory aid हो; और तब सबसे खराब होती है जब उसे मुख्य communication channel की तरह इस्तेमाल किया जाए
भावना अच्छी है, लेकिन यह भी साफ है कि बहुत से लोग बुनियादी गणितीय सोच तक नहीं सीख पाते और काफी उलझन में रहते हैं। मैं जानना चाहूंगा कि क्या इस दावे के समर्थन में कोई वैज्ञानिक शोध है कि वे इसे आसानी से सीख सकते हैं, या फिर यह गणित की लोकप्रिय पुस्तकों में फिट बैठने वाली कोई समानतावादी दलील बस गढ़ी जा रही है
सामान्य बुद्धिमत्ता भी 1970 के दशक के बाद से गिरावट के रुझान में दिखती है। यह तथाकथित reverse Flynn effect[3] है, और इसे अमेरिका और यूरोप में मापा गया है
यह सच है कि शिक्षा व्यवस्था और दूसरे कारक असर डालते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि “हर कोई X कर सकता है” वाला विचार गलत और नुकसानदेह है। यह “किसी को व्हीलचेयर की जरूरत नहीं” या “हर कोई बिल्कुल ठीक देख सकता है” कहने जैसा है। लोग अलग-अलग होते हैं, और कई nerds सिर्फ nerds के बीच ही उठते-बैठते हैं, इसलिए समाज के बारे में उनकी समझ विकृत हो जाती है
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
इंसान के लिए सैद्धांतिक रूप से जो संभव है और वह वास्तव में जो हासिल करता है, उसके बीच बहुत बड़ा अंतर है
मैं गणित शिक्षक नहीं हूं, लेकिन गणित का आनंद लेता हूं, और परिवार व दोस्तों के गणित के कोर्स में कई बार मदद कर चुका हूं
मैं लंबे समय से सोचता आया हूं कि लगभग हर किसी में करीब-करीब हाई स्कूल स्तर का गणित सीखने की क्षमता होती है। बस कुछ लोगों को ज्यादा मेहनत चाहिए होती है। लगातार प्रयास बनाए रखने की कुंजी motivation है, और जिन बहुत से लोगों को गणित से नफरत हो गई या जिन्हें लगने लगा कि वे इसमें बेहद खराब हैं, उन्हें बस सही motivation नहीं मिला
एक बार motivation आ जाए, सामग्री समझ में आने लगे और समस्याएं हल होने लगें, तो यह काफी आसान हो जाता है। निजी तौर पर, खासकर derivation और निचले स्तर के proofs तक जाने वाला थोड़ा ऊंचे स्तर का गणित सीखते हुए मुझे लगा कि गणित के बाहर के क्षेत्रों में भी मेरी सोचने की शैली बेहतर हुई
परिवार और दोस्तों की मदद करते हुए मैंने यह भी सीखा कि नए content को समझना शुरू करने के लिए अलग-अलग लोगों के तरीके काफी अलग हो सकते हैं। कुछ लोगों के लिए geometry या graphs के नजरिए से पहुंचना आसान होता है, और कुछ लोगों को शुरुआत से ही formulas में उतरना ज्यादा सूट करता है। एक ही तरीका सबके लिए सही नहीं होता
शिक्षाशास्त्र के नजरिए से, मुझे लगता है कि ज्यादातर लोगों के लिए गणित में मुख्य बाधा complexity नहीं, बल्कि उसे पढ़ाने का सूखा तरीका है। भाषा के नियम भी कम से कम उतने ही जटिल हैं, फिर भी कहीं ज्यादा लोग हाई स्कूल स्तर की भाषा क्षमता सीख लेते हैं। इसके कई कारण हैं, और सबसे स्पष्ट यह है कि भाषा रोजमर्रा में ज्यादा इस्तेमाल होती है
मैं खुद को बिल्कुल भी गंभीर गणितज्ञ नहीं कह सकता, लेकिन पिछले कुछ सालों में, जब मैंने उस लक्ष्य को गंभीरता से लिया, तो मैंने उन दशकों की तुलना में कहीं ज्यादा सीखा जिनमें मैं खुद को हीन मानकर उससे दूर करता रहा
उन बेहद उदार mentors में से एक, जिन्होंने मुझे जबरन ही सही कोशिश करने के लिए खींचा, ने कहा था: “खराब गणित छात्र नहीं होते। सिर्फ खराब गणित शिक्षक होते हैं, और वे भी कभी खराब गणित शिक्षकों से ही मिले थे”
अगर ऐसे लोग बहुत ज्यादा मिलें, और अगर ऐसे लोग इस क्षेत्र में आम हों, तो यह समझना आसान है कि लोग हिम्मत क्यों हारते हैं और छोड़ देते हैं
शिक्षा के किसी चरण में बहुत-से युवा abstract mathematical thinking से रूबरू होते हैं, लेकिन अंत तक उसे समझ नहीं पाते और रास्ते से हट जाते हैं। यहीं चीज़ें बिगड़ती हैं, और उसके बाद खाई और चौड़ी होती जाती है—यह दुखद है
symbols और equations से काम करना कहीं ज़्यादा व्यापक रूप से accessible होना चाहिए। यह लगभग game जैसी activity है, इसलिए इससे अलग-थलग महसूस नहीं होना चाहिए
हो सकता है यह शिक्षकों की विफलता हो कि वे दिमाग को ज़्यादा abstract representations और manipulation के तरीकों को स्वीकार कराने के रास्ते ठीक से पहचान नहीं पाते
वैसे, mathematicians इस समस्या को सुलझाने में बहुत रुचि रखते नहीं दिखते, और कई लोग math को जितना हो सके उतना exclusive बनाने में बचकाना आनंद लेते लगते हैं। मिसाल के लिए visual representations भले ही inaccurate हों, लेकिन intuition बनाने में मदद करती हैं, फिर भी कई बार उन्हें खारिज कर दिया जाता है
factorization ने भी हमारी class के कई लोगों को खो दिया। यह पूरी तरह बेकार लगती थी और process में बहुत guessing शामिल थी, इसलिए निराशा ज़्यादा थी; कुछ classmates की प्रतिक्रिया ऐसी थी जैसे उनसे चम्मच से नाली खोदकर फिर भरने को कहा गया हो—“तो math हमेशा के लिए दफा हो”
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
मेरे हिसाब से समस्या यह है कि ज़्यादातर लोग मज़ेदार हिस्से तक पहुँच ही नहीं पाते। मुझे याद है कि university में पहले semester में set theory पढ़ने, number systems को scratch से define करने, और फिर monoids, groups, rings वगैरह पर जाने से पहले मुझे math खास पसंद नहीं था
वह scratch से define करना सचमुच बहुत संतोषजनक था
थोड़ा समय लगा, लेकिन अब यह बहुत बेहतर है। अब मैं इसे एक छोटे game की तरह लेता हूँ जिसके rules कुछ हद तक पता हैं। अब मैं मानता हूँ कि mathematicians अक्सर अधिकतम abstraction या अजीब pathological edge cases की चिंता करते हैं। इससे अब मैं पहले की तरह overwhelmed हुए बिना complexity में रास्ता बना पाता हूँ
जब आप कोई चीज़ समझ लेते हैं, तो फिर उस mindset में लौटना बहुत कठिन होता है जिसमें आप उसे नहीं समझते थे, और ऐसी explanation ढूँढना मुश्किल होता है जिससे idea “click” करे। बहुत-सी math ऊपर से दिखने की तुलना में कहीं आसान है, लेकिन अक्सर वह explanation missing होती है जो core idea को आसानी से पकड़ने में मदद करे
उदाहरण के लिए, मैं किसी integer base की positional numeral system पर एक explorable[0] लिखना चाहता था, जिसे घड़ी पढ़ना जानने वाला बच्चा भी follow कर सके। लगता है multiplication भी साथ में सिखाई जा सकती है
मूल idea यह है कि analog clock जैसा दिखने वाला counter imagine करें। उसमें 0 से 9 तक digits और +1, -1 buttons हैं, और वह 0 से 9 तक count कर सकता है। 9 में 1 जोड़ने पर वह फिर 0 पर लौट आता है; इसे हल करने के लिए दूसरा counter जोड़ते हैं। पहला counter जब भी एक पूरा चक्कर लगाता है, दूसरे counter को 1 बढ़ाते हैं। पहले counter का एक चक्कर 10 steps है, इसलिए दूसरे counter का एक step 10 steps को दर्शाता है। अगर दूसरा counter भी 10 steps गिनना चाहे, तो तीसरा जोड़ दें
फिर स्वाभाविक सवाल है कि अगर 0 से 9 तक से कम digits हों तो क्या होगा। 0 से 7 हो तो octal, 0 और 1 हो तो binary, और ज़्यादा digits के लिए alphabet letters जोड़ देने जैसा
यह decimal positional numeral system का बहुत physical representation है, और counting व following को आसान बनाता है। “base” या “powers” जैसे advanced concepts की ज़रूरत नहीं, लेकिन बाद में उनके ऊपर रखना आसान abstraction बन जाता है
जिन दोस्तों के बच्चे हैं उनसे पूछा तो आम तौर पर 4–6 साल की उम्र में वे घड़ी पढ़ लेते हैं, और लगभग 8 साल तक सभी 100 तक गिन सकते हैं। theoretical रूप से इस approach से उस उम्र में ही binary और hexadecimal के ideas भी समझे जा सकते हैं
मज़ेदार बात यह है कि लेख में भी कहा गया है कि positional numeral system की वजह से लगभग हर adult “1 billion minus 1 कितना है?” का तुरंत जवाब दे सकता है
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
limits और derivatives की proper definitions मिल जाएँ तो high school में इस्तेमाल होने वाले सारे formulas और theorems काफी आसानी से derive किए जा सकते हैं। high school में हमने ज़्यादातर calculations और simple reasoning ही की, लेकिन university में हमने हर चीज़ prove की। perspective बदल गया, और यह अच्छा लगा
prerequisite मैंने formally लिया था, लेकिन असल में वह basic computer science logic course था, इसलिए यह पूरी तरह भारी पड़ गया। फिर भी यह university में लिए गए मेरे सबसे मज़ेदार courses में से एक था
final exam के questions का exact text हमें कुछ हफ्ते पहले मिल गया था, और तैयारी के लिए कुछ भी कर सकते थे—दूसरे students के साथ collaborate करना या दूसरे professors से पूछना तक। दूसरे professors को भी आम तौर पर कुछ खास समझ नहीं आ रहा था। लक्ष्य 10 में से 1–2 questions के जवाब देना था, और न कर पाने पर भी कम-से-कम B+ मिलता था
काश मेरी memory बेहतर होती, लेकिन जिन questions का मैंने successfully answer किया उनमें से एक शायद Turing machine का इस्तेमाल करके Post’s theorem prove करना था। उस class का knowledge मैंने फिर कभी इस्तेमाल नहीं किया, लेकिन अब भी याद है। philosophy और computer science जहाँ मिलते हैं, उस fascinating point को फिर से सीखना चाहूँगा
सबसे अच्छी बात यह थी कि कठिन math और math के बारे में वे गूढ़ metaphysical questions साथ आ गए, जिन्हें बहुत-से practitioners अपने काम को कमजोर करने वाला मानकर नापसंद करते हैं। इतनी गहराई में जाने पर समझ आता है कि और भी सिरदर्द पैदा करने वाले topics से टकराए बिना रहा नहीं जा सकता
हाई स्कूल में असल में सिर्फ़ applied mathematics, खासकर calculus, में अच्छा बनने की ट्रेनिंग मिली थी। वह भी ज़्यादातर “values substitute करना” था, और ऐसे काम Mathematica से आसानी से automate किए जा सकते हैं
कॉलेज जाकर जब number theory और abstract algebra पढ़े, तो यह जानकर झटका लगा कि mathematics को शब्दों में बताना मुश्किल हो, इतना सुंदर हो सकता है। real analysis पढ़ने के बाद ही दिखा कि calculus में भी ऐसे पहलू हैं जो समय की बर्बादी जैसे नहीं लगते
एक दिन हाई स्कूल लौटकर अपने उस समय के computer science mentor Andrew Merrill से मैंने बड़े उत्साह से पूछा कि उन्होंने मुझे group theory से परिचित क्यों नहीं कराया। जवाब था SAT। ऐसी चीज़ SAT में नहीं आती, इसलिए उसे पढ़ाने का कोई औचित्य नहीं था
calculus पढ़ाने की वजह यह थी कि वह engineering और physics का prerequisite है, और space race के बाद वह महत्वपूर्ण हो गया था
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
Canada में भी university के first year तक ऐसा ही calculus-केंद्रित curriculum था, जिसमें थोड़ा linear algebra मिला हुआ था। वजह यह है कि engineering, physics, chemistry और biology के कुछ क्षेत्रों, statistics, economics के कुछ क्षेत्रों वगैरह में calculus की ज़रूरत पड़ती है
समाज में mathematics सबसे बढ़कर एक tool है। यह मैं pure mathematics में major करने और algebra व number theory पर focus करने वाले व्यक्ति के रूप में कह रहा हूँ। ज़्यादातर students के लिए practical usefulness ही सच में मुख्य बात है। science या humanities के उलट, mathematics में abstraction की ऐसी layer होती है जिसे जानबूझकर framework बनाए बिना enjoy करना मुश्किल है
“बेवकूफ़, मुद्दा economy है” ऐसा कहने का मन करता है। मानसिक फुर्सत भी एक resource है। ज़्यादातर लोग mathematics इसलिए नहीं पढ़ते कि वे नहीं चाहते, बल्कि इसलिए कि वे कर नहीं सकते
अगर survey में पूछा जाए कि सभी खर्च और ज़रूरतें पूरी करने वाली basic income मिले तो आप क्या करेंगे, तो लगता है बहुत लोग self-actualization या art चुनेंगे। mathematics का अभ्यास और अध्ययन भी इन्हीं दोनों में आता है
इस मामले में vipassana जैसी mindfulness पर focus करना बहुत मददगार हो सकता है। हालांकि mindfulness कोई intellectual training नहीं, बल्कि सचमुच जीकर अपनाने वाली चीज़ है। रोज़ कई घंटे meditation करें तो कुछ महीनों में अच्छी स्थिति में पहुँच जाते हैं
कम-से-कम आसपास की anecdotal बातों के हिसाब से, इसके बजाय कई लोगों के बच्चे ज़्यादा हो गए
यह कोई competition नहीं है, इसलिए मुझे दूसरों से बेहतर mathematics जानने की ज़रूरत नहीं, लेकिन cryptography, बेहतर algorithms, physics को समझना जैसे दूसरे pursuits मेरी primitive mathematical understanding से सीमित हो रहे हैं
अगर मैं millionaire होता, तो beachside house में आराम करते हुए leisure time में बहुत सारी mathematics सीखना उन चीज़ों में से एक होता जिन्हें मैं pursue करता