- स्कूल में गणित और विज्ञान में संघर्ष करने वाले एक व्यक्ति ने 26 वर्ष की आयु के बाद remedial math से फिर शुरुआत की और engineering professor बन गया; इस अनुभव के ज़रिए वयस्क शिक्षा में दोहराव और याद करने के महत्व पर फिर विचार किया गया है
- गणित और विज्ञान में अगर केवल conceptual understanding पर ज़ोर दिया जाए, तो कक्षा में समझ आने जैसा लग सकता है, लेकिन प्रश्न हल करते हुए उसे आत्मसात न कर पाने से proficiency और लागू करने की क्षमता कम रह सकती है
- जापानी शैली की participatory classes को अक्सर आदर्श माना जाता है, लेकिन Kumon जैसे after-school learning में याद करना, दोहराव, और यांत्रिक अभ्यास के ज़रिए सामग्री पर पकड़ भी विकसित की जाती है
- भाषा सीखने की तरह शब्द, grammar, और उपयोग की स्थितियों को बार-बार अभ्यास से सीखने का तरीका गणित के equations और procedures पर भी लागू होता है, और यह long-term memory में pattern बनाने वाली chunking से जुड़ा है
- जटिल विषयों की गहरी समझ केवल समझाने से नहीं बनती; दोहराव, अभ्यास, और याद करने से बनने वाली fluency करियर चयन और सोचने के तरीके तक को विस्तृत कर सकती है
गणित-भय से engineering professor बनने तक का बदलाव
- बचपन में झुकाव साहित्य की ओर था और गणित-विज्ञान से बचता था, लेकिन बाद में triple integrals, Fourier transforms, और Euler equations जैसे गणित का रोज़ इस्तेमाल करने वाला engineering professor बन गया
- प्राथमिक, माध्यमिक और उच्च विद्यालय के गणित-विज्ञान को ठीक से पार नहीं कर पाया था, और 26 साल की उम्र में Army छोड़ने के बाद ही remedial math शुरू किया
- वयस्क होने के बाद गणित और विज्ञान को दोबारा सीखने का अनुभव adult neuroplasticity और adult learning को भीतर से समझने का अवसर बना
- systems engineering में doctoral course और human thought पर research तथा writing ने learning neuroscience और cognitive psychology की व्याख्या करने की बुनियाद दी
केवल conceptual understanding से गणित नहीं सीखा जाता
- बहुत से छात्र प्राथमिक से उच्च विद्यालय तक यह सीखते हैं कि चर्चा और व्याख्या के माध्यम से गणित को समझना ही सीखने का केंद्र है
- जापान को अक्सर सक्रिय और understanding-centered teaching का आदर्श माना जाता है, लेकिन साथ ही Kumon पद्धति याद करना, दोहराव, और mechanical learning के साथ सामग्री पर महारत पर भी ज़ोर देती है
- इस after-school program जैसी पद्धतियों को जापान और दुनिया भर के कई माता-पिता बच्चों की शिक्षा को पूरक बनाने के साधन के रूप में अपनाते हैं
- जब participatory education में पर्याप्त अभ्यास, दोहराव, और समझदारी से डिज़ाइन की गई memorization जुड़ती है, तब गणितीय सामग्री पर fluency विकसित होती है
- अमेरिका में गणित और विज्ञान में conceptual understanding पर ज़ोर कभी-कभी पुराने सीखने के तरीकों को पूरक बनाने के बजाय उनकी जगह लेने लगता है
- Common Core गणित में conceptual understanding, procedural skill and fluency, और application ability को समान महत्व देने की कोशिश करता है, लेकिन व्यवहार में conceptual understanding ही कक्षा का केंद्र बन जाना आसान है
- अगर ध्यान केवल समझ पर हो, तो छात्र महत्वपूर्ण विचारों का सार पकड़ लेने के बाद भी अभ्यास और दोहराव के अभाव में उसे जल्दी खो सकते हैं
- वे वास्तव में न समझने के बावजूद समझ लेने का भ्रम, यानी illusion of competence, में फँस सकते हैं
- engineering students के उदाहरण की तरह, कक्षा में समझ आ जाने जैसा महसूस होने पर भी अगर concepts का इस्तेमाल करके उन्हें आत्मसात करने का अभ्यास न हो, तो प्रदर्शन कम रह सकता है
fluency दोहराव से बनने वाली ज्ञान-इकाइयाँ हैं
- जैसे golf swing को वर्षों दोहराने पर शरीर एक ही विचार से चलने लगता है, वैसे ही गणित और विज्ञान में भी ऐसी अवस्था चाहिए जहाँ हर बार प्रक्रिया को फिर से समझाना न पड़े
- जैसे 5×5=25 को हर बार मोतियों से फिर सजाने की ज़रूरत नहीं होती, वैसे ही समान base वाली संख्याओं को गुणा करते समय exponents जोड़ने की प्रक्रिया भी बार-बार उपयोग से स्मृति से तुरंत निकाली जा सकती है
- जब अलग-अलग समस्याओं में किसी प्रक्रिया का लगातार उपयोग किया जाता है, तो उस प्रक्रिया के कारण और काम करने के तरीके की समझ और बेहतर होती है
- बड़ी समझ तब बनती है जब मन अर्थ के patterns तैयार करता है; केवल understanding पर लगातार ध्यान देना उल्टा सीखने में बाधा बन सकता है
रूसी भाषा सीखने से मिली रणनीति
- कॉलेज जाने के लिए पैसे या कौशल न होने के कारण हाई स्कूल के बाद Army में गया और Defense Language Institute में Russian सीखी
- Russian सीखने में साधारण समझ से अधिक fluency को महत्व दिया गया
пониматьका अर्थ “समझना” है, यह जानकर रुकना नहीं, बल्कि उसे अलग-अलग tenses और वाक्यों में बार-बार उपयोग करना ज़रूरी था- किस verb form का उपयोग करना है ही नहीं, बल्कि कब उसका उपयोग नहीं करना है, इसका भी अभ्यास किया गया
- शब्दों और संरचनाओं को तेज़ी से याद कर सकने और बदल सकने के लिए बार-बार अभ्यास किया गया
- शब्दों और grammar elements को तकनीकी रूप से समझ लेने के बाद भी, अगर वास्तविक बोलचाल की तेज़ धारा में उन्हें संसाधित न कर सकें, तो उसे fluency नहीं कहा जा सकता
- इस approach ने शैक्षणिक प्रदर्शन बेहतर किया और बाद में expertise development के केंद्र में मौजूद chunking को सहज रूप से समझने की नींव दी
chunking और expertise का संबंध
- Herbert Simon के chess analysis में chunking को विभिन्न chess patterns के अनुरूप neural units के रूप में अवधारित किया गया
- बाद में neuroscientists ने माना कि chess grandmaster जैसे experts अपने क्षेत्र से जुड़े हज़ारों knowledge chunks को long-term memory में संग्रहीत रखते हैं
- chess masters हज़ारों-हज़ार chess patterns याद रख सकते हैं, और अन्य क्षेत्रों के experts भी अच्छे से बँधे हुए neural subroutines को conscious awareness में बुलाकर नई परिस्थितियों का विश्लेषण और सामना करते हैं
- chess masters, emergency room physicians, और fighter pilots पर हुए अध्ययनों में देखा गया कि अत्यधिक तनाव वाली आपात स्थितियों में conscious analysis की तुलना में गहराई से अंकित neural subroutines को तेज़ी से खींच लाने वाली प्रक्रिया काम करती है
- कुछ क्षणों में यह सचेत रूप से समझने की कोशिश कि हम ऐसा क्यों कर रहे हैं, flow तोड़ सकती है और निर्णय को खराब कर सकती है
भाषा-सीखने की विधि को गणित और engineering पर लागू करना
- वयस्क होने के बाद जब गणित और engineering सीखी, तब Russian सीखते समय इस्तेमाल की गई वही रणनीति अपनाई
- Newton के दूसरे नियम f = ma को उदाहरण लेकर, हर अक्षर के अर्थ को लगभग संवेदनात्मक स्तर पर सीखा
- f को force, m को धक्का दिए जाने पर होने वाला भारी resistance, और a को acceleration की अनुभूति के रूप में लिया
- equation को याद करके मन में बैठाया, और देखा कि m और a बड़े हों तो f कैसा होगा, f बड़ा और a छोटा हो तो m कैसा होगा, और दोनों पक्षों की units कैसे मेल खाती हैं
- equation के साथ खेलना verbs को conjugate करने जैसा था, और यह साधारण सूत्रों के आसपास long-term memory से आसानी से निकाले जा सकने वाले chunked subroutines रोज़ जमा करने का तरीका बन गया
- गणित और विज्ञान के professors लंबे समय से कहते आए हैं कि अभ्यास और दोहराव से गहराई से अंकित expertise chunks बनाना सफलता के लिए बहुत महत्वपूर्ण है
- understanding fluency नहीं बनाती; fluency understanding बनाती है, और जटिल विषयों की वास्तविक समझ fluency से आती है
पुरानी fluency फिर से जीवित हो सकती है
- electrical engineer और फिर engineering professor बनने के बाद Russian का उपयोग बहुत कम हो गया, लेकिन 25 साल बाद परिवार के साथ Trans-Siberian Railway की यात्रा करते हुए Russian फिर इस्तेमाल करनी पड़ी
- ट्रेन पर पहली बार चढ़ते समय Russian दो साल के बच्चे की तरह बोलता था; शब्द नहीं मिलते थे, case inflections और verb conjugations ग़लत थे, और उच्चारण भी खराब था
- फिर भी आधार बचा हुआ था, और हर दिन Russian बेहतर होती गई, यहाँ तक कि यात्रा के दौरान रोज़मर्रा की ज़रूरतें पूरी कर सका
- बाद में guides ने अन्य यात्रियों के लिए translation help माँगनी शुरू कर दी, इतना सुधार हो गया
- मॉस्को में जब एक taxi driver घूमाकर अधिक किराया लेने की कोशिश कर रहा था, तब दशकों से न बोले गए Russian शब्द अचानक निकल आए, और ऐसे शब्द भी सामने आ गए जिनके बारे में सचेत रूप से पता होने का अहसास नहीं था
- fluency समझ को गहराई से जमा देती है और ज़रूरत पड़ने पर उसे फिर सामने ला सकती है
गणित और विज्ञान शिक्षा के लिए बचने वाली सीख
- गणित और विज्ञान के majors की कमी और मौजूदा learning trends को देखते हुए, learners बेहतर तरीके अपना सकते हैं
- माता-पिता और शिक्षक समझ को गहरा और लचीला बनाने वाले सरल और सुलभ तरीकों का उपयोग कर सकते हैं
- गणित, नृत्य, physics, भाषा, chemistry, और music जैसे उन क्षेत्रों में भी नई चुनौती लेने के लिए प्रोत्साहित किया जा सकता है जिन्हें लोग बहुत कठिन मानते रहे हैं
- गणित और विज्ञान में बुनियादी और गहरी fluency, साधारण understanding से अधिक महत्वपूर्ण है, और यह रोचक careers की ओर खुलने वाले दरवाज़े खोल सकती है
- जिस fluency की शक्ति ने साहित्य और भाषाओं से प्रेम करवाया, उसी शक्ति ने अंततः गणित और विज्ञान से भी प्रेम करवाया, और जीवन को बदलकर समृद्ध बनाया
1 टिप्पणियां
Hacker News की राय
यह लेख सचमुच अच्छा लगा, खासकर यह वाक्य प्रभावी था: “समझ fluency नहीं बनाती, बल्कि fluency समझ बनाती है”
मुझे गणित पसंद था और मैंने विश्वविद्यालय में इसे major के रूप में पढ़ा, लेकिन लगता है मेरे परिवार में science वाली प्रवृत्ति होते हुए भी गणित अपने-आप में अपारदर्शी और डराने वाला महसूस होता था। काश उस समय मैं यह जवाब दे पाता कि Pythagorean theorem intuitively महसूस कराने के लिए Euclidean space की गहरी insight ज़रूरी नहीं, बल्कि इतना अभ्यास ज़रूरी है कि right triangle देखते ही उसके तीन proofs तुरंत दिमाग में आ जाएँ। लेखक का अपने बारे में बहुत बात करना भी उपयुक्त है। गणित के डर से गणित में दक्षता तक जाने वाले subjective cognitive experience को समझाने के लिए background और inner process की awareness बतानी ही पड़ती है
ऊपर से यह गणित में अपनी self-image की कहानी लगती है, लेकिन मुझे लगता है कि smart दिखने की चाह original post में बताए गए तरीके से गणित की क्षमता में मदद करती है। अगर आप smart दिखना चाहते हैं, तो यह महत्वपूर्ण नहीं रह जाता कि आपने खुद सोचा या किताब में पढ़ा; महत्वपूर्ण यह हो जाता है कि आप जो जानते हैं उसे दिखाएँ और समस्याएँ आसानी से हल करें। इसलिए खूब पढ़ते और याद करते हुए, और दिखाने लायक विशाल mental database बनाते-बनाते आखिरकार आप सचमुच अच्छे हो जाते हैं
अगर मार्गदर्शक निशान जैसे proofs से भी रास्ता मिल सकता है, और space itself की गहरी समझ से भी रास्ता मिल सकता है, तो शायद mathematical intuition के दो रास्ते हैं: अभ्यास और fluency का रास्ता, और गहरी insight व understanding का रास्ता
“गणित” कहलाने वाली चीज़ में मोटे तौर पर दो categories दिखती हैं। A वह गणित है जिसकी बात इस लेख में है; वही जिसे आम लोग गणित कहते हैं और जिसे engineers या अधिकतर scientists इस्तेमाल करते हैं। B वह गणित है जिसे math majors और mathematicians इस्तेमाल करते हैं; यह abstract होता है और कई areas के नाम “theory” पर खत्म होते हैं
मुझे जिज्ञासा है कि लेख वाला approach लेकर गणित B सीखा जा सकता है या नहीं। मैंने कई बार कोशिश की, लेकिन असफल रहा; जबकि differential equations, linear algebra, symbolic manipulation, geometry और real problems में application जैसे गणित A में मैं दक्ष हूँ। दूसरी ओर गणित B पहुँच से बाहर लगता है, programming के हिसाब से कहें तो Haskell या pure functional programming की तरह पकड़ में नहीं आता। जानना चाहता हूँ कि इसका कुछ हिस्सा genetics है और कुछ बचपन में सीखना पड़ता है, या फिर इसके लिए formal learning path चाहिए
गणित C का एक और पहलू number sense है, जो यह पहचानने में मदद करता है कि कोई estimate या calculator screen पर दिख रही value sensible है या साफ़ तौर पर गलत। mental arithmetic कमजोर होने की वजह यह भी है कि मैंने multiplication table ठीक से पूरी याद नहीं की, और यह भी कि direction sense खराब होने की तरह दिमाग में कोई कमी है। लेकिन symbolic manipulation, जहाँ numbers आखिर तक महत्वपूर्ण नहीं होते, मैं अच्छी तरह कर लेता हूँ
मेरे पिता का प्रभाव बड़ा था, जो अक्सर कहते थे कि वे “गणित में कमजोर” हैं, और वह आसान escape route था। बाद में मैंने programming गंभीरता से सीखी, कई languages सीखीं और सीधे web development का काम शुरू कर दिया। लेकिन कुछ साल बाद ऊब गया, engineering आज़माने के लिए community college में दाखिला लिया, तो देखा कि हर engineering course के लिए math prerequisites थे। पहली बार ठीक से मेहनत करके समझ आया कि मैं मूलतः गणित में खराब नहीं था, बस motivation कम था। tutoring center में काम करते हुए university में transfer किया, फिर धीरे-धीरे और math prerequisite courses लिए, और आखिरकार math major में चला गया; अब मैं math PhD हूँ। अपने mid-20s तक भी मुझे भरोसा नहीं था कि मैं गणित A कर सकता हूँ, लेकिन engineering के लिए अच्छा हो गया और सीधे गणित B में चला गया। programming ने मुझे rigorous और abstract तरीके से सोचना सिखाया, और मैंने गणित B 25 साल की उम्र के बाद ही किया, इसलिए मैं इस विचार से सहमत नहीं कि यह जन्मजात है या बचपन में ही सीखना ज़रूरी है। हालांकि formal education का फायदा यह था कि साथ पढ़ने वाले students का group, assignment deadlines, exams जैसी external reinforcement थी
उस समय मुझे गणित B पसंद नहीं था, पर average से ऊपर grades के साथ टिक गया। अब पीछे मुड़कर देखता हूँ तो वह और अच्छा लगने लगा है, और आज के नज़रिए से वे courses फिर से लेना चाहूँगा। शुरुआत में नापसंद होने की बड़ी वजह यह थी कि जिसे पसंद करता था और जिसमें अच्छा था, उसी को major करके शुरू किया, पर अचानक वह बिल्कुल अलग चीज़ में बदल गया—एक तरह का bait-and-switch लगा
analog electronics भी आम तौर पर pure functional domain में काम करती है। amplifier input signal को बदलने की कोशिश नहीं करता, बल्कि input के shape को follow करते हुए अधिक strong output signal बनाता है; musical instruments के sound sources भी keys को vibrate नहीं कराते, बल्कि pressed key के आधार पर sound signal बनाते हैं। practical pure functional programming सबसे सरल तरीके से करनी हो तो Unix processes को pipes से जोड़ दें:
cat somefile.py | egrep '^def \w+' | wc -l. यह point-free style की map-reduce pipeline और pure function composition है, जो Python file के top-level functions गिनती है। updates के लिए output value को फिर input में डालें और calculation खत्म होने पर “next version” पर switch कर दें। Conway’s Game of Life भी inplace update जैसा दिखता है, लेकिन नया map state पुराने map state से पूरी तरह calculate होता है और वही नया map current map बन जाता है। सामान्य तौर पर universe को भी pure functional computation माना जा सकता है, जहाँ next state past states का function है और past immutable हैproof के हर step को mathematical expression नामक term को बदलने वाले rule की तरह देखना होता है। ऐसा पूरी तरह explicit करने वाली कोई किताब मैंने नहीं देखी, लेकिन sequent calculus पर किताबें आधे रास्ते तक पहुँचा देती हैं। गणित B का बाकी हिस्सा intuition है, जो नए conjectures बनाने और assumptions से prove करने वाली proposition तक efficient रास्ता अंदाज़ करने में मदद करता है
कंप्यूटर साइंस में अंडरग्रेजुएट और ग्रेजुएट पढ़ाई के बाद जब मैं मेडिकल स्कूल गया, तो रटने की अहमियत को लेकर मैं भी मिलते-जुलते निष्कर्ष पर पहुँचा
CS में असल में रटने पर बहुत ज़ोर नहीं होता, इसलिए बड़े पैमाने पर याद करना को सीखने की तकनीक के रूप में अपनाने में समय लगा, लेकिन समय के साथ समझ आया कि तेज़ी से recall करना conceptual understanding की जगह नहीं लेता, बल्कि उसे और मजबूत करता है। कुछ साल पहले इस पर लिखा एक लेख भी है: https://samrawal.substack.com/p/on-the-relationship-between-...
लगता है लेखक को अपनी कहानी सचमुच बहुत पसंद है। मैंने पढ़ना जारी रखा, लेकिन पूरा लेख बिना payoff वाले लंबे intro जैसा लगा
अगर आप जानना चाहते हैं कि गणित में बेहतर कैसे हों और दिमाग को गणित के मुताबिक कैसे बदलें, तो यह लेख पढ़कर शायद आप बहुत ज़्यादा समझदार नहीं होंगे
याद करना और बार-बार practice करना सीखने के लिए महत्वपूर्ण हैं, और उस समय चलन में रही केवल “understanding” पर्याप्त नहीं है। ऐसा आधार होने पर ही formula समझने और apply करने जैसे higher levels पर ध्यान दिया जा सकता है। Experts memory chunks बनाते हैं और उन्हें वैसे इस्तेमाल करते हैं जैसे कोई chess master हजारों पुरानी games, openings और variations को खींच लाता है
वयस्कों के लिए कठिन हिस्सा समय निकालना है, खासकर अगर काम पहले से ही मानसिक रूप से भारी हो तो
f=maजैसी चीज़ को केवल याद कर लेना, theoretical और practical application की कोशिशों के बिना, बेकार है—यह तो साफ लगता है। विदेशी भाषा सीखने और STEM को जोड़ने की कोशिश भी अटपटी लगी, और अंततः निष्कर्ष लगभग यही है कि सब कुछ एक craft है, इसलिए perfect होने के लिए practice करनी पड़ेगीसंबंधित links
I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=33890921 - दिसंबर 2022
I Rewired My Brain to Become Fluent in Math (2014) - https://news.ycombinator.com/item?id=13674101 - फरवरी 2017
The building blocks of understanding are memorization and repetition - https://news.ycombinator.com/item?id=12508776 - सितंबर 2016
How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8402859 - अक्टूबर 2014
How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8400837 - अक्टूबर 2014
अच्छा होगा अगर गणित शिक्षा में इतिहास और दर्शन ज्यादा शामिल हों। स्कूल में गणित में अच्छा न कर पाने की वजह aptitude से ज्यादा यह थी कि वह बहुत boring था और बचपन में जिन चीज़ों में दिलचस्पी थी उनसे कटा हुआ था
कुछ साल बाद जब मैं धीरे-धीरे गणित का ज्ञान catch up करने की कोशिश कर रहा हूँ, तो गणितज्ञों के जीवन, घटनाओं का research पर असर, और mathematical philosophy से जुड़े विषयों में सबसे ज्यादा रुचि महसूस होती है। स्कूल की गणित classes सिर्फ calculation और formulas पर केंद्रित थीं, इनमें ऐसा कुछ नहीं था। Accounting भी वैसी ही थी। अलग-थलग देखें तो boring थी, लेकिन जब वह Italy के double-entry bookkeeping के इतिहास या 1500s के बाद world trade से जुड़ी, तो दिलचस्प हो गई
गणित ऐसा लगता है जैसे “numbers के लिए software system बनाना, लेकिन मैं ही साथ में compiler भी हूँ।” बौद्धिक दृष्टि से मैं गणित को quantitative philosophy कहना चाहूँगा, और मुझे philosophy भी पसंद है
व्यक्तिगत रुचियों को pursue करने की आज़ादी न होने के अलावा, history, math, biology जैसे मुख्य subjects भी textbook में डाले जा सकने वाले और multiple-choice tests से evaluate किए जा सकने वाले facts के bundles में घटा दिए जाते हैं
असल में गणित की हर प्रगति इस बात का परिणाम है कि लोग, आम तौर पर engineering applications के लिए, पहले के रूपों की mathematics से दशकों तक numbers के साथ काम करते रहे। अगर students को पता चले कि mathematical innovators भी लंबे समय तक उसी तरह अटके रहे, तो वे अपनी क्षमता पर ज्यादा भरोसा कर सकते हैं
किसी topic की शुरुआत के लिए यह एक बढ़िया story hook हो सकता है, लेकिन अंततः गणित calculation, formulas और proofs के बारे में ही तो है, नहीं?
उपशीर्षक “शिक्षा सुधारकों से माफ़ी, लेकिन हमें अभी भी रटने और दोहराव की ज़रूरत है” पर शिक्षा सुधारक क्या कहेंगे, यह जानने की जिज्ञासा है
यह बेवजह टकराव वाला लगता है, और लेख के मुख्य बिंदु से भी थोड़ा हटता हुआ लगता है। लेख कहता है कि गणित में अभ्यास और बार-बार इस्तेमाल अहम है, लेकिन इसका मतलब शायद 40 साल पहले वाली अमेरिकी शैली की गणित शिक्षा पर लौटना नहीं है। हाई स्कूल में मुझे इस आधार पर आंका जाता था कि मैं matrix multiplication कितनी तेज़ी से कर सकता हूँ, और मुझे matrices बेवकूफ़ी लगते थे, लेकिन कॉलेज में linear algebra और coupled oscillators सीखकर वे शानदार लगे। इसलिए मुझे लगता था कि शिक्षा सुधार का मतलब बेमतलब की दोहराव वाली मेहनत घटाना और असल इस्तेमाल के संदर्भ पर ध्यान देना है; क्या मैं गलत समझ रहा हूँ?
मुख्य बात थी drill, बहुत सारी drill, और उससे भी ज़्यादा drill। शिक्षक grading उबाऊ होने की वजह से इसे पसंद नहीं करते और छात्र मज़ा न आने की वजह से, लेकिन दोहराव वाला अभ्यास काम करता है। यह Super Mario Bros. के उसी stage को तब तक दोहराने से अलग नहीं है जब तक jump timing सही न हो जाए। मैं अक्सर सोचता था कि math facts जैसी चीज़ें सिखानी हों तो drill को gamify करना अच्छा होगा, लेकिन अमेरिकी शिक्षा प्रणाली को इस तरह के तरीकों से allergy जैसी लगती है। इसके बजाय अमेरिकी शिक्षा प्रणाली पैसे के बहाव के पीछे-पीछे एक hype trend से अगले hype trend पर जाने की आदी दिखती है
बहुत-सी शिक्षा छात्र की मौजूदा स्थिति के अनुरूप ढलने पर ज़ोर देती है, और कभी-कभी किसी ज्ञान को वैचारिक रूप से सामने लाते समय जो जटिलता अनिवार्य होती है, उसी को ढक देती है। कभी-कभी बेहतर हो सकता है कि पहले किसी बड़े और मुश्किल abstraction को याद कर लिया जाए, और application के ज़रिये उसका अर्थ बनाया जाए। बहुत-सा ज्ञान, कही जा रही बात को केवल धुंधले तौर पर समझते हुए भी आगे बढ़ने पर, और उसे आज़माने का आत्मविश्वास व इच्छा—ख़ासकर feedback mechanism—होने पर अधिक स्पष्ट होता है
मुझे पता है कि बड़े gaps हैं, लेकिन जितनी ज़रूरत है उतना गणित इस्तेमाल कर सकता हूँ। अब मैं गणित को खुद टालकर केवल गणित के रूप का इस्तेमाल करने की कोशिश करता हूँ
दोनों पक्ष educational psychology research को आधार बताते हैं; progressives आमतौर पर बड़े संस्थानों और international research पर निर्भर रहते हैं, जबकि traditionalists अक्सर अपनी ही classroom में research करते हैं। UK की standardized exams में traditionalist छात्रों का प्रदर्शन बेहतर लगता है, लेकिन यह परीक्षा की बनावट का परिणाम भी हो सकता है। साथ ही, आधे शिक्षक 5 साल के भीतर पेशा छोड़ देते हैं। 40 साल में शिक्षकों की लगभग आठ पीढ़ियाँ अपनी-अपनी biases के साथ प्रशिक्षित हुईं, classroom में अपने विचारों को तराशा, और फिर अगली पीढ़ी को प्रशिक्षित किया। इसमें educational psychology schools के trend cycles और government policy changes भी जुड़ जाते हैं, इसलिए 40 साल पहले की educational practice इतिहास से ज़्यादा पुरातत्व जैसी है
नतीजा यह हुआ कि जिस ऊँचे abstraction level को हम सीखने वाले थे, वहाँ से बार-बार नीचे उतरकर arithmetic जैसे lower abstraction level को संभालना पड़ता था, और परिणामस्वरूप वे ऊँचे abstractions सीख ही नहीं पाए। कल्पना कीजिए कोई object-oriented language हर तरह के abstractions बना सकती हो, लेकिन numbers multiply न कर पाती हो। अगर algorithm में multiplication की ज़रूरत पड़ने पर हर बार वही काम करने वाली assembly की कुछ lines खुद लिखनी पड़ें, तो efficiency कितनी गिर जाएगी? बस multiplication practice करनी चाहिए
university math class लेते समय मुझे हमेशा इस बात में बड़ा अंतर दिखता था कि मैं क्या समझ लेने का सोचता था और असली problems कितनी उलझन भरी होती थीं। अच्छा लगा कि लेखक ने उस phenomenon की बात की
जिन कुछ छात्रों ने topic सच में समझ लिया है, उनके लिए problems सिर्फ repetitive work हैं, लेकिन जो नहीं समझे हैं उनके लिए वे learning process का सबसे अहम हिस्सा हैं। गणित समझने का तरीका ठीक एक ही है: सचमुच गणित करना। इसके तरीके अलग-अलग हो सकते हैं, लेकिन problems solve करना अहम है। मेरा मानना है कि problems दिलचस्प होनी चाहिए, लेकिन repeated recall भी अहम है
लेखक कहाँ professor हैं, यह देखने के बाद ही connection समझ आया। वे Coursera के Learning How To Learn instructors में से एक हैं: https://www.coursera.org/learn/learning-how-to-learn
FAANG इंटरव्यू की तैयारी करके असफल होने के बाद लगा कि पास होने के लिए LeetCode को खंगालना और graph traversal patterns, trees में breadth-first search और depth-first search, recursion patterns वगैरह याद करने के अलावा कोई रास्ता नहीं दिखता
अगर natural problem-solving तरीके से हल करें, तो LeetCode के एक problem में कई घंटे से लेकर कई दिन लग जाते हैं। लेख और tech industry के standards के हिसाब से देखें तो रटना ही intelligence है। पूरी जिंदगी topics को समझता रहा और रटने से बचता रहा, लेकिन अभी गंभीर impostor syndrome से गुजर रहा हूँ। सोच रहा हूँ कि कहीं मैं उन ज्यादा होशियार लोगों के बीच रहने के लायक तो नहीं, जिन्होंने interview पास किया; यहाँ तक कि अभी की tech job खुद छोड़ने के बारे में भी सोच रहा हूँ। क्या tech industry का interview तरीका सही है? मदद चाहिए
FAANG-level पैसा तो नहीं कमाता, लेकिन अमेरिका के tier-3 city area में अपनी उम्र के local median income से लगातार 2.5 गुना से ज्यादा कमाया है। FAANG interview एक game है। मुझे लगता है कि यह इतना भयानक और तैयारी-आधारित इसलिए है ताकि candidate pool को खास तरह के लोगों की तरफ bias किया जा सके, काफी desperate या ज्यादा समय वाले लोगों को चुना जा सके, peer companies में move करना मुश्किल बनाकर wages कम रखी जा सकें, और अंत में rite-of-passage जैसी प्रक्रिया से bonding बनाई जा सके। इसे personal लेने की जरूरत नहीं
अगर यह background मान लें, तो success की key problem-solving ability विकसित करना है। अगर आपने हाल में CLRS-based class नहीं की है, तो उन concepts को ज्यादा याद करना और practice करना स्वाभाविक है
मूल रूप से जिन चीजों में अच्छा होना चाहिए, वे हैं प्रमुख data structures की runtime complexity याद रखना, और जिस platform पर आप code लिखेंगे, उसमें उपलब्ध core structures से familiar होना। Java-केंद्रित team में अलग-अलग Map types, PriorityQueue, Stack, arrays, और Java reference behavior याद रखना जरूरी था। ये structures कब उपयोगी होते हैं, इसका कुछ intuitive sense हो तो algorithms वाला हिस्सा इतना कठिन नहीं था। उदाहरण के लिए, लगता है interviews में LRU cache, खासकर ऐसा LRU cache implement करना पसंद था जिसमें सभी operations constant time में हों। सबसे आसान तरीका है doubly linked list बनाना और उसके nodes को hashmap के अंदर wrapper type की ओर point करवाना। यह बहुत मुश्किल नहीं है, लेकिन किस data structure का उपयोग कहाँ होगा, इससे familiar होना चाहिए; इस case में beginners की common गलती minimum heap से करने की कोशिश करना है